积分变换法
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微积分中的积分变换
积分变换是微积分中的重要概念，通过积分变换可以将一个函数从一个域变换到另一个域，为解决各种数学和物理问题提供了强大的工具。
在积分变换中，常用的有傅里叶变换、拉普拉斯变换和洛朗变换等。
1.傅里叶变换傅里叶变换是一种将函数从时域变换到频域的方法。
给定一个函数f(x)，其傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫[−∞，+∞]f(x) e^(-iωx)dx在傅里叶变换中，ω 是频率，在频域中表示一个周期，而F(ω) 是函数在频域中的表示。
通过傅里叶变换，我们可以将一个函数在时域中的性质转化为频域中的性质，例如信号的频谱分析、滤波器设计等都离不开傅里叶变换的应用。
2.拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种将函数从时域变换到复平面上的方法。
给定一个函数f(t)，其拉普拉斯变换定义为：F(s) = ∫[0，∞]f(t) e^(-st)dt在拉普拉斯变换中，s 是一个复变量，表示一个点在复平面上的位置，而 F(s) 是函数在复平面上的表示。
通过拉普拉斯变换，我们可以将一个函数的微分方程转化为代数方程，在控制论、电路分析等领域有广泛的应用。
3.洛朗变换洛朗变换是一种将函数从时域变换到复平面上的方法。
给定一个函数f(t)，其洛朗变换定义为：F(z) = ∑[-∞，+∞]f(n) z^(-n)在洛朗变换中，z 是一个复变量，表示一个点在复平面上的位置，而 F(z) 是函数在复平面上的表示。
通过洛朗变换，可以将一个离散的序列转化为复平面上的函数，广泛应用于信号处理和系统分析等领域。
总结起来，积分变换是将函数从一个域变换到另一个域的方法，通过傅里叶变换、拉普拉斯变换和洛朗变换等方法，可以将函数的特性在时域、频域或复平面上进行分析。
积分变换在数学和物理领域中有着广泛的应用，为解决各种问题提供了强大的工具。
熟练掌握积分变换的应用方法和性质，将有助于我们深入理解微积分的原理和应用。
第四章积分变换法资料
x R,t 0
解： 作关于 x 的傅立叶变换。设
ux,t U ,t ux,tei xdx
f x,t fˆ ,t
x
方程变为
dU ,
t 2U ,t
fˆ ,t
dt
U , t |t0
F ei x f x dx.
称为f(t)的傅立叶变换。 记作：F () F[ f ( x)]
即是区间[a,b] (,) 上，核为 K , x ei x
的积分变换
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶积分定理：当 f(x) 满足上述条件时，有
2 g at
(x)
1 , 2 0,
at
x 其它
at
4.2 傅立叶变换的应用
所以 U (,t) 取傅立叶逆变换，得
u x,t 1 [ x at x at ]
2
t是参数
1
a
gat (x)
1 a
t 0
f
ga(t ) (x)d
1
F ei xd
记作： f
2
(x)
F
1[F
(
)]
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数
F f g F( f ) F(g)
2)微分运算性质
F f iF f
f n1 0 .
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
第十二章 积分变换法
l
傅里叶级数的复数形式（指数形式）： n
令 kn
l
，则
a0 f ( x) (an cos kn x bn sin kn x) 2 n 1 a0 an ikn x bn ikn x ikn x [ (e e ) (e e ikn x )] 2 n 1 2 2i a0 an ibn ikn x an ibn ikn x ( e e ) 2 n 1 2 2
a0 n x n x f ( x) (an cos bn sin ) 2 n1 l l 利用三角函数的正交关系，可得
1 n an f ( )cos d l l l
l
(n 0,1, 2,) (n 1, 2,)
数学物理方法
1 n bn f ( )sin d l l l
问题，积分变换法适宜。 关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题） ，但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤） 。
数学物理方法
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦 项是 k 的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f ( x)
0 0
1
0
dk
f ( ) cos[k ( x )]d
dk{[
[ A(k ) cos(kx) B (k )sin(cos k ( ) d ]cos( kx) [
1
f ( )sin k ( ) d ]sin( kx)}
傅里叶级数的复数形式（指数形式）： n
令 kn
l
，则
a0 f ( x) (an cos kn x bn sin kn x) 2 n 1 a0 an ikn x bn ikn x ikn x [ (e e ) (e e ikn x )] 2 n 1 2 2i a0 an ibn ikn x an ibn ikn x ( e e ) 2 n 1 2 2
a0 n x n x f ( x) (an cos bn sin ) 2 n1 l l 利用三角函数的正交关系，可得
1 n an f ( )cos d l l l
l
(n 0,1, 2,) (n 1, 2,)
数学物理方法
1 n bn f ( )sin d l l l
问题，积分变换法适宜。 关于无界问题的说明：如果物体的体积很大，而所需要知 道的只是在较短的时间和较小范围内的变化情况，那么边界条 件所产生的影响可以忽略，此时问题就变成只有初始条件、但 没有边界条件的定解问题（柯西问题） ，但无边界条件就无法 构成本征值问题（分离变量法的重要步骤） 。
数学物理方法
由上式可见：正弦项是 k 的奇函数，对 k 的积分为零；余弦 项是 k 的偶函数，为在区间（0，∞）积分值的两倍。
f ( x)
0 0
1
0
dk
f ( ) cos[k ( x )]d
dk{[
[ A(k ) cos(kx) B (k )sin(cos k ( ) d ]cos( kx) [
1
f ( )sin k ( ) d ]sin( kx)}
十一章积分变换法
变换的定义
交换积分次序
1
2
x
exp
ikx
dx
1
[
( )eik d ]ek2a2teikxdk
2π
u(x,t) 1
( )[
ek2a2teik (x )dk ]d
2π
令 (x ) ，得
u(x,t) 1
( )[
ek2a2t eik dk]d
2π
应用高斯像函数的 傅里叶变换关系
ikx
dk
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
kai
1
2
1 kai
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u1 x,t u2 x,t
u1
x,t
1 2
1
2
(k)eikat expikxdk
1
2
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u2
x,
t
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
1
2
ut
x,t exp ikx dx
a2
1
2
uxx
x,
t
exp
ikx
dx
0
ut k 2a2u(k, t) 0
边界条件运用傅里叶变换，得
11
1
2
u
x,
t
exp
ikx
dx
|t
0
1
2
1 ex2 expikxdx
由高斯函数的 傅里叶变换关系
u
1 eax2 expikxdx
u2
交换积分次序
1
2
x
exp
ikx
dx
1
[
( )eik d ]ek2a2teikxdk
2π
u(x,t) 1
( )[
ek2a2teik (x )dk ]d
2π
令 (x ) ，得
u(x,t) 1
( )[
ek2a2t eik dk]d
2π
应用高斯像函数的 傅里叶变换关系
ikx
dk
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
kai
1
2
1 kai
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u1 x,t u2 x,t
u1
x,t
1 2
1
2
(k)eikat expikxdk
1
2
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u2
x,
t
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
1
2
ut
x,t exp ikx dx
a2
1
2
uxx
x,
t
exp
ikx
dx
0
ut k 2a2u(k, t) 0
边界条件运用傅里叶变换，得
11
1
2
u
x,
t
exp
ikx
dx
|t
0
1
2
1 ex2 expikxdx
由高斯函数的 傅里叶变换关系
u
1 eax2 expikxdx
u2
第三章 积分变换法
1 1 a 2 2t
G(, )e
0 a 2 2 ( t )
t
a 2 2 ( t )
d ]
F [( )e
1
a 2 2t
] F [ G(, )e
1 0
( x )2 4 a 2t t 1 0
t
d ]
]d
x2
1 2a
方程与初始条件两端同时关于x取Fourier变换，得
dU ( , t ) 2 2 a U ( , t ) dt U ( , t ) ( ) t 0
通过Fourier变换将原问题转化为常微分方程定解问题。方程通解为： U (, t ) Ce
( x )2 4 a 2t '
由公式
( x, t; )
1 2a t
'
f ( , )e
1 d 2a (t )
f ( , )e
( x )2 4 a 2 ( t )
d
由齐次化原理 1 V ( x, t ) ( x, t; )d 0 2a
1
f ( x)e i x dx
F ( )ei x d
f ( x)e i x dx
1 f ( x) F [ F ( )] 2
x
F ( )ei x d
例.求函数f ( x) e 的Fourier变换。
解：F ( )
0
2 2W W 2 , - x , t 0, 2 a 2 ( II ) t x W - x t 0 ( x),
G(, )e
0 a 2 2 ( t )
t
a 2 2 ( t )
d ]
F [( )e
1
a 2 2t
] F [ G(, )e
1 0
( x )2 4 a 2t t 1 0
t
d ]
]d
x2
1 2a
方程与初始条件两端同时关于x取Fourier变换，得
dU ( , t ) 2 2 a U ( , t ) dt U ( , t ) ( ) t 0
通过Fourier变换将原问题转化为常微分方程定解问题。方程通解为： U (, t ) Ce
( x )2 4 a 2t '
由公式
( x, t; )
1 2a t
'
f ( , )e
1 d 2a (t )
f ( , )e
( x )2 4 a 2 ( t )
d
由齐次化原理 1 V ( x, t ) ( x, t; )d 0 2a
1
f ( x)e i x dx
F ( )ei x d
f ( x)e i x dx
1 f ( x) F [ F ( )] 2
x
F ( )ei x d
例.求函数f ( x) e 的Fourier变换。
解：F ( )
0
2 2W W 2 , - x , t 0, 2 a 2 ( II ) t x W - x t 0 ( x),
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
积分变换法
F fg F (f)F ( g )
2)微分运算性质
FfiFf
Ff(n ) (i)nF f
整理课件
6
4.1 傅立叶变换的概念和性质
3)对傅立叶变换后的函数求导数
ddFfF[ixf(x)]
dd nnFfF[(ix)nf(x)]
4) 卷积性质
设 f(x)，g(x) 在 (,) 上绝对可积, 定义卷积：
整理课件
27
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
8) 卷积性质 L f g L fL g
其 中 fg t 0 tfsg t sd s
应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如 P38 ), 也适用于偏微分方程。
整理课件
28
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
例 解常微分方程的初值问题:
T''ta2Tt f t T0b, T'0c.
解：对 t 进行拉普拉斯变换, 设
T(t)L Tp, ftL Fp.
则原方程变为 p 2 T p b p c a 2 T p F ( p )
整理课件
29
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
T p F p p 2 b a p 2 c a 1 F p p 2 a a 2 b p 2 p a 2 a c p 2 a a 2
t是连续点 t是第一类间断点
特别的，当 f(x) 连续时
f
x1
eixd
f(t)eitdt
2
➢傅立叶逆变换定义为：记f整作理x课：件f(2x 1) F F 1 [F (e i)]xd 5
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数
2)微分运算性质
FfiFf
Ff(n ) (i)nF f
整理课件
6
4.1 傅立叶变换的概念和性质
3)对傅立叶变换后的函数求导数
ddFfF[ixf(x)]
dd nnFfF[(ix)nf(x)]
4) 卷积性质
设 f(x)，g(x) 在 (,) 上绝对可积, 定义卷积：
整理课件
27
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
8) 卷积性质 L f g L fL g
其 中 fg t 0 tfsg t sd s
应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如 P38 ), 也适用于偏微分方程。
整理课件
28
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
例 解常微分方程的初值问题:
T''ta2Tt f t T0b, T'0c.
解：对 t 进行拉普拉斯变换, 设
T(t)L Tp, ftL Fp.
则原方程变为 p 2 T p b p c a 2 T p F ( p )
整理课件
29
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
T p F p p 2 b a p 2 c a 1 F p p 2 a a 2 b p 2 p a 2 a c p 2 a a 2
t是连续点 t是第一类间断点
特别的，当 f(x) 连续时
f
x1
eixd
f(t)eitdt
2
➢傅立叶逆变换定义为：记f整作理x课：件f(2x 1) F F 1 [F (e i)]xd 5
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
《数理方程》积分变换法解析
x2
x2
1 p2
dU dx
2x p
x2 p3
.
而 u |x1 cos y
变为
U
x,
p
|x1
1
p p2
,
解常微分方程得
U x, p
1 3 p3
x3
1 p
x2
p 1 p2
1 3 p3
1 p
.
取拉普拉斯逆变换，得
L(t n )
n! pn1 , n 0,1,
u
|x
0
f
t.
思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？
对 t 进行拉普拉斯变换，设
u x,t U x, p, f t F p
于是方程变为
a2
d 2U x,
dx 2
p
pU
x,
p,
U x, p |x0 F p
这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为
根据傅里叶变换的微分性质，
方程转化为
dU ,
t
2U , t
dt
U , t |t0 F
于是 U ,t F e2t .
为了求出原方程的解,下面对 U ,t 关于 进行
傅立叶逆变换.
U ,t F e2t .
再由边值条件 U x, p |x0 F p 可知，C = F(p).
U
x,
p
F
pe
p a
x
.
为求出 u(x,t), 需要对 U(x,p) 进行拉普拉斯 逆变换。
积分变换法
dU (,t) a22U (,t) G(,t),
dt
它满足初值条件
U (, t) |t0 ().
(39) (40)
为了求解常微分方程初值问题(39)(40)，记
19
例1 求解下列问题的解 ut a 2uxx f (x,t) ( x , t 0), (37)
u |t0 (x).
(38)
10
例3 求fˆ() e2t 的傅里叶逆变换，其中t 0.
解 由定义知
f (x) 1 fˆ ()eixd 1 e2t eix d
2
2
1 e2t (cosx i sin x)d,
2
1 e2t cos xd,
0
对 f (x) 求导，并利用一次分部积分得
df (x) x f (x) 0. dx 2t
( ) L1
s
1
2a 2
L1
s
1
2 a 2
G
(, s)
L[eat ] 1 sa
()ea22t
G(,t) ea22t
()ea22t t G(, )ea22 (t ) d . 0
(42)
为了求出问题(37)(38)的解，还需要对U (,t)
取傅氏逆变换。
22
例1 求解下列问题的解 ut a 2uxx f (x,t) ( x , t 0), (37)
t t0 t t0
证明 由拉氏变换的定义知
L[ f (t t0 )u(t t0 )]
0
f
(t
t0 )u(t
t0 )est dt
t0
f
(t
t0
)e st
dt
令 y t t0 , 则上式变为
积分变换法
F ( λ ) = F [ f ( t )] =
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
数理方程参考答案4第四章 积分变换法
若 在 点连续，则
1
定义
设函数 f ( x) 在 (−∞, +∞) 上的任意有限区间上满足狄利克雷条件，在 (−∞, +∞) 上绝
对可积，则称广义积分
为
的傅里叶变换，或者称为 定义 称
的像函数。通常记为
，或
。
为
的傅里叶逆变换，或者称为 傅里叶变换及其逆变换的基本性质
的像原函数。记为
.
性质 1（线性性质） 傅里叶变换及其逆变换都是线性变换，即
其中 ， 是任意常数。 性质 2（相似性质） 对于任意实常数 ，有 . 性质 3（位移性质）对于任意实常数 ，有 , 性质 4（微分性质）设 ， 的傅里叶变换存在，则 . 一般地，若 , ,…, 的傅里叶变换存在，则 . 性质 5（乘多项式性质）设 的傅里叶变换存在，则
2
.
. 性质 6 (积分性质) . 性质 7 (对称性质) . 定义 于所有的 设函数 和 是 上定义的函数。 如果广义积分 对
2 ∂ 2u 2 ∂ u a − = 0 (−∞ < x < +∞, t > 0), ∂t 2 ∂x 2 ∂u u| ψ ( x). ( x), = = t =0 ϕ ∂t t =0
的解为
二维拉普拉斯方程的边值问题
∂ 2u ∂ 2u = 0 ( −∞ < x < +∞, y > 0), ∂x 2 + ∂ y2 u | = f ( x ), x =0 u = 0. |xlim |→+∞ 的解为
2
s2
例3 解
求函数 F ( p ) = 因为
p 的拉普拉斯逆变换 p − 2 p +5
数学积分变换法
1 a
F
p a
,
a 0.
6） 卷积性质 定义
f
g
x
x
0
f
x
t
g
t dt
则 L f g L f Lg
例 设 y yt 求解常微分方程的初值问题:
y''2 y'3y et y |t0 0, y'|t0 1 解 对 t 进行拉普拉斯变换, 设 yt Fp, 则
et 1 p 1
y' pFp y0 pF( p)
可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t
则
U ,t F
1
x2
e 4t F[ ]F
1
x2 e 4t
2 t
2 t
u x,t F 1 U(,t)
F 1 F ( )F
1
x2 e 4t
)e1 4(t )
x2
de4( t
)
d
2 0 t 2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )
傅立叶逆变换是一种把分析运算化为代数运算的 有效方法,但
1.傅立叶变换要求原象函数在R上绝对可积.,大 部分函数不能作傅立叶变换
.
而 u x,0 x 0
解： 则
作关于 x
F
ux,t
的U 2傅1,立tt叶e变x42t u换x。,et设e2t i
第7章-积分变换法 (更新版)
7
下用初始条件来确定通解中的F和 G。 代入初始条件，可得
F (x) G(x) (x), aF '(x) aG'(x) (x).
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
F '(x) G'(x) '(x).
由（2）、（3）两式，解得
F '(x) 1 (a '(x) (x)),
2a
G'(x) 1 (a '(x) (x)).
x1 at x x2 at,t 0.
举例，求解弦振动方程的柯西问题
u
(
2u t 2
x, 0)
2u x2
0
x,
u ( x, t
0)
(t 0, sin x
x ) ( x
)
由达朗贝尔公式可得其解为：
u(x,t) 1 ((x t) (x t)) 1
x
t
sin
d
2
2 xt
区间[x-at, x+at]称为点(x,t)的依赖区域。它的求法是过点 (x,t)作斜率为1/a,-1/a的两条直线与x轴交截而得的区间。
t
t
(x, t)
x-at
x+at
x1
x
0
x2
x
0
x1
x2 x
a)点(x,t)的依赖区间
b)区间[x1,x2]的决定区域 图1.2 依赖区间、决定区域及影响区域
c)区间[x1,x2]的影响区域
第七章 行波法、积分变换法
在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题 的另两种方法，行波法与积分变换法. 行波法又称为达朗贝尔方法，它是求解无界域 内波动方程定解问题的一种有效的方法。 积分变换法: Laplace 变换
下用初始条件来确定通解中的F和 G。 代入初始条件，可得
F (x) G(x) (x), aF '(x) aG'(x) (x).
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
F '(x) G'(x) '(x).
由（2）、（3）两式，解得
F '(x) 1 (a '(x) (x)),
2a
G'(x) 1 (a '(x) (x)).
x1 at x x2 at,t 0.
举例，求解弦振动方程的柯西问题
u
(
2u t 2
x, 0)
2u x2
0
x,
u ( x, t
0)
(t 0, sin x
x ) ( x
)
由达朗贝尔公式可得其解为：
u(x,t) 1 ((x t) (x t)) 1
x
t
sin
d
2
2 xt
区间[x-at, x+at]称为点(x,t)的依赖区域。它的求法是过点 (x,t)作斜率为1/a,-1/a的两条直线与x轴交截而得的区间。
t
t
(x, t)
x-at
x+at
x1
x
0
x2
x
0
x1
x2 x
a)点(x,t)的依赖区间
b)区间[x1,x2]的决定区域 图1.2 依赖区间、决定区域及影响区域
c)区间[x1,x2]的影响区域
第七章 行波法、积分变换法
在这一章中，我们将介绍求解数学物理问题 的另两种方法，行波法与积分变换法. 行波法又称为达朗贝尔方法，它是求解无界域 内波动方程定解问题的一种有效的方法。 积分变换法: Laplace 变换
积分变换公式知识点总结
积分变换公式知识点总结一、积分变换的概念积分变换是微积分学中的一个重要概念，它是对函数进行变换的一种方法，通过对函数进行积分变换，可以得到原函数的一些新的性质和特征。
积分变换被广泛应用于信号处理、控制系统、电路分析等领域。
二、常见的积分变换公式1. 恒等式公式1）积分的线性性质：若f(t)和g(t)都在区间[a, b]上可积，则有∫[a, b]（af(t) + bg(t)）dt = a∫[a, b]f(t)dt + b∫[a, b]g(t)dt。
2）区间可加性：如果函数f(t)在区间[a, c]上可积，那么f(t)在区间[a, b]和区间[b, c]上都可积，并且有∫[a, c]f(t)dt = ∫[a, b]f(t)dt + ∫[b, c]f(t)dt。
3）可积函数的基本性质：若函数f(t)在区间[a, b]上可积，那么f(t)在这个区间的任何子集上也可积，且积分的值是相同的。
2. 基本积分变换公式1）积分的基本性质：∫kf(t)dt = k∫f(t)dt，其中k为常数。
2）换元积分法：∫f(u)du = ∫f(u(t))u'(t)dt。
3）分部积分法：∫udv = uv - ∫vdu。
3. 常用的积分变换公式1）指数函数的积分变换：∫e^x dx = e^x + C。
2）三角函数的积分变换：∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C。
3）对数函数的积分变换：∫1/x dx = ln|x| + C。
三、积分变换的应用1. 信号处理中的应用积分变换在信号处理领域有着重要的应用，特别是在分析和处理一些特殊的信号时，比如正弦信号、脉冲信号等。
通过对这些信号进行积分变换，可以得到它们的频谱特性，从而更好地理解和处理这些信号。
2. 控制系统中的应用在控制系统中，积分变换也有着重要的应用。
例如在PID控制器中，积分环节能够消除系统的静态误差，改善系统的稳定性和精度。
3.3 积分变换法
从而有公式
1 F 1 [cos aλ ] = [δ ( x + a) + δ ( x a)] 2
F 1 [sin aλ ] = 1 [δ ( x + a ) δ ( x a )] 2i
10
例2 求
1, | x |≤ m f ( x) = 0, | x |> m
傅里叶变换, 的傅里叶变换,其中 m > 0. 解 由定义知
∞
由例4结论可得
F [e
1 |λ | y
y ]= ( y > 0) 2 2 π y +x
14
1
几类常见的傅里叶变换或逆变换 几类常见的傅里叶变换或逆变换 1. 2. 3. 4. 5.
F [δ ( x + a )] = e iaλ F [δ ( x a)] = e iaλ F (δ ( x)) = 1
9
利用 F [δ ( x + a)] = e iaλ
F [δ ( x a )] = e iaλ
和傅里叶变换的线性性可得 和傅里叶变换的线性性可得 线性性
iaλ iaλ 1 e +e = cos aλ F [δ ( x + a) + δ ( x a )] = 2 2 iaλ iaλ 1 e e F [δ ( x + a) δ ( x a)] = = sin aλ 2i 2i
∫
+∞
∞
f (λ )e ixλ dλ .
F ( s ) = L( f ) = ∫
+∞
0
f (t )e st dt.
拉普拉斯逆变换记为 拉普拉斯逆变换记为
f (t ) = L1 ( F ( s )),
可用留数定理求得:设 F (s ) 除在半平面 Re s ≤ c内 可用留数定理求得: 留数定理求得 外是解析的, 有限孤立奇点 s1 , s 2 , s n 外是解析的,且当s → ∞
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F[ f g] F[ f ] F[g],
从而
F 1[ fˆ gˆ ] f g.
对于拉普拉斯变换也有同样的卷积定理。
t
f (t) g(t) 0 f ( )g(t )d
3
(5) 频移定理(位移定理) 对变换的参变量而言
若 fˆ () F[ f (x)], F(s) L[ f (t)], 则有
F
1 2
[
(x
a)
(x
a)]
e ia
e ia 2
cosa
F
1 2i
[
(x
a)
(x
a)]
e ia
e ia 2i
sin a
从而有公式
F 1[cosa] 1 [ (x a) (x a)]
2
F 1[sin a] 1 [ (x a) (x a)]
2i
9
例2 求
f
(x)
1, 0,
fˆ () f (x)eix dx (x a)eix dx
利用 函数的性质
f (x) (x x0 )dx f (x0 )
则有
F[ (x a)] eia
同理可得
F[ (x a)] eia
8
利用 F[ (x a)] eia
F[ (x a)] eia
和傅里叶变换的线性性可得
(2)
(x)dx 1
若冲激作用不是发生在x 0 处，而是发生在
x x0 处，则函数记为 (x x0 ), 且满足
(
x
x0
)
,
0,
x x0 , x x0 ,(x x0 )dx 1
6
补充 函数的定义及性质 (二) 函数的性质：
(1) 抽样性质： f (x) (x x0 )dx f (x0 )
| x | m | x | m
的傅里叶变换，其中 m 0.
解 由定义知
fˆ () f (x)eix dx m eix dx
m
m
ei cos i sin (cos x i sin x)dx m
由例2结论可得
2
m
cos xdx
2sin m
0
F 1[sin m ] 1 , | x | m 2
其中 a,b 是任意常数。 (2) 微分定理1
若 f , f 都可进行傅里叶变换(拉普拉斯变换)， 且在无穷远处为0，
F[ f (x)] iF[ f (x)], F[ f (x)] (i)2 F[ f (x)],
F[ f (n) (x)] (i)n F[ f (x)],
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0), L[ f (t)] s2 L[ f (t)] sf (0) f (0), L[ f (n) (t)] s n L( f (t)) s n1 f (0) s n2 f (0) f (n1) (0).
0
F (s)est0 =右
边
5
补充 函数的定义及性质 函数是从某些物理现象中抽象出来的数学
模型，例如：力学中瞬间作用的冲击力，原子弹
、氢弹的爆炸等， 这些物理现象有个共同特点，
即作用时间极短，但作用强度极大。(冲激函数)
(一) 函数的定义：满足以下两个条件的函数
(1)
(x)
,
0,
x 0, x 0,
有限孤立奇点 s1, s2 ,sn 外是解析的，且当s
时，F(s) 0, 则有
n
f (t) Res[F (s)est , sk ]. k 1
1
积分变换有下述基本性质：
(1) 线性性质 F[af bg] aF[ f ] bF[g],
L[af bg] aL[ f ] bL[g],
F[ f (x)ei0x ] fˆ( 0 ) 傅里叶变换
L[ f (t)eat ] F (s a) 拉普拉斯变换
(6) 延迟定理
对变换的自变量而言
若 fˆ () F[ f (x)], F(s) L[ f (t)], 则有
F[ f (x x0 )] fˆ()eix0 傅里叶变换
L[ f (t t0 )u(t t0 )] F (s)est0 拉普拉斯变换
其中 可简化为
1, u(t t0 ) 0,
t t0 t t0
L[ f (t t0 )] F (s)est0 (t t0 )
4
证明拉普拉斯变换的延迟定理 若 F(s) L[ f (t)], 则有
L[ f (t t0 )u(t t0 )] F (s)est0
其中
1, u(t t0 ) 0,
x2
f (x) f (0)e 4t .
t t0 t t0
证明 由拉氏变换的定义知
L[ f (t t0 )u(t t0 )]
0
f
(t
t0 )u(t
t0 )est dt
t0
f
(t
t0
)e st
dt
令 y t t0 , 则上式变为
左边 f ( y)es( yt0 ) dy est0 f ( y)esy dy
0
10
例3 求fˆ() e2t 的傅里叶逆变换，其中t 0.
解 由定义知
f (x) 1 fˆ ()eixd 1 e2t eix d
2
2
1 e2t (cosx i sin x)d,
2
1 e2t cos xd,
0
对 f (x) 求导，并利用一次分部积分得
df (x) x f (x) 0. dx 2t
fˆ () F ( f ) f (x)eix dx
f (x) F 1 ( fˆ ) 1 fˆ ()eix d.
2
F (s) L( f ) f (t)est dt. 0
拉普拉斯逆变换记为
f (t) L1 (F (s)),
可用留数定理求得：设F(s) 除在半平面 Re s c内
2
(3) 微分定理2 若 fˆ () F[ f (x)], F(s) L[ f (t)], 则有 fˆ () F[ixf ] 傅里叶变换
F(s) L[tf (t)] 拉普拉斯变换 (4) 卷积定理
如果 f , g 的卷积
f (x) g(x) f ( y)g(x y)dy
可作傅里叶变换，则
特别的，
f (x) (x)dx f (0)
(2) 对称性： (x) 为偶函数，则有
特别的，
(x x0 ) (x0 x) (x) (x)
自然也有
f (x) (x0 x)dx f (x0 )
7
例1 求函数 (x a) 的傅里叶变换，其中 a 是与
自变量 x 无关的数。
解 由定义知