高三数学第一轮总复习讲义,第一讲集合与集合的运算

高三数学第一轮总复习讲义 第一讲 集合与集合的运算

一、基本概念及知识体系：

(Ⅰ) 1、元素、集合的表示：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；

｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝； ∅；｛∅｝,｛0｝它们的区别与联系；

∈，∉

2、子集、交集、并集、真子集：∈、∉、∩、∪、⊇、⊆、 、 ；

3、全集、补集C R A ：

4、含有n 个元素的集合A 的子集个数是_____2n ,,真子集个数是___2n -1,非空真子集：2n -2

5、∅的特殊性：

（Ⅱ）高考要求与预测：通常以一到两道选择题或填空题的形式出现，命题格局大多保持集

合与函数的定义域、值域、不等式的解集相联系，或者是充要条件与其他知识相联系，主要

考查充要条件的基本概念、集合的基本概念、运算以及集合的工具性作用等。

二、典例剖析：

★【题1】、(2006年·辽宁·T 1·5分）设集合A=｛1，2｝，则满足A ∪B=｛1,2,3｝的集

合B 的个数为( C ) A 1 B 3 C 4 D 8

★【题2】、(2006年·辽宁·T 5·5分）设⊕是R 上的一个运算,A 是R 上的非空子集,若对

任意的a 、b ∈A ，有a ⊕b ∈A ，则称A 对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和

除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ C ）

A 自然数集

B 整数集

C 有理数集

D 无理数集

★【题3】、(2005年·全国Ⅰ·T 2·5分）设I 为全集，S 1、S 2、S 3是I 上的三个非空子集，

且S 1∪S 2∪S 3=I ，则下列论断正确的是（ C ）

A C I S 1∩（S 2∪S 3）=∅

B S 1⊆（

C I S 2∩C I S 3） C C I S 1∩C I S 2∩C I S 3=∅

D S 1⊆（C I S 2

∪C I S 3）

★【题4】、设集合S=｛a,b,c,d,e ｝,则包含｛a,b ｝的S 的子集共有（D ）个

A 2

B 3

C 5

D 8

★【题5】、设集合M=｛x|x=k 2 +14,k ∈Z ｝,N=｛x|x=k 4 +12

,k ∈Z ｝,则（ B ） A M=N B M N C M N D M ∩N=∅

★【题6】（2006年·山东·T 1·5分）定义集合运算：A ⊙B=｛z ︳z= xy(x+y)，z ∈A ，y ∈

B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为（ D ）

（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18

★【题7】（2005年·湖北·T 1·5分）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合

P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是（ B ）

A ．9

B ．8

C ．7

D ．6

三、课堂巩固练习： ●★【题1】、设全集U=R ，A=｛x|x x+3

<0｝,B=｛x|x<-1｝,则图中阴影部分所表示的集合是（ C ）

A ｛x|x>0｝

B ｛x|-3

C ｛x|-3

D ｛x|x<-1｝

●★【题2】、集合A=｛（x,y)|2x+y=5,x ∈N,y ∈N ｝,则A 的非空真子集的个数为（C ）

Ａ ４ Ｂ ５ Ｃ ６ Ｄ ７

★【题3】、集合M=｛x||x-3|≤4｝,N=｛y|y=x-2 +2-x ｝,则M ∩N=____｛0｝

★【题4】、对于两个非空数集A 、B ，定义点集如下：A ×B=｛(x,y)|x ∈A, y ∈B ｝,若A=

｛1，3｝，B=｛2，4｝，则点集A ×B 的非空真子集的个数是___14_个

★【题5】、(2004年·上海·T 3·4分）设集合A=｛5，log2(a+3)｝，集合B=｛a,b ｝若满足

A ∩B=｛2｝，则A ∪B=____｛1，2，5｝

★【题6】、①已知集合A=｛y|y=2x 2-3x+1 ｝,B=｛y|y=x 2-2x-3,x ∈R ｝,则A ∩B=____｛y|y

≥0｝

②已知集合A=｛x|y=2x 2-3x+1 ｝,B=｛y|y=x 2-2x-3,x ∈R ｝,则A ∩B=____｛x|x

≥1或-14≤x ≤12

｝ ★【题7】、已知集合P=｛x|x 2-5x+4≤0｝,Q=｛x|x 2-(b+2)x+2b ≤0｝且有P ⊇Q ，求实数b

的取值范围。(答案：{b|1≤b ≤4}）

★【题8】、若全集I=R ，ƒ(x),g(x)均为x 的二次函数，且P=｛x|ƒ(x)<0｝,Q=｛x| g(x)≥

0,｝则不等式组()0()0

f x

g x <⎧⎨<⎩的解集可用P 、Q 表示为___( P ∩C R Q)

★【题9】、．如右图所示，I 为全集，M 、P 、S 为I 的子集，则阴影部分所表示的集

合为（ C ）

A ．(M ∩P)∪S

B ．(M ∩P)∩S

C ．(M ∩P)∩(C I S ）

D ．(M ∩P)∪(C I S ）

●★【题10】、已知下列集合：（1）1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）2A =｛x | x = 2k,

k ∈N, k ≤3｝；（3）3A =｛x | x = 4k ＋1,或x = 4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；

问：（Ⅰ）用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，

2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。

解：(Ⅰ)⑴ 1A =｛n | n = 2k+1,k ∈N ,k ≤5｝＝｛1，3，5，7，9，11｝；⑵2A =｛x | x = 2k,

k ∈N, k ≤3｝＝｛0，2，4，6｝；

⑶3A =｛x | x = 4k ±1,k ,N ∈k ≤3｝＝｛－1，1，3，5，7，9，11，13｝；

（Ⅱ）对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ．3A 所表示的集合都是奇数集；2A 所

表示的集合都是偶数集。

▲点评：（1）通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的

表述的理解；

（2）掌握奇数集．偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。

●★【题11】、数集A 满足条件：若1,≠∈a A a ，则

A a ∈+11. ①若2A ∈，则在A 中还有两个元素是什么；②若A 为单元集，求出A 和a .