立体几何中的轨迹问题

例析空间中点的轨迹问题的转化

求空间图形中点的轨迹既是中学数学学习中的一个难点，又是近

几年高考的一个热点，这是一类立体几何与解析几何的交汇题，既考查空间想象能力，同时又考查如何将空间几何的轨迹问题转化为平面的轨迹问题来处理的基本思想。

一. 轨迹为点例1已知平面：■ || 1,直线I :•，点P l，平面之间的距离为8,

则在［内到P点的距离为10且到直线I的距离为9的点的轨迹是

( )

A .一个圆 B.两条直线

C.两个点

D.四个点

解析:设Q为1内一动点，点P在1内射影为0,过O, I的平面与1的父线为I，: PQ=10, • 0Q= , 10 -8 - 6点Q在以O为圆心6为半径圆上，过Q作QM 于M ,又；点Q到直线I的距离为9 QM= , 92-82「17则点Q在以I 平行距离为-.17的两条平行线上两条平行线与圆有四个交点•这样的点Q有四个，故答案选D。

点评:本题以空间图形为背景，把立体几何问题转化到平面上，再用平面几何知识解决，要熟记一些平面几何点的轨迹。

二. 轨迹为线段

例2.如图，正方体ABCD -A1EGD1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP — BD1，则动点P的轨迹是()。

A.线段B i C

B.线段BC i

C. BB i中点与CC i中点连成的线段

D. BC中点与BG中点连成的线段

解：连结AB1, AC, B1C，易知AB— A^BD1所以AB— BD「AC _ BD^BQ _ BD1, 所以BD j _面AB1C，若P B1C，贝S AP 平面AB1C，于是BD^ AP，因此动点P的轨迹是线段B i C。

评注：本题是由线面垂直的性质从而求出点P的轨迹。

例3 已知圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，0为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM — MP，

则点P的轨迹是________ 。形成的轨迹的长度为___________ 。

解析:在平面SAB中，过M作AM的垂线交AB于C,在底面上，过C作AB的垂线分别交底面圆于D,E两点，则AM _面MDEQE即为点P的

轨迹，又AO=1,MO= ,AM=弓,从而AC# ,0C二弓,所以DE=2.1- 32 V.所以填上线段；—

三. 轨迹为直线

例4 （北京高考题）如图，AB是平面〉的斜线段，A为斜足，过点B 作直线I与AB垂直，则直线I与平面〉交点的轨迹是（）

A .圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线

解析：由题意可知直线I的轨迹应是过点B且与AB垂直的平面，该

平面与平面「交点为一条直线，故答案选 C.

四•轨迹为圆弧例5 如图，P是棱长为1的正方体ABCD — AB i CP表面上的动点，且

AP二J2，则动点P的轨迹的长度为 ________ 。A.X

解析：由已知AC=AB 1=AD 1^2 ,在面BC i,面A i C i,昙

BP=A i P=DP=1,所以动点P的轨迹是在面BC i,面A i C i,面DC i内分别以

B,D,A i为圆心，1为半径的三段圆弧，且长度相等，故轨迹长度和为-3 =与。

五•轨迹为平面例6•不共面的四个定点到平面：的距离都相等，这样的平面：个数为

( )

A .3

B .4

解析：以不共面的四个定点为顶点构造四面体，则满足条件的平面 : 可分两类。第一类是中截面所在的平面有4个；第二类是和一组对棱平行且经过其它各棱中点的平面有3个，故满足条件的平面:个数为4 + 3 = 7 .故答案选D .

评注：本题关键在于构造空间四边形，利用四面体的性质去求解。

六.轨迹为圆

例7,如图，三角形PAB所在的平面〉和四边形ABCD所在的平面1 垂直，且AD _ ： , BC _ ：, AD=4 , BC=8 , AB=6 , APD = CPB，贝S

点P在平面〉内的轨迹是（）

A .圆的一部分 B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分解析：由

条件易得AD||BC，且.APD - CPB , AD=4 , BC=8，

可得ta n. APD =^=CB = ta n. CPB,即閉二鬻=2，在平面PAB内以AB所在的直线为x轴，AB的中点0为坐标原点，建立直角坐标系，则 A （-3, 0）,B （3, 0），设P（x,y）,则有裟二晋汙=2，整理可得一个圆的方程即x2 y2• 10x • 9 = 0 x = 0。由于点P不在直线AB上，故此轨迹为圆的一部分故答案选

A.

点评:本题主要考查空间轨迹问题，是在立体几何与解析几何的交汇处命制的创新题，既考查了空间想象能力，又考查了代数方法（坐标法）研究几何轨迹的基本思想。

七•轨迹为抛物线例8•如图，正方体ABCD -ABQQ的棱长为1，点M在棱AB 上，且

AM= 3，点P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与

动点P到点M的距离的平方差为1,则动点P的轨迹是（）.

A.圆

B.抛物线

分析：动点的轨迹问题是解析几何中常见的问题，因此我们可以把立体关系转化到平面上去，利用解析几何的知识将问题解决。

解：设PF—AP于点F，过点P作PE —AD于点E，连结EF，则AD —平面PEF，二AD丄EF，即EF//AA1。因为|PF『- PM『=1，且PF2-1 = p岸-E F|= |P2所以|PE = PM|。由抛物线定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，故应选B.

评注：从立体转化到平面，从平面到直线，显然是在逐级降维，平面