二次型及其应用

滨江学院

毕业论文

题目二次型及其应用

院系滨江学院理学系

专业信息与计算科学

学生姓名刘峰

学号20102314014

指导教师吴亚娟

职称副教授

二Ｏ一四年五月十日

目录

引言 (1)

1、二次型的相关定义和定理 (1)

1.1二次型的定义 (1)

2、二次型在初等数学中的应用 (2)

2.1不等式证明 (2)

2.2多项式的因式分解 (4)

2.3判断二次曲线的形状 (6)

3、二次型在几何方面的应用 (7)

3.1求平面线图形的面积 (8)

4、多元函数极值方面的应用 (9)

4.1条件极值 (9)

4.2无条件极值 (10)

5、求多元函数积分方面的应用 (11)

5.1二次型的正交变换 (11)

5.1重积分的计算 (12)

5.2求曲面积分 (13)

6、结束语 (14)

7、参考文献 (14)

二次型及其应用

刘峰

南京信息工程队大学滨江学院理学系专业：信息与计算科学 学号：20102314014

摘要: 二次型是高等代数学中的内容之一，研究二次型是现代科学技术的需求，目前二次型的研究理论物

理力学、环境工程、科学技术中都有重要的作用，对二次型简单的研究必须先写好二次型的矩阵，同时运用矩阵的一些理论能更好的应用于社会生活中的一般例子，随着我们人类生产生活的不断进步，不断现代化，二次型的运用也是一项不可或缺的研究。

关键字：极值；几何 ；重积分；

引 言

二次型是高等代数学中的一个重点内容，它的理论在自然科学，环境工程、工程技术之中广泛的应用，求出问题的最大值与最小值，多项式的因式分解，判别二次曲线图形的形状和计算曲面图形的面积等等内容在代数学中占有重要的地位。目前在许多相关书籍和教材的资料中，对二次型和它的一些的应用归纳的越来越详细，还有在其他领域中的应用也越来越广泛，比如在数学建模中的应用，在教学中的应用也越来越多。本文主要探讨常见的二次型最值问题，不等式问题，曲面积分问题，重积分问题,等等一些应用。

1、二次型的相关定义和定理

1．1、二次型的概念和定义

在《高等代数》中涉及的一些相关理论

设P 是一个数域,P a ij ∈,一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式：

()212111121213131122222323222

,,,22222n n n

n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x =+++

+=+++++

=

+

1

1

n n

ij

i j i j a

x x ===

∑∑，

称为数域P 上的一个n 元二次型,在不影响混淆时简称二次型。

在我们讨论二次型时，一定会运用到矩阵，因此要先将二次型用矩阵的线性替换来表示：

11

121212221

2

n n n n nn a a a a a a A a a a ??

? ?

= ? ???

, 因为,,1,

,,=ij

ji T

a a i j n A A ==所以，出现这种情况都是对称矩阵，所以二次

型与对称矩阵是一一对应的。

则n 元二次型可以用矩阵的乘积表示出来:

11

1211

21

2222

121

2

(,,

,)n n T n n nn n a a a x a

a a x X AX x x x a a a x ???? ? ? ? ?= ? ? ? ?????

1

1

n n

ij

i j

i j a

x x ===

∑∑

所以()12,,

,T n f x x x X AX =，此中T n x x x X ),,,(21 =，那么对称矩阵A 我们就简称

为二次型的矩阵。

2、二次型在初等数学中的应用

2.1不等式证明

在数域P 上含有n 元12

,,n x x x 的二次齐次多项式

22

12

11112121122222(,,)222n

n n n n n nn n

f x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++

+++

++

+也称为数域P 上的一个n 元二次型，简称二次型。记：

11121122122

212

,(,j 1,2,,n)n n ij ji n n n nn a a a x x a a a X A a a x a a a ??

??

? ?

?

?==== ? ?

? ?

????

，

它是对称矩阵，则二次型可表示为12

(,,)T n f x x x X AX =，称A 是二次型矩阵，二次型

经过可逆线性替换只含有平方项系数，即12

(,,)n g y y y 22

2

1122d n n

d y y d y =++

+，标准型所对应的矩阵是一个对角矩阵，如果标准型中的系数12,,

,n d d d 全为正数，则二次型

12(,,)n f x x x 为正定二次型，这时任意不全为零的实数12,,n x x x ，都有

12

(,,)0T n f x x x X AX =≥。相关不等式证明如下：

例1 三角形三个内角,,a b c ，对任意的实数,,z x y 都有

2222cos 2cos 2cosc x y z xy a xy b yz ++≥++。

解 222()2cos 2cosb 2cos T f x X AX x y z xy a xz yz c ==++--- 其中 (,,)T x x y z =，

1

cos cos cos 1cos cos cos 1a b A a c a c --?? ?=-- ? ?--??

,cosc cos(b).1

cos cos 0

sin sin b 000a b c a a b A a π++==+--??

?

=- ? ??

?

作初等变换得： 于是A 的特征值0,1,sin ,a 由以上定义可知是半正定的，对于任意实数,,x y z 则

0f x ≥（）。 即得证。

例2 求证：2

2

2

724424(,,)x y z yz xy xz x y z ++>+-其中不全为零的实数 解 设二次型 2

2

2

(,,)724424f x y z x y z yz xy xz =++--+ 则f 矩阵为

7

12122224A -?? ?=-- ? ?-??

因此A 各顺序主子式为

712

71

70

16012224012

224

-->=>--=>--

所以0f x y z >（

，，），即

222724424x y z yz xy xz ++>+-得证。 2.2多项式的因式分解

定理 一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式乘积的充分必要条件是:它的秩为2和符号差为0,或秩等于1。 证明 必要性

设()()()n n n n n x b x b x b x a x a x a x x x f ++++++= 2211221121,,,

（1） 若两个一次多项式的系数成比例,即()n i ka b i i ,,2,1 ==，不妨设01≠a ,令

??????

?==+++=.

,,2

222111n n n n x y x y x a x a x a y 则()2

121,,,ky x x x f n = ,即二次型()n x x x f ,,,21 的秩为1

（2）若两个一次多项式的系数不成比例,不妨设

2

2

11b a b a ≠

,令 ?????

????==+++=+++=.

,,,332211222111n n n n n n x y x y x b x b x b y x a x a x a y

则()2121,,,y y x x x f n = .再令

?????

????==-=+=.

,

,,33212211n n z y z y z z y z z y 则()2

22

12121,,,z z y y x x x f n -== ,故二次型()n x x x f ,,,21 的秩为2,符号差为0。

充分性 （1）若()n x x x f ,,,21 的秩为1,则经非退化线性替换使()2

121,,,ky x x x f n = ,

其中n n x a x a x a y +++= 22111。故

()()2

221121,,,x a x a x a k x x x f n n +++= 。

（2）若()n x x x f ,,,21 的秩为2,符号差为0,使()12,,

,n f x x x 2212y y =-

()()1212y y y y =+-,

其中1y ,2y 均为n x x x ,,,21 的一次齐次多项式,即

n n x a x a x a y +++= 22111,n n x b x b x b y +++= 22112,

故()n x x x f ,,,21 可表示成两个一次齐次多项式的乘积。

例3 二次型22

12121212(,)2242f x x x x x y x x =+-++在实数范围内能否分解。

解

令 2

2

12312121323,1212g(,,)2242=g ,,1x x x x x x y x x x x f x x x x =+-++则（，）（） 求 123g(,,)x x x 的秩和符号差 对 123g(,,)x x x 作非退化线性替换

1123

223

3

323y x x x y x x y x

=-+??

=+??=? 222

123123

g(,,)13x x x y y y =+-，的秩为3 ，因此 123g(,,)x x x 不能分解，从而 12(,)f x x 也不能分解。

例4 因式分解 2

2

(,)3241f x y x y xy y =-+-- 解

令22

(,)3241,,,f x y x y xy y f x y x y =-+--则（）=g(,1)对(,,)g x y z 作非退化线

性替换：

133

c =+c =2+c =y

y z z x ??

???

所以2222

1212c -c =g =c -c g x y z x y x y f =（，，），因此（，）（，，1），可见(,)f x y 的秩为2，符

号差为0。

所以分解因式为 22

12=g =c -c (31)(1)f x y x y x y x y =++--（，）（，，1）。

2.3判断二次曲线的形状

平面上，中心坐标原点的有心二次曲线方程的一般形式可写成：

222ax bxy cy d ++=，

那么他就是一个实二元二次型：

22

(,)2=()Q x y ax bxy cy x y x x

y y b c =++???? ? ? ???

??

它作为二次曲线的方程，就是在三维欧氏空间的直角坐标系中的函数222z ax bxy cy =++的二次曲面与平面z d =的交线在坐标平面xoy 上的正投影。下面我们来讨论如何利用二次型来判别二次曲线的形状。

例5 判断二次曲线 01124212

22121=+-+++x x x x x x 的形状。

解 112

024

I =

=，这是抛物形曲线. 23145,

12616252

424

16

1

2

I I =+==-

=--， 所以是一条抛物线，化简后方程为 2

2152550y y +=。 或

2

2152550y y -=。

即

0512

2=+

y y

或 2

2150y y -=。

因此这条抛物线的焦准距5

2

P =

。

例6 判断二次曲线2211221231010210x x x x x x -++-+= 的形状。

解 131

5

2

034

1

2

I -

=

=

<-

,这是双曲线.。 此时

231

52

3515,24

5

5

21

I -

=-

-=-- 3112I =+= 因为30I ≠，解下面特征方程：

231

915

2

(1)()()03422

1

2

E A λλλλλλ--=

=--

=+-=- 得特征根1215

,22

λλ=-=。 又

2

1

1I I =，于是化简后的方程为： 22

12151022

y y -

++=， 即

22

12122

5

y y -= 所以这条双曲线的实半轴2a =

，虚半轴210

55

b =

=

。 3、二次型在几何方面的应用

在代数学中我们认识了几何的产生和发展，解析几何中将曲面公式化为二次型的标

准形的问题进行研究，本节主要运用二次型的标准型来计算曲线图形的面积。

3.1求平面图形的面积

例7 求 2242220x y x xy ++--= 曲线围成图形的面积。

解 设22222(,)4222,f x y x y x xy x y z x y z xy xy =++--令 g(,,)=+4-2+2-2, 则

,,f x y x y ()=g(,1)。

经过非退化线性替换

1111433x x y z z y y z z ?

=+-??

?

=-

??

?=??

把(,,)g x y z 化成二次型的标准型2

2

2

11110(,,z)3,3

g x y x y z =+-

221110

=g 03

f x y x y x y =从而（，）（,,1）=+3- 即

22

2211391,1010

x y x y x xy +=故曲线 +4+2-2-2=0 表示椭圆 它的两个半轴分别为

1010

33

，， 从而这个曲线的面积为 1010

s =

.33

。 例8 曲面2222x y z xy xz yz a ++---=把平面x y z b ++=截取， 求所截取部分的面积。 解

(x,y,)f z x y z b =++-，

令2

2

2

2

x y z x y z xy xz yz a ++----g(,,)=，

将x y z g(,,)化为二次型的标准型为2

2

2

1113x y z x y z ++g(,,)=， 经过

1232

10631

116231116

23x x y y z z ??- ?

????? ? ? ?=- ? ? ? ? ? ???

?? ? ?

?? 正交变化可以将曲线方程化为22

223

x y a +=为圆柱面，而平面方程可以化为13z b =，所

求曲面被截取部分的面积2

23

s a π=。

4、多元函数在极值方面的应用

4.1条件极值

定理4.1 实n 元多项式

∑∑∑===+n

i i i n

i n

j j i ij

x b x x a

1

1

1

2，它的矩阵

为A ，秩为r ，对其作非退化的线性替换，X PY =， 则

0000000s T r s E P AP E -?? ?

=- ? ???

，

当A 为半正定时：

1） 若r n =，有最小值。 2） 若r n <，则在平方项中出现一次项系数，有最小值。 3） 若r n >，则在平方项中出现的一次项系数至少有一个，则没有最值。 当A 为半负定时： 1） 若r n =，有最大值。 2） 若r n <，则在平方项中出现一次项系数，有最大值。 3） 若r n >，则在平方项中出现的一次项系数至少有一个，则没有最值。 当A 不定时: 则不存在最值。 例9

222212341213142434

1234322222242423

y x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++++--+

是否有存在极值，并求出 解

二次型的对应矩阵1111130110221

12

3A ?? ? ?

= ? ???

，有可逆矩阵P ，

311221

011200

120001P ?

?

-- ?

? ?--= ?

?- ? ???

, 12120T

P AP ??

? ?= ? ? ? ??? 它的主对角线上有一个零,所以n r <=3,不是正定矩阵，但是T

P AP 矩阵中对角线上其他

数据都是正的, 那么矩阵A 是半正定矩阵,用PY X =作线性替换,那么原多项式的二次齐

次项部分就变为,2

22

32

22

1y

y y ++,一次项部分变为

()321443432432122222242232y y y y y y y y y y y y y -+=---??

? ??

-++??? ??+--，

所含字母1y ,2y ,3y 均在平方中出现,存在最小值.对变换后的多项式配方,得

()()212221213222222

32

22

13212

32

22

1--+??? ?

?+++=+-++++y y y y y y y y y .

故当11=y ,212-

=y ,23=y 时,上式有极小值2

1

-， 将1y ,2y ,3y 代入PY X =中, 当4122

7

y x +-

=,4221y x -=,432y x -= ,44y x =(4y 为任意常数)时,那么上面的公

式有极小值2

1

-

。 4.2无条件极值

例10 看下面函数是否有极值，并求出其值

解

222

123123122312(,,)8+2+4467f x x x x x x x x x x x x =---++-

1231T

23(,)=+b -7

-101=0-12b ==12-8T T f x x x x Ax x x A x x x ????

? ? ?

? ? ?????

设 则，（4,6,0）， A 的顺序主子式

-101

-10

|-1|>0,

10,0-1230.0-1

12-8

=>=-

4213332723331213

3

3A -??--

-

? ? ?=-

-- ? ? ?--- ???

1123T -1123421143

333411272256223333012183

3

334--b A b 82

=

43

x x A b x f x x x -????--

-

? ?????

? ? ?

? ? ?=-=--

--= ?

? ? ? ? ? ? ????? ? ?

---

? ?????

?当时，

（7）（,,）的极大值为 5、求多元函数积分方面的应用

对于重积分来说也是代数学二次型的一个基本内容，它的用途在很多领域多涉及到，但是重积分的计算问题仍有很多技术难题需要克服，运用二次型的正交变化能更好的解决重积分计算问题，文章本节将利用二次型的相关理论去解决某些重积分的一般计算问题和求一般曲面积分。

5.1、二次型的正交变换

设22111222132333(,y)222T F x a x a xy a y a x a y a X AX =+++++=其中，

11121321

222331

32

33,,1a a a x X y A a a a a a a ??

??

? ?

== ? ? ? ?????

X T 表示矩阵X 的转置，ij ji a a =，矩阵A 的行列式记为||A 。

若 11123321

22

0a a A a a =

≠，

则经过平移后(,)F x y = '2'''2

11121333

2A a x a x y a y A +++

，就是二次型的正交变换。

5.2重积分的计算

例11 计算 22

exp(2b c 22)d d ax xy y dx ey f x y +∞+∞-∞-∞

??+++++ 222<0,c-b 00,c b 00,a b

=

=c-b 0b c

aa a a a c A a ><->?<≠其中证明由即

0022

'2

''

'2

33

+=+2b c 222x x x y y y A ax xy y dx ey f ax bx y cy A ??

??∴ ? ? ?????+++++=+++

’

’设所以

33a b d

a b ||=b c e

b c

d e f

A A =

其中

而平移变化是正交变化

'1111'''1222(,)1(,)C C x u x y C C v x y y ∴

??????

???== ? ? ? ? ??????????

2'''2

''33

23312331212||

exp(2b c )d d |E-|=0-(+c)0=0

0,0

A ax x y y x y A A a A A a c

λλλλλλλλλ+∞+∞-∞-∞??+++

?+=>?<<+=+’因此

而得：

2111233122

'''223333

,,wr ,||||

2b c x w r A A A ax x y y wx r A A λλλλλλ=-=?==?+++

=--+’设 其中，为两实根

22

exp(2b c 22)d d ax xy y dx ey f x y +∞+∞-∞-∞∴??+++++

2

2

2

332'''2

''33

233

|A|/A 00||

exp(2b c )d d ||

exp()dud x

wu rv

A ax x y y x y A A wx r v A e e e dv

+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞

+∞-+∞-=??+++

=??--+=??’

2

33

4||(

e,)()2A A wr π= 3333

||e A A A π

=

例12 求 123(,,)123p x x x e

dx dx dx -+∞+∞+∞-∞-∞-∞???

3

3

1231

1

p =(a a )ij

i j ij ji i j x x x a

x x ===∑

∑其中（，，）为正定型。

123(,,)p x x x 证明

为正定型，

12312311121311222

21222332123112233333132330,0,0||0=(x ,x ,x )A A C C C x y x C C C y p y y y x y C C C λλλλλλλλλ∴?>>>=>??????

? ? ?=++ ? ? ? ? ? ?????

??为正定矩阵从而取正交变换

则

222

112233123

3/23I=exp ||||

y y y y y y A A λλλππ+∞+∞+∞-∞-∞-∞???--==

结果所得：

（-）d d d

5.2求曲面积分

例13 求

1

2

3

x x x

λλλ???，其中

{

}222

1231231231223(,,)(,,)23221

x x x f x x x x x x x x x x Ω==++--≤，

解

()12232,,3221232221321≤--++=x x x x x x x x x x f

()()

1323222

32221≤-+++=y y y f

{}

222123123123(,,)(,,)2(23)(23)1y y y f y y y y y y λ==+++-≤

123123411

122

3

232323

dx dx dx y y y λ

λλλππΩ===+-?????? 结束语

伴随着人类文明社会的改革创新，人类进步的步伐越来越快，科学技术的发展已经在我们日常生活中的方方面面都涉及到,数学中的二次型也广泛应用于其他社会科学比如自然科学，环境工程，经济学理论和经营管理等的许多领域，在这个开放的社会，市场经济已然成为我们现在的主体经济，人们社会生活的步骤也不断加快，人们在二次型实际应用中也取得了很大的进步，使人们在社会生活中能获得更多的利益，更加方便快捷。 参考文献

（1） 王萼方等编《高等代数》（第三版），高等教育出版社，2003。 （2） 蒋尔雄等编《线性代数》 ，人民教育出版社，1978。

（3） 孙学波《基于正定二次型的一个不等式及其证明》 ，鞍山科技大学学报，2004。 （4） 吕林根等编《解析几何》（第三版），高等教育出版社，1987。 （5）..F M 菲赫金哥尔茨著《微积分教程》 ,高等教育出版社，2006。

（6） 魏权玲、刘起运、胡显佑等编《数量经济学》（第二版），中国人名大学出版社，2008。

Quadratic form and its applications

Liu feng

Nanjing information engineer brigade university Bin Jiang institute principle department specialty: Information and computation scientific student number: 20102314014

Abstract:Quadratic form is one of the content of higher algebra, the second type is the demand of the modern science and technology, the research theory of quadratic form physical mechanics, environmental engineering, science and technology has important role in the study of quadratic simple must first write a quadratic matrix, at the same time using some theories of the matrix can be better applied to the general case of social life, along with the advance of our human production and living, modernize, the use of the quadratic form is also an integral part of a study.

Key words: The extreme; Geometry; Integrals;