二次型及其应用

滨江学院

毕业论文

题目二次型及其应用

院系滨江学院理学系

专业信息与计算科学

学生姓名刘峰

学号***********

指导教师吴亚娟

职称副教授

二Ｏ一四年五月十日

目录

引言 (1)

1、二次型的相关定义和定理 (1)

1.1二次型的定义 (1)

2、二次型在初等数学中的应用 (2)

2.1不等式证明 (2)

2.2多项式的因式分解 (4)

2.3判断二次曲线的形状 (6)

3、二次型在几何方面的应用 (7)

3.1求平面线图形的面积 (8)

4、多元函数极值方面的应用 (9)

4.1条件极值 (9)

4.2无条件极值 (10)

5、求多元函数积分方面的应用 (11)

5.1二次型的正交变换 (11)

5.1重积分的计算 (12)

5.2求曲面积分 (13)

6、结束语 (14)

7、参考文献 (14)

二次型及其应用

刘峰

南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014

摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物

理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。

关键字：极值；几何 ；重积分；

引 言

二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。

1、二次型的相关定义和定理

1．1、二次型的概念和定义

在《高等代数》中涉及的一些相关理论

设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：

()212111121213131122222323222

,,,22222n n n

n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++

+=+++++

=+

1

1

n n

ij

i j i j a

x x ===

∑∑，

称为数域P 上的一个n 元二次型,在不影响混淆时简称二次型。

在我们讨论二次型时，一定会运用到矩阵，因此要先将二次型用矩阵的线性替换来表示：

11

12121

2221

2

n n n n nn a a a a

a a A a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

, 因为,,1,

,,=ij

ji T

a a i j n A A ==所以，出现这种情况都是对称矩阵，所以二次

型与对称矩阵是一一对应的。

则n 元二次型可以用矩阵的乘积表示出来:

11

121121

2222121

2

(,,

,)n n T n n nn n a a a x a

a a x X AX x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

1

1

n n

ij

i j

i j a

x x ===

∑∑

所以()12,,

,T n f x x x X AX =，此中T n x x x X ),,,(21 =，那么对称矩阵A 我们就简称

为二次型的矩阵。

2、二次型在初等数学中的应用

2.1不等式证明

在数域P 上含有n 元12

,,n x x x 的二次齐次多项式

22

12

11112121122222(,,)222n

n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++

+++

++

+也称

为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。记：

11121122122

212

,(,j 1,2,,n)n n ij ji n n n nn a a a x x a a a X A a a x a a a ⎛⎫

⎛⎫

⎪ ⎪

⎪

⎪==== ⎪ ⎪

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

，

它是对称矩阵，则二次型可表示为12

(,,)T n f x x x X AX =，称A 是二次型矩阵，二次型

经过可逆线性替换只含有平方项系数，即12

(,,)n g y y y 222

1122

d n n d y y d y =+++，标准

型所对应的矩阵是一个对角矩阵，如果标准型中的系数12,,

,n d d d 全为正数，则二次型