12导数的计算-教学设计-教案
大学导数优秀教案设计
教学目标：1. 理解导数的概念，掌握导数的定义和几何意义。
2. 掌握导数的计算方法，包括求导公式和导数法则。
3. 能够运用导数解决实际问题，如函数的单调性、极值、最值等。
4. 培养学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
教学重点：1. 导数的定义和几何意义。
2. 导数的计算方法，包括求导公式和导数法则。
3. 导数的应用。
教学难点：1. 导数的定义和几何意义的理解。
2. 导数计算方法的掌握。
教学过程：一、导入1. 通过实际问题引入导数的概念，如曲线的切线斜率、瞬时速度等。
2. 引导学生思考如何求解曲线在某一点的切线斜率。
二、新课讲授1. 导数的定义：- 给出函数在某一点的导数的定义，让学生理解导数的含义。
- 通过几何意义解释导数，如曲线在某一点的切线斜率。
2. 导数的计算方法：- 介绍求导公式，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
- 讲解导数法则，如和差法则、乘除法则、链式法则等。
3. 导数的应用：- 讲解函数的单调性、极值、最值等概念。
- 通过实例讲解如何运用导数解决实际问题。
三、课堂练习1. 学生独立完成导数计算题目，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生在解题过程中遇到的问题。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调导数的定义、计算方法和应用。
2. 引导学生总结导数在实际问题中的应用，如物理、经济、工程等领域。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解导数在其他领域的应用。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量。
3. 期末考试：通过试卷考察学生对导数知识的掌握程度。
新高考数学(理)函数与导数 专题12 导数的概念及运算(解析版)
2020年高考数学（理）函数与导数12 导数及其应用 导数的概念及运算一、具体目标：1.导数概念及其几何意义：(1）了解导数概念的实际背景；（2）理解导数的几何意义.2.导数的运算：（1）根据导数定义，求函数y c y x ==，，2y x =，1y x=的导数； (2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【考点透析】 【备考重点】(1) 熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则； (2) 熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式. 二、知识概述： 1．由0()()'()limx f x x f x f x x∆→+∆-=∆可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.2.基本初等函数的导数公式及导数的运算法则原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数)f ′(x )＝0()()Q n x x f n ∈= ()1-='n nx x f()x x f sin = ()x x f cos =' ()x x f cos =()x x f sin -=' ()x a x f =()a a x f x ln ='()x e x f = ()x e x f ='()x x f a log =()ax x f ln 1=' 【考点讲解】1）基本初等函数的导数公式2）导数的运算法则（1） [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；（和或差的导数是导数的和与差）（2） [f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；（积的导数是，前导后不导加上后导前不导） （3）2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦(g (x )≠0)．（商的导数是上导下不导减去上不导下导与分母平方的商）(4) 复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．3．函数()y f x =在0x x =处的导数几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．【温馨提示】1.求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.()x x f ln =()xx f 1='2.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数()y f x =在0x x =处的导数表示曲线在点00(,())P x f x 处切线的斜率，因此，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程，可按如下方式求得：第一，求出函数()y f x =在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的斜率； 第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程000'()()y y f x x x =+-；如果曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为0x x =. 【提示】解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：①切点在曲线上；②切点在切线上；③切点处的导数值等于切线的斜率．1. 【2019年高考全国Ⅲ卷】已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ） A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【解析】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-.故选D ． 【答案】D2.【2019年高考全国Ⅱ卷】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为（ ）A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【解析】本题要注意已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．【真题分析】2cos sin ,y x x '=-Q π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国Ⅰ卷】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为（ ）A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D. 【答案】D4.【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（ ）【解析】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ． 【答案】D5.【2019年高考全国Ⅰ卷】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x xy x x x x x '=+++=++所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【答案】30x y -=6.【变式】【2018年理数全国卷II 】曲线()1ln 2+=x y在点()00，处的切线方程为__________． 【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.由题中条件可得：12+='x y ，所以切线的斜率为2102=+=k ，切线方程为()020-=-x y ，即x y 2=.【答案】x y 2=7.【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【解析】∵1sin 2y x '=--，∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=. 【答案】220x y +-=8．【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________． 【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【答案】e9.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 .【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点()00,A x y ， 则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，将点()e,1--代入，得00e 1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =， 考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+， 当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =，故点A 的坐标为()e,1. 【答案】(e, 1)10.【2018年全国卷Ⅲ理】曲线()()x e ax x f 1+=在点()10，处的切线的斜率为2-，则=a ________．【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，并利用导数的几何意义求参数的值.由题意可知：()()x x e ax ae x f 1++='，则()210-=+='a f ，所以3-=a ，故答案为-3.【答案】3-【变式】已知函数错误!未找到引用源。
数学高中教案：三角函数与导数计算
数学高中教案：三角函数与导数计算一、引言在高中数学的教学中，三角函数与导数计算是一个重要的知识点。
它们不仅是数学学科的基础，还在日常生活和其他学科中具有广泛的应用。
本文将介绍关于三角函数与导数计算的教案设计，包括教学目标、教学内容、教学方法和评价方式等。
二、教学目标1. 掌握三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义和性质。
2. 理解三角函数在平面直角坐标系中的图像特征。
3. 学会通过已知条件计算三角函数值和解三角方程。
4. 熟练掌握导数的定义及其性质。
5. 掌握通过导数计算相关函数（如多项式函数和三角函数）的极限、增减性以及最值问题。
三、教学内容1. 三角函数（1）正弦函数：定义及性质。
- 使用单位圆法讲解正弦函数的定义，并说明其周期为2π。
- 引导学生观察正弦函数的图像特征，包括振幅、周期和对称轴等。
（2）余弦函数：定义及性质。
- 类似地，使用单位圆法讲解余弦函数的定义，并说明其周期为2π。
- 引导学生观察余弦函数的图像特征，与正弦函数进行比较分析。
（3）正切函数：定义及性质。
- 使用正切线在单位圆上的截距来定义正切函数，并说明其周期为π。
- 将正切函数与正弦函数和余弦函数一起比较，帮助学生理解其特点。
（4）计算三角函数值和解三角方程- 通过例题演示，让学生掌握如何计算给定角度下三角函数的值。
- 引导学生思考并解决一些简单的三角方程。
2. 导数计算（1）导数的定义- 以函数y=f(x)为例，引入导数的定义：f'(x) = lim（h→0）[f(x+h)-f(x)]/h。
- 解释导数在几何意义上表示切线斜率或变化率。
（2）导数的性质- 提供一些常见公式和规则，如常数规则、乘法法则和链式法则等。
- 通过具体例子，让学生熟悉这些性质并能够灵活应用。
（3）求导举例- 针对多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等不同类型的函数，进行求导计算的演示和练习。
（4）极限、增减性与最值问题- 引入函数的极限概念及其计算方法，以及函数的单调性和最值问题。
导数概念教学设计
导数概念教学设计一、导数概念简介导数是微积分学中的重要概念，可以理解为函数在某一点上的变化率。
导数的概念及其应用在数学和科学领域中具有广泛的应用。
为了有效地教授导数概念，本教学设计将分为三个部分进行介绍和讲解，以帮助学生全面理解导数概念的基础知识和应用。
二、导数概念的引入在教授导数概念之前，我们先通过一个例子引入导数的概念。
假设有一个小球在斜坡上滚动的示例，并且我们想要知道小球在某个时刻的速度。
我们让学生思考如何计算小球在不同时刻的速度以及在不同位置的速度会有何变化。
三、导数的定义与计算1. 导数的定义导数可以通过极限来定义，当一个函数f(x)在点x处可导时，其导数f'(x)可以通过以下公式计算：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx2. 导数的计算为了让学生更好地理解导数的计算过程，我们可以提供一些简单的函数，如常数函数、幂函数、指数函数和三角函数，并指导学生通过基本的求导法则进行计算。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数可以应用幂函数的求导公式等。
四、导数的几何意义导数除了可以表示函数在某一点上的变化率外，还有几何意义。
在本部分教学中，我们将通过图形的变化来说明导数的几何意义。
首先，我们可以使用绘图软件绘制简单的函数图像，并选择几个特定点，计算这些点的导数。
然后，我们将绘制这些点对应的切线，并观察切线在图像上的变化。
通过观察，学生可以理解导数代表了函数图像在某一点上的切线斜率。
五、导数的应用导数不仅在数学领域中有重要的应用，还在其他领域中具有广泛的应用。
在本部分教学中，我们可以介绍导数在物理学、经济学和工程学等领域中的具体应用。
六、导数概念的巩固与练习为了帮助学生巩固和深化对导数概念的理解，我们可以提供一些练习题供学生进行练习。
这些练习题可以包括导数的计算、导数的应用和导数的概念理解等方面。
七、导数概念的扩展为了进一步拓展学生对导数概念的认识，我们可以介绍一些高级导数概念，如高阶导数、导数的性质和导数的极值等。
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义 教案
导数的概念及其几何意义教学设计一般地，f′(x0)(0≤x0≤8)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况.例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度（单位：m/s）为y=v(t)=−t2+ 6t+60，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义.分析：瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率，因此，在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 ),v′(6 ).解：在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为v′(2 )和 v′(6 ).根据导数的定义，∆y ∆t =v(2+∆t)−v(2)∆t=−(2+∆t)2+6(2+∆t)+60−(−22+6×2+60)∆t=−∆t+3,所以v′(2 )=lim∆t→0∆y∆t=lim∆t→0(−∆t+2)=2同理可得v′(6 )=−6在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别2 m/s2与−6 m/s2. 说明在第2 s附近，汽车的速度每秒大约增加2 m/s；在第6 s附近，汽车的速度每秒大约减少6 m/s .思考观察函数y=f (x)的图象（图5.1-3），平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？瞬时变化率f′(x0)=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示什么？提示：平均变化率∆y ∆x =f(x0+∆x)−f(x0)∆x表示割线P0P的斜率.如图5.1-4，在曲线y=f (x)上任取一点P (x , f (x))，如果当点P (x , f (x))沿曲线y=f (x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f (x)在点P0处的切线.易知，割线P0P的斜率k=f(x)−f(x0)x−x0记∆x=x−x0，当点P沿着曲线y=f (x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0时，k无限趋近于函数y=f (x)在x=x0处的导数.因此，函数y=f (x)在x=x0处的导数f′(x0 )（即瞬时变化率），就是切线P0T的斜率k0，即k0=lim∆x→0f(x0+∆x)−f(x0)∆x=f′(x0)这也导数的几何意义.继续观察图5.1-4，可以发现点P0处的切线P0T 比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线. 进一步地，利用信息技术工具将点P0附近的曲线不断放大（如图5.1-5），可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点P0附近，曲线y=f (x)可以用点P0处的切线P0T近似代替.例4 图5.1-6是高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数ℎ(t)=−4.9t2+4.8t+11的图象.根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2附近的变化情况.解：我们用曲线h(t)在t=t0,t1,t2处的切线的斜率，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况.（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，ℎ′(t0)=0. 这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降.（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率ℎ′(t1)<0. 这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减.（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率ℎ′(t2)<0. 这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.从图5.1-6可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢.例5图5.1-7是人体血管中药物浓度c=f(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象.根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确度0.1）.解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率.如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如（0.7，0.91），（1.0，0.48），则该切线的斜率k=0.48−0.911.0−0.7≈−1.4所以f′(0.8)≈−1.4表5.1-3给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0 )是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f′(x) 就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）. y=f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x )=y′=lim∆x→0f(x+∆x)−f(x)∆x.课堂练习：1根据导数的定义求下列函数的导数．(1)求函数y=x2+3在x＝1处的导数；(2)求函数y=1x在x=a(a≠0)处的导数．解：(1) ∆y=f(1+∆x)−f(1)=[(1+∆x)2+ 3]−(12+3)=2∆x+(∆x)2∴∆y∆x =2∆x+(∆x)2∆x=2+∆x∴y′|x=1=lim∆x→0(2+∆x)=2 (2)∆y=f(a+∆x)−f(a)=1a+∆x−1a=a−(a+∆x)a(a+∆x)=−∆xa(a+∆x)∴∆y∆x =−∆xa(a+∆x)∙ 1∆x=− 1a(a+∆x)∴y′|x=a=lim∆x→0[− 1a(a+∆x)]=−1a2求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤2 已知函数f (x)在 x =x 0处导数的4，则lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x=____ .解： lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)∆x =lim ∆x→0[f (x 0+3∆x )−f (x 0)3 ∆x ×3]=3lim∆x→0f (x 0+3∆x )−f(x 0)3∆x =3f ′(x 0 )=3×4=12答案：12注：（1）本题中x 的增量是3∆x ，即(x 0+3∆x )−x 0=3∆x ，而分母为∆x ，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．（2）在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．3 长方形的周长为10，一边长为x .其面积为S. （1） 写出S 与x 之间的函数关系；（2） 当x 从1增加到1+∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？解释它的实际意义；（3）当长从x 增加到x +∆x 时，面积S 改变了多少？此时，面积S 关于x 的平均变化率是多少？ （4）在x =1处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？解释它的实际意义；（5）在x 处，面积S 关于x 的瞬时变化率是多少？1平均变化率2瞬时变化率3导数的概念4 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则说课稿 教案 教学设计
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、学习目标 掌握用函数的导数定义，推出函数的和，差，积，商的导数的方法．二、重点难点本节的重点是：熟练掌握和、差、积、商的导数运算法则，即 (u ±v )′＝u ′±v ′ (uv )′＝uv ′＋u ′v (vu )′＝2v v u v u '-'． 本节的难点是：积的导数和商的导数的正确求法． 三、典型例题例1求下列导数（1）y ＝xx --+1111； （2）y ＝x · sin x · ln x ；（3）y ＝x x 4； （4）y ＝x x ln 1ln 1+-． 【点评】如遇求多个积的导数，可以逐层分组进行；求导数前的变形，目的在于简化运算；求导数后应对结果进行整理化简．例2求函数的导数① y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x② y ＝xx x x x x sin cos cos sin +- 【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4（1）求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（2）第（1）小题中切线与曲线C 是否还有其他公共点？【解】（1）把x ＝1代入C 的方程，求得y ＝－4．∴ 切点为（1，－4）．y ′＝12 x 3－6 x 2－18 x ，∴ 切线斜率为k ＝12－6－18＝－12．∴ 切线方程为y ＋4＝－12（x －1），即y ＝－12 x ＋8．由⎩⎨⎧+-=+--=8124923234x y x x x y 得 3 x 4－2 x 3 －9 x 2＋12 x －4＝0(x －1) 2 (x ＋2) (3 x －2)＝0x ＝1，－2，32． 代入y ＝3 x 4－2 x 3 －9 x 2 ＋4，求得y ＝－4，32，0，即公共点为（1，－4）（切点），（－2，32），（32，0）． 除切点外，还有两个交点（－2，32）、（32，0）． 【点评】直线和圆，直线和椭圆相切，可以用只有一个公共点来判定．一般曲线却要用割线的极限位置来定义切线．因此，曲线的切线可以和曲线有非切点的公共点．例4曲线S ：y ＝x 3－6 x 2－x ＋6哪一点切线的斜率最小？设此点为P （x 0，y 0）．证明：曲线S 关于P 中心对称．【解】y ′＝3 x 2－12 x －1当x ＝3212 ＝2时，y ′有最小值，故x 0＝2， 由P ∈S 知：y 0＝23－6 · 22－2＋6＝－12即在P （2，－12）处切线斜率最小．设Q （x ，y ）∈S ，即y ＝x 3－6 x 2－x ＋6则与Q 关与P 对称的点为R （4－x ，－24－y ），只需证R 的坐标满足S 的方程即可． (4－x )3－6(4－x )2－(4－x )＋6＝64－48 x ＋12 x 2 －x 3－6（16－8 x ＋x 2）＋x ＋2＝－x 3 ＋6 x 2 ＋x －30＝－x 3 ＋6 x 2 ＋x －6－24＝－y －24故R ∈S ，由Q 点的任意性，S 关于点P 中心对称．。
数学知识点新人教A版高中数学(选修2-2)1.2《导数的计算》word教案4篇-总结
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学目标：1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则教学难点： 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一．创设情景四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用二．新课讲授（一）基本初等函数的导数公式表)（2）推论：[]''()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）三．典例分析例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t p t =所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+（2）y ＝xx --+1111； （3）y ＝x · sin x · ln x ；（4）y ＝xx 4； （5）y ＝xxln 1ln 1+-．（6）y ＝（2 x 2－5 x ＋1）e x（7） y ＝xx x xx x sin cos cos sin +-【点评】① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为%x 时所需费用（单位：元）为5284()(80100)100c x x x=<<-求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98% 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．''''252845284(100)5284(100)()()100(100)x x c x x x ⨯--⨯-==-- 20(100)5284(1)(100)x x ⨯--⨯-=-25284(100)x =- （1）因为'25284(90)52.84(10090)c ==-，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．（2）因为'25284(98)1321(10090)c ==-，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．函数()f x 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，''(98)25(90)c c =．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．四．课堂练习 1．课本P 92练习2．已知曲线C ：y ＝3 x 4－2 x 3－9 x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程；（y ＝－12 x ＋8）五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则六．布置作业§1.1.2 导数的概念学习目标1.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 一、预习与反馈（预习教材P 4~ P 6，找出疑惑之处）探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x fx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或 即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)。
导数的概念 说课稿 教案 教学设计
导数的概念一、教学内容及分析导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．二、教学目标及分析1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想，这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．三、教学问题诊断要使学生能通过观察发现运动的物体在某一时刻的平均速度的极限是一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度，一个非常难突破的问题就是大量平均速度的计算问题．为解决这个问题，在教学时为每个学生准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，利用这种计算器的CAS 功能，可以在较短的时间内解决计算问题，从而使学生有更多的时间用于观察与发现．另外，从具体的模型中提炼出一般的概念的困难在于具体模型的数量，因此，设计本节课的教学时，在教材的基础上增加了计算跳水运动员瞬时速度的数目，以此大大方便了学生归纳与概括．。
数学3.2《导数计算》教案(新人教A版选修1-1)
§3.2 导数的计算【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
——叶圣陶【关注.思考】1.阅读课本第81——82页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比.【领会.感悟】1.这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【精读·细化】2.认真阅读教材83页,记住基本初等函数的导数公式，注意各公式之间的联系，特别注意对数函数与指数函数的导函数.细节提示:前面四个常见函数的导函数实际上就是公式1、2所对应公式，对数函数的导函数与指数函数的导函数形式不同，应注意两者之间的区别. 【领会·感悟】2.基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。
例1是导数的简单应用.【精读·细化】3.认真阅读教材84——85页,识记到数的运算法则，两个函数的和（差）与积的导数的形式一致吗？两函数的商的导数有什么特征？它们成立的前提条件是什么.细节提示:两个函数和（差）与积的导数的形式是不一致的，特别要注意两函数积的导数，两函数上的导数的特征非常明显，注意法则成立的前提是两函数的导数都存在. 【领会·感悟】3.深刻理解和掌握到数的运算法则，在结合给定函数自身的特点，才能有效地进行求导运算；理解和掌握求导法则与公式的结构规律是灵活进行求导的前提。
【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的计算知识点1 几个常用函数的导数【情景引入】化学中常用PH 表示不同液体的酸碱性。
《导数的概念教案》
《导数的概念教案》word版一、教学目标：1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法及应用；3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二、教学内容：1. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的瞬时变化率；2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；3. 导数的应用：求函数的极值、单调性、曲线的凹凸性等。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的定义、计算方法及应用；2. 难点：导数的计算规则、复合函数的导数、导数在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解导数的定义、计算方法和应用；2. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；3. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入：回顾函数的概念，引导学生思考函数在某一点的瞬时变化率；2. 讲解导数的定义，通过图形和实例使学生理解导数的物理意义；3. 讲解导数的计算方法，包括基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数；4. 利用例题解析，让学生掌握导数的计算技巧；5. 开展小组讨论，引导学生将导数应用于实际问题；6. 总结本节课的主要内容，布置课后作业。
教案内容仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估：1. 课后作业：布置有关导数计算和应用的习题，巩固所学知识；2. 课堂练习：及时反馈学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导；3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，了解学生的理解程度和团队合作能力。
七、教学拓展：1. 导数在实际应用中的例子：如优化问题、物理运动方程等；2. 导数与其他数学概念的联系：如微分方程、泰勒公式等；3. 导数在高等数学中的作用：如多元函数的导数、隐函数的导数等。
八、教学资源：1. 教材：选用合适的教材，如《高等数学》、《数学分析》等；2. 课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示；3. 习题库：整理一份全面的习题库，便于学生课后练习。
《导数的应用——切线问题》教教学设计
《导数的应用——切线问题》教案【教学目标】：1、知识与技能 :理解导数的几何意义；会用导数解决与切线相关的问题。
2、过程与方法：经历用导数几何意义求切线学习过程，体会导数的几何意义在求曲线切线问题方面的应用。
3、情感态度与价值观： 体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维能力。
【教学重点】：利用导数的几何意义解决切线问题； 【教学难点】：理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率及曲线的切线。
【教学过程】 知识回顾：一、求切线1、求过曲线上某个定点处的切线例1（2009全国卷Ⅱ理）曲线y ＝x 2x －1在点(1，1)处的切线方程。
（学生自己完成）解 点（1，1）在曲线上．因为y ′＝－1(2x －1)2，在点（1，1）处的切线斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －2＝0总结：求过曲线上某个定点处的切线的步骤： i ）求导函数)('x f ii ）算斜率)(0'x f k ='00()()f x x x f x =函数在处的导数就是:00'0(),())(),y f x P x f x k f x P ==曲线在点（处的切线PT 的斜率。
即在点处的切线方程为000()()y y f x x x '-=-iii ）由点斜式写出直线方程 2、曲线的切线经过某个定点例2 已知函数f (x )＝x 3－3x (x ∈R ）的图像为曲线C ，曲线C 的切线l 经过点A (2，2)，求切线l 的方程．解 设切点为(t ，t 3－3t )，切线l 的斜率为k ＝3t 2－3， 切线方程为y －(t 3－3t )＝(3t 2－3)(x －t )． 因为l 过点A (2， 2)，所以2－(t 3－3t )＝(3t 2－3)(2－t )， 即t 3－3t 2＋4＝0，解得t ＝2或t ＝－1． ①当t ＝2时，l ：9x －y －16＝0； ②当t ＝－1时，l ：y ＝2．综上，切线l 的方程为y ＝2或9x －y －16＝0 总结：求过某个定点的切线的步骤： i ）设切点))(,(00x f xii ）求导函数)('x f ，写出直线方程 iii ）把已知点带入切线方程，解出切点坐标。
高三数学第2章第12节导数与函数的极值、最值解析含教学设计
⾼三数学第2章第12节导数与函数的极值、最值解析含教学设计第⼗⼆节导数与函数的极值、最值[考纲传真] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会⽤导数求函数的极⼤值、极⼩值(其中多项式函数⼀般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最⼤值、最⼩值(其中多项式函数⼀般不超过三次)．1．导数与函数的极值(1)函数的极⼤值与导数的关系x(a，x0)极⼤值点x0(x0，b)f′(x)＋0－y＝f(x)增加极⼤值减少图⽰(2)函数的极⼩值与导数的关系x(a，x0)极⼩值点x0(x0，b)f′(x)－0＋y＝f(x)减少极⼩值增加图⽰(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．(2)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)⽐较，最⼤的为最⼤值，最⼩的为最⼩值．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极⼤值⼀定⽐极⼩值⼤．()(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件．()(3)函数的最⼤值不⼀定是极⼤值，函数的最⼩值也不⼀定是极⼩值．()(4)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图2-12-1所⽰，则函数f(x)在开区间(a，b)内极⼩值点的个数为()【导学号：57962113】图2-12-1A．1B．2C．3D．4A[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下⽅，右侧图像在x轴上⽅的只有⼀个，所以f(x)在区间(a，b)内有⼀个极⼩值点．] 3．已知某⽣产⼚家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该⽣产⼚家获取最⼤年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件C[y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)．当x∈(0,9)时，y′＞0，当x∈(9，＋∞)时，y′＜0，则当x＝9时，y有最⼤值．即使该⽣产⼚家获取最⼤年利润的年产量为9万件．]4．(·四川⾼考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极⼩值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2D[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x<－2或x>2时，f′(x)>0；当－2∴f(x)在x＝2处取得极⼩值，∴a＝2.]5．函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最⼤值是________． 8 [y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ? ????23＝－827，f (2)＝8，∴最⼤值为8.]利⽤导数研究函数的极值问题⾓度1 根据函数图像判断极值设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图像如图2-12-2所⽰，则下列结论中⼀定成⽴的是( )图2-12-2A ．函数f (x )有极⼤值f (2)和极⼩值f (1)B ．函数f (x )有极⼤值f (－2)和极⼩值f (1)C ．函数f (x )有极⼤值f (2)和极⼩值f (－2)D ．函数f (x )有极⼤值f (－2)和极⼩值f (2)D [由题图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极⼤值，在x ＝2处取得极⼩值．]⾓度2 求函数的极值求函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )的极值．[解] 由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x ＞0知：(1)当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )⽆极值；5分(2)当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .⼜当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，9分从⽽函数f (x )在x ＝a 处取得极⼩值，且极⼩值为f (a )＝a －a ln a ，⽆极⼤值．综上，当a ≤0时，函数f (x )⽆极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极⼩值a －a ln a ，⽆极⼤值.12分⾓度3 已知极值求参数(1)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )【导学号：57962114】A ．(－∞，0) B.? ?0，12 C ．(0,1)D ．(0，＋∞)(2)设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． (1)B (2)－14 [(1)∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln xx 2，∴g (x )在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，⼜∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，⽽g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0＜2a ＜1?0＜a ＜12.(2)由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)，且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x ，由题意得，f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，⼜当a ＝－14时，f′(x)＝1 2x2－12x1＋x＝12x(x－1)1＋x，当0＜x＜1时，f′(x)＜0；当x＞1时，f′(x)＞0，∴f(1)是函数f(x)的极⼩值，∴a＝－14.][规律⽅法]利⽤导数研究函数极值的⼀般流程利⽤导数解决函数的最值问题(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在1a，2a上的最⼤值．[解](1)f(x)＝x－e ax(a＞0)，则f′(x)＝1－a e ax，令f′(x)＝1－a e ax＝0，则x＝1a ln1a.3分当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，1a ln1a1a ln1a?1a ln1a，＋∞f′(x)＋0－f(x)↗极⼤值↘故函数f(x)的增区间为－∞，1a ln1a；减区间为?1a ln1a，＋∞.6分(2)当1a ln1a≥2a，即0＜a≤1e2时，f(x)max＝f? ????2a＝2a－e2；9分当1a ＜1a ln 1a ＜2a ，即1e 2＜a ＜1e 时，f (x )max ＝f ? ????1a ln 1a ＝1a ln 1a －1a ；当1a ln 1a ≤1a ，即a ≥1e 时，f (x )max ＝f ? ??1a ＝1a －e.12分[规律⽅法] 求函数f (x )在[a ，b ]上的最⼤值、最⼩值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )⽐较，其中最⼤的为最⼤值，最⼩的为最⼩值．[变式训练1] (·⽯家庄质检(⼆))若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最⼤值为( )【导学号：57962115】A ．2B ．3C ．6D ．9D [f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，a ＋b ＝6，⼜a ＞0，b ＞0，则t ＝ab ≤＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故选D.]利⽤导数研究⽣活中的优化问题克)与销售价格x (单位：元/千克)满⾜关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3为常数．已知销售价格为5元/千克时，每⽇可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每⽇销售该商品所获得的利润最⼤．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. 5分(2)由(1)可知，该商品每⽇的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每⽇销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,37分从⽽，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最⼤值，且最⼤值等于42.即当销售价格为4元/千克时，商场每⽇销售该商品所获得的利润最⼤.12分[规律⽅法] 利⽤导数解决⽣活中优化问题的⼀般步骤(1)设⾃变量、因变量，建⽴函数关系式y ＝f (x )，并确定其定义域； (2)求函数的导数f ′(x )，解⽅程f ′(x )＝0；(3)⽐较函数在区间端点和f ′(x )＝0的点的函数值的⼤⼩，最⼤(⼩)者为最⼤(⼩)值；(4)回归实际问题作答．[变式训练2] 某品牌电动汽车的耗电量y 与速度x 之间有关系y ＝13x 3－392x 2－40x (x ＞0)，为使耗电量最⼩，则速度应定为________.【导学号：57962116】40 [由y ′＝x 2－39x －40＝0，得x ＝－1或x ＝40，由于0＜x ＜40时，y ′＜0； x ＞40时，y ′＞0.所以当x ＝40时，y 有最⼩值．][思想与⽅法]1．可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f′(x)的符号不同．2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极⼤值还是极⼩值可不作判断，直接与端点的函数值⽐较即可．3．如果⽬标函数在定义区间内只有⼀个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．4．若函数f(x)在定义域A上存在最⼤值与最⼩值，则：(1)对任意x∈A，f(x)＞0?f(x)min＞0；(2)存在x∈A，f(x)＞0?f(x)max＞0.[易错与防范]1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．导数为零的点不⼀定是极值点．对含参数的求极值问题，应注意分类讨论．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．4．利⽤导数解决实际⽣活中的优化问题，要注意问题的实际意义．。
12导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计
12导数的概念及其几何意义一等奖创新教学设计导数是微积分中的重要概念之一，它表示函数在其中一点的变化率。
导数的几何意义是函数在该点的切线斜率。
为了更好地理解导数的概念及其几何意义，我设计了一堂创新教学课程，下面将详细介绍课程设计的内容。
一、教学目标：1.理解导数的概念及其几何意义；2.掌握求导的基本方法；3.能够利用导数的性质解决实际问题；4.培养学生的逻辑思维和几何直观。
二、教学准备：1.投影仪、电脑；2.课件制作，包括导数的定义、求导法则等知识点；3.黑板、粉笔；4.辅助教材，包括练习题、实例分析等。
三、教学过程：1.导入（1）通过问题引入，例如：小明骑自行车在直线上的位置随时间变化的函数是什么？如何描述小明的速度变化？为什么要研究速度的变化？（2）引导学生思考，提问：速度与位置之间有什么关系？如何描述速度的变化？2.导学（1）概念阐述：导数的定义教师通过幻灯片或黑板，详细讲解导数的定义，并解释导数与函数变化率的关系。
（2）几何意义教师通过图形展示，引导学生观察曲线在其中一点的切线，并解释切线斜率即为该点的导数。
3.求导法则的讲解（1）基本求导公式通过例题，讲解求导的基本法则，包括幂函数、指数函数、三角函数等的求导规则。
（2）导数性质教师讲解导数的性质，如导数的和差法则、导数的乘法法则、导数的链式法则等。
4.实例分析（1）通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的应用。
例如：根据速度函数求位移、根据边际成本函数求利润最大值等。
（2）引导学生自主思考，并解决导数应用问题。
通过小组合作，学生们讨论并解决一些导数应用问题，如找出条曲线上切线的最大斜率点。
5.深化练习（1）教师出示一些练习题，并要求学生独立完成。
（2）学生互相批改并分享答案，教师解析正确答案，指导学生如何正确解题。
四、教学评估：1.课堂练习通过课堂练习，测试学生对导数概念及其几何意义的理解，同时检验他们求导的能力。
2.论文写作要求学生写一篇关于导数的论文，要求包括导数的定义、几何意义、求导法则以及实际应用等内容。
高等数学教学设计——导数
3.1导数概念单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
3.2求导法则单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
3.3微分单元教学设计
一、教案头
二、教学设计
1 （告知）本单元学习目标：
掌握微分的概念
掌握微分和导数的关系及公式表达
微分在近似计算公式中的应用
陈述板书识记5分钟
2 （引入任务1）微分概念
（1）学生阅读60-61页资料，理解微分的含义
（2）所谓的微分，就是随着自变量的改变量x∆，函
数值的该变量y∆。
y∆=x
x
f∆
')
(，也即
dx
x
f
dy)
('
=
例计算下列函数的微分
（1）1
62
8+
+
=x
x
y
（2）x
e
y x sin
2
+
=
（3）x
y sin
=
（4）0
sin
-
2=
+y
xy
x
例x
y arctan
=，求dy
例x
y arcsin
=，求dy
微分和导数比较：
教师
讲解
教师
提示
学生
认真
听讲
分组
研讨
40分钟。
12导数的计算
1.2导数的计算一、知识点回顾12(1)[f(x) g(x)] = ____________________ ；(2)[f(x) g(x)] = _______________________ ;(3)[竺]= ___________________________g(x)3、复合函数的导数定理2设函数y f (u)及u (x)可以复合成函数y f ( (x))，若u (x)在点x 可导，且y f (u)在相应的点u (x)可导，则复合函数y f( (x))在点x处可导，且(1)史 f (u) (x), dx或dy dy du dx du dx ' (2)或y x y u u x.⑶称为复合函数求导的链式法则.在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以下几点：(1) 准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数；(2) 复合函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量. 利用复合函数的求导法则求导的步骤如下：(1)从外到里分层次，即把复合函数分成几个简单的函数；⑵从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来;(3) 利用链式求导法则，从左到右作连乘.(4)求函数y二、例题分析热点一、利用导数公式及运算法则求导数 例1求下列函数的导数 (1) y log 2 x x 3( 2) y Ig x e x(13) y = sinx xcosxcosx xsinx1例 2、若函数 f (x) - f ( 1)x 2变式、已知函数f(x)的导函数为f (x)，且满足f(x) 3x 2 2x f ⑵，则f (5) = ____________________例3、求下列函数的导数：(复合函数求导) (1)y 2x 3 2(2)y e 0.05x1⑶y sin x 其中、均为常数(3) y(3x 2 4x)(2x 1)(4) y 3x 2 xcosx(5) y xln x (6) y sin x In x(7) y x 1 (8) y x 5 a x(a0且a 1)x x x(9) y 3 e 2 e(10)(11) ysin x(12) yXAe 1 XAe 12x 3，则f ( 1)的值为 _______________ln的导数.热点二、导数的几何意义1例4、已知曲线y —x 33(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程4& (2010年高考辽宁卷)已知点P 在曲线y J 上, 为曲线在点P 处的切线的倾斜e x 1角，则的取值范围是() nn n n 3 n3 n A . [0，才)B. [7，~2)C . (~2，7^]D. [-y ，n )2b7、 已知函数y = ax 2 + b 在点(1,3)处的切线斜率为2,贝卜= ____________ .a 8、 曲线y x 3 3x 2 6x 10的切线中，斜率最小的切线方程为 ________________ .(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程(2)求曲线过点P(2,4)切线方程三、过关检测1、下列求导运算正确的是(1A 、(x -) x C 、(3x ) 3 1 1 —xlog 3 e2、已知曲线y x 6上一点P 处的切线与直线y B>(log 2 x)2D 、(x cosx) 1-x 61xln 22 sin x 3垂直，则此切线方程为(5 0 B 、6x y 50 C 、x 6y 50 D3、设函数f (x) g(x) x 2，曲线y g(x)在点(1, g(1))处的切线方程为y 线y f (x)在点(1, f(1))处切线的斜率为( )1 B -4A 、x 6y、6x y2x则曲4、设函数y ()1x n Tn N )在点(1,1)处的切线与x 轴交点横坐标为 — 2X n ，则 XX 2 X 3x nn5、若函数 f (x) = e x sin x ,nA 2B. 0、丄 C 、丄n 1 n 1则此函数图象在点(4 , f(4))处的切线的倾斜角为.钝角D .锐角9、求过点P( 1,2)且与曲线y 3x2 4x 2在点M(1,1)处的切线平行的直线.10、已知函数f(x) — 1(a 0)的图像在x 1处的切线为I，求I与两坐标轴围成三角a形面积的最小值11、已知直线11为曲线y= x2+ x —2在点(1,0)处的切线，12为该曲线的另一条切线，且I 1丄I 2.(1) 求直线I 2的方程；(2) 求由直线I 1、12和x轴所围成的三角形的面积.。
教学设计2：1.2.3 导数的四则运算法则
1.2.3导数的四则运算法则教学目标1.能利用导数的四则运算法则求解导函数.2.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松．我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则．教学导引1．导数运算法则要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) y＝x3－2x＋3；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y ＝3x －lg x .解 (1)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.(2)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1，∴y ′＝(x 3)′－(x 2)′＋x ′－1′＝3x 2－2x ＋1.(3)函数y ＝3x －lg x 是函数f (x )＝3x 与函数g (x )＝lg x 的差．由导数公式表分别得出f ′(x )＝3x ln3，g ′(x )＝1x ln 10，利用函数差的求导法则可得 (3x －lg x )′＝f ′(x )－g ′(x )＝3x ln 3－1x ln 10. 规律方法 本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数．跟踪演练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)； (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2； (3)y ＝(x ＋1)(1x－1)． 解 (1)y ＝x (1＋2x ＋2x 2)＝x ＋2＋2x， ∴y ′＝1－2x2. (2)y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ， ∴y ′＝12cos x . (3)∵y ＝(x ＋1)(1x －1)＝－x ＋1x， ∴y ′＝(－x )′＋(1x )′＝－12x －12－12x －32 ＝－12x(1＋1x )． 要点二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝log a (2x 2＋3x ＋1)；(2)y ＝a 3x cos(2x ＋π3)． 解 (1)y ′＝[log a (2x 2＋3x ＋1)]′＝(2x 2＋3x ＋1)′(2x 2＋3x ＋1)ln a＝4x ＋3(2x 2＋3x ＋1)ln a. (2)y ′＝(a 3x )′cos(2x ＋π3)＋a 3x [cos(2x ＋π3)]′ ＝3a 3x ln a ·cos(2x ＋π3)－a 3x sin(2x ＋π3)·2 ＝a 3x [3ln a ·cos(2x ＋π3)－2sin(2x ＋π3)]． 规律方法 应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．跟踪演练2 求下列函数的导数：(1)y ＝ln x 2＋1；(2)y ＝(2x 3－x ＋1x)4. 解 (1)∵y ＝12ln(x 2＋1)， ∴y ′＝12(x 2＋1)(x 2＋1)′＝x x 2＋1. (2)设u ＝2x 3－x ＋1x，则y ＝u 4， 所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝4u 3·(6x 2－1－1x 2) ＝4(2x 3－x ＋1x )3(6x 2－1－1x 2)． 要点三 导数的应用例3 求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12. 故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.规律方法 (1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．跟踪演练3 求满足下列条件的f (x )的解析式：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.解 (1)依题意，可设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由f (0)＝3，得d ＝3，由f ′(0)＝0，得c ＝0.由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3， ∴f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )为一次函数，知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .将f (x )，f ′(x )代入方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0.要使方程对任意x 都成立，则需要a ＝b ，b ＝2c ，c ＝1.解得a ＝2，b ＝2，c ＝1.∴f (x )＝2x 2＋2x ＋1.当堂检测1．下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x【答案】D【解析】利用求导公式和导数的加、减运算法则求解．D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x .2．函数y ＝cos x 1－x的导数是( ) A.－sin x ＋x sin x (1－x )2B.x sin x －sin x －cos x (1－x )2C.cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2D.cos x －sin x ＋x sin x 1－x【答案】C【解析】y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x 1－x ′＝(－sin x )(1－x )－cos x ·(－1)(1－x )2＝cos x －sin x ＋x sin x (1－x )2. 3．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 【答案】A【解析】∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2， ∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝ . 【答案】ln 2－1【解析】设切点为(x 0，y 0)，∵ y ′＝1x ，∴12＝1x 0， ∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ， ∴b ＝ln 2－1.。