频率特性1

系统的输出分为两部分，第一部分为瞬态分量，对应 特征根；第二部分为稳态分量，它取决于输入信号的形式。 对于一个稳定系统，系统所有特征根的实部均为负，瞬态 分量必将随时间趋于无穷大而衰减到零。因此，系统响应 正弦信号的稳态分量必为同频率的正弦信号：
设n阶系统的传递函数为
G(s) N (s)
N (s)
在工程实践中, 往往并不需要准确地计算系统响应的全 部过程，而是希望避开繁复的计算，简单、直观地分析出 系统结构、参数对系统性能的影响。因此，主要采用两种 简便的工程分析方法来分析系统性能，这就是根轨迹法与 频率特性法，本章将详细介绍控制系统的频率特性法。 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性（元 件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性）来分析系 统性能的方法，研究的问题仍然是控制系统的稳定性、快 速性及准确性等，是工程实践中广泛采用的分析方法，也 是经典控制理论的核心内容。
稳态输出：X (t) 0.1 sin(t 45)
2
五、频率特性的物理意义和数学本质
物理意义
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确 定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范 围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差 随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
而输入信号为
r(t)=Rsinωt
A(ω)= | G (s)| s=jω =| G (jω)|
(ω) =∠G (j ω)
因此，A(ω)为系统的输出与输入幅值比，为系统
的幅频特性表达式。 (ω)为系统的输出与输入相位差，
为系统的相频特性表达式。系统的频率特性为
G( jω)= G(s)|s=jω= A (ω)·ej
D(s) (s p1 )( s p2 ) (s pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为
C(s)
N (s)
R
(s p1)( s p2 ) (s pn ) (s j)( s j)
K1 K2 L Kn Kc K-c
重要
由以上可推得一个十分重要的结论：系统的频率特性可 由系统的传递函数G(s)将jω代替其中的s而得到。由拉氏变 换可知，传递函数的复变量s =σ+jω。当σ=0时，s = jω。所 以G(jω)就是σ=0时的G(s) 。即当传递函数的复变量s用jω代 替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解 析法。
[T=c/K] , K=10N/m c=10N.s/m,
f(t)=sint, 求稳态位移输出
输入幅值为1N正弦力，
解： 正弦作用 f (t) sin t, 1
1
G( j) K
，G( j) 0.1
jT 1
j 1
A() 0.1 0.1 (m / N) 2 1 2
() arctan arctan1 45
Rsinωt
线性定常系统，传递函数为G(s)
G(jω)= G(s)|s=jω = A(ω)·ej
A(ω)·R·sin[ωt+ (ω)]
A(ω)是幅频特性， 是相频特性
因此，在求已知传递函数系统的正弦稳态响应时， 可以避开时域法需要求拉氏变换及反变换的繁琐计算， 直接利用频率特性的物理意义简化求解过程。
求出元件或系统的幅频特性A(ω)与相频特性(ω)的表达
式，便可求出完整的频率特性表达式。
四、由传递函数求取频率特性
实际上，由于微分方程、传递函数、频率特性描述系 统各变量之间相互关系的数学表达式，都是控制系统的数 学模型。和微分方程与传递函数之间可以相互转换类似， 系统的频率特性也可以由已知的传递函数通过简单的转换 得到，这种求取方法称为解析法。
对于上例所举的一阶电路， 其幅频特性和相频特性的表达
ui(t)
式分别为：
R
i(t) C u0(t)
A(ω)=
1 1+T 2ω2
图5-1 RC网络
(ω)= -arctanTω
G(s)=
U0 (s) = 1 Ui (s) Ts 1
2、频率特性的数学表示方法
将s=jω代入系统或元件的传递函数，则有
G(s)| s=jω=G(jω)=U(ω)+jV(ω) =∣G(jω)∣∠G(jω) =A(ω)∠(ω)
定常系统
r(t)
css(t)
t
图5-2 线性系统及频率响应示意图
二、频率特性
1、基本概念
对系统的频率响应作进一步的分析，由于输入输出的幅
值比A与相位差只与系统的结构、参数及输入正弦信号的
频率ω有关。在系统结构、参数给定的前提下，幅值比A与
相位差仅是ω的函数，可以分别表示为A(ω)与(ω)。
若输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化，则系统 输出与输入信号的幅值比与相位差将随输入频率的变化而 变化，反映出系统在不同频率输入信号下的不同性能，这 种变化规律可以在频域内全面描述系统的性能。
因此，频率特性可定义为：
线性定常系统（或元件）在零初始条件下， 当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时， 系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频 率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。
频率特性可以反映出系统对不同频率的输入 信号的跟踪能力，只和系统的结构与参数有关， 是线性定常系统的固有特性。
U0(s)=
1 Uiω Ts +1 s2 + ω2
对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：
u0
(t
)
1
UiT T 22
t
eT
Ui sin( t arctan T) 1 T 22
输出由两项组成：
第一项是瞬态响应分量，呈指数衰减形式，衰减速度由
电路本身的时间常数T决定。
第二项是稳态响应分量，当t→∞时，瞬态分量衰减为0，
A(ω)反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在 幅值上是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而(ω)反映相位差随频率而变化的规律，称为
相频特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入
时在相位上是超前（＞0º）还是滞后（＜0º）。
系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方 面，并且强调频率ω是一个变量。
此时电路的稳态输出为：
lim
t
u0
(t
)
Ui 1T
2 2
sin(
t
arctan
T)
U0
sin(
t
)
可见，输出信号与输入信号是同频率的正弦函数， 但幅值与相位不同，输出滞后于输入。
lim
t
u0
t
Ui sin t arctan T
1+T 2百度文库2
稳态输出与输入幅值比为
A
1
1+T 2ω2
输入信号为
ui(t)=Uisint
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与 外界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电 感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输 入信号的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般 有“低通滤波”与“相位滞后”作用。
频率特性的数学意义
对于上例所举的一阶电路， 其幅频特性和相频特性的表达
ui(t)
式分别为：
R
i(t) C u0(t)
A(ω)=
1 1+T 2ω2
图5-1 RC网络
(ω)= -arctanTω
G( j) 1 jT 1
G(s)=
U0 (s) = 1 Ui (s) Ts 1
举例： 1
已知：传函 G(s) K Ts 1
频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方 程、传递函数之间可以相互转换。
②具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法， 借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的 频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据， 这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其 有利。
③时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率 特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简 化控制系统的分析与设计。
s p1 s p2
s pn s j s - j
对输出求拉氏反变换可得
c(t) (K1e p1t K2e p2t Kne pnt ) (Kce j t Kce j t )
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c可由留数定理确定，可以求出
css(t)= A(ω) ·R·sin[ωt+ (ω)]
频率特性分析法的特点
频率特性分析法（Frequency Response），又称为频 域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统 输出的时域表达式，而可以间接地运用系统的开环频率特 性去分析闭环的响应性能，不需要求解系统的闭环特征根， 具有较多的优点。如：
①根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和 稳态性能, 得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断 某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统 的方法。
三、频率特性的实验求取方法
向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号
r(t)=Rsinωt 在0→∞的范围内不断改变ω的取值，并测量与每一个 ω值对应的系统的稳态输出
css(t)= A(ω)Rsin(ωt+(ω))
测量并记录相应的输出、输入幅值比与相角差。根据 所得数据绘制出幅值比与相角差随ω的变化曲线，并据此
G(jω)就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示 G(jω)。向量的长度为A(ω)，向量
与正实轴之间的夹角为(ω)，并规
定逆时针方向为正，即相角超前； 规定顺时针方向为负，即相角滞后。
实频特性和虚频特性 G(jω)=U(ω)+jV(ω)
U(ω)称为实频特性，V(ω) 称为虚频特性。由复变函数理 论可知：
④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并 且可以拓展应用到某些非线性系统中。近来，频率法还发 展到可以应用到多输入量多输出量系统，称为多变量频域 控制理论。
本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性与 对数频率特性的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统 的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方 法。
输出与输入相位差为
= -arctanTω
二者均仅与输入频率，以及系统本身的结构与参数
有关。
实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定 的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号
r(t)=sint 时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为
css(t)=Asin(ωt+)，如图所示。
sint 线 性 Asin(ωt+)
A() U 2() V 2() () arctan U ()
V ()
U() A()cos()
V () A()sin()
并且A(ω)与U(ω)为ω的偶函数，(ω)与V(ω)
是ω的奇函数(说明G(jω) 与G(-jω)是共轭函数)。 以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它
们随频率变化的规律。使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
5.1频率特性的基本概念
一、频率响应
频率响应是时间响应的特例，是控制系统对正弦 输入信号的稳态正弦响应。即一个稳定的线性定常系 统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输 入同频率的正弦信号，且输出的幅值与相位是输入正 弦信号频率的函数。
下面用用一个简单的实例来说明频率响应的概念：
示例：
如图所示一阶RC网络，ui(t)与u0(t)分别为输入与输出信 号，其传递函数为
R
G(s)=
U0 (s) Ui (s)
=
1 Ts +1
i(t)
ui(t)
C u0(t)
图5-1 RC网络
其中T=RC，为电路的时间常数，单位为s。
在零初始条件下，当输入信号为一正弦信号，即
ui(t)=Uisin t 时
Ui与分别为输入信号的振幅与角频率，可以运用时域法
求电路的输出。
输出的拉氏变换为：
第5章——控制系统的频域分析
• 5.1频率特性的基本概念 • 5.2幅相频率特性及其绘制 • 5.3对数频率特性及其绘制 • 5.4奈奎斯特稳定判据 • 5.5相对稳定性 • 5.6利用开环频率特性分析系统的性能 • 5.7闭环系统频率特性
频率特性法
控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号 作用下的性能，对于一阶、二阶系统可以快速、直接地 求出输出的时域表达式、绘制出响应曲线，从而利用时 域指标直接评价系统的性能。因此，时域法具有直观、 准确的优点。然而，工程实际中有大量的高阶系统，要 通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表 达式是相当困难的，需要大量计算，只有在计算机的帮 助下才能完成分析。此外，在需要改善系统性能时，采 用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数。