1.2概率的定义及计算

特性3 设事件 A和B 的关系为A B，则
P B P A; P B A P B P A;
特性4 对任一事件 A 恒有 PA 1.
特性5 对于任一事件 A，有 P A 1 PA.
特性6 对于任二事件 A 和 B ，恒有
PA B PA PB PAB.
推论：对任意 n 个事件 A1，A2，…，An，
P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)
对 PA B PA PB PAB 的证明
证 A B A AB B AB AB,
且 A AB, B AB, AB 两
两互不相容，∴
P(A∪B)
= P(A－AB) + P(B－AB) + P(AB)
= P(A) － P(AB) ＋P(B) －P(AB) ＋P(AB)
④ 德·摩根律（De Morgan） A B A B ; A B A B. 和之逆即逆之积 ; 积之逆即逆之和
1.2 概率定义及其算法
古典概率、几何概率、统计概率、概率的 本质特性
一、 古典概率
设随机实验E满足下列条件
1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，
即 1，2， ，n,
例3 在图中正方形内任取一点。求此点恰 好在阴影之内（包括阴影边界）的概率。
解 依定义，由于阴影 A 的面积为
Y
60
A
15 15
SA
60 60
2
1 2
45 45
1575
而正方形的面积显然为
S 6060 3600
因而
p(A) SA 1575 7 S 3600 16
60
X
例4 约会问题:甲、乙二人意欲某上午7～8 点在某指定处会面，约好先到者须等15分钟 后方可离去。求依此约定两人能见面的概率。
= 0.73；
p(A) = 0.45, p(B) = 0.35，p(C) = 0.30，
p(AB) = 0.10，p(AC) = 0.08，p(BC) = 0.05，
p(ABC) = 0.03
试计算以下各事件的发生概率：
⑴只订A、B二报的； p(ABC ABC ABC)
⑵只订A报的；
p( ABC) p( ABC ) p( ABC )
2）恰有 m 杯, 其中各有一球( B ).
Ans.
p( A)
| A|
| |
m! Mm
p(B)
|B
|
| |
C
m M
m
!
Mm
二、 几何概率
设样本空间 的几何度量值为 ( ) 再设事件 A 的几何度量值为 (A) ，
那么
P A
( A) ( )
A对应几何图形的测度值
对应几何图形的测度值
测度 ：长度、面积 、体积的统称
解 设甲、乙分别在7点的第 x 和第 y 分钟
到达约会点，则能见上一面的时间集A为
Y
A={ ( x , y) | | y – x | ≤ 15 , 0≤ x， y ≤ 60}
60
而二人应赴约的时间集显然为
S={ ( x , y) | 0≤ x≤60，0≤ y ≤ 60}
A
15
故有
p( A) | A | |S|
（3） 设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即
对于i≠j，AiAj= ，i，j =1,2,…, 总有
P( A1 A2 ) P( A1) P( A2 )
那么，就称实数 P(A) 为事件 A 的概率。
概率的本质特性
特性1 P 0.
特性2 若 A1, A2, …, An 两两互不相容,则 P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2) P(An ).
60 60 45 45 60 60
7
15
60
X
16
三、 统计概率
设随机事件 A在 N 次重复试验中发生
的次数为 m ，即事件A发生的频率为
fN A
=m N
那么, 当 n 充分大时
P A
fN
A
=
m N
试验 序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
抛硬币试验：
n=5
n=50
nH
fn (H)
A
对 立 事 件
Ω
BA
随机事件间的运算性质
① 交换律 A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A。 ② 结合律
A ∪（B ∪ C）=（A ∪ B）∪ C；
A ∩（B ∩ C）= （A ∩ B ）∩ C。 ③ 分配律
A ∪(B ∩ C)=(A ∪ B)∩(A ∪ C)；
A ∩(B ∪ C)=(A ∩ B)∪(A ∩ C).
= P(A) ＋P(B) －P(AB)
证毕 .
例5 调查表明， A报在某市的订阅量稳定地占
45%，B报占35%，C报占30%；此外，同订A、B
报的占10%，同订A、C报的占8%，同订B、C报
的占5%，而A、B、C皆订的占3%。
试计算以下各事件的发生概率：
⑴只订A、B二报的； ⑵只订A报的； ⑶只订一种报的； ⑷正好订两种报的；
p(A) = 0.45， p(B) = 0.35，p(C) = 0.30，
p(AB) = 0.10，
⑸至少订一种报的；
p(AC) = 0.08，p(BC) = 0.05，
⑹不订任何报的；
p(ABC) = 0.03
⑺至多只订一种报的。
p(A) = 0.45, p(B) = 0.35，p(C) = 0.30，
第一章 随机事件及其概率
第一讲 随机事件及其运算 第二讲 概率定义及其算法 第三讲 条件概率与派生概率公式 第四讲 独立性与派生贝努里概型
随机事件间运算关系的Venn图
子事件A
Ω
和事件
Ω
积事件
Ω
不可能事件
Ω
A B
A∪B
A∩B
差
事
Ω
件 （
A－B
1 ）
（1）
差
Ω
事 件
（
A－B
2 ）
（2）
AB =
BA
表2
fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
正面出现的频率具有 (1) 随机波动性；(2)大量重复的稳定性
频率显然有如下基本性质
（1）0 fn ( A) 1;
（2） fn ( ) 1;
（3）若A1，A2，…Ak是两两互不相容的
n
n
事件，则 fn ( Ai ) fn (Ai ) ，即
① 两球全白的概率；
② 两球全红的概率；
pa (r1r2 )
| r1r2 |
| |
(a)
C31C31 C110C110
9 100
pb (r1r2 )
| r1r2 |
| |
(b)
C31C21 C110C91
(或
C32 C120
)
6 90
例2 盒中10球：7白3红。从中一次一球地 随机取球两次。试在（a）放回抽样（b）不放 回抽样这两种不同的取球方式下，分别计算
n n
P i1 Ai i1 P Ai
P Ai Aj
1i jn
P Ai Aj Ak 1 n1 PA1A2 An
1i jk n
PA B C P A B P(C) P[ A BC]
P(A) P(B) P(AB) P(C) P(AC BC)
P(A) P(B) P(AB) P(C) P(AC) P(BC) P(ACBC)
249 0.498
256 0.512
253 0.506
251 0.502
246 0.492
244 0.488
258 0.516
262 0.524
247 0.494
大次数 n 的抛硬币试验
试验者
n
nH
德·摩根
2048
1061
蒲丰
4040
2048
K·皮尔逊
12000
6019
K·皮尔逊
24000
12012
2.等可能性：每个样本点 1， 2, , n
的发生是等可能的
则称此试验E为古典概型，也叫等可能概型。
古典概型中事件概率的计算公式
设试验 E 的样本空间由n 个样本点构成， A 为 E 的任意一个事件，且包含 k 个样本点，则事 件 A 出现的概率记为:
P
A
|A
|
| |
A所包含样本点个数 k
样本点总数
n
称此为概率的古典定义.
例1 一枚硬币掷三次。记A1为“恰有一次出 现正面” 的事件，A2为“至少有一次出现正面” 的事件。试求 P(A1) 和 P(A2)。
解 依样本点计数法，易得
p(
A1
)
| |
A1
| |
3 8
p( A2
)
| |
A2
| |
1
1 8
7 8
例2 盒中10球：7白3红。从中一次一球地 随机取球两次。试在（a）放回抽样（b）不放 回抽样这两种不同的取球方式下，分别计算
⑵只订A报的；
p[A (B C)] p[A A(B C)]
⑶只订一种报的； ⑷正好订两种报的；
= p(A－AB ∪ AC )
⑸至少订一种报的； = p(A )－p(AB ∪ AC )
⑹不订任何报的；
= p(A )－p(AB )－p(AC)＋p(ABC )
⑺至多只订一种报的。= 0.45－0.10－0.08＋0.03 = 0.30 ；
① 两球全白的概率；
② 两球全红的概率；
pa (w1w2 )
| w1w2
| |
|
(a)
C71C71 C110C110
49 100
pb (w1w2 )
|
w1w2
| |
|
(b)
C71C61（或 C110C91
C72 C120
）
42 90
例2 盒中10球：7白3红。从中一次一球地 随机取球两次。试在（a）放回抽样（b）不放 回抽样这两种不同的取球方式下，分别计算
⑹不订任何报的；
⑺至多只订一种报的。
p(A) = 0.45, p(B) = 0.35，p(C) = 0.30， p(AB) = 0.10，p(AC) = 0.08，p(BC) = 0.05，
p(ABC) = 0.03
试计算以下各事件的发生概率： 积之逆即逆之和
⑴只订A、B二报的； p(ABC) p[A(B C)]
⑶只订一种报的；
p( ABCABC ) p( ABCABC )
⑷正好订两种报的； p(ABCABC) p(ABCABCABC)
⑸至少订一种报的； p(ABC) p(ABC) p(ABC)
⑹不订任何报的； ⑺至多只订一种报的。=
0.30 ＋（0.35－0.10－0.05＋0.03）
＋ （0.30－0.08－0.05＋0.03）
nH
fn (H)
2
0.4 22 0.44ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
0.6 25 0.50
1
0.2 21 0.42
5
1.0 25 0.50
1
0.2 24 0.48
2
0.4 21 0.42
4
0.8 18 0.36
2
0.4 24 0.48
3
0.6 27 0.54
3
0.6 31 0.62
表1
n=500
nH
fn (H)
251 0.502
p(A) = 0.45, p(B) = 0.35，p(C) = 0.30，
p(AB) = 0.10，p(AC) = 0.08，p(BC) = 0.05，
p(ABC) = 0.03
试计算以下各事件的发生概率：
⑴只订A、B二报的； p(ABC ABC ABC)
⑵只订A报的；
p( ABC) p( ABC ) p( ABC )
i1
i1
fn ( A1 A2
Ak ) fn (A1) fn (A2 ) fn (Ak )
四、 公理化概率
设随机试验 E 的样本空间是Ω 。如果E 的每 一事件 A 都被赋予某个实数 P(A)，且事件函数 P(·) 满足条件：
（1） 对任一事件 A 都有 P(A) 0;
（2） P( ) 1;
① ②
两两球球全全白红p的的ba (同概概色率率)；； |
r1r2
|
w1w2
|
|
(ba)
③ 两球同色的概率；
C312CCC1231011C0C72C11071C497180
58 100
④ 两球一白一红的概率；
⑤ 两球至少一白的概率。
例2 盒中10球：7白3红。从中一次一球地 随机取球两次。试在（a）放回抽样（b）不放 回抽样这两种不同的取球方式下，分别计算
pa (至少一白) pa (非全红)
1 pa (r1r2 )
③
两球同色的概率；
1
C31C31 C110C110
91 100
④ 两球一白一红的概率；
⑤ 两球至少一白的概率。
例3 将 m 只球随机地放入 M（ M≥ m ） 个杯中，试求如下各事件的概率：
1）某指定的 m 杯中各有一球( A ) ；
p(AB) = 0.10，p(AC) = 0.08，p(BC) = 0.05，
p(ABC) = 0.03
试计算以下各事件的发生概率：
⑴只订A、B二报的； ⑵只订A报的； ⑶只订一种报的； ⑷正好订两种报的； ⑸至少订一种报的；
p(ABC ) p(AB C) p(AB ABC)
= p(AB )－p(ABC ) = 0.10－0.03 = 0.07 ；
pa (一白一红) pa (不同色) 1 pa (同色)
③
两球同色的概 1率；C31CC31110CC11071C71
42 100
④ 两球一白一红的概率；
⑤ 两球至少一白的概率。
例2 盒中10球：7白3红。从中一次一球地 随机取球两次。试在（a）放回抽样（b）不放
回抽样这两种不同的取球方式下，分别计算