第五章 二次型无答案

第五章 二次型

§1基本知识

§1. 1 基本概念 1、二次型：

2、二次型的矩阵：

3、二次型的秩：

4、二次型的（非退化）线性替换：

5、二次型的等价：

6、矩阵的合同：

7、二次型的标准型： 8、二次型的规范性：

9、二次型的正（负）惯性指数与符号差： 10、正定（负定）二次型：

11、半正定（半负定）二次型： 12、正定（负定）矩阵：

13、半正定（半负定）矩阵： 14、顺序主子式：

§1. 2 基本定理

1、标准型的存在性定理：数域P 上任何一个二次型都可以经过一个非退化的线性替换化成标准型；

用矩阵的语言就是：数域P 上任何一个对称矩阵A 都合同于一个对角形矩阵，即存在数域P 上的一个可逆矩阵Q ，使得AQ Q T 是对角形矩阵；

2、规范性的存在唯一性定理：

（1）复数域上任何一个二次型都可以经过一个适当的非退化的线性替换化成规范性，且规范性是唯一的；

用矩阵的语言就是：复数域上任何一个对称矩阵A 都合同于一个如下形式的对角形矩阵

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0011

其中对角线上1的个数等于对称矩阵A 的秩；两个复对称矩阵合同的充分必

要条件是，它们的秩相等；

（2）实数域上任何一个二次型都可以经过一个适当的非退化的线性替换化成规范性，且规范性是唯一的；

用矩阵的语言就是：实数域上任何一个对称矩阵A 都合同于一个如下形式的对

角形矩阵

⎥⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--001111 其中对角线上1的个数等于实对称矩阵A 的正惯性指数p ；1-的个数等于实对称矩阵A 的负惯性指数p r q -=，两个实对称矩阵合同的充分必要条件是，它们的秩和符号差相等；

3、正定二次型（正定矩阵）的判定定理： （1）n 元实二次型是正定二次型⇔该二次型的秩和符号差都等于n ⇔该二次型的规范型是2

2

22

1n y y y +++ ；

n 阶实对称矩阵是正定矩阵⇔该矩阵的秩和符号差都等于n ⇔该矩阵合同于单位矩阵；

（2）n 元实二次型是正定二次型⇔该二次型的正惯性指数等于n ；

n 阶实对称矩阵是正定矩阵⇔该矩阵的正惯性指数等于n ；

（3）n 元实二次型是正定二次型⇔该二次型的所有顺序主子式都大于0；

n 阶实对称矩阵是正定矩阵⇔该矩阵的所有顺序主子式都大于0； 4、负定二次型（负定矩阵）的判定定理：

（1）n 元实二次型是负定二次型⇔该二次型的秩等于n ，符号差等于n -； （2）n 元实二次型是负定二次型⇔该二次型的负惯性指数等于n ； （3）n 元实二次型是负定二次型⇔该二次型的所有奇数阶顺序主子式都小于0，所有偶数阶顺序主子式都大于0；

5、半正定二次型（半正定矩阵）的判定定理：

（1）n 元实二次型是半正定二次型⇔该二次型的秩和符号差相等； （2）n 元实二次型是半正定二次型⇔该二次型的负惯性指数等于0；

（3）n 元实二次型是半正定二次型⇔该二次型的所有顺序主子式都是非负数； 6、半负定二次型（半负定矩阵）的判定定理：

（1）n 元实二次型是负定二次型⇔该二次型的秩和负惯性指数相等； （2）n 元实二次型是负定二次型⇔该二次型的正惯性指数等于0；

（3）n 元实二次型是负定二次型⇔该二次型的所有奇数阶顺序主子式都小于或等于0，所有偶数阶顺序主子式都大于或等于0；

§1. 3 基本性质

1、线性替换的性质：

（1）非退化的线性替换不改变二次型的秩；

（2）非退化的线性替换将二次型变成与之等价的二次型，即两个二次型对应的矩阵是合同

矩阵；

2、合同变换的性质：

（1）自反性：任何矩阵自身和自身合同；

（2）对称性：如果矩阵A 合同于B ，则B 也合同于A ；

（3）传递性：如果矩阵A 合同于B ，B 合同于C ，则A 合同于C ；

（4）合同变换不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的对称性；

§1. 4 基本运算

1、求二次型对应的矩阵：

例5.1（95，10分）已知二次型3231212

32232184434),,(x x x x x x x x x x x f +-+-=

（1）写出二次型f 的矩阵表达式；

（2）用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵.

2、求二次型的非退化线性替换的变换矩阵：

例5.2（北大教材，P232，1.7） 3、求二次型的秩：

例5.3（04，4分）二次型213232221321)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 本题应填2；

解 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=333222

11x y x x y x x y ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=333223211y

x y y x y y y x ，则2

2

2121321222),,(y y y y x x x f +-=，对应的矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021012的秩为2，故二次型的秩是2. 说明 ① 若令⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+=133

3222

11x

x y x x y x x y ，由此得：2

3

2221321),,(y y y x x x f ++=，因此认为二次型的秩