第三章 时间响应分析2

xo (t ) = 1 − e
−ξωnt 2
x o (t )
1+ e −ξωnt 1− ξ 2
1
e −ξωnt 1− ξ 2
±Δ
1− ξ
sin(ωd t + ϕ ), t ≥ 0
1−
ts
t
对于欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应的包络线为 一对对称于响应稳态分量 1 的指数曲线：
1±
e −ξω n t 1−ξ 2
M p ≤ 5%
得出ξ值，从而
本 章 内 容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 时间响应及其组成 典型输入信号 一阶系统 二阶系统 高阶系统 系统误差分析与计算
3.5 高阶系统的响应分析
z 高阶系统的单位阶跃响应 考虑系统：
X o ( s ) b0 s m + b1s m−1 + " + bm−1s + bm G ( s) = = X i ( s) a0 s n + a1s n−1 + " + an−1s + an
一般情况下，一阶因子引起非周期指数衰减，二 阶欠阻尼因子则引起阻尼振荡。
2）如果所有闭环极点都在s平面的左半平面，则 随着时间t→∞，x(∞)=a，系统是稳定的。 3）极点的性质决定瞬态分量的类型； 实数极点Æ非周期单调的瞬态分量； 共轭复数极点Æ边振荡边衰减瞬态分量。
xo = a + ∑ a j e
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3.4 二阶系统
3.4.1 二阶系统的单位脉冲响应 3.4.2 二阶系统的单位阶跃响应
3.4.3 二阶系统的性能指标 一、控制系统的时域性能指标 控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定 量指标，是定量分析的基础。 系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃 响应进行定义。常见的性能指标有： 〇 上升时间tr 〇 峰值时间tp 〇 调整时间ts 〇 最大超调量Mp 〇 振荡次数N
j =1
q
− p jt
2 − ξ k ωk t + ∑ bk2 + ck e sin(ωk 1 − ξ k2 t + ϕ ) k =1
1 当X i ( s ) = 时， s
X o ( s) =
q
K ∏ ( s + zi )
i =1 r k =1
m
2 s ∏ ( s + p j ) ∏ ( s 2 + 2ξ k ωk s + ωk ) j =1
a = +∑ +∑ s j =1 s + p j k =1 ( s + ξ k ωk ) 2 + (ωk 1 − ξ k2 ) 2
ϕ = arctg
1
x0(t)
t tr
1− ξ 2
π −ϕ tr = ωd
π − arctg
tr =
ξ
2
1− ξ 2
ξ
ωd = ωn 1−ξ
ωn 1 − ξ 2
显然， ξ 一定时，ωn越大，tr 越小；
ωn一定时，ξ 越大，tr 越大。
2. 峰值时间tp 响应曲线从零上升到 第一个峰值所需时间。
d 令： x0 (t ) = 0 dt
3 < − ln Δ < 4
⎧ 4 ⎪ξω , Δ = 0.02 ⎪ n ≈⎨ ⎪ 3 , Δ = 0.05 ⎪ ⎩ξωn
故： ln 1 − ξ 2 可忽略。
− ln Δ − ln 1 − ξ 2
ξωn
当ξ 一定时，ωn 越大，ts 越小，系统响应越快。 由上式求得的ts包通常偏保守。
5. 振荡次数 N
当包络线进入允许误差范围 之内时，阶跃响应曲线必然也 处于允许误差范围内。
1± 因此利用：
ts = 可得：
e −ξω n t 1−ξ 2
ξω n
=1± Δ
− ln Δ − ln 1 − ξ 2
当0<ξ<0.7时， 0 < − ln 1 − ξ 2 < 0.34
0.02 < Δ < 0.05
ts =
xo (t r ) = 1 − e −ξω n t r 1−ξ 2 sin (ω d t r + ϕ ) = 1
1
x o (t )
0
tr
x o (t )
1
t
90% 10%
0
tr
t
即： sin(ωd t r + ϕ ) = 0
ωd t r + φ = kπ , k = 0, ± 1, ± 2, "
k =1
结
论
二阶系统的动态性能由ωn和ξ 决定。 增加ξ 可以降低振荡，减小超调量Mp 和振荡次数 N ，但系统快速性降低，tr、tp 、ts 增加； ξ一定，ωn 越大，系统响应快速性越好， tr、tp、 ts 越小。 通常根据允许的最大超调量来确定ξ 。ξ 一般选 择在0.4~0.8之间，然后再调整ωn以获得合适的瞬 态响应时间。 tr、tp、ts 反映系统响应快速性
则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算公式, 可以求得:
tr =
π −β
ωn 1 − ξ 2
= 0.08(秒 )
tp =
πБайду номын сангаас
ωn 1 − ξ 2
= 0.12(秒 )
ts =
− ln(0.05 1 − ξ 2 )
ξω n
− πξ / 1−ξ 2
= 0.183(秒 )
σ% = e
× 100% = 13%
（2） K A = 1500时,ω n = 86.2(弧度 / 秒); ξ = 0.2
ωn 2 G(s) = s ( s + 2ξωn )
阶跃信号作为输入时，求其性能指标 t p、M p、t s。 解：系统闭环传函为典型二阶环节传函，则对欠阻 尼系统，其峰值时间为：
π π tp = = = 0.785 s， 2 ωd ωn 1 − ξ
Δ = 0.02 时， t s ≈ ξω
4 = 1.33 s
0
x o (t )
1
Mp
±Δ
t r tp
ts
t
二、欠阻尼二阶系统的时域性能指标的计算 1. 上升时间tr
响应曲线从零时刻出发首次 到达稳态值所需时间。 对无超调系统，上升时间一 般定义为响应曲线从稳态值的 10%上升到90%所需的时间。 欠阻尼二阶系统的阶跃响应为： e −ξωnt xo (t ) = 1 − sin(ωd t + ϕ ), t ≥ 0 1− ξ 2 根据上升时间的定义有：
二阶系统 Mp — ξ 图
Mp 100
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
25.4%
1 .5 %
ξ
Mp =e
−ξπ
1−ξ 2
×100%
4. 调整时间ts
响应曲线到达并保持在允 许误差范围（稳态值的±2% 或±5%）内所需的时间。 单位阶跃响应：
M p = −e
− ξω n
π ωd
π ξ π (cos ω d + sin ω d ) × 100 % = e 2 ωd ωd 1−ξ
−
ξπ
1− ξ 2
× 100 %
显然，Mp仅与阻尼比ξ 有关。最大超调量直接 说明了系统的阻尼特性。ξ 越大， Mp 越小，系统 的平稳性越好，当ξ = 0.4~0.8时，可以求得相应的 Mp = 25.4%~1.5%。
(t ≥ 0)
bk 其中， ϕ = arctg ck
xo = a + ∑ a j e
j =1
q
− p jt
2 − ξ k ωk t + ∑ bk2 + ck e sin(ωk 1 − ξ k2 t + ϕ ) k =1
r
(t ≥ 0)
1）高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统 的响应函数叠加而成。
3. 最大超调量 Mp 定义：响应曲线的最大 峰值与稳态值之差。
M p = x0 (t p ) − x0 (∞ )
−ξωn t p 2
x o (t )
Mp
1
xo (t p ) = 1 −
e
1− ξ
sin(ωd t p + ϕ )
tp =
π π = ωd ωn 1 − ξ 2
t
sin(ω d t p + ϕ ) = sin(π + ϕ ) = − sin ϕ = − 1 − ξ 2
q
aj
r
bk ( s + ξ k ωk ) + ck ωk 1 − ξ k2
复数极点：s = −ξ k ωk ± jωk 1 − ξ k2
其中，a, aj为Xo(s)在极点s = 0和s = -pj处的留数； bk、ck是与Xo(s)在极点处的留数有关的常数。
通过拉氏反变换，其输出为：
xo (t ) = a + ∑ a j e
xo (t p ) = 1 −
e
−ξωn
π ωd
2
1− ξ
(− 1 − ξ ) = 1 + e
2
−
ξπ
1−ξ 2
−
ξπ
1−ξ 2
Mp =e
x o (t )
3.
最大超调量 Mp
1
Mp
通常用百分数表示:
Mp = x0 (t p ) − x0 (∞) x0 (∞) × 100%
t
π tp = ， x0 (∞) = 1 因最大超调量发生在峰值时间， ωd
在调整时间内，响应曲线穿越稳 态值次数的一半定义为振荡次数。
振荡周期：Td = 2π 2π
x0(t) ±⊿%
ωd
=
t ts
ωn 1 − ξ 2
Δ = 0.05 Δ = 0.02
⎧1.5 1 − ξ 2 , ⎪ ξπ ts ⎪ 则： N = =⎨ Td ⎪ 2 1 − ξ 2 , ⎪ ξπ ⎩
N 仅与ξ 有关。与Mp 一样直接说明了系统的 阻尼特性。ξ 越大，N越小，系统平稳性越好。
= K ∏ ( s + zi ) ∏ (s + p j )
j =1 i =1 n m
( n ≥ m)
,
K ∏ ( s + zi )
i =1 m
b0 K= a0
=
2 2 ∏ ( s + p j ) ∏ ( s + 2ξ k ωk s + ωk ) j =1 k =1
q
r
,
q + 2r = n
假设系统极点互不相同。
二者相 互矛盾
Mp 、N
反映系统响应平稳性
例题1：已知单位负反馈系统的开环传递函数为： 5K A G (s) = s ( s + 34.5) （1）设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放大 器增益KA=200时,系统输出响应的动态性能指标。 （2）当KA增大到1500,这时系统的动态性能指标如 何? 解：系统的闭环传递函数为:
x o (t )
1
0
tp
−ξω n t p
t
将t = t p 代入，得：
ξω n
1−ξ 2 e
−ξω n t p
sin(ω d t p + ϕ ) −
ωd
1−ξ 2
e
cos(ω d t p + ϕ ) = 0
∴ tg (ωd t p + ϕ ) =
1− ξ 2
ξ
= tgϕ
即：ωd t p + ϕ = ϕ + kπ，k = 0， ± 1， ± 2，
∴ t p = 0.037(秒), t s = 0.174(秒), σ % = 52.7%, N = 2.34(次)
由此可见,KA越大, ξ越小,ωn越大,tp越小,σ%越大, 而调节时间ts无多大变化。
书中例题 例1,前向通道传递函数为
ωn = 5s −1。当以单位 的单位负反馈系统，ξ=0.6，
j =1 r q − p jt 2 + ∑ bk e −ξ kωk t cos ωk 1 − ξ k t k =1 r
2 + ∑ ck e −ξkωk t sin ωk 1 − ξ k t k =1
q − p jt r
(t ≥ 0)
= a + ∑ a je
j =1
2 2 −ξ k ωk t 2 + ∑ bk + ck e sin(ωk 1 − ξ k t +ϕ) k =1
Gk ( s ) 5K A Φ( s ) = = 2 1 + Gk ( s ) s + 34.5 s + 5 K A
1000 2 200, ( ) K = ∴Φ s = ∴ ω （1） A n = 1000, 2ξωn = 34.5 2 s + 34.5s + 1000 34.5 ∴ωn = 31.6(弧度 / 秒), ξ = = 0.545 2ωn
n
−
ξπ
Mp = e
1−ξ 2
× 100% = 9.5%
3
Δ = 0.05
t s≈ 时，
ξω n
= 1s
例3 ,前向通道传递函数为
50 G (s) = s (0.05s + 1)
的单位
M p ≤ 5% ,求： 负反馈系统，当系统输入单位阶跃函数时，
⑴ 校核该系统的各参数是否满足要求； ⑵ 在原系统中增加一微分负反馈环节H ( s ) = 1 + τs， 求微分反馈的时间常数τ。 解:⑴求出标准形式的闭环传函，得二阶系统的两个特 征参数ξ和 ωn ， 然后由ξ值得 M p ,知其不满足要求。 ⑵先求出系统的闭环传函，由 得出τ值。
2. 峰值时间tp
ωd t p = kπ，k = 0， ± 1， ± 2，
k =1
x o (t )
1
则
π π tp = ， 与ωn、 ξ有关。 = 2 ω d ωn 1 − ξ
t
可见，峰值时间等于有阻尼振荡周期的一半。
Td = 2π
ωd
ξ 一定，ωn越大，tp越小； ωn一定，ξ 越大，tp 越大。