二次型及其应用
二次型的基本理论和应用
二次型的基本理论和应用二次型是高等数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
本文将针对二次型的基本理论和应用进行探讨。
一、二次型的定义二次型指的是$x_1,x_2,\cdots,x_n$的二次齐次多项式$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，即：$$Q(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j $$其中$a_{ij}$为常数项，且矩阵$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{n\times n}$称为二次型的矩阵。
二、二次型的矩阵二次型的矩阵有很多重要性质：1. 对称矩阵二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$是对称矩阵，即对于任意$i,j$都有$a_{ij}=a_{ji}$。
2. 正定矩阵若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x>0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为正定矩阵。
若$\forall x \neq 0$，都有$x^T\boldsymbol{A}x\geq 0$，则称矩阵$\boldsymbol{A}$为半正定矩阵。
正定矩阵可用来定义内积、距离和角度等概念，具有广泛的应用。
3. 特征值和特征向量二次型的矩阵$\boldsymbol{A}$存在$n$个特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$，并且存在对应于每个特征值的特征向量$\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n$，满足：$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_i=\lambda_i\boldsymbol{x}_i$$其中，若$\lambda_i>0$，则$\boldsymbol{x}_i$为正特征向量；若$\lambda_i=0$，则$\boldsymbol{x}_i$为零特征向量；若$\lambda_i<0$，则$\boldsymbol{x}_i$为负特征向量。
二次型及其特征向量的应用
二次型及其特征向量的应用二次型作为高等数学中非常重要的一个概念，其在数学和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我将会介绍二次型的相关知识以及其在特征向量方面的应用，希望可以为读者提供一些关于该主题的基础认识。
一、二次型1.1 二次型的定义二次型指的是一个实数域或复数域内的向量空间V的一个关于向量的二次齐次多项式形式，即：$ Q(x) = x^{T}Ax $其中，A是该二次型的矩阵表达式，$x^{T}$表示其转置，而x 则是该向量空间V中的任意向量。
1.2 二次型的矩阵由于二次型的定义中与之相关的矩阵A是理解与计算二次型的关键，因此我们需要对该矩阵进行详细的介绍。
对于一个n元二次型而言，其矩阵A是一个$n \times n$的矩阵，其中第$(i,j)$项表示的是二次型的系数，即：$ A_{i,j} = \dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i}\partial x_{j}})+\dfrac{1}{2}(\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{j}\partial x_{i}}) $其中，$\dfrac{\partial^{2}Q}{\partial x_{i} \partial x_{j}}$是对该二次型进行求导的结果。
1.3 二次型的分类二次型可以分为正定、负定、不定和半定四种类型。
当该二次型对于V中任意非零向量的取值均为正数时，我们将其称之为正定二次型；反之，若其对于V中任意非零向量的取值均为负数，则为负定二次型。
而若其既可以取正数也可以取负数，则为不定二次型。
若该二次型仅针对于某些特定域中的非零向量的取值均为非负数或非正数，则为半定二次型。
1.4 二次型的规范形对于二次型而言，其规范形是它的一个矩阵形式，该矩阵表示为$diag(\lambda_{1}, \lambda_{2},\cdots,\lambda_{r}, 0, \cdots, 0)$。
二次型在经济管理中的应用简介
二次型在经济管理中的应用简介一、引言二次型是高等数学中的一个重要概念，其在经济管理中有着广泛的应用。
本文将从二次型的定义、性质及应用方面进行详细介绍。
二、二次型的定义及性质1. 二次型的定义二次型是指具有形如 $Q(x)=x^T A x$ 的函数，其中 $x$ 是 $n$ 维列向量，$A$ 是 $n \times n$ 的实对称矩阵。
2. 二次型的性质（1）对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)>0$ 或 $Q(x)<0$ 或$Q(x)=0$。
（2）若矩阵 $A$ 正定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)>0$。
（3）若矩阵 $A$ 半正定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)\geqslant 0$。
（4）若矩阵 $A$ 半负定，则对于任意非零向量 $x$，有 $Q(x)\leqslant 0$。
三、经济管理中的应用1. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的回归分析方法，在经济管理中广泛应用。
最小二乘法可以转化为求解一个二次型的最小值问题，即$\min\limits_{\beta} \sum_{i=1}^{n}(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^{p}\beta_j x_{ij})^2$，其中 $y_i$ 是因变量，$x_{ij}$ 是自变量，$\beta_j$ 是回归系数。
将其转化为矩阵形式为$\min\limits_{\beta} (Y-X\beta)^T(Y-X\beta)$，其中$Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)^T$，$X=\begin{pmatrix} 1 & x_{11} & \cdots & x_{1p}\\ 1 & x_{21} & \cdots & x_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & x_{n1} & \cdots & x_{np}\\\end{pmatrix}$。
二次型化为标准型的方法及其应用
二次型化为标准型的方法及其应用二次型是高中数学中的一个重要概念，它在代数学、线性代数以及物理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍二次型的基本概念，探讨将二次型化为标准型的方法，并讨论其在实际问题中的应用。
一、二次型的基本概念二次型是指多元二次方程的一种特殊形式。
具体而言，给定n个变量$x_1, x_2, ..., x_n$以及实数系数$a_{ij}$，则形如$Q(x_1, x_2, ..., x_n) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$的函数称为二次型。
二次型的矩阵形式可以表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，其中$\boldsymbol{x}$是一个$n$维列向量，$\boldsymbol{A}$是一个$n\times n$的实对称矩阵。
二、二次型的标准型将二次型化为标准型是研究二次型性质的重要一步。
标准型是指一个二次型经过线性变换后的简化形式，其中只含有平方项，不含交叉项。
二次型化为标准型的方法主要有以下两种：1. 特征值法利用矩阵的特征值和特征向量的性质，可以将二次型对应的矩阵对角化，从而达到化简的目的。
具体而言，设$\boldsymbol{A}$是一个实对称矩阵，其特征值和特征向量分别为$\lambda_1, \lambda_2, ...,\lambda_n$和$\boldsymbol{P}_1, \boldsymbol{P}_2, ...,\boldsymbol{P}_n$，满足$\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}_i=\lambda_i\boldsymbol{P}_i$，则对应的二次型可以通过线性变换$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^T\boldsymbol{x}$转化为标准型$Q(\boldsymbol{y})=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+...+\lambda_ny_n ^2$。
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二次型引言二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数、微分方程、优化问题等领域都有广泛的应用。
本文将介绍二次型的定义、性质和常见应用，并且给出一些例题以帮助读者更好地理解和应用二次型。
一、二次型的定义1.1 二次型的概念在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，其形式可表示为：Q(x) = x^T·A·x其中，x = (x1, x2, ..., xn)为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
1.2 二次型的矩阵表示对于一个二次型Q(x)，其矩阵表示为A = (aij)，其中aij表示二次型中xixj的系数，即Q(x)中二次项的系数。
1.3 二次型的基本性质二次型具有以下基本性质：（1）二次型的值域对于任意非零向量x，Q(x) = x^T·A·x > 0，则称Q(x)为正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x < 0，则称Q(x)为负定二次型；若Q(x) = x^T·A·x >= 0，则称Q(x)为半正定二次型；若Q(x) = x^T·A·x <= 0，则称Q(x)为半负定二次型；若存在一组非零向量使得Q(x) = x^T·A·x既大于0又小于0，则称Q(x)为不定二次型。
（2）二次型的规范形式通过合适的变量变换，可以将任意二次型Q(x)化为其规范形式，即Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λny^n^2，其中λi为实数（i = 1, 2, ..., n）。
（3）二次型的秩二次型的秩等于其非零特征值的个数。
如果二次型的秩为k，则存在可逆矩阵P，使得P^T·AP = D，其中D为对角矩阵，D的前k 个非零元素为二次型的非零特征值。
二、二次型的应用2.1 矩阵的正定性判定二次型的正定性与实对称矩阵的正定性等价。
数学中的二次型和正交矩阵的应用
数学中的二次型和正交矩阵的应用数学作为一门抽象的学科，涉及到各种各样的数学概念和数学工具。
其中，二次型和正交矩阵在数学中具有很重要的作用，可以应用于各种各样的问题中。
一、二次型二次型是指形如 $q(x) = x^TAx$ 的二次多项式，其中 $A$ 是一个 $n \times n$ 的实数矩阵，$x$ 是一个 $n$ 维实向量。
二次型在各种领域中都有广泛应用，例如在物理学中，二次型被用于描述能量函数和拉格朗日方程；在经济学中，二次型被用于描述效用函数和收益函数。
在矩阵理论中，二次型的概念很重要。
它可以用来描述和分析矩阵的性质，例如矩阵的正定性、半正定性和负定性等。
当二次型 $q(x)$ 是正定的时，表示 $A$ 是正定的。
当二次型 $q(x)$ 是半正定的时，表示 $A$ 是半正定的。
当二次型 $q(x)$ 是负定的时，表示 $A$ 是负定的。
这些性质在数学和物理中都有很多应用。
二、正交矩阵正交矩阵是指一个 $n \times n$ 的实数矩阵 $Q$，满足$Q^TQ=I$，其中 $Q^T$ 表示 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 表示 $n$ 维单位矩阵。
正交矩阵被用于描述线性变换，它可以将一个向量从一个余弦系转化成另一个余弦系中。
例如，在三维空间中，我们可以将一个坐标系转换为另一个坐标系中，通过引入一个正交矩阵，从而将向量在不同坐标系中的表示互相转换。
这种转换在计算机图形学中非常重要，可以用来进行三维旋转和平移等操作。
正交矩阵还有一个非常重要的性质，就是它保持向量的长度和角度不变。
也就是说，如果一个向量在一个正交矩阵的作用下变换为另一个向量，那么这两个向量之间的长度和角度是不变的。
这个性质在很多领域中都有应用，例如在图像处理中，我们可以用正交矩阵来描述图像的旋转和平移操作，从而实现图像的变形和缩放。
三、应用实例二次型和正交矩阵在各种领域中都有广泛的应用。
例如，在量子力学中，二次型被用于描述自由粒子的能量函数和哈密顿量；在统计学中，二次型被用于描述方差和协方差矩阵；在机器学习中，正交矩阵被用于描述特征之间的相关性和协方差矩阵，从而可以进行特征选择和降维。
二次型的标准型及其应用
二次型的标准型及其应用二次型在数学中具有重要的地位和广泛的应用。
在二次型的研究过程中，标准型是一个关键的概念。
本文将介绍二次型的标准型及其应用，并对其进行深入的探讨。
一、二次型的定义和性质首先，我们来定义什么是二次型。
二次型是指一个关于n个变量x1, x2, ..., xn的二次多项式，可以表示为Q(x) = x^TAX，其中x为n维列向量，A为一个n×n的实对称矩阵。
在这个定义下，二次型有以下几个性质：1. 对称性：二次型与矩阵A的选择无关，只与矩阵A的对称性有关。
也就是说，如果存在一个实对称矩阵B，使得B = P^TAP，其中P 为一个非奇异矩阵，那么二次型Q(x) = x^TAX与Q(x) = x^T(Bx)是等价的。
2. 可负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX<0，那么称二次型Q(x)为负定的。
3. 可正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX>0，那么称二次型Q(x)为正定的。
4. 可半负定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≤0，那么称二次型Q(x)为半负定的。
5. 可半正定性：如果对于任意的非零向量x，有x^TAX≥0，那么称二次型Q(x)为半正定的。
6. 不定性：如果二次型既不是正定的也不是负定的，则称其为不定的。
二、二次型的标准型在研究和应用二次型时，将其转化为标准型是一个常见的方法。
标准型是指经过合适的线性变换将原二次型化为一个特殊的形式，使得计算和分析更加简洁明确。
对于任意的实对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵P，使得PTAP = D，其中D为对角矩阵，其对角线上的元素为二次型的特征值。
设x = Py，则有Q(x) = x^TAx = (Py)^T A (Py) =y^TP^TAPy = y^TDy。
标准型的存在可以简化二次型的分析和计算过程，使得我们能够更加直观地理解和处理二次型的相关问题。
三、二次型的应用二次型作为一种重要的数学工具，在各个领域都有广泛的应用。
二次型的基本概念及其在代数中的应用
二次型的基本概念及其在代数中的应用二次型是代数中的重要概念之一。
其定义为一个关于一组变量的二次多项式，这个多项式的系数称为二次型的系数。
在这篇文章中，我们将深入探讨二次型的基本概念以及它在代数中的应用。
一、二次型的基本概念二次型的定义我们已经了解了，接下来我们来看一些二次型的基本概念。
1. 正定、负定、不定如果一个二次型在它的所有自变量非零的取值下都大于0，那么这个二次型就是正定的；如果在所有自变量非零的取值下都小于0，那么这个二次型就是负定的；如果既有正的取值，又有负的取值，则这个二次型就是不定的。
2. 极化恒等式极化恒等式是二次型理论中的一个重要结论。
它表示任何一个二次型都可以由一个对称矩阵表示，并且对称矩阵的元素可以由二次型的系数计算得出。
同时，任何对称矩阵所表示的二次型都可以通过极化恒等式得到。
3. 规范形采用正交变换可以将任何二次型转化为一个规范形的二次型，使得这个二次型只包含主对角线上的非零项。
这个规范形可以通过矩阵的相似变换得到。
二、二次型在代数中的应用二次型作为一种数学结构，在代数中有着广泛的应用。
下面我们来分别介绍它在线性代数、微积分、数学物理中的应用。
1. 线性代数在线性代数中，二次型可以用来描述向量空间的内积关系。
比如，我们可以通过矩阵对称性证明对称矩阵所表示的二次型是正定、负定或不定的。
此外，我们还可以使用矩阵的特征值和特征向量来判断二次型的正定性。
2. 微积分在微积分中，二次型可以用来描述二元函数的曲面。
具体而言，我们可以通过二次型的规范形（主轴坐标系）来得到曲面的方程。
这个方程可以展示曲面的主要特征，比如正定二次型的曲面是一个椭球面。
3. 数学物理在数学物理学中，二次型可以用来描述物理系统的能量关系。
比如，我们可以将一个物理系统的能量构成一个二次型，然后通过对称矩阵和规范形来判断系统的状态。
此外，通过变换和对称性，我们还可以得出系统的简化模型和本征频率。
三、总结综上所述，二次型是代数中的重要概念之一。
二次型的应用与思想方法
二次型的应用与思想方法二次型在数学和工程领域具有广泛的应用，其思想方法是通过研究二次型的性质和特征来解决实际问题。
首先，二次型在数学领域中有着重要的应用。
在线性代数中，二次型是由平方项和交叉项组成的多项式，一般形式为Q(x)=x^TAX，其中x是n维向量，A是一个n×n对称矩阵。
研究二次型的主要目的是通过矩阵的特征值和特征向量，对二次型进行分析、求最值和优化等问题。
其次，二次型在工程领域中也有广泛的应用。
例如在机械工程中，二次型可以用来描述物体的动能和势能。
在电气工程中，二次型可以用来描述电磁场的能量分布和传输。
在控制工程中，二次型可以用来描述系统的能量耗散和稳定性。
在计算机科学中，二次型可以用来描述图像、音频和视频等信号的特征。
在经济学中，二次型可以用来描述供给与需求的关系和市场均衡等。
这些应用说明了二次型在工程实践中的重要性和实用性。
在解决实际问题时，二次型的思想方法是通过对二次型的各种性质和特征进行分析和运用。
首先，通过求解二次型的标准型，可以简化二次型的形式，使得问题更加易于处理。
其次，通过研究二次型矩阵的特征值和特征向量，可以得到关于二次型的重要信息，如最值、正定性、正交性等。
特别是在优化问题中，二次型的正定性是一个重要的判别条件，可以保证优化问题的解的存在性和唯一性。
最后，通过构造二次型的等价变换，可以得到等价的二次型，从而将复杂的问题转化为简单的问题。
总之，二次型在数学和工程领域中具有广泛的应用和重要性。
通过研究二次型的性质和特征，可以解决实际问题，提供了一种有效的思想方法。
这些应用和思想方法的研究，不仅推动了数学和工程领域的发展，也为实际问题的解决提供了有力的工具和理论基础。
二次型在经济管理中的应用
二次型在经济管理中的应用在经济管理领域，二次型是一种重要的数学工具，它在各个方面都有广泛的应用。
二次型的应用可以帮助经济管理者更好地理解和解决各种经济问题，提高决策的科学性和效率。
本文将从多个角度介绍二次型在经济管理中的应用。
二次型在经济管理中的一个重要应用是在风险评估和投资组合优化中。
通过构建合适的二次型模型，可以对不同的投资组合进行风险评估和优化。
二次型模型可以帮助经济管理者确定最佳的投资组合，以最小化风险或最大化收益。
这对于实现投资组合的有效分散和风险控制非常重要。
二次型在供应链管理中也有广泛的应用。
供应链管理是现代企业管理中的一个重要领域，涉及到多个环节和多个参与方。
通过建立适当的二次型模型，可以对供应链中的各个环节进行优化和协调。
例如，在生产计划中，可以利用二次型模型来确定最佳的生产批量和生产周期，以实现生产成本的最小化。
在库存管理中，可以利用二次型模型来确定最佳的库存水平和再订货点，以实现库存成本的最小化。
二次型还可以应用于市场营销中的定价策略和销售预测。
通过建立适当的二次型模型，可以对市场需求和竞争环境进行分析和预测，从而制定合理的定价策略。
同时，二次型模型还可以帮助经济管理者确定最佳的销售预测方法，以准确预测市场需求，为决策提供依据。
二次型还可以应用于资源配置和效率评估中。
通过建立适当的二次型模型，可以对资源的配置和利用进行优化和评估。
例如，在生产资源的配置中，可以利用二次型模型来确定最佳的资源分配方案，以实现产出的最大化。
在效率评估中，可以利用二次型模型来衡量不同决策方案的效率，并进行比较和选择。
二次型在经济管理中具有广泛的应用。
通过合理应用二次型模型，可以帮助经济管理者更好地理解和解决各种经济问题，提高决策的科学性和效率。
然而，二次型的应用需要充分考虑实际情况和数据的准确性，同时还需要结合其他分析方法和工具进行综合分析和判断。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用二次型在经济管理中的作用，以促进经济管理的发展和进步。
二次型及其应用
滨江学院毕业论文题目二次型及其应用院系滨江学院理学系专业信息与计算科学学生姓名刘峰学号***********指导教师吴亚娟职称副教授二Ｏ一四年五月十日目录引言 (1)1、二次型的相关定义和定理 (1)1.1二次型的定义 (1)2、二次型在初等数学中的应用 (2)2.1不等式证明 (2)2.2多项式的因式分解 (4)2.3判断二次曲线的形状 (6)3、二次型在几何方面的应用 (7)3.1求平面线图形的面积 (8)4、多元函数极值方面的应用 (9)4.1条件极值 (9)4.2无条件极值 (10)5、求多元函数积分方面的应用 (11)5.1二次型的正交变换 (11)5.1重积分的计算 (12)5.2求曲面积分 (13)6、结束语 (14)7、参考文献 (14)二次型及其应用刘峰南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。
关键字：极值；几何 ；重积分；引 言二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。
目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。
本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。
1、二次型的相关定义和定理1．1、二次型的概念和定义在《高等代数》中涉及的一些相关理论设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：()212111121213131122222323222,,,22222n n nn n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++=+++++=+11n niji j i j ax x ===∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型,在不影响混淆时简称二次型。
二次型的标准形及其在几何中的应用
二次型的标准形及其在几何中的应用
二次型的标准形是数学领域中的重要概念，其在几何中也有广泛的应用。
一、二次型的标准形
二次型的标准形指的是可以用下面的式子表示的函数：
f(x)＝ax2 ＋ bx ＋ c
其中a、b、c是常数，常常取a ≠ 0。
当a、b、c全都为0时，这就是最简单的函数f(x)＝0，叫做二次型的常数形式。
此外，一般地，二次型标准形也包括以下式子形式：
f(x)＝ax2＋ bx＋ c
f(x)＝x2＋ bx＋ c
f(x)＝ ax2＋ bx
f(x)＝ax2＋ c
f(x)＝ax2
二次型的标准形的概念已经出现在17世纪，得到了开普勒、斯特林等科学家的研究，并且在数学方面有着非常广泛的应用，其本质就是一个函数，可以用来求解一些数学问题。
二、二次型的标准形在几何中的应用
二次型标准形在几何中也有着广泛的应用。
如在绘图学中，可以使用二次型的标准形来描述曲线；另外在几何学中，二次曲线可以通过一些几何性质，如对称和对称轴等来刻画，从而使几何图像的描述更加清楚。
此外，在计算机图形学中，二次曲线还可以用来描述图形图像，用来识别和操作图像等，它可以帮助我们更加精细地描述图形以及形成平滑的曲线。
三、结论
从上述内容可以看出，二次型的标准形是数学领域中的重要概念，它有着广泛的应用，并且在几何学和计算机图形学中也有重要的地位。
它不仅可以帮助我们更准确地描述图形，而且可以求解一些典型的数学问题。
二次型的性质及应用
师学院本科毕业论文题目二次型的正定性及其应用学生王倩柳指导教师王军讲师年级2012级数学专接本专业数学与应用数学系别数学与信息科学系师学院数学与信息科学系2014 年5月重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师王军的指导下独立撰写完成的。
如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。
特此重声明。
毕业论文（设计）作者（签名）：2014 年月日目录摘要 (1)前言 (1)1 二次型的历史及概念 (2)1.1二次型的历史 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (2)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性判别方法及其性质 (3)3 二次型的应用 (6)3.1 多元函数极值 (6)3.2 证明不等式 (12)3.3 因式分解 ............................................... (错误!未定义书签。
)3.4 二次曲线 (13)结论 (14)参考文献 (15)致 (14)二次型的正定性及其应用学生：王倩柳指导老师：王军摘要：二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。
在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中, 用初等数学方法处理会相当麻烦, 而如果利用高等代数中二次型的性质去解决, 就会使很多问题化繁为简, 由难转易。
因此, 讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用, 是很有意义的。
关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrix and itsapplicationsStudent: Wang qianliuInstructor: Zhang wangjunAbstract: Quadratic form is one of its main content in Higher Algebra, Quadratic form theory is widely used in the middle school mathematics-the proof of inequality, extremum and the factorization problem, It is too cumbersome often using elementary mathematics method, but if solve them using of advanced algebra quadratic form properties, will make a lot of problems change numerous for brief, from difficult to easy. For our students, more should learn to use the knowledge of higher mathematics to guide or understanding of elementary mathematics knowledge content, a deeper understanding of the essence of higher algebra. This paper will discuss quadratic form theory to prove inequality, polynomial factorization, calculation of elliptical area, judge two the shape of the curve and actual examples of application.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型是高等代数中的主要容之一, 其理论的应用非常广泛。
二次型的应用与思想方法
第一章绪论二次型是高等代数的重要内容之一,二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究.二次型理论与域的特征有关,现在二次型的理论不仅在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中常常用到,二次型应用的领域十分广泛.例如在解决极值问题方面的应用,在解决多项式根的有关问题的应用,在解决二次曲线方程和二次曲面方程中的应用等等.基于二次型的重要性和广泛性,本文开头总结了二次型的定义及相关知识,将二次型的定义方法、二次型的矩阵表示作了系统介绍,其中在实二次型中占有特殊的地位的正定二次型是学习的重点,理解定义并熟练掌握常用的判别条件,为应用正定二次型做好知识的储备,也为下文研究其数学思想奠定了知识储备.本文在第三章重点研究了二次型中的一些重要的数学思想与方法,数学思想和数学方法是从数学知识提炼出的数学学科的精髓,是将数学知识转化为数学能力的桥梁.从知识中总结思想方法,又将思想方法应用到实践中,这是学习数学的本质.本文重点分析总结了二次型在二次曲面和二次曲线中的应用、二次型中的可逆线性变换、将二次型化为标准型等方面与数形结合思想方法、转化的思想方法、分类讨论的思想方法、分解的思想方法的相互渗透.下面将通过具体定义与例题相结合的方式阐述出二次型所渗透的数学思想与方法.第二章 二次型的基本知识2.1 二次型的定义在解析几何中,我们看到,当坐标原点与中心重合时,一个有心二次曲线的一般方程式222ax bxy cy f ++=. （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质,我们可以选择适当的角度θ,作转轴（反时针方向转轴）cos sin sin cos .x x θy θ,y x θy θ''=-⎧⎨''=+⎩ (2)把方程(1)化成标准方程.在二次曲面的研究中也有类似的情况.(1)的左端是一个二次齐次多项式.从代数的观点看,所谓化标准方程就是用变量的线性替换(2)化简一个二次齐次多项式,使它只含有平方项.二次齐次多项式不但在几何上出现,而且在数学的其他分支及物理、力学也常常会碰到.设P 是一数域,一个系数在数域P 中的n y y y ,,,21 的二次齐次多项式2121111212112222222()222n n n n n nn nf x ,x ,,x a x a x x a x x a x a x x a x .=++++++++ （3）称为数域P 上的一个n 元二次型,或者,在不致引起混淆时简称二次型.例如:2221121322333243x x x x x x x x x +++++.就是有理数域上的一个三元二次型.2.2 二次型的矩阵表示首先我们引入定义： 定义2.1 设1212;n n x ,x ,,x y ,y ,,y 是两组文字,系数在数域P 中的一组关系1111122122112222112.n n n n n n n n nn n x c y c y c y ,x c y c y c y ,x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ (4)称为由12,,,n x x x 到12,,,n y y y 的一个线性替换,如果系数行列式0ij c ≠,那么线性替换(4)就称为非退化的.不难看出,如果把(4)代入(5),那么得到12,,,n y y y 的多项式仍是二次齐次的.换句话说,线性替换把二次型换成二次型.在讨论二次型时,矩阵就是一个有力的工具,因此我们先把二次型与线性替换用矩阵来表示.令ij ji a a =, i j <.由于i j j i x x x x =,所以二次型(3)可以写成212111121211222222211()222.n n n n n nn nnnij i j i j f x ,x ,,x a x a x x a x x a x a x x a x a x x ===++++++++=∑∑ (5)把(5)的系数排成一个n n ⨯矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦它就称为二次型(5)的矩阵.因为ij ji a a =,,1,,i j n =,所以A A '=.我们把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,而此二次型的矩阵都是对称的.2.3 二次型的标准形定义2.2 如果二次型只含有平方项,即2121(,,,)nn i i i f x x x d x ==∑,那么它称为标准二次型,简称为标准形.显然,标准二次型与对角阵对应,对每个实对称矩阵A ,存在正交阵T 使1T T AT T AT -=是对角阵.因此对于实二次型()T f X T AT =,通过正交的变量替换21()()()nTTTTi i I X TY,f X X AX TY A TY Y T ATY y λ======∑,其中12n λ,λ,,λ是实对称矩阵A 的全部特征值 ,T 是正交阵使121T n λλT AT T AT λ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,这就证明了. 定理2.1 对任意的实二次型()T f X X AX =,其中()ij A a =是n 阶实对称矩阵,一定可以经过正交的变量替换TY X =变成标准形2221122(),n n g Y λy λy λy =+++ 其中,系数12n λ,λ,,λ是实对称矩阵A 的全部特征值.2.4 正定二次型2.4.1正定二次型定义若对任何非零向量x 实二次型,如果对任何0≠x 都有()0>x f (显然0)0(=f ),则称f 为正定二次型,并称矩阵A 是正定的,记之0>A .2.4.2判别方法正定二次型的判别方法:1）二次型标准形中n 个系数都大于零,则其为正定； 2）二次型的对称矩阵A 的n 个特征值大于零,则其为正定；3）对称矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零,则其为正定. 注：设A 为n 阶方阵,则位于A 的左上角的1阶,2阶,...,n 阶子式, 即：称为A 的各阶顺序主子式.例2.4.1 判别正定二次型考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+,问λ为何值时,f 为正定二次型.解：利用顺序主子式来判别,二次型f 的矩阵为1142124A λλ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,A 的顺序主子式为第三章 二次型的应用二次型的研究起源于解析几何中二次曲线和二次曲面的理论,二次型的理论在数学和物理的许多分支都有着广泛的应用.用二次型来解决初等数学、微积分中的一些问题,有时候会起到意想不到的效果.二次型在求多元函数的极值、最值、证明不等式、多项式因式分解及判断二次曲线的形状等方面的应用.3.1求多元函数的极值二次型在多元函数的极值问题中有重要应用,下面利用二次型的矩阵性质(正定、负定、不定)推断出多元函数在稳定点处有无极值,把多元函数求极值问题化为一个二次型问题.在三元及三元以上多元函数求极值时,这个方法比一般工科高等代数教材中介绍的求极值方法还好,而且能够确定是极大值还是极小值.定义3.1 设()()12,,,n F X F x x x =⋅⋅⋅有3阶连续偏导数,()12,,,n ∂=∂∂⋅⋅⋅∂.如果()F X 在∂处的一阶偏导数全为零,则称∂是()F X 的一个稳定点.定义3.2 设α是()F X 的一个稳定点,构造一个n 级矩阵H 如下:()()x xi jH H F α=,称H 是函数()F X 在α处的何塞（Hesse ）矩阵. 引理 设α是()F X 的一个稳定点,H 是函数()F X 在α处的何塞（Hesse ）矩阵,有1）如果H 是正定的,则()F X 在α处达到极小值; 2) 如果H 是负定的,则()F X 在α处达到极大值;3）如果H 是不定的,则()F X 在α处既不是极大值,也不是极小值.注：如果H 是不定的（半正定、半负定）,则()F X 在α处可能有极值,也可能无极值.例3.1.1 函数()2221231231223123,,333228483f x x x x x x x x x x x x x =+++++-+-,求该函数的极值.解:令12121323236280622406280fx x x f x x x x fx x x ⎧∂=++=⎪∂⎪⎪∂=++-=⎨∂⎪⎪∂=++=⎪∂⎩,解此方程组得驻点()2,2,2--.在点()2,2,2--处,2216f x ∂=∂, 2122f x x ∂=∂∂,2130f x x ∂=∂∂,2212f x x ∂=∂∂,2226fx ∂=∂,2232f x x ∂=∂∂,2310f x x ∂=∂∂,2322f x x ∂=∂∂,2236fx ∂=∂,f 在()2,2,2--处Hesse 矩阵是 620262026H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其各阶顺序主子式依次为;660=>;6232026=>; 6202621680026=>. H 正定,故由引理,()123,,f x x x 在点()2,2,2--处取得极小值,极小值为()2,2,223f --=-.3.2证明不等式实对称矩阵A 称为正定矩阵,是指如果实二次型XAX '正定(其中X =(12,,?,n x x x ⋯)).而二次型'XAX 正定是指对任意0X =(00012,,?,n x x x ⋯)（其中00012,,?,n x x x ⋯不全为零）恒有'00X AX >0,所以可用实对称矩阵中正定矩阵来证明不等式.例3.2.1 求证：22293242x y z yz xy xz ++>--（其中,,x y z 是不全为零的实3.3求多元函数的最值下面利用二次型的矩阵的特征值求多元函数的最值,这个方法很简洁.引理 设n 元二次型()'f X XAX =（其中（12,,?,n X x x x =⋯））,则f 在条件211ni i x ==∑下的最大（小）值恰为矩阵A 的最大（小）特征值.例 3.3.1 设()222,,2222f x y z x y z xz yz =++++,且满足2221x y z ++=,求f 的最值.解:二次型f 的矩阵是201021111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦则特征多项式为()()201021230111I A λλλλλλλ---=--=--=---.特征值为1230,2,3λλλ===.由引理,f 在条件2221x y z ++=下的最大值为3,最小值为0.3.4多项式因式分解引理 一个实二次型可以分解为两个实系数的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0,或秩等于1.该引理为利用二次型进行二次多项式因式分解提供了理论依据,同时给出了判断能否分解的方法,并且可以很快得到分解式.例3.4.1 试判断下列多项式在R 上能否分解.若能,分解之.1)21222112(,)22421f x x x x x x x =-+++; 2) 221212212(,)3241f x x x x x x x =--+-+ 解:1)令()2212322313123,,2242g x x x x x x x x x x x =-+++,则()1212,(,,1)f x x g x x =.下面考虑()123,,g x x x 的秩和符号差,对()123,,g x x x 作非退化线性替换：12311232333272x x x y x x x y y x ++⎧=⎪⎪-++⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩ 即1231123233310242y y y x y y y x x y -+⎧=⎪⎪+-⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩有()222123123,,13g x x x y y y =-+.可见()123,,g x x x 的秩为3.由引理知()123,,g x x x 不能分解,从而()1212,(,,1)f x x g x x =也不能分解.2)令()2221231223123,,324g x x x x x x x x x x =--+-+,则()1212,(,,1)f x x g x x =.下面考虑()123,,g x x x 的秩和符号差,对()123,,g x x x 作非退化线性替换：112223332y x x y x x y x =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 即11232233322x y y y x y y x y=-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 有()2212321,,g x x x y y =-,从而()22121221,(,,1)f x x g x x y y ==-.可见()12,f x x 的秩为2符号差为0.由引理知, 可以分解,且()()()()()2212122121211212,(,,1)131f x x g x x y y y y y y x x x x ==-=-+=--++3.5 判断二次曲线的形状事实上,化简二次曲线并判断曲线类型所用的坐标变换就是二次型中的非退 化线性替换,因此可以利用二次型来判断二次曲线的形状.例3.5.1 判断二次曲线2242220x y xy x +--+=的形状.解:()22,4222f x y x y xy x =+--+,令()222,,4222g x y z x y z xy xz =+--+,则()(),,,1f x y g x y =.对(),,g x y z 实施非退化线性替换：1113x x y z z y y z z=-+⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即111111433x x y z z y y z z ⎧=+-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩则()22211110,,33g x y z x y z =+-,从而()()221110,,,1303f x yg x y x y ==+-=.即22113911010x y +=,故曲线2242220x y xy x +--+=表示椭圆. 上述求多元函数极值、最值的方法,是线性代数中“二次型”的知识在微积分学中的应用,而证明不等式、因式分解和判断曲线的形状则是二次型在中学数学中的应用,展现了数学各分支的联系和发展.第四章 二次型中的数学思想方法数学思想方法是数学的灵魂,纵观数学发展史,我们不难发现,每一项重大成果的取得,往往与思想方法的创新有着密切的关系,如果只是掌握数学知识,则难以发挥数学的真正作用,研究数学思想对于掌握数学的知识规律,促进数学学科的发展,开展数学教育,培养数学能力,都有积极的作用.二次型是高等代数中重要组成部分,也是主要研究对象,其中包含着丰富的数学思想方法.在了解了二次型的有关定义及应用后,总结并灵魂运用二次型中的数学思想方法显得极为重要.以下是二次型中几种常见的数学思想方法.4.1 二次型中转化的思想方法二次型中包含着丰富的转化思想方法,根据二次型与对称矩阵之间的一一对应关系:1112121222121112(),n n nn n ij i j i j n n nn a a a a a a A f x ,x ,x a x x a a a ==⎡⎤⎢⎥⎢⎥=↔=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑在化简二次型时,可以转化成矩阵,利用矩阵的初等变换化简成为合同对角形,最好化成规范形,再利用反演的思想对应回到二次型即可.于是二次型问题都可以转化成相应的对阵矩阵问题,如果相应的对称矩阵问题可以解决,则原二次型问题就顺利解决.特别地,正定二次型可以转化成正定矩阵,可以利用矩阵的正定性来讨论二次型的正定性.正定性的若干等价条件如下：A 是正定矩阵.A 的顺序主子式全部大于零. A 的所有主子式全部大于零. A 的特征值 全部大于零. A 合同于单位矩阵. A 的正惯性指数等于阶数. 存在非退化矩阵P ,使得A P P '=.存在非退化上、下三角矩阵Q ,使得A Q Q '=.A 的所有i 阶主子式之和全部大于零.例4.1 将下列二次型化为规范形,并求出所用的可逆线性变换:122331142434x x x x x x x x x x x x +++++.解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000010011211112111210021100004100001100001000010000102121121021121210211121110000100001000010212121210212121210212121210/////////////////////////I A ，//////////-/⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→320003110031111311111000010000100001100021100211211211211430000100004100001令，////P ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=32000311003111131111再令PY X =,则得规范型为： 22221234y y y y ---. 这里的P 就是所求的可逆线性变换.4.2 二次型中分类讨论的思想方法分类讨论的思想,又称逻辑划分的思想,是数学中的一种常用的重要思想.利用分类讨论的思想处理数学问题可以使复杂的问题理出一条清晰、完整、严密的思路,起到化整为零,化繁为简、化难为易,各个击破、分为治之的作用.因此分类讨论的思想是一种有特殊到一般的思想方法,既是一种逻辑方法,也是一种数学思想.分类讨论的思想的核心和关键是分类,因此利用分类讨论的思想解决数学问题时,分类标准必须要科学、统一,保证分类时不重复、不遗漏.分类讨论思想的主要步骤是：① 分析题目条件,明确讨论的对象,确定对象的群体. ② 确定分类标准,正确分类（有时也会遇到二级分类）. ③ 逐类讨论、求解. ④ 归纳小结得出结论.分类讨论思想不但在解题中应用比较广泛,而且在理论层面上讨论中也有广泛的应用.需要运用分类讨论的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为： ① 涉及数学概念是分类定义的.②运用的的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的. ③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能.④数学问题中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同结果的.二次型中包含着丰富的分类讨论的思想方法.具体来讲,二次型按合同分类,合同关系是一种等价（满足反身性、对称性、传递性）.任何二次型都可以经过非退化线性替换化为标准形,进而化成规范形.规范形唯一,故可以按照规范形分类,两二次型能够相互转化的充要条件是它们的秩相同；实二次型合同的充要条件是它们的秩、正惯性指数相同.而标准形不唯一,故不可以按照标准型分类.复二次型的合同分类：1+n 类.实二次型的合同分类：正定矩阵、负定矩阵,半正定矩阵,半负定矩阵、不定矩阵.总共(1)(2)2n n ++类.本文主要研究实二次型中分类的思想.例4.2.1 若A 是实对称矩阵半正定,则*A 也半正定. 证明:由A 对称可得*A 也对称.由A 半正定知秩n A ≤. 当秩n A =时,即A 正定,*A 也正定.当秩n A <时,即A 奇异,则*1A ≤,*A 的特征多项式是：()*1111121112n n n nn nn |λE A |λ(A A A )λλA A A λ---=-+++=-+++⎡⎤⎣⎦.若1112()0nn A A A +++=,则*A 的特征值有零.若11121()0n A A A +++≠,则*A 的特征值只有一个是11121()n A A A +++,其余都是零.因此*A 半正定. 例4.2.2 设()1210n ααα,,α,c αα''=+>,求证：B E c αα'=+为正定矩阵.证明:二次型()()2X BX X E C ααX X X c αX '''''=+=+. 当0c ≥时,0X ∀≠都有0X BX '>,所以B 正定. 当0c <时, 0X ∀≠都有：()()()()()10X BX X X c αX X X c X X ααX X c αα''''''''=+≥+=+> 此时B 也正定.4.3 二次型中的分解的思想方法二次型中还包含着丰富的分解思想方法,以正定矩阵为例,便可看到二次型中包含的分解思想.设A 是正定矩阵,则：1) 存在非退化矩阵P ,使得:A P P '=. 2) 存在非退化上、下矩阵Q ,使得：A Q Q '=. 3) 存在正交向量组12n α,α,,α使得:1122n n A αααααα'''=+++.4）k Z +∀∈,使得K A 为正定矩阵.例4.3.1 一个秩为r 的二次型可以分解成r 个秩为1的二次型的和. 证明:设秩r A =,则存在非奇异矩阵Q ,使得：1122000rrr EA Q Q Q E Q Q E Q Q E Q ⎡⎤''''==+++⎢⎥⎣⎦,令12i ii A Q E Q,i ,,,n,'==使得：12r A A A A =+++,秩112i A ,i ,,,r ==.结论成立.例4.3.2 证明：秩为r 的二次型可以分解成为一个秩为t 的二次型与一个秩为k 的二次型之和,其中r t k =+,t ,k Z +∈.证明:设秩r A =,则存在非奇异矩阵Q ,使得：00000000000000rtk E E A Q Q Q Q Q E Q ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥'''==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦, 令000tE T Q Q ⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,00000000k K Q E Q ⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,使得：K T A +=, rank(T)t =,ta ()s S nk =,且有Z AZ Z TZ Z KZ '''=+.结论成立.例 4.3.3 证明：满秩实矩阵A 可以表示成为一个正定矩阵与一个正交矩阵之积,且表示法唯一.证明:由于A 满秩,则AA '正定,故存在正定矩阵B ,使得2AA B '=. 令1Q B A -=,有A BQ =,且()11121()QQ B AA B B B B E ----''''===,即Q 为正交矩阵.同理,由AA '正定,∃正定矩阵1B ,使得21A A B '=令,有11A Q B =111Q AB -=且1Q 为正定矩阵,即有11A BQ Q B ==故结论成立.下证唯一性,设若有CT BQ A ==,C 正定,T 正交,()()()()BQ BQ CT CT ''=于是有22B C =下证：C B =.由C B ,正定知存在正交矩阵T S ,有：121n λB S S λλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121n μμC T T μ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 不失一般性：10n λλ≥≥>,10n μμ≥≥>,于是：2122122n λλB Sλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2122122n μμS C T T μ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 它的特征值相同,即22i i λμ=,进而i i λμ=,12i ,,,n =.221122112222n n λμλμTS TS λμ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 令()1ij D TS d -==,有22ij j ij i d λd μ=,i ,12j ,,,n =,得()0ij d i j =≠由S ,T 为正交矩阵,得()112ij d i ,,,n =≠,即1TS E -=所以S T =,故C B =,进而T Q =.唯一性得证.4.4 二次型中构造的思想构造的思想方法在二次理论中有着广泛的应用,主要是借助已知条件,利用二次型与对称矩阵的性质,构造出符合条件的二次型或对称矩阵,从而最终得到解.例4.4.1 设A 正定,S 反对称,则0A S +>.证明:由A 正定知必有P ∃:0P ≠,使得P AP E '=,而P SP '为反对称矩阵,则∃正交矩阵Q ,使得:1100()00t ta a a Q P SP Q F a ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其特征根为:l ia ±和0,1,2,,l t =,(())Q P A S P Q E F ''+=+,两边取行列式得：22PQ A S P A S E F +=+=+ 22212(1)(1)(1)0n a a a =+++>.所以0A S +>.例4.4.2 如果A ,B 都是n 级正定矩阵,证明:A B +也是正定矩阵. 证明：因为A ,B 为正定矩阵,故X AX ',X BX '为正定二次型,于是()X A B X X AX X BX '''+=+也必为正定二次型,故A B +为正定矩阵.第五章总结本文主要是针对高等代数中二次型的基本定义及相关基础知识的详细讲解,而且总结分析了蕴含在二次型中的几种主要思想方法如二次型中的数形结合的思想方法、转化的思想方法、分解的思想方法、分类讨论的思想方法,并且通过精选例题的讲解会使读者理解的更加容易和深刻,以便大家更能很好的掌握这些思想方法.对于二次型中涉及的一些定义和定理也是非常重要的,灵活的理解定义和学会对相关定理推理对二次型的应用有着极其重要的作用.本文在二次型中的有些知识没有涉及,但是其重要性也是不容小觑的.相信未来人们不仅会在几何而且在数学的其他分支物理、力学、工程技术中也常常用到二次型.参考文献[1] 北京大学数学系. 高等代数(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[2] 张禾瑞、郝鈵新.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1993.[3] 同济大学数学系.线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007.[4] 卢刚,冯翠莲.线性代数[M].北京：北京大学出版社,2006.[5] 王萼芳.高等代数教程[M].北京:清华大学出版社,1997.[6] 蒋尔雄等.线性代数[M]. 人民教育出版社, 1989.[7] 姚慕生.高等代数[M].上海：复旦大学出版社,2002.[8] 吕风等编.高等数学在中学数学中的应用1000例[M].东北大学出版社.[9] 徐仲等编.《高等代数考研教案》[M].西安：西北工业大学出版社,2009.[10] 徐仲,陆全,张凯院.高等代数[M].西安：西北工业大学出版社,2004.3.[11] 陈凯等著.《线性代数及应用》.北京：水利电力出版社,1985.[12] 刘诗雄.高中数学竞赛辅导[M].西安:陕西师范大学出版社, 2006.[13] 陈志杰.高等代数与解析几何[M].高等教育出版社,施普林格出版,2000.[14] 高哲敏等.高等代数分析与研究[M].云南科技出版社,1998.[15] 熊廷煌.高等代数简明教程[M].湖北教育出版社,1987.[16] 蔡永裕等.高等代数学习指导[M].湘潭师院印刷厂,2000.[17] 廖军.分块矩阵求n阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校校报,2004.6.[18] 杨家骐等编.《高等代数在初等数学中的应用》[J].济南:山东教育出版社,1986.[19] 孙学波.《基于正定二次型的一个不等式及其证明》[J],鞍山科技大学学报,2004,27（4）：256-259[20] 屠伯埙,徐诚浩,王芬,高等代数[M].上海：上海科技出版社,1987.351～352.致谢在本次论文设计过程中,感谢我的学校,给了我学习的机会,在学习中,张艳伟老师从选题指导、论文框架到细节修改,都给予了细致的指导,提出了很多宝贵的意见与建议,老师以其严谨求实的治学态度、高度的敬业精神、兢兢业业、孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生重要影响.他渊博的知识、开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪.这篇论文是在老师的精心指导和大力支持下才完成的感谢所有授我以业的老师,没有这些年知识的积淀,我没有这么大的动力和信心完成这篇论文.感恩之余,诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正,使我及时完善论文的不足之处.谨以此致谢最后,我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅的各位老师表示衷心的感谢.。
不定二次型的判定方法及其应用
一、不定二次型的定义在数学中，二次型是一个包含二次项的多项式函数，可以表示为$$q(x) = x^T A x$$其中，$x$ 是 n 维向量，$A$ 是一个对称矩阵。
如果 $A$ 是正定矩阵，则称二次型 $q(x)$ 是正定的；如果 $A$ 是负定矩阵，则称二次型 $q(x)$ 是负定的；如果 $A$ 既有正特征值又有负特征值，则称二次型 $q(x)$ 是不定的。
二、不定二次型的判定方法不定二次型的判定方法可以通过以下步骤进行：1. 计算矩阵 $A$ 的特征值对称矩阵 $A$ 的特征值都是实数。
通过计算特征值可以判断二次型的正定、负定还是不定。
2. 利用正惯性指数和负惯性指数正惯性指数和负惯性指数是对称矩阵特有的概念，可以通过它们的差异来判断二次型的类型。
3. 应用Sylvester定理Sylvester定理是判断二次型正定、负定或不定的重要定理，通过计算矩阵的顺序主子式来进行判断。
三、不定二次型的应用不定二次型在数学和物理领域有着广泛的应用，具体包括：1. 优化问题在优化问题中，不定二次型可以用来表示目标函数的二次项，通过对不定二次型进行求导和求解优化问题。
2. 物理领域不定二次型在物理领域中可以描述粒子的能量、动能等物理性质，通过对不定二次型的研究可以揭示系统的特性和规律。
3. 统计学在统计学中，不定二次型可以用来描述多元正态分布的概率密度函数，通过对不定二次型的分析可以进行统计推断和参数估计。
四、结论不定二次型是一个在数学和物理领域都有着重要意义的概念，通过合适的判定方法和应用可以帮助解决优化问题、物理系统建模和统计学问题。
不定二次型的研究具有重要的理论和应用价值，对其深入的理解和研究可以推动相关领域的发展和进步。
五、不定二次型的矩阵特征值计算方法关于不定二次型的判定方法，矩阵特征值的计算是至关重要的一步。
对于对称矩阵 $A$，我们可以通过以下方法来计算其特征值：1. 对称矩阵的特征值是实数对称矩阵的一个重要性质是它的特征值都是实数。
二次型判定方法及应用
二次型判定方法及应用二次型是高等数学中的重要概念，广泛应用于线性代数、微积分、物理学、经济学等领域。
二次型的判定方法主要有正定、负定、半正定和半负定四种类型，这些判定方法在实际问题中具有重要的应用价值。
首先，我们来回顾二次型的定义。
对于n元变量x1，x2，...，xn和常数a11，a12，...，ann，二次型可以表示为：Q(x) = a11x1^2 + a22x2^2 + ... + annxn^2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ... + 2an-1nxn-1xn其中，a11，a22，...，ann为二次型的系数，x1，x2，...，xn为变量，Q(x)表示该二次型。
接下来，我们将讨论四个二次型判定方法的定义、性质和应用。
1. 正定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)>0，称二次型Q(x)为正定二次型。
正定二次型的系数满足以下性质：- 系数矩阵A=(aij)为实对称正定矩阵；- 系数aii>0，1≤i≤n；- 正定二次型的极值点为唯一的极小值点，且该极小值点为原点。
正定二次型在优化问题中经常出现，例如，最优化问题的约束条件若是等式形式，将其通过拉格朗日乘数法转化为等价的含有二次项的目标函数，然后利用正定二次型的特性来求解最优解。
2. 负定：若对于任意非零的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)<0，称二次型Q(x)为负定二次型。
负定二次型的系数满足以下性质：- 系数矩阵A=(aij)为实对称负定矩阵；- 系数aii<0，1≤i≤n；- 负定二次型的极值点为唯一的极大值点，且该极大值点为原点。
负定二次型在最优化问题中也有应用，例如，在极大极小值问题中，如果一个目标函数的Hessian矩阵是负定的，那么该函数在极小值点处取得极小值。
3. 半正定：若对于任意的n元列向量x=(x1,x2,...,xn)T，都有Q(x)≥0，称二次型Q(x)为半正定二次型。
二次型的性质及应用
二次型的性质及应用二次型是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。
二次型具有多种性质和应用，下面我将从定义、性质以及应用三个方面进行详细介绍。
一、二次型的定义和性质首先，我们来定义二次型。
设有n个变量x_1, x_2, \ldots, x_n，对于任意的实数a_{ij}和b_i，称函数Q(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j +\sum_{i=1}^n b_ix_i为n元二次型。
其中，a_{ij}和b_i是实数。
二次型的性质如下：1. 对称性：如果a_{ij}=a_{ji}，则二次型称为对称二次型。
2. 非负定性：若二次型对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})\geq 0，则称二次型为半正定二次型。
若对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})>0，则称二次型为正定二次型。
若对于任意非零向量\mathbf{x}都有Q(\mathbf{x})<0，则称二次型为负定二次型。
3. 二次型的规范形：通过合适的坐标变换，可以将任意二次型化为规范形。
规范形为Q(x_1, x_2, \ldots,x_n)=\lambda_1x_1^2+\lambda_2x_2^2+\ldots+\lambda_nx_n^2，其中\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n为实数，且\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n满足\lambda_1\geq \lambda_2\geq \ldots \geq\lambda_n。
4. 最大值和最小值：对于二次型Q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^TA\mathbf{x}，其中A是一个对称矩阵。
若对任意向量\mathbf{x}\neq \mathbf{0}，有Q(\mathbf{x})\leq k，其中k为常数，则称k为二次型的上界。
二次型的几个应用实例
二次型的几个应用实例二次型是线性代数中的一个重要知识点，其在数学、物理和力学中都有着广泛应用。
二次型的应用在高中数学知识中就有体现，如用坐标变换把圆锥曲线、双曲线、抛物线化为标准曲线的实质是将二次型进行标准化。
事实上，二次型在证明不等式、分解多项式的因式、求解二次函数最值以及计算定积分中都有重要应用。
1、用二次型证明不等式一个实二次型是正定的，若其对任意的实数，都有。
可以通过构造正定二次型，利用其正定性来证明不等式[1]。
例1：证明不等式恒成立。
其中不全为0。
证明：将不等式移项得。
令，则我们只需证明f(x)恒大于0即可。
可知f(x)是一个实二次型，其二次型矩阵的三个顺序主子式均大于零。
因此，f(x)是正定二次型。
因此，对于任意一组不全为0的数，都有f(x)>0，即证。
2、二次型在二次曲线中的应用二次型起源于将二次曲线或二次曲面方程变型为标准型，所以二次型在二次曲线中的有最基本的应用。
因为二次曲线方程经可逆线性变换后的方程所对应的二次曲线图形与原图形是全等的即既不改变曲线的形状，又不改变大小。
因此，我们在判断二次曲线的形状时，可利用正交线性变换先把二次曲线化为标准型，然后再来判定原二次曲线的形状。
例2：判断二次曲线方程的形状并求其面积。
解：为了使方程所有项全部都是二次项，我们再设一个变量z。
令z，此时有。
将此二次型的矩阵做正交变换使其化为对角矩阵diag(4,1,-2)。
对角矩阵所对应二次型为。
由于正交变换不改变二次曲线的形状和大小，则有，进一步将其整理得。
很显然，这是一个椭圆方程。
长短轴分别为面积为，即原二次曲线方程的形状为椭圆，面积为π。
3、二次型用于因式分解因式分解是初等数学中很常见的一类问题，它在解方程，求多项式的根等问题上能一定程度上简便运算过程。
由于二次型都是二次齐次多项式，我们在这里只讨论二次多项式的因式分解。
应用下面的定理，我们能直接判断给出的二次多项式是否可以分解成几个一次多项式的乘积。
第5章(二次型)线性代数及其应用
= x1(a11x1 +a12x2) + x2(a12x1 +a22x2) a11x1 +a12x2 = (x1, x2) a12x1 +a22x2
2 2 f = y12 + 2 y2 + 5 y3 . 通过正交变换化为标准形 (1)求参数 ，并指出二次曲面 f ( x1 , x2 , x3 ) = 10 所属的 求参数a 求参数
曲面类型; 曲面类型 (2)当 x T x = 1 时，求 f 的最大值, 其中 x = ( x1 , x2 , x3 )T . 当 的最大值
二次型的矩阵表示
a11 = (x1, x2) a12 x1 a11 其 x = ,A= 中 x2 a12
a12 x1 = xT Ax, a22 x2
a12 为 阶 称 阵 , A 二 对 矩 . a22
一般地， 一般地，对n元二次型 元二次型
第5章 二次型
建立了实二次型和实对称矩阵之间的 对应关系； 对应关系；从矩阵变换和函数化简两个角 度给出了二次型标准化的三种方法，进一 度给出了二次型标准化的三种方法， 步得到了二次型的规范形； 步得到了二次型的规范形；并对正定二次 型和正定矩阵的判别进行了讨论． 型和正定矩阵的判别进行了讨论．
第5章 二次型
λ1 λ2 T 求正交矩阵Q， ②求正交矩阵 ，使得 Q AQ = Λ = O λn
为对角阵； 为对角阵； ③正交变换x =Qy化二次型为标准形 f =yT Λy . 正交变换 化二次型为标准形
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滨江学院毕业论文题目二次型及其应用院系滨江学院理学系专业信息与计算科学学生姓名刘峰学号***********指导教师吴亚娟职称副教授二Ｏ一四年五月十日目录引言 (1)1、二次型的相关定义和定理 (1)1.1二次型的定义 (1)2、二次型在初等数学中的应用 (2)2.1不等式证明 (2)2.2多项式的因式分解 (4)2.3判断二次曲线的形状 (6)3、二次型在几何方面的应用 (7)3.1求平面线图形的面积 (8)4、多元函数极值方面的应用 (9)4.1条件极值 (9)4.2无条件极值 (10)5、求多元函数积分方面的应用 (11)5.1二次型的正交变换 (11)5.1重积分的计算 (12)5.2求曲面积分 (13)6、结束语 (14)7、参考文献 (14)二次型及其应用刘峰南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。
关键字：极值；几何 ；重积分；引 言二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。
目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。
本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。
1、二次型的相关定义和定理1．1、二次型的概念和定义在《高等代数》中涉及的一些相关理论设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：()212111121213131122222323222,,,22222n n nn n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =++++=+++++=+11n niji j i j ax x ===∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型,在不影响混淆时简称二次型。
在我们讨论二次型时，一定会运用到矩阵，因此要先将二次型用矩阵的线性替换来表示：111212122212n n n n nn a a a aa a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 因为,,1,,,=ijji Ta a i j n A A ==所以，出现这种情况都是对称矩阵，所以二次型与对称矩阵是一一对应的。
则n 元二次型可以用矩阵的乘积表示出来:1112112122221212(,,,)n n T n n nn n a a a x aa a x X AX x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11n niji ji j ax x ===∑∑所以()12,,,T n f x x x X AX =，此中T n x x x X ),,,(21 =，那么对称矩阵A 我们就简称为二次型的矩阵。
2、二次型在初等数学中的应用2.1不等式证明在数域P 上含有n 元12,,n x x x 的二次齐次多项式221211112121122222(,,)222nn n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++也称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。
记：11121122122212,(,j 1,2,,n)n n ij ji n n n nn a a a x x a a a X A a a x a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪==== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它是对称矩阵，则二次型可表示为12(,,)T n f x x x X AX =，称A 是二次型矩阵，二次型经过可逆线性替换只含有平方项系数，即12(,,)n g y y y 2221122d n n d y y d y =+++，标准型所对应的矩阵是一个对角矩阵，如果标准型中的系数12,,,n d d d 全为正数，则二次型12(,,)n f x x x 为正定二次型，这时任意不全为零的实数12,,n x x x ，都有12(,,)0T n f x x x X AX =≥。
相关不等式证明如下：例1 三角形三个内角,,a b c ，对任意的实数,,z x y 都有2222cos 2cos 2cosc x y z xy a xy b yz ++≥++。
解 222()2cos 2cosb 2cos Tf x X AX x y z xy a xz yz c ==++--- 其中 (,,)Tx x y z =，1cos cos cos 1cos cos cos 1a b A a c a c --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭,cosc cos(b).1cos cos 0sin sin b 000a b c a a b A a π++==+--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭作初等变换得： 于是A 的特征值0,1,sin ,a 由以上定义可知是半正定的，对于任意实数,,x y z 则0f x ≥（）。
即得证。
例2 求证：222724424(,,)x y z yz xy xz x y z ++>+-其中不全为零的实数 解 设二次型 222(,,)724424f x y z x y z yz xy xz =++--+ 则f 矩阵为712122224A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭因此A 各顺序主子式为712717016012224012224-->=>--=>--所以0f x y z >（，，），即222724424x y z yz xy xz ++>+-得证。
2.2多项式的因式分解定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是:它的秩为2和符号差为0,或秩等于1。
证明 必要性设()()()n n n n n x b x b x b x a x a x a x x x f ++++++= 2211221121,,,（1） 若两个一次多项式的系数成比例,即()n i ka b i i ,,2,1 ==，不妨设01≠a ,令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=.,,2222111n n n n x y x y x a x a x a y 则()2121,,,ky x x x f n = ,即二次型()n x x x f ,,,21 的秩为1（2）若两个一次多项式的系数不成比例,不妨设2211b a b a ≠,令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+++=+++=.,,,332211222111n n n n n n x y x y x b x b x b y x a x a x a y则()2121,,,y y x x x f n = .再令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+=.,,,33212211n n z y z y z z y z z y 则()22212121,,,z z y y x x x f n -== ,故二次型()n x x x f ,,,21 的秩为2,符号差为0。
充分性 （1）若()n x x x f ,,,21 的秩为1,则经非退化线性替换使()2121,,,ky x x x f n = ,其中n n x a x a x a y +++= 22111。
故()()2221121,,,x a x a x a k x x x f n n +++= 。
（2）若()n x x x f ,,,21 的秩为2,符号差为0,使()12,,,n f x x x 2212y y =-()()1212y y y y =+-,其中1y ,2y 均为n x x x ,,,21 的一次齐次多项式,即n n x a x a x a y +++= 22111,n n x b x b x b y +++= 22112,故()n x x x f ,,,21 可表示成两个一次齐次多项式的乘积。
例3 二次型2212121212(,)2242f x x x x x y x x =+-++在实数范围内能否分解。
解令 2212312121323,1212g(,,)2242=g ,,1x x x x x x y x x x x f x x x x =+-++则（，）（） 求 123g(,,)x x x 的秩和符号差 对 123g(,,)x x x 作非退化线性替换11232233323y x x x y x x y x=-+⎧⎪=+⎨⎪=⎩ 222123123g(,,)13x x x y y y =+-，的秩为3 ，因此 123g(,,)x x x 不能分解，从而 12(,)f x x也不能分解。
例4 因式分解 22(,)3241f x y x y xy y =-+-- 解令22(,)3241,,,f x y x y xy y f x y x y =-+--则（）=g(,1)对(,,)g x y z 作非退化线性替换：133c =+c =2+c =yy z z x ⎧⎪⎨⎪⎩所以22221212c -c =g =c -c g x y z x y x y f =（，，），因此（，）（，，1），可见(,)f x y 的秩为2，符号差为0。
所以分解因式为 2212=g =c -c (31)(1)f x y x y x y x y =++--（，）（，，1）。
2.3判断二次曲线的形状平面上，中心坐标原点的有心二次曲线方程的一般形式可写成：222ax bxy cy d ++=，那么他就是一个实二元二次型：22(,)2=()Q x y ax bxy cy x y x xy y b c =++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭它作为二次曲线的方程，就是在三维欧氏空间的直角坐标系中的函数222z ax bxy cy=++的二次曲面与平面z d =的交线在坐标平面xoy 上的正投影。
下面我们来讨论如何利用二次型来判别二次曲线的形状。
例5 判断二次曲线 0112421222121=+-+++x x x x x x 的形状。
解 112024I ==，这是抛物形曲线.23145,126162524241612I I =+==-=--， 所以是一条抛物线，化简后方程为22150y +=。