二次根式培优(化简专题)
专题训练 二次根式化简求值有技巧(含答案)
专题练习(一)二次根式化简求值有技能(含答案)【1 】► 类型之一 应用二次根式的性质a2＝|a|化简 对于a2的化简,不要盲目地写成a,而应先写成绝对值的情势,即|a|,然后再依据a 的符号进行化简．即a2＝|a|＝⎩⎨⎧a （a ＞0）0（a ＝0）－a （a ＜0）.1．已知a ＝2－3,则a2－2a ＋1＝( )A ．1－3B.3－1 C ．3－3D.3－32．当a ＜12且a ≠0时,化简：4a2－4a ＋12a2－a＝________． 3．当a ＜－8时,化简：|（a ＋4）2－4|.4．已知三角形的双方长分离为3和5,第三边长为c,化简：c2－4c ＋4－14c2－4c ＋16. ► 类型之二 逆用二次根式乘除法轨则化简 5．当ab ＜0时,化简a2b 的成果是( ) A ．－a bB ．a －bC ．－a －bD ．a b6．化简：(1)（－5）2×（－3）2;(2)（－16）×（－49）; (3) 2.25a2b;(4)－25－9;(5)9a34. ► 类型之三 应用隐含前提求值7．已知实数a 知足（2016－a ）2＋a －2017＝a,求a －12016的值． 8．已知x ＋y ＝－10,xy ＝8,求x y ＋y x 的值． ► 类型之四 巧用乘法公式化简9．盘算：(1)(－4－15)(4－15);(2)(26＋32)(32－26); (3)(23＋6)(2－2);(4)(15＋4)2016(15－4)2017.► 类型之五 巧用整体思惟进行盘算10．已知x ＝5－26,则x2－10x ＋1的值为( )A ．－306B ．－186－2C ．0D ．10611．已知x ＝12(11＋7),y ＝12(11－7),求x2－xy ＋y2的值． 12．已知x ＞y 且x ＋y ＝6,xy ＝4,求x ＋yx －y 的值．► 类型之六 巧用倒数法比较大小13．设a ＝3－2,b ＝2－3,c ＝5－2,则a,b,c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a_详解详析1．[解析]B a2－2a ＋1＝|a －1|.因为a －1＝(2－3)－1＝1－3＜0,所以|a －1|＝－(1－3)＝3－1.故选B.2．[答案] －1a[解析] 原式＝（2a －1）2a （2a －1）＝|2a －1|a （2a －1）. 当a ＜12时,2a －1＜0,所以|2a －1|＝1－2a. 所以原式＝1－2a a （2a －1）＝－1a. 3．解：当a ＜－8时,a ＋4＜－4＜0,a ＋8＜0,∴|a ＋4|＝－(a ＋4),|a ＋8|＝－(a ＋8)．∴原式＝|－(a ＋4)－4|＝|－a －8|＝|a ＋8|＝－(a ＋8)＝－a －8.4．[解析] 由三角形三边关系定理可得2＜c ＜8,将这两个二次根式的被开方数分化因式,就可以应用二次根式的性质化简了．解：由三角形三边关系定理,得2＜c ＜8.∴原式＝（c －2）2－（12c －4）2＝c －2－(4－12c)＝32c －6. 5．[解析]A 由ab ＜0,可知a,b 异号且a ≠0,b ≠0.又因为a2≥0,且a2b ≥0,所以a ＜0,b>0.所以原式＝－a b.[点评] 逆用二次根式的乘除法轨则进行化简时,症结是留意轨则成立的前提,还要留意二次根式的总体性质符号,即化简前后符号要一致．6．解：(1)原式＝（－5）2×（－3）2＝5×3＝15.(2)原式＝16×49＝16×49＝4×7＝28.(3)原式＝ 2.25×a2·b ＝1.5a ·b ＝3a 2b. (4)原式＝259＝259＝53. (5)原式＝9a34＝3a 2 a. 7．解：依题意可知a －2017≥0,即a ≥2017.所以原前提转化为a －2016＋a －2017＝a,即a －2017＝2016.所以a ＝20162＋2017. 所以a －12016＝20162＋20162016＝2017. [点评] 解决此题的症结是从已知前提中发掘出隐含前提“a －2017≥0”,如许才干对（2016－a ）2进行化简,从而求出a 的值．8．解：依题意可知x ＜0,y ＜0. 所以原式＝x2xy ＋y2xy ＝－x xy ＋－y xy ＝－（x ＋y ）xy . 因为x ＋y ＝－10,xy ＝8,所以原式＝－（－10）8＝522. [点评] 解决此题的症结是从已知前提中剖析出x,y 的正负性,如许才干对请求的式子进行化简和求值．假如盲目地化简代入,那么将会得出－522这个错误成果． 解答此题还有一个技能,那就是对x y ＋y x进行变形时,不要按通例化去分母中的根号,而是要依据已知前提的特色对它进行“通分”． 9．解：(1)原式＝(－15)2－42＝15－16＝－1.(2)原式＝(32)2－(26)2＝18－24＝－6. (3)原式＝3(2＋2)(2－2)＝3(4－2)＝2 3.(4)原式＝(15＋4)2016(15－4)2016(15－4)＝[(15＋4)(15－4)]2016(15－4)＝15－4.[点评] 应用乘法公式化简时,要擅长发明公式,经由过程符号变形.地位变形.公因式变形.联合变形(添括号).指数变形等,变出乘法公式,就可以应用公式进行化简与盘算,事半功倍．10．[解析]C 原式＝(x －5)2－24. 当x ＝5－26时,x －5＝－26,∴原式＝(－26)2－24＝24－24＝0.故选C.[点评] 解答此题时,先对请求的代数式进行配方,然后视x －5为一个整体代入求值,这比直接代入x 的值进行盘算要简略得多． 11．解：因为x ＋y ＝11,xy ＝14[(11)2－(7)2]＝1, 所以x2－xy ＋y2＝(x ＋y)2－3xy ＝(11)2－3＝8.[点评] 这类问题平日视x ＋y,xy 为整体,而不是直接代入x,y 的值进行盘算．12．解：因为(x －y)2＝(x ＋y)2－4xy ＝20,且x ＞y,所以x－y＝20＝25,所以原式＝（x＋y）2（x）2－（y）2＝x＋y＋2xyx－y＝6＋425＝ 5.[点评] 此题需先整体求出x－y的值,然后再整体代入变形后的代数式盘算．13．[解析]A 因为(3－2)(3＋2)＝1,所以a＝3－2＝13＋2.同理,b＝12＋3,c＝15＋2.当分子雷同时,分母大的分式的值反而小,所以a＞b＞c.故选A.[点评] 这里(3－2)(3＋2)＝1,即3－2与3＋2互为倒数．是以,比较大小时,可把3－2转化为13＋2,从而转化为分母大小的比较。
培优专题10二次根式化简求值的五种方法-2022-2023学年八年级(五四制)下册初三数学学练测(鲁
培优专题10二次根式化简求值的五种方法一、引言在初三数学学习中，二次根式是一个重要的概念，也是化简和求值的常见题型。
本文介绍了五种方法来化简和求值二次根式，帮助学生更好地掌握这一知识点。
二、方法一：分解质因数法当二次根式中含有平方数时，分解质因数法是一种很有效的化简方法。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{100}$解析：由于100可以分解为 $2^2 \\times 5^2$，所以 $\\sqrt{100}$ 可以化简为 $2 \\times 5 = 10$。
三、方法二：直接运算法当二次根式中没有平方数时，可以直接进行运算来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{8}$解析：可以发现8可以分解为23，所以 $\\sqrt{8}$ 可以化简为$\\sqrt{2^3} = 2\\sqrt{2}$。
四、方法三：有理化方法有时候，二次根式的分子或分母中含有根号，这时可以使用有理化方法来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}}$解析：可以使用有理化的方法，将分母的两个根式的乘积展开，得到$\\frac{1}{\\sqrt{3} + \\sqrt{2}} = \\frac{1}{(\\sqrt{3} +\\sqrt{2})(\\sqrt{3} - \\sqrt{2})} = \\frac{1}{3 - 2} = 1$。
五、方法四：配方法当二次根式中含有两个以上的项时，可以使用配方法来化简。
我们以一个例子来说明：例题：化简 $\\sqrt{18} + \\sqrt{8}$解析：首先，对于 $\\sqrt{18}$，可以将其分解为 $3\\sqrt{2}$。
对于$\\sqrt{8}$，可以将其分解为 $2\\sqrt{2}$。
所以， $\\sqrt{18} +\\sqrt{8}$ 可以化简为 $3\\sqrt{2} + 2\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$。
(完整版)培优专题：二次根式
二次根式培优一、 知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件一般地，我们把形如 ,a(a 0)的式子叫做二次根式，其中a 0-a 0。
根据二次根式的定义，我们知道：被开方数 a 的取值范围是a 0，由此我们判断下列式子有 意义的条件：____ ____ ____ 1/ x 1(1 八 x 1 \1 x ; (2)、 -- 2；2V x(3) <1—T J—2； (4) —-; (5) V3—r(x竺x 1Vx 2(1) 、根据二次根式的这个性质进行化简： ① 数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简2a⑤ 若为a,b,c 三角形的三边，贝U ■(a b c)2 "a b c ^ ------------⑥ 计算：J (4研&妬5)2 _____________________ (2) 、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围教科书中给出：一般地，根据算术平方根的意义可知：'a a(a 0)，在此我们可将其拓展为:2、也2的化简 a(a 0) a(a 0)②化简求值:1其中a= 5③已知,3,化简2m4m 2 m 1 .m 2 6m 912am J 2m m2 1,求m的取值范围①若②若J(2 x)2J(6 2x)2 4 x，则x的取值范围是 ______________________________③若 a J2b 14 J7 b ,求J a2 2ab b2的值；④已知:y= ,2x 5 .5 2x 3,求2xy的值。
.二次根式,a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a 0②二次根式,a是非负数，即...a 0 例1.要伸x 1有意义，则x应满足( ).J2x 11 11 1A. 1< x< 3 B . x< 3 且X M丄C .丄v x v 3 D . - vx< 32 2 2 2例2 (1)化简打—1 J—x = ____________ .(2)若.E .C=(x+ y)2,贝U x —y 的值为()(A) —1 . (B)1 . (C)2 . (D)3 .例3(1)若a、b为实数，且满足丨a — 2 | +一b2=0,则b —a的值为()A. 2B. 0C. —2D.以上都不是⑵已知x, y是实数，且(x y 1)2与2x y 4互为相反数，求实数y x的倒数三，如何把根号外的式子移入根号内我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。
专题03 二次根式化简的四种考法(解析版)(北师大版)
a=m2 2n2，b=2mn ．这样小明就找到了一种把类似 a b 2 的式子化为平方式的方法．请
你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
2
（1）若 a b 5 m n 5 ，当 a、b、m、n 均为整数时，则 a＝
，b＝
．（均用
含 m、n 的式子表示）
（2）若 x 4 3 m n 3 2 ，且 x、m、n 均为正整数，分别求出 x、m、n 的值．
a a b c a c b
a a b c a c b 2c a 【点睛】本题考查了数轴上的点判断式子的符号，二次根式的性质，绝对值的意义，整式的 加减，数形结合是解题的关键．
【变式训练 2】如图，实数 a、b 在数轴上的位置，化简 a2 b2 a b ² ．
【答案】 2b 【分析】根据数轴可得 1 a 0.5 ， 0.5 b 1 ，则 a b 0 ，然后根据二次根式的性质化 简即可求解． 【详解】解：由图可知， 1 a 0.5 ， 0.5 b 1 ， ab 0，
∴ a b c2 a b c2 b a c2 c b a2 a b c a b c b a c c b a
a bca bcb a ccb a 2a 2b 2c ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质
a2 a 及三角形的三边关系等知识点． 【变式训练 1】已知 a、b、c 在数轴上的对应点如图，化简： a2 a b (c a)2 b c ．
第十六章 二次根式(培优卷)(原卷版)
第十六章二次根式（培优卷）一、单选题1．（2021·山东河东·七年级期末）2021=0的值为（）A．0B．2021C．-1D．12．（2021·福建南安·九年级期中）若x=y=222x xy y++的值为（）．A．2B．2021C．－D．8 3．（2021·=.=关于解答过程，下列说法正确的是（）.A．两人都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错4．（2021·河北八年级期中）墨迹覆盖了等式“=中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷5．（2021·湖北）已知按照一定规律排成的一列实数：﹣1﹣2，﹣，…则按此规律可推得这一列数中的第2021个数应是（）A B C D．20216．（2021·山东青州·八年级期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下列说法：①当输出值y x为5或25；②当输入值为64时，输出值y③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个．7．（2021·山东河东·八年级期末）我们把形如b（a，b型无理数，如12属于无理数的类型为（）．A型B C型D8．（2021·浙江滨江·八年级期中）对式子m，正确的结果是（）A B．C．D9．（2021·全国·九年级专题练习）=x、y、z为有理数．则xyz＝（）A．34B．56C．712D．131810．（2021·广西钦州·七年级期末）如图是一张正方形的纸片，下列说法：①若正方形纸片的面积是1，则正方形的长为1；②若一圆形纸片的面积与这张正方形纸片的面积都是2π，设圆形纸片的周长为C圆，正方形纸片的周长为C正，则C圆＜C正；③若正方形纸片的面积是16，沿这张正方形纸片边的方向可以裁出一张面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，其中正确的是（ ）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题11．（2021·山东青州·八年级期末）已知2x=，则代数式24x++的值等于___．12．（2021·江西·景德镇一中七年级期中）_______13．（2021·山东商河·八年级期中）计算：）20142）2015＝______．14．（2021·河北·平泉市教育局教研室八年级期末）==a b =______．15．（2021·浙江金华市·八年级期末）对于实数a 、b 作新定义：@a b ab =，b a b a =※，在此定义下，计算：--2-=※________．16．（2021·安徽八年级期中）在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为2192cm 的正方形，则原长方形纸片的面积为________2cm ．17．（2020·全国·八年级课时练习）已知x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且+．18．（2021·浙江杭州市·八年级模拟）比较下列四个算式结果的木小：（在横线上选填“>”、“<”或“=”）（1）①________；②__________；③_________．（2）通过观察归纳，写出反映这一规律的一般结论 ．三、解答题19．（2021·山东·枣庄市台儿庄区教育局教研室八年级期中）（1（2）（3（41)20．（2021·洛阳市第五中学八年级期中）2）2）＝1a （a≥0）、＋1）﹣1）＝b ﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有22(+2(22+2´22+2＋1﹣1，次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：（3的大小，并说明理由．21．（2021·湖北沙区·三模）小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解5的过程．m，与原方程相乘得：×5m，x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，1，与原方程相加得：+5＋1，6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．1．22．（2021·江西）1=-；==2==．试求：（1（2n为正整数）的值．（3）计算：)1L．23．（2021·四川大邑·八年级期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设a+ba，b，m，n均为整数），则有a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a+（1）若a+，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：a＝ ，b＝ ．（2）若a，当a，m，n均为正整数时，求a的值．（3．24．（2020·江苏省初二月考）甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1．2(1=222(22m m n=+=++2(m=+2(m=+细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：)2＋1＝2，S 1)2＋1＝3，S 2；）２＋1＝4，S 3；…．（1）请用含有n (n 是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA 10的长；（2）求出的值．25．（2021·北京·八年级单元测试），3，…按下面的方式进行排列：，，那么（1所在的位置应记为；（2）在的位置上的数是，所在的位置应记为；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为．222123210S S S S +++¼+ 3,M(1,5)(2,3)(4,1)。
专题训练。二次根式化简求值有技巧(含答案)
专题训练。
二次根式化简求值有技巧(含答案)专题训练(一)：二次根式化简求值有技巧（含答案）类型之一：利用二次根式的性质a^2=|a|化简对于a^2的化简，不要盲目地写成a，而应先写成绝对值的形式，即|a|，然后再根据a^2的符号进行化简。
即a=|a|=(a>0)时，a；(a<0)时，-a。
1.已知a=2-3，则a^2-2a+1=()A。
1-3 B。
3-1 C。
3-3 D。
3+3解析：a^2-2a+1=(2-3)^2-2(2-3)+1=3-4+1=0，故选D。
2.当a<0且a≠0时，化简：(22a^2-a)÷(a^2-4a+3)=________。
解析：22a^2-a=a(22a-1)，a^2-4a+3=(a-1)(a-3)，所以原式=-(22a-1)÷(a-1)=-2a+3，答案为3-2a。
3.当a<-8时，化简：|(a+4)^2-4|。
解析：(a+4)^2-4=(a+2)(a+6)，所以原式=|a+6|-2，当a<-8时，a+6<0，所以原式=-a-4.4.已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：c^2-4c+4.解析：根据勾股定理，c^2=3^2+5^2=34，所以c^2-4c+4=(c-2)^2=32.类型之二：逆用二次根式乘除法法则化简5.当ab<0时，化简a^2b的结果是()A。
-ab B。
a-b C。
-a-b D。
ab解析：当ab<0时，a和b的符号不同，所以a^2b的符号为负数，即-a^2b。
6.化简：(1) (-5)^2×(-3)^2；(2) (-16)×(-49)；(3) (-25)÷9a^3.解析：(1) (-5)^2×(-3)^2=225；(2) (-16)×(-49)=784；(3) (-25)÷9a^3=-25÷(3a)^3=-25/27a^3.类型之三：利用隐含条件求值7.已知实数a满足(2016-a)^2+a-2017=a，求a的值。
人教版数学八年级培优竞赛 二次根式的性质与化简求值 专题课件
24 x 8 x 24 x 8 x
2
24 x
2
8x
24 x
8 x 16 又有
24 x 8 x 2 ，可得 24 x 8 x 8 ，将这两式相加可得 24 x 5 ，且
8 x 3 ，将 24 x 5 两边平方可解得 x 请你学习小明的方法，解下面的方程：
1，经检验 x
1是原方程的解.
（1）方程 x2 42 x2 10 16的解是
...
...
求满足 an bn cn 2019 3 2 1 的n可以取得的最小整数.
32
由 a1 ＋ b1 ＋ c1 ＝ 2 ＋ 2 3 ＋ 3 ＋2＋1＋ 2 2 ＝3（ 3 ＋ 2 ＋1），a 2 ＋ b2 ＋ c2 ＝9（ 3
＋
2 ＋1），… an ＋ bn ＋ cn ＝ 3（n
3＋
2 ＋1），而 an＋bn＋cn ≥2019×（
16.求代数式 x2 4 12 x 2 9 的最小值.
构造如图所示的图形，BD＝12，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2，CD＝3，设 PB＝
x，则 AP＋CP＝ x2＋4 ＋ 12－x2＋9 ，当 A，P，C 三点在同一直线上时，上述式
子取最小值，作 AE⊥CD，在△AEC 中，最小值为 AC＝13.
（1）这列数，每 6 个数循环，故，第 50 个数是－1；（2）2018 个数中含有 336 个循环还余第 1，第 2 共 2 个数，而一个循环的和是 0，故从第 1 个数开始的前 2018 个数的和是 0；（3）因为一个循环的平方和为 12，而 520 中含有 43 个 12 且余下 4，并且前面 3 个数的平方和恰好是 4，43×6＋3＝261，共有 261 个数 的平方相加.
二次根式化简练习题含答案
二次根式化简练习题含答案（培优）（一）判断题：（每小题1分，共5分）1. ......................................................................... ?( 2) ab = — 2- l ab ( )2. 、3 — 2 的倒数是.3 + 2.() 3.. (x 1)2 = (一 x 1)2 .…()4 .J ab 、1勺a 3b 、2是同类二次根式.…（3xF b5. J8X ，，卞‘9 X 都不是最简二次根式.（& a — Ja 2 1的有理化因式是 _____________29 .当 1 V X V 4 时，|x — 4|+ # X 2X 1 = __ 10. 方程J2 （x — 1）= x + 1的解是 ______ 11. 已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简12. 比较大小：—13.__________________________________________________ 化简：(7 — 5 -2 )2000 ( — 7— 5，2 ) 2001 = ________________________________________ . 14.______________________________________________________ 若 X 1 +• y 3 = 0，则(x — 1)2+ (y + 3)2 = ________________________________________ . 15. x , y 分别为8 — 11的整数部分和小数部分，则2xy — y 2= ___________ .(三)选择题：(每小题3分，共15分)16...................................................................................... 已知..x 3 3x 2 =— x 、.x 3，则 ( )(A ) x w 0 ( B ) x w — 3 (C ) x >— 3 ( D )— 3< x < 0 ■ 2212 217. 若 x v y v 0 y . x 2xy y + x 2xy y = .................................................................. ()(A ) 2x(B ) 2y( C )— 2x(D )— 2y18. 若 0v x v 1,则、：(x 丄)24 — J (x -)24 等于 ................... ()22 (A )( B )—(C )— 2x(D ) 2xxx/V19.化简 ............................................. (a v 0)得( )a(A ) a(B )— -• f a (C )— \ a (D ) 、-aab c 2d 2 ab . c 2d 21 4\3（二）填空题：（每小题2分，共20分）6.7.20......................................................................................................................................... 当a v 0, b v 0 时，一a + 2 ab — b 可变形为 .................................................... ( )(A) ( a b)2( B )—(.a . b)2(C) ( a . b)2( D ) (• a •- b)2（四）计算题：（每小题6分，共24 分）21. ( ■ 5 -.3 2 ) ( --• 5 3 “弋2 ))23.ab ——mn +m.m)24.(、a + b abVa Jba+ bab b . ab aa b..ab)(a丰b).（五）求值：（每小题7分，共14 分）25.已知x=3 •、. 2,3 、2,■-23 2x xy~ 3~2 2~3x y 2x y x y的值.26 .当x= 1—、2时，求2x Jx2 a2+ 1x2x \ x2 a2x2a2的值.六、解答题：（每小题8分，共16 分）27.计算(2.5 + 1) (1+11 迈 &2 Q31+•••+ 1 ).、99 、10028 .若x , y 为实数，且y =1 4x +____ 1 4x 1 +22 y 的值.x(一)判断题：(每小题1分，共5 分) ,(2)2 = |-2|= 2 .［答案】X. 1、【提示】 2、【提示】 =-(込+ 2).［答案】X. 3 4 3、【提示】 案】x. .(x 1)2 = |x - 1|, ( -. x 1)2 = x —1(x > 1).两式相等，必须 x > 1 .但等式左边 x 可取任何数.【答1£a 3b 、 2胆化成最简二次根式后再判断. ［答案】".3 x b 5、9 x 2是最简二次根式.［答案】X.(二)填空题：(每小题2分，共20分) 【提示】X 何时有意义？ x > 0 .分式何时有意义？分母不等于零.［答案】x > 0且X M 9. 【答案】-2^. a .［点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用. ［提示】(a - Ja 2 1 ) ( ___________ )= a 2- (Ja 2 1)2. a + Ja 2 1 .［答案】a +J a 2 1 . 【提示】x 2- 2x + 1=( ) 2, x - 1•当1v x v 4时，x - 4, x - 1是正数还是负数？ x - 4是负数，x - 1是正数.［答案】3. 10、［提示】把方程整理成 ax = b 的形式后，.c 2d 2 = |cd|=- cd . ab + cd .［点评】T ab = 2-7 = -f 28 , 4-3 = '.■ 48 . v.［点评】先比较 、28 ，: 48的大小，再比较4、【提示】6、 7、 8 9、 a 、b 分别是多少？ 2 1 , . 2 1 •【答案】x = 3+ 2、・2 . 11、【提示】 【答案】 12、【提示】 【答案】 C ab)2 (ab > 0), A ab - c 2d 2=(、ab cd ) ( .. ab cd ).1 1 ^1 的大小，最后比较一 ------ 与 28 48 28 1 ——=的大小. 、4813、【提示】(二 7-57 2 ) 2001二(—7 - 5$2 ) 2000.( ____________ )丄-7 - 5^2 .］ (7 - 5、、2 ) •(-7 - 5 . 2 )=? ［1.］【答案】—7-5、一 2 . 【点评】注意在化简过程中运用幕的运算法则和平方差公式.24、 14、 【答案】40.【点评】 x 1 > 0, y 3 > 0 .当 x 1 + y 3 = 0 时，x + 1 = 0, y - 3= 0.15、 【提示】I 3 VV 4,二 ___________ V 8— JU V ___________ . [4, 5] •由于 8 - 介于 4 与 5 之间，则其整数部分 x =?小数部分y =? [x = 4, y = 4- ,11]【答案】5.【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算•在明确了二次根式的取值范 围后，其整数部分和小数部分就不难确定了.（三）选择题：（每小题3分，共15分）16、 【答案】D .【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件， （A ）、（ C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义. 17、 【提示】T x V y v 0,「. x — y V 0, x + y V 0.x 2 2xy y 2 = . （x y ）2 = |x — y|= y — x .: n2 n'x 2xy y = .. （x y ） = |x + y|= — x —y .【答案】C .【点评】本题考查二次根式的性质 .a 2 = |a|.时，x — — V 0.x19、 【提示】a = "：; a a = ^ a • a a =— a .【答案】C .20、 【提示】T a V 0, b V 0,—a>0,—b >0•并且-a =（丿 a ）?, —b = （■. b ）?, J ab = J （ a ）（ b ）.【答案】C .【点评】本题考查逆向运用公式（ja ）2 = a （a >0）和完全平方公式.注意（A ）、（ B ）不正确是因为a V 0, b V 0时，、..a 、,b 都没有意义. （四）计算题：（每小题6分，共24分）21、 【提示】将-.5 -.3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式. 【解】原式=（、5 、3）2— （、. 2）2 = 5— 2、15 + 3— 2= 6— 2.15..ab （、、a i b ）（ . a 、b ）18、 【提示】 1 1 （x — — ）2+ 4= （x + — ）2,x 1x + > 0, x x1x — V 0.【答案】D .x （x + 丄）2— 4= （x —丄）2.又••• 0V x V 1,x【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. （A ）不正确是因为用性质时没有注意当0V X V 122、 23、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式.【解】原式=型 山—◎—坐 ①=4+ .11 — ,117 — 3 +… 7 = 1 .16 1111 79 7 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式. —ma 2b 2 ‘ n【解】原式=（a2n-亚-mn n m mmmnn +a 2 ab 1 a 2b 2ma 2b 2 ；；m1 — -- +b 2 ab【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分 mab 1 a b亠 aw ：（需 Vb ） bJb （祐 Vb ） （a b ）（a b ）a .b . ab （ a b ）（. a 、b ）亠 a 2 aJab bJab b 2 a 2 b 228、a bJab(Ja Jb)(Ja Tb)=—晶真.a . b, ab(a b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐. (五)求值：(每小题7分，共14分)25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值. 【解】T x = 一13 = (J 3 ^2)2= 5+ 2 V 6 , J 3迈,3 2 y = 3 2=C. 3 亡：2) $ = 5— 2 打6 . x + y = 10, x — y = 4 6 , xy = 52 — (2、.6)2= 1 . x 3 xy 2= x(x y)(x y) = x y x 4y 2x 3y 2 x 2y 3 x 2y(x y)2 xy(x y) 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“ 程更简捷. 4、. 6 1 10x + y ”、=265 “x — y ”、“xy ”.从而使求值的过 26、【提示】注意：x 2+ a 2=x 2+ a 2— x x 2a 2x a (t x 2 2 2 2 2x x a (2x. x axjx 2a 2(Jx 2 2 2 2 , 2 2、2x 2x (x a ( x a )i 1-2T / i ~22"x x a ( x a【解】原式=(2x . x 2 C.X 2 a 2)2, = Jx 2 a 2 (J x 2a 2 — x ),x 2 — xj?a 2 = —x(J x 2a 2 — x ).2x Jx a 2 22a)x( xx) x( x 2 a2a 2 x)x = 1 —、、2时，原式=a 2 x)xx 2 a 2 x 2 =( x 2 a 2)2x) x x 2 a 2 (.—1 =— 1 — 2 .【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分1 . 2=x 2 a 2 ( x 2 a 2x)x x 2 a 2 c x 2a 2 x) x, x 2 a 2( .x 2 a 2 x)■-~22x x a2 a 式”之差, 那么化简会更简便. 即原式= 1 1 =( ----------------------------------- )2 2 2 2 7 x a x x a vx—(1 2 2 x a x x「r~2 2 、 a G x a x) 1) +「1—=丄 X x 2 a 2 x 〜 2 22x x a + x(・ x 2a 2 x) 六、 解答题：(每小题8分, 共16分) 27、 【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算. l 逅1 <3【解】原式=(2 .5 + 1)(—^「2 1 =(2 -..5 + 1) [ ( 2 =(25 + 1) ( 100 =9 (2.5 + 1).【点评】本题第二个括号内有 99个不同分母，不可能通分.这里采用的是先分母有理化，将分母化为 整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消.这种方法也叫做裂项相消法.2 4 ■■-3 + + +…+ 3 24 3 1 ) + ( . 3 2 ) + ( .,4 3 )+•••+( .100 . 99 )]1 ) .100 一 99) 100 99 1 4x 0 x【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？[ ]你能求出x , y 的值吗？[4x 10.y14] 2.1 4x 【解】要使y有意义，必须［4x 1 0，即14 ..ii ix= .当x= 时,41y=2又•••y—x 2x yy|-1 xx ' y .x （「x・x= 4，y= 2，••• r v I.y xy=-时，2•••原式=x y- y x = 2 x当x= 1y V x \ x \ y \ y 4原式=2 4 = 2 .【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，进而求出y的值.2。
二次根式化简练习题含答案
•二次根式(g ēnsh ì)化简练习题含答案（培优）（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．＝－2．…………………（ ） 2．－2的倒数(d ǎo sh ù)是3＋2．（ ）3．＝．…（ ）4．ab 、、是同类(t óngl èi)二次根式．…（ ） 5．，，都不是(b ù shi)最简二次根式．（ ）（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子(sh ì zi)有意义．7．化简－÷＝ ．8．a －的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋＝________________．10．方程（x －1）＝x ＋1的解是____________．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简＝______．12．比较大小：－_________－．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若＋＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知＝－x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则＋＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 18．若0＜x ＜1，则－等于………………………（ ）（A ） （B ）－x2（C ）－2x （D ）2x 19．化简a ＜0得………………………………………………………………（ ） （A ）（B ）－（C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形(bi àn x íng)为………………………………………（ ） （A ）（B ）－（C ）（D ）（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（）（）；22．－－；23．（a 2－＋）÷a 2b 2mn ；24．（a ＋）÷（＋－）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝，y ＝，求的值．26．当x ＝1－2时，求＋＋的值．六、解答(ji ěd á)题：（每小题8分，共16分）27．计算(j ì su àn)（2＋1）（＋＋＋…＋）．28．若x ，y 为实数(sh ìsh ù)，且y ＝＋＋．求－的值．（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1、【提示(t ísh ì)】＝|－2|＝2．【答案(d á àn)】×．2、【提示】＝＝－（3＋2）．【答案】×．3、【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×．4、【提示】31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6、【提示】何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8、【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ．9、【提示(t ísh ì)】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数(zh èngsh ù)还是负数？x －4是负数(f ùsh ù)，x －1是正数(zh èngsh ù)．【答案】3． 10、【提示(t ísh ì)】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？，．【答案】x ＝3＋22． 11、【提示】＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝（ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（）（）． 12、【提示】2＝，43＝．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较，的大小，最后比较－281与－481的大小． 13、【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．]（7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0． 15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ．【点评】本题考查二次根式的性质＝|a |．18、【提示】(x －)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x 1＜0．19、【提示】＝＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ．20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝，－b ＝，ab ＝．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、都没有意义．（四）计算题：（每小题6分，共24分） 21、【提示(t ísh ì)】将看成一个整体，先用平方差公式，再用完全(w ánqu án)平方公式．【解】原式＝(35-)2－＝5－2＋3－2＝6－215． 22、【提示(t ísh ì)】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝－－＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、【提示(t ísh ì)】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2mn －m ab mn ＋mnn m）·n m ＝－＋＝21b －＋221b a ＝． 24、【提示】本题应先将两个括号(ku òh ào)内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝÷＝÷＝ba ba ++·＝－．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （五）求值：（每小题7分，共14分）25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝＝5＋2， y ＝2323+-＝＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．＝＝＝＝．【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 26、【提示】注意：x 2＋a 2＝，∴ x 2＋a 2－x ＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝－＋221ax +＝＝=＝＝x1．当x ＝1－2时，原式＝＝－1－2．【点评(di ǎn p ín ɡ)】本题如果将前两个“分式(f ēnsh ì)”分拆(f ēn ch āi)成两个“分式(f ēnsh ì)”之差，那么(n à me)化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝－＋221a x +＝x1．六、解答题：（每小题8分，共16分）27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（＋＋＋…＋）＝（25＋1）[（12-）＋（）＋（）＋…＋（）]＝（25＋1）（）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？你能求出x ，y 的值吗？【解】要使y 有意义，必须，即∴ x ＝．当x ＝41时，y ＝21． 又∵xyy x ++2－xyy x +-2＝－＝||－||∵ x ＝41，y ＝21，∴ ＜． ∴ 原式＝xy yx +－＝2当x ＝41，y ＝21时，原式＝2＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，进而求出y的值．内容总结（1）二次根式化简练习题含答案（培优）（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．＝－2．（2）你能求出x，y的值吗。
专题01 二次根式化简的四种压轴题全攻略(解析版)
专题01 二次根式化简的四种压轴题全攻略例1=x 的取值范围为 ___．【答案】32x -£<【详解】解：Q =3020x x ì+³ï\í->ïî①② 由①得：3,x ³- 由②得：2,x < 所以则x 的取值范围为3 2.x -£< 故答案为：32x -£<【变式训练1】已知m ，n 为实数，且3n -+==________．【详解】依题意可得m -2≥0且2-m ≥0，∴m =2，∴n -3=0∴n =3，=．【变式训练2】（1a 的取值范围是__________；（22a =-，则a 的取值范围是_______；【答案】a ≥0 2a £【解析】（1a 的取值范围是a ≥0，（2）22a a =-=-，∴20a -£，∴2a £，故答案为：a ≥0，2a £．【变式训练3】已知a 、b 、c 为一个等腰三角形的三条边长，并且a 、b 满足7b =，求此等腰三角形周长．【答案】17【详解】解：由题意得：3030a a -³ìí-³î，解得：a =3，则b =7，若c =a =3时，3+3＜7，不能构成三角形．若c =b =7，此时周长为17．【变式训练43a =-成立，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．0a …B ．3a …C ．3a -…D ．3a …【答案】B33a a ==-=-，∴30a -…，∴3a …，故选：B ．类型二、利用数轴化简二次根式例1．实数a 、b + ）A ．22a b +B ．2a -C ．2b -D ．22a b-【答案】B【详解】解：由数轴可知：0a <，0b >，0a b -<b a b -+-a b a b =-+--2a=-故选：B ．【变式训练1】实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简|a ﹣b |的结果是（ ）A ．aB ．﹣aC ．2bD ．2b ﹣a【答案】A【详解】解：由数轴可知：0b a <<，∴0a b ->，∴原式＝()a b b a ---=，故选：A ．【变式训练2】实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简||a 的结果是（ ）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b【答案】A【解析】根据数轴上点的位置得：a ＜0＜b ，∴a -b ＜0，则原式=|a |+|a -b |=-a +b -a = -2a +b ．故选：A ．【变式训练3】已知数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：【答案】0【详解】由数轴知：0c b a<<<∴0a b ->，0c a -<b －（a －b ）－（c －a ）－（－c ）＝－b －a ＋b ＋a －c ＋c ＝0类型三、利用字母的取值范围化简二次根式例1．若37m <<________．【答案】4=|7-m |+|m -3|∵3＜m ＜7，∴原式=7-m +m -3=4．故答案为：4．例2.设a ，b ，c 是△ABC b ﹣a ﹣c |的结果是________．【答案】2a +2c【解析】∵a ，b ，c 是△ABC 的三边的长，∴a +c ＞b ，a +b +c ＞0，∴b ﹣a ﹣c ＜0，b ﹣a ﹣c |=|a +b +c|+|b ﹣a ﹣c |=a +b +c +a +c -b =2a +2c ．故答案是：2a +2c ．【变式训练1】已知0a >_______________【答案】【解析】Q 0a >,\ 0b <，\ ==故答案为：【变式训练2】若实数a ，b ，c =c ＝______．【答案】404【详解】解：根据题意，得19901990a a -=ìí-=î，解得a ＝199，0+=，所以2199060b c b ´+-=ìí-=î，解得6404b c =ìí=î，故答案为：404．【变式训练3】化简：2-=_______．【答案】0【解析】由题意可知：3-x ≥0，∴2=3x -=33x x ---=33x x -+-=0故答案为：0．类型四、双重二次根式的化简例1_______【答案】故答案为：例2.阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一==1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1；（2（2【变式训练1】阅读理解“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法7==+设x =-，>故0x >，由22x =33=+-2=解得x -=【答案】5-【详解】解：设x =>∴0x <∴266x =--+，∴212236x =-´=，∴x =5=-，∴原式55=--=-【变式训练2】先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，72a b -=，使得22m +=，=)a b ==>7m =，12n =，由于437+=，4312´=即227+=2===（1=；（2【答案】（11，2（2）4【详解】解：（1=1；==21，2（2）原式4【变式训练3】先阅读下列解答过程，然后再解答：中发现：由于437+=，4312´=，即：227+=， =2====问题：（1=__________=____________﹔（2a ，b （a b >），使a b m +=，ab n =，即22m +=那么便有：=__________．（3（请写出化简过程）)a b >；（3课后作业120-=，那么这个等腰三角形的周长为（ ）A ．8B ．10C ．8或10D ．9【答案】B【详解】解：20-=∴40a -=，20b -=，解得4a =，2b =当腰长为2，底边为4时，∵224+=，不满足三角形三边条件，不符合题意；当腰长为4，底边为2时，∵2464+=>，4402-=<，满足三角形三边条件，此时等腰三角形的周长为44210++=．故选：B2=x 、y 、z 为有理数．则xyz ＝（ ）A ．34B ．56C ．712D ．1318【答案】A=+∴3x y z =+++x+y+z=3===，x+y+z=31=23yz=43xz=2xy ìïïïï\íïïïïî，()29xyz ,0,0,016x y z \=³³³，∴xyz ＝34，故选择：A ．34y =+，则yx ＝_____．【答案】16【详解】解：由题意得，x -2≥0，2-x ≥0，解得，x =2，则y =-4，∴yx =（-4）2=16，故答案为：16．4．如图，实数a ，b=__．【答案】b-【详解】解：由数轴可得：10a -<<，01b <<，则0a b -<，()a b a =---a b a =--+b =-．故答案为：b -．5．已知a ，b b +2，求ab 的值．【答案】125【详解】解：2b =+有意义，∴5050a a -³ìí-³î，∴5a =，∴20b +=，∴2b =-，∴21525-==b a ．6．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬2个单位长度到达点B ，点C 与点B 关于原点对称，若A 、B 、C三点表示的数分别为a 、b 、c ，且a ＝．（1）则b ＝ ，c ＝ ，bc ＋6＝ ；（2+．【答案】（1）22，（2）3【详解】解：（1）∵A 表示一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬2个单位长度到达点B ∴2b =，∵点C 与点B 关于原点对称，∴2c b =-=，∴bc ＋6＝()22624-+=--+=．故答案为：22；（2|1||21||21|=-++--113=+3=7（1；（2）已知 a ，b ，c【答案】（1）52-；（2）2b c -【详解】（1）原式=4=342=-52=-（2）结合数轴可知：0a b <<，0c >0b a \->，0a c -<，\原式b a a c b =----b a a c b =-+-+2b c =-8．观察下列等式：1=-==解答下列问题：（1）写出一个无理数，使它与3的积为有理数；（2；（3．【答案】（1）3+；（2）；（31．【详解】解：（1）∵(3927=-=，∴这个无理数为：3（2=；（31+…1．9．先阅读下列的解答过程，然后作答：的化简，只要我们找到两个数a 、b 使a b m +=、ab n =，这样22m +==)a b ==>这里7m =，12n =．由于437+=，4312´=，即227+=2\=由上述；例题的方法化简：（1；（2．【答案】（1（2+．【详解】（1===（2===．。
二次根式培优专题二
第一讲 二次根式化简求值一． 内容概述根式的化简主要有以下几种思路：1、 利用定义，通过平方去掉根号，将二次根式的问题转化成整式的定义2、 将含根号的项看作一个整体，与整式进行同样的恒等变形或计算3、 有多重根号时，将最外面的根号下的式子配成完全平方的形式4、 二． 例题例1、（1）设x = 求(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值（2）若a =，求54222014a a a ++-例2、（1（2...+++（3x>例3、已知1=例4、化简（1（2（3n>例5、（1）若0（2例6、设x y ==例7、例8例9、设2),m a =≤≤ 求109836m m m m ++++-思考题如果2a a =求三． 课后练习12、 若0n >3、Rt △ABC 中，∠C=15°，∠A=90°，AB=1，（1）求AC （2）求BC4、12a =，12b =，求22a ab b -+5一、二次根式的非负性1．若2004a a -=，则22004a -=_____________． 2．代数式13432---x x 的最小值是（ ） （A ）0 （B ）3 （C ） （D ）13．若m 适合关系式=，求m 的值．4．已知x 、y 为实数，且499+---=y x y ，求y x +的值．5．已知1888+-+-=x x y ，求代数式xy y x xyy x y x ---+2的值．6．已知：211881+-+-=x x y ，求22-+-++xyy x x y y x 的值． 二、二次根式的化简技巧 （一）构造完全平方1_____________．（拓展）计算2222222220041200311413113121121111++++++++++++L ．2．化简：5225232-+---++y y y y ．3．化简241286+++．4．化简：23246623+--．（二）分母有理化 1．计算：4947474917557153351331++++++++ 的值．2．分母有理化：53262++． 3．计算：321232+++-．（三）因式分解（约分）1．化简：2532306243+--+． 2三、二次根式的应用 （一）无理数的分割1．设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分，则ab 12-的值为（ ） （A ）126+- （B ）41 （C ）12-π （D ）832π--2的整数部分为x ，小数部分为y ，试求2212x xy y ++的值．3a ，小数部分为b ，试求1a b b++的值（二）最值问题1．设a 、b 、c 均为不小于3的实数，则a b c -+++--2111||的最小值是_______．3．若y x ，为正实数，且4=+y x 的最小值是_____________．4．实数b a ，10|3||2|b b =-+--，则22a b +的最大值为_____________． （三）性质的应用1．设m 、x 、y 均为正整数，且y x m -=-28，则m y x ++ =_________．2．设 +++=222x ， 222=y ，则（ ）（A ） y x > （B ） y x < （C ） y x = （D ） 不能确定32=-的值为 ．4．已知x y ==5445x x y xy y +++的值．5=成立，则（ ）（A ）12x ≥（B ）112x ≤≤（C ）1x >（D ）32x = 6．已知732.13=，477.530=，求7.2的值． 7．已知y x ，都为正整数，且1998=+y x ，求y x +的值．8．是否存在正整数)(y x y x <、，使其满足1476=+y x ？若存在，请求出x 、y 的值；若不存在，请说明理由． （四）因式分解（1）44-x （2）2254-x （3）9164-x （4）1222+-x x （5）1616y x-（五）有二次根式的代数式化简 1．已知)56()2(y x y y x x +=+，求yxy x y xy x 32++-+的值．2=的值。
2024年中考数学复习-二次根式的化简求值考点培优练习(含解析)
二次根式的化简求值考点培优练习考点直击1.最简二次根式应满足的条件：(1)被开方数的因式是整式或整数；(2)被开方数中不含有能开得尽的因数或因式.2.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫作同类二次根式.3.二次根式的运算：(1)二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式.(2)二次根式的乘法：√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0).(3)二次根式的除法：√a√b =√ab(a≥0,b≥0).4.二次根式运算注意事项：(1)二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式.防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错.(2)二次根式的乘法、除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定要写成最简二次根式或整式.例题精讲例1 (邵阳中考)阅读下列材料，然后回答问题.√3√23√3+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√3√3√3×√35√33①√2 3=√2×33×3=√63②;以上这种化简的步骤叫作分母有理化. √3+1还可以用以下方法化简：√3+1√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1√3−1④.(1)√5+√3.参照③2√5+√3¯;参照④2√5+√3¯.(2) 化简:√3+1√5+√3√7+√5⋯√2n+1+√2n−1.【思路点拨】(1)通过观察，发现分母有理化的两种方法：①同乘分母的有理化因式；②利用因式分解达到约分的目的；(2)注意找规律：分母的两个被开方数相差2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况.举一反三1 阅读下面计算过程：1√2+1√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1;1√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)√3−√2;√5+2√5−2)(√5+2)(√5−2)=√5−2.请解决下列问题：(1)√n+1+√n =¯;(2)利用上面的解法，请化简：1+√2√2+√3√3+√4⋯√98+√99√99+√100(3)√n+1−√n吗?请写出化简过程. 举一反三2 阅读下列材料，并解决相应问题：√5−√3=√5+√3)(√5−√3)(√5+√3)2√5+√32=√5+√3【应用】用上述类似的方法化简下列各式：(1√7+√6(2) 若a是√2√2的小数部分，求3a的值.例 2 观察下列一组等式，解答后面的问题：√2+1)(√2−1)=1,(√3+√2)(√3−√2)=1,(√4+√3)(√4−√3)=1, (√5+√4)(√5−√4)=1⋯(1)根据上面的规律，计算下列式子的值：(1√2+11√3+√21√4+√3⋯1√2016+√2015)(√2016+1).(2)利用上面的规律，比较√12−√11与√13−√12的大小.【思路点拨】(1)利用分母有理化得到原式=(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2016−√2015)(√2016+1),合并后利用平方差公式计算；(2)通过比较它们的倒数进行判断.举一反三3 (南昌统考)观察下列一组等式的化简过程，然后解答后面的问题.√2+1√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2−1√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)√3−√21√4+√3=√4−√3)(√4+√3)(√4−√3)2−√3(1)在计算结果中找出规律√n+1+√n =¯(n 表示大于0的自然数)；(2)通过上述化简过程，可知√11−√10¯√12−√11(填“>”“<”或“=”);(3)利用你发现的规律计算下列式子的值：举一反三4 已知x，y都是有理数，并且满足x2+2y+√2y=17−4√2,求√x−y的值. 举一反三5 已知x=2√3−√5,求代数式(17+4√15)x2−(2√3+√5)x−x的值.例3 (内江中考)已知：√x=√a√a <a<1),求代数式x2+x−6x÷x+3x2−2xx+2+√x2−4xx−2−√x2−4x的值.【思路点拨】由已知条件可得x=a+1a +2,x−2=a+1a,(x−2)2=(a+1a)2,即x2−4x=a2+1a2−2=(a−1a)2,化简原式，并代入求值，由a 的取值范围确定式子的值.举一反三6 已知：a+b=−5,ab=1,求√ab +√ba的值.举一反三7已知x=√3−2,y=√3+2,求: (1)x²y+xy²;(2)yx +xy的值.举一反三8 已知m12+√3.(1)下列各式为负值的是 ( )A.1mB.2−(√3+m)C. m--1D.1−√3m(2)求1−2m+m2m−1−√m2−2m+1m2−m.过关检测基础夯实1.(绥化中考)下列等式成立的是 ( )A.√16=±4B.√−83=2C.−a√1a=√−a D.−√64=−82.(济宁中考)下列各式是最简二次根式的是( )A.√13B.√12C.√a3D.√533.(聊城中考)计算√45÷3√3×√35的结果正确的是 ( )A. 1B. 53C.5D. 94.(上海中考)下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是 ( )A. √6B.√9C.√12D.√185.(武汉中考)计算 √(−3)2的结果是6.(黄石中考)二次根式 √12,√12,√30, √x +2,√40x 2,√x 2+y 2中，最简二次根式是 .7.(烟台中考)若 √12与最简二次根式 5√a +1是 同 类 二 次 根 式,则 a =8.(哈尔滨中考)计算 √24+6√16的结果是9.(南京中考)√3√3+√12的结果是 能力拓展10.(昆明中考)下列运算中，正确的是 ( ) A.√5−2√5=−2 B.6a⁴b ÷2a³b =3ab C.(−2a²b )³=−8a⁶b³D.a a−1⋅a 2−2a+11−a=a11.(荆州中考)若x 为实数,在 66(√3+1)x”的“□”中添上一种运算符号(在“+，一，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x 不可能是 ( )A.√3+1B.√3−1C.2√3D.1−√312.(益阳中考)若计算 √12×m 的结果为正整数，则无理数 m 的值可以是 (写出一个符合条件的即可). 13.(北京中考)计算: (16)−1−20090+ |−2√5|−√20.14.(盐城中考)计算: |−2|−√116+ (−2)−2−(√3−2)0.15.(张家界中考)计算： (√3−1)(√3+1)− (sin35∘−12)0+(−1)2008−(−2)−2.16.(十堰中考)计算: (√6+3)(3−√6).17.(湖州中考)计算: √8+|√2−1|.综合创新18.计算:√7−√15−√16−2√15=¯.19.(呼和浩特中考)(1) 计算: |1−√3|−√2×√62−√3(23)−2;(2)已知m是小于0的常数，解关于x 的不等式组：{4x−1>x−7,−14x<32m−1.20.计算:√5+2√7+3√35+3√5+3√7+7.21.(锦州中考)先化简，再求值：xx2−1÷(1+1x−1),其中x=12√32−3√12−(π-3)⁰.22.(山西中考)请阅读以下材料，并完成相应的任务.斐波那契(约 1170—1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第 n√5[(1+√52)n−(1−√52)n]表示 (其中，n≥1).这是用无理数表示有理数的一个范例.任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.【例题精讲】1.(1√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3)(√5)2−(√3)2=√5−√3√5)2√3)2√5+√3=√5+√3)(√5−√3)√5+√3=√5−√3( 2 ) 原式√3−1(√3+1)(√3−1)√5−√3(√5+√3)(√5−√3)√7−√5(√7+√5)(√7−√5)⋯√2n+1−√2n−1(√2n+1+√2n−1)(√2n+1−√2n−1)=√3−12+√5−√32+√7−√52+⋯+√2n+1−√2n−12=√2n+1−122.(1) 原式: =(√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2016−√2015)(√2016+1)=(√2016−1)(√2016+1)=2016−1=2 015 (2)∵√12−√11=√12+√11,√13−√12√13+√12,而√12+√11<√13+√12,∴√12−√11>√13−√123.a²+2解析：∵√x=√a√a ∴x=a+1a+2,x−2=a+1a,(x−2)2=(a+1a)2,即x2−4x=a2+1a2−2=(a−1 a )2,∴原式=(x+3)(x−2)x.x(x−2)x+3x−2+√x2−4xx−2−√x2−4x=(x−2)2a+1a+√(a−1a)2a+1a−√(a−1a)2=(a+1a)2a+1a+√(a−1a)2a+1a−√(a−1a)2∴0<a<1,∴a−1a<0,∴原式=a2+1a2+2−a+1a−a+1aa+1a+a−1a=a2+1a2+2−1a2=a²+2.【举一反三】1.(1)√n+1−√n(2))原式=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√99−√98+√100−√99=√100−1=10−1=910-1 - 9 (3√n+1−√n√n+1+√n(√n+1−√n)(√n+1+√n)=√n+1+√n2.(1) 原式=√7−√6(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6 (2)由题意可得a=√2−1,3a=√2+1)(√2−1)(√2+1)=3√2+33.(1)√n+1-√n (2)> (3) 原式= (√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2018−√2017)(√2018+1)=(√2018−1)(√2018+ 1)=2018−1=2 0174.3 解析: :x2+2y+√2y=17−4√2,∴(x2+2y−17)+√2(y+4)=0.∵x,,都是有理数，∴x²+2y−17与y+4 也是有理数, ∴{x2+2y−17=0,y+4=0,解得有意义的条件是x≥y,∴取x=5,y=--4, ∴√x--y = √5−(−4)=3.5.40 解析:当x=2√3−√5时，原式= (17+4√15)(2√3−√5)2−(2√3+√5).(2√3−√5)−2=(17+4√15)(17−4√15)−(12−5)−2=172−(4√15)2−7--2=289-240-9=40.6.5 解析:∵a+b=-5, ab=1,∴a<0,b<0, ∴原式=√ab|b|+√ab|a|=−(1b+1a)=−a+bab=5.7.(1)−2√3(2)−14解析：:x=√3−2,y=√3+2,∴x+y=2 √3, xy=3-4=-1.(1).原式=xy(x+ y)=2√3×(−1)=−2√3;(2) 原式= y2+x2xy=(x+y)2−2xyxy =12+2−1=-14.8.(1) C (2)3解析：(1)将已知条件 m =2+√3分母有理化， m =2−√3,,则m-1<0;(2) 由(1)得 m =2−√3,∴m <1,则 √m 2−2m +1=√(m −1)2=1−m.原式 =(1−m )2m−1− |m−1|m (m−1).∵m <1,∴|m −1|=1−m ∴原式 =(m−1)2m−1−1−m m (m−1)=m − 1+1m=2−√3−12−√3=1−√3+ 2+√3=3.【过关检测】1. D 解析: √16=4,A 错误； √−83=−2,13错误； −a√1a=−√a,C 错误.2. A 解析: √12=2√3,，不是最简二次根式，不符合题意； √a 3=a √a,不是最简二次根式，不符合题意； √53=√153,不是最简二次根式，不符合题意.3. A 解析:原式 =3√5÷3√3×√35= √53×√35=1.4. C 解析: √6与 √3的被开方数不相同，故不是同类二次根式； √9=3,与 √3不是同类二次根式； √12=2√3,,与 √3被开方数相同，故是同类二次根式； √18=3√2,与 √3被开方数不同，故不是同类二次根式.5.36.√30,√x +2,√x 2+y 27.2 解析: ∵√12与最简二次根式 5√a +1是同类二次根式，且 √12=2√3,∴a +1=3,解得a=2. 8.3√6解析：原式 =2√6+√6=3√6. 9. 13 解析：原式 =√3√3+2√3√33√3=13.10. C 解析： √5−2√5=−√5,A 错误； 6a⁴b ÷2a³b =3a,B 错 误; a a−1.a 2−2a+11−a=a a−1⋅(1−a )21−a=−a,I 错误.11. C 解析:( (√3+1)−(√3+1)=0,A 选项不合题意； (√3+1)(√3−1)=2,B 选项不合题意； (√3+1)与 2√3无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，C 选项符合题意； (√3+1)(1−√3)=−2,D 选项不合题意.12. √3(答案不唯一)13. 5 解析:原式 =6−1+2√5−2√5=5. 14.1 解析:原式 =2−14+14−1=1.15. 74解析：原式 =3−1−1+1−14=74.16.3 解析:原式 =32−(√6)2=9−6=3.17.3√2−1 解析：原式 =2√2+√2−1= 3√2−1. 18.√5−√3 解析：原式= √7−√15−√(√15−1)2=√7−√15−√15+1=√8−2√15= √5−√3. 19. (1)⁵/₄ (2)x>4-6m解析:(1)原式=√3−1−2√3+2+√3−94=−54;(2){4x−1>x−7,−14x<32m−1解不等式①得x>-2,解不等式②得x>4-6m,∵m是小于0的常数,∴4--6m>0>-2,∴不等式组的解集为x>4-6m.20. 原式√5+√7)+(√7+3)√5(√7+3)+√7(3+√7)√5+√7)+(√7+3)(√5+√7)(3+√7)13+√71√5+√73−√72+√7−√52=3−√5221. 原式=x(x+1)(x−1)÷xx−1=x(x+1)(x−1)×x−1x=1x+1,x=12√32−3√12−(π−3)0=12×4√2−3√22−1=2√2−3√22−1=√22−1,把x=√22−1代入1x+1,得1x+1√22−1+1=√222. 第1个数:当n=1时,√5[(1+√52)n−(1−√52)n]=√5(1+√52−1−√52)=√5√5=1;第2个数:当n=2时,√5[(1+√52)n−(1−√52)n]=√5[(1+√52)2−(1−√52)2]=√5(1+√52+1−√52)(1+√52−1−√52)√51×√5=1.。
培优竞赛二次根式的化简与求值含答案汇总
专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展. 想一想：若x y n +=（其中x , y , n 都是正整数），则,,x y n 都是同类二次根式，为什么？例题与求解【例1】 当120022x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简 （1）1()a b b a b ba b a b ab b a b+-÷-+-+ （黄冈市中考试题）（2）1014152110141521+--+++（五城市联赛试题）（3）64332(63)(32)++++（北京市竞赛试题）（4）3151026332185231--+-+++（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】 比6(65)+大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设65,65,x y =+=-想一想：设1983,x =-求432326218237515x x x x x x x --++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）形如：A B ±的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足22(1)(1)1x x y y ++++=，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.有些竞赛培优的Word 初中的一套 小学竞赛培优的视频讲义 小初高 各科视频讲义 新概念 可以 加我 q 468453607 威 信 t442546597【例5】 （1）代数式224(12)9x x ++-+的最小值. （2）求代数式22841413x x x x -++-+的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1），目前运用代数的方法很难求此式的最小值，22a b +的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设2222(4)5(2)3y x x =-++-+，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式. 【例6】 设2121(12)m a a a a a =+-+--≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A 级1.化简：200820081004200820087315()3735++（“希望杯”邀请赛试题）2.若352,325x y x y +=--=-，则xy ＝_____(北京市竞赛试题)3.计算：19971999(19971999)(19972001)(19992001)(19991997)2001(20011997)(20011999)++------（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x ＜y 及1088x y =+的不同整数对（x ，y ）是_______（上海市竞赛试题）5.如果式子22(1)(2)x x -+-化简结果为2x －3，则x 的取值范围是（ ）A. x ≤1 B . x ≥2 C . 1≤x ≤2 D . x ＞06、计算14651465+--的值为（ ）A ．1B . 5C . 25D . 5（全国初中数学联赛试题）7．a ，b ，c 为有理数，且等式23526a b c ++=+成立，则2a ＋999b ＋1001c 的值是（ ）A ．1999 B. 2000 C. 2001 D . 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数； 丙：若α，β是不相等的无理数，则αβ+是无理数；其中正确命题的个数是（ ）A .0个B .1个C .2个D .3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1）x y y x y x x y x y y xy x x y-+-+- （2）26325+-（3）1157467776642+++++（4）524103615-+-- （天津市竞赛试题）（5）35361015+--+ （“希望杯”邀请赛试题）10、设3352x -=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值. （“希望杯”邀请赛试题）11、已知22791375137x x x x x +++-+=，求x 的值.12、设11,11n n n n x x n n n n+-++==+++-（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1.已知3311,,12________________2323x y x xy y ==++=+-则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足22(2008)(2008)2008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知4247,______31x x x -==++2x 那么. （重庆市竞赛试题） 4.333421,a =++那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题） 5. a ，b 为有理数，且满足等式361423a b +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知21,226,62a b c =-=-=-，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7. 已知1x a a=-，则24x x +的值是（ ） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则1[]1667-等于（ ）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把1(1)a -⋅-中根号外的因式移到根号内，则原式应等于（ ）A .1a - B .1a - C. 1a -- D .1a --（武汉市调考题）10、化简：（1）199819992000200114⨯⨯⨯+ （“希望杯”邀请赛试题）（2）111211232231009999100++++⋅++ （新加坡中学生竞赛试题）（3）8215106532+--+- （山东省竞赛试题）（4）2(6232515)--+ （太原市竞赛试题）11、设01,x << 求证22511(1)12x x ≤+++-<+.（“五羊杯”竞赛试题）12、求22841413x x x x -+--+的最大值.13、已知a , b , c 为正整数，且33a bb c++为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.专题01 二次根式的化简与求值例1 A 提示：由条件得4x 2－4x －2 001＝0． 例2 (1)原式＝()aba b a b++()1ba b b a b⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+-⎣⎦·a b b -＝2ab (2)原式＝()()()()257357257357+-++++＝26－5． (3)原式＝()()()()633326332+-+++＝316332+++＝62-；（4）原式＝()()()5332233323325231-+-+-++＝332-．例3 x ＋y ＝26，xy ＝1，于是x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝22，x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)＝426，x 6＋y 6＝(x 3＋y 3)2－2x 3y 3＝10582 ．∵0＜65-＜1，从而0＜()665-＜1，故10 581＜()665+＜10582． 例4 x ＋21x +＝211y y ++＝21y +－y …①；同理，y ＋21y +＝211x x ++＝21x +－x …②．由①＋②得2x ＝－2y ，x ＋y ＝0． 例5 (1)构造如图所示图形，PA ＝24x +，PB ＝()2129x -+．作A 关于l 的对称点A '，连A 'B 交l 于P ，则A 'B ＝22125+＝13为所求代数式的最小值． (2)设y ＝()2245x -+＋()2223x -+，设A (x ，0)，B (4，5)，C (2，3)．作C 关于x 轴对称点C 1，连结BC 1交x 轴于A 点．A 即为所求，过B 作BD ⊥CC 1于D 点，∴AC ＋AB ＝C 1B ＝2228+＝217． 例 6 m ＝()2212111a a -+-•+＋()2212111a a ---•+＝()211a -+＋()211a --．∵1≤a ≤2，∴0≤1a -≤1，∴－1≤1a -－1≤0，∴m ＝2．设S ＝m 10＋m 9＋m 8＋…＋m －47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S ＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S ＝211－2－94＋47＝1 999．A 级 1．1 2．52- 3．0 提示：令1997＝a ，1999＝b ，2001＝c ． 4． (17，833)，(68，612)，( 153，420) 5．B 6．C 7．B 8．A 9．(1)()2x y x y+- (2)原式＝32625325++-+-＝()()22325325+-+-＝325++．(3)116- (4)532--(5)32+ 10．48提示：由已知得x 2 ＋5x ＝2，原式＝(x 2＋ 5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)． 11．由题设知x ＞0，(27913x x ++＋27513x x -+)(27913x x ++－27513x x -+)＝14x ．∴27913x x ++－27513x x -+＝2，∴227913x x ++＝7x ＋2，∴21x 2－8x－48＝0．其正根为x ＝127． 12．n ＝2 提示：xy ＝1，x ＋y ＝4n ＋2． B 级 1． 64 2．1 提示：仿例4，由条件得x ＝y ，∴(x －22008x -)2＝2 008，∴x 2－2008－x 22008x -＝0，∴22008x -(22008x -－x )＝0，解得x 2＝2 008．∴原式＝x 2－2 007＝1． 3．9554．1 提示：∵(32－1)a ＝2－1，即1a＝32－1． 5．B 提示：由条件得a ＋b 3＝3＋3，∴a ＝3，b ＝1，∴a ＋b ＝4． 6．B 提示：a －b ＝6－1－2＞322+－1－2＝0．同理c －a ＞0 7．B 8．B 9．D 提示：注意隐含条件a －1＜0． 10．(1)1 998 999.5 提示：设k ＝2 000，原式＝212k k --． (2)910 提示：考虑一般情形()111n n n n +++＝1n －11n + (3)原式＝()()8215253532+-++-＝()()253253532+-++-＝53+．(4)2－53- 11．构造如图所示边长为1的正方形ANMD ，BCMN ．设MP ＝x ，则CP ＝21x +，AP ＝()211x +-，AC ＝5，AM ＝2，∴AC ≤PC ＋PA ＜AM ＋MC ，，则5≤21x +＋()211x +-＜1＋2 12．设y ＝2841x x -+－2413x x -+＝()2245x -+－()2223x -+，设A (4，5)，B (2，3)，C (x ，0)，易求AB 的解析式为y ＝x ＋1，易证当C 在直线AB 上时，y 有最大值，即当y ＝0，x ＝－1，∴C (－1，0)，∴y ＝22． 13．33a bb c ++＝()()()()3333a bb cb c b c +-+-＝()222333ab bc bac b c -+--为有理数，则b 2 －ac ＝0．又a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋ac )＝(a ＋b ＋c )2－2(ab ＋bc ＋b 2)＝()2c b a ++－2b （a ＋b ＋c ）＝（a ＋b＋c ）（a －b ＋c ），∴原式＝a －b ＋c 为整数．。
二次根式化简练习题含答案
二次根式化简练习题含答案二次根式化简练题含答案（培优）一）判断题：（每小题1分，共5分）1.(−2)2ab=-2ab.（正确）2.3-2的倒数是3+2.（错误）3.(x-1)2=(x-1).（错误）4.ab、xb、1/3a3b、-2a/xb是同类二次根式.（正确）5.8x、1/9+ x2都不是最简二次根式.（正确）二）填空题：（每小题2分，共20分）6.当x=0时，式子1/(x-3)有意义.7.化简-15/8÷1025/2712a3= -3a3/205.8.a-a2-1的有理化因式是a/(a+1).9.当1<x<4时，|x-4|+x2-2x+1= (x-3)2.10.方程2(x-1)=x+1的解是x=3.11.已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c2d2)/(ab+cd2)2= (ab-cd2)/(ab+cd2)2.12.比较大小：-1/27-1/43<0<-1/27+1/43.13.化简：(7-5√2)2000·(-7-5√2)2001= 1/5.14.若x+1+y-3=0，则(x-1)2+(y+3)2=26.15.x，y分别为8-11的整数部分和小数部分，则2xy-y2=-0.15.三）选择题：（每小题3分，共15分）16.已知x3+3x2=-xx+3，则x≤-3.17.若x<y<√2，则x-2xy+y+x+2xy+y=2y.18.若0<x<1，则(x-√2)2+4-(x+√2)2-4=-2x.19.化简a/(a3-b3)=-1/b.20.当a<1/2，b<1/2时，-a+2ab-b可变形为-(a-b)2.四）计算题：（每小题6分，共24分）21.(5-3+2)(5-3-2)=0.22.5/(4-11)-24/(11-7)=-1/3.23.(a2-1)/(a-1)+(a-1)/(a2-1)=2a/(a-1).24.(a+5)/(4-11)-(11-7)/(24-7)=-a/3b.第一段没有明显的格式错误，但需要改写：给定一个分式 $\frac{m^2n}{a^2b^2}$，将其化简得到$\frac{n}{a+b} \cdot \frac{m}{a-b}$（当 $a \neq b$ 时）或者$\frac{2m}{a+b}$（当 $a=b$ 时）。
二次根式化简练习题含答案(培优)
基础巩固：1、二次根式的性质 ① 二次根式a 中被开方数一定是非负数，并且二次根式0a ≥；② ())0(a 2≥=a a ； ③)0()0(0)0(a 2≤-=≥==a a a a a a2、最简二次根式与同类二次根式：一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式（simplest quadratic radical ）．几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．3、移因式到根号内、外的方法：① 把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时，把负号留在根号外面，然后把这个数的平方移到根号内，即b a b a 2-=（a<0）；当根号外的数是正数时，直接把它平方后移到根号内，即b a b a 2=（a>0）；② 把根号内的数移到根号外：当根号内的数是正数时，直接开方移到根号外，即b a b a =2（a>0）；当根号内的数是负数时，开方移到根号外后要添上负号，即b a b a -=2（a<0）．4、2a 与()2a 的联系与区别 ①2a ，()2a 都是非负数； ②())0(a 2≥=a a ，)0()0(0)0(a 2≤-=≥==a a a a a a 结果不同； ③()2a 中a 的取值范围是0≥a ，2a 中a 的取值范围是全体实数．练习： 1、有这样一类题目：将b a 2±化简，如果你能找到两个数m 、n ，使a n m =+22且b mn =，则将将变成m 2+n 2±2mn ，即变成(m ±n)2开方，从而使得b a 2±化简．请根据提示化简下列根式： (1)625-(2)324+2、数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简()()()22211b a b a ---++=_____．3、计算：()()[]()021212332225.0-+---+-π4、已知m 是2的小数部分，则122+-m m 的值是()．5、对任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下：a ※b=ba b a -+，则12※4=_____．答案与解析： 1、解析：根据提示做出解答即可答案：（1）23- （2）13+2、解析：根据数a 、b 在数轴上的位置确定a+1，b-1，a-b 的符号，再根据二次根式的性质进行开方运算， 再合并同类项．答案：由数轴可知，a ＜-1，b ＞1，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b ＜0，∴原式=-（a+1）+b-1-（b-a ）=-a-1+b-1-b+a=-2．3、解析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、幂的运算、 二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每 个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则 求得计算结果．答案：解：原式=1332215.0+--+=()()133223223225.0+--+++ =133225.0+---=225.4-- 4、解析：首先确定12-=m ，再化简，最后代值． 答案：222-5、解析：利用已知得出与12※4相等的式子，进而求出即 可．答案：∵a ※b=b a ba -+，∴12※4=412412-+ =21。
专题-----二次根式化简
二次根式培优练习一．巧用公式法 例1计算ba b a ba ba +-+-+-ba 2二、适当配方法。
例2．计算：32163223-+--+|三、正确设元化简法。
例3：化简53262++—四、拆项变形法 例4，计算()()76655627++++五、整体倒数法。
例5、计算()()13251335++++·六、 借用整数“1”处理法。
例6、计算63232231++-+，七、恒等变形整体代入结合法例7：已知X=21（57+），y =21(-75)，求下列各式的值。
（1）x 2－xy+y 2; (2)y x + xy八、降次收幂法： !例8、已知x=2+3，求725232-+-x x x 的值。
练习：（一）构造完全平方1{（拓展）计算2222222220041200311413113121121111++++++++++++ ．2．化简：5225232-+---++y y y y ．、3．化简241286+++．4．化简：23246623+--．~56>7（二）分母有理化 1．计算：4947474917557153351331++++++++ 的值．《2．化简：100999910014334132231221++++++++3．计算：321232+++-．*（三）因式分解（约分）1．化简：3426302352+--+． 2．$34．化简：()()75237553++++．5．化简：． 6．，789．设11716+=x ，求17181722345-+--+x x x x x 的值。
【10．设333cz by ax ==，且3333222c b a cz by ax ++=++，0 xyz ，求zy x 111++的值。
11．设nn n n x ++-+=11，nn n n y -+++=11，且1985191231922=++y xy x ，试求整数n .12．设100131211++++= x ，求证：1918 x .13.设a 、b 是实数，且()()11122=++++b baa ，试猜想a 、b 之间有怎样的关系并加以推导。
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1．已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ．
2．已知 ，试化简： ．
3．若x，y都是实数，且满足 ，试化简： ．
4．当 时，化简： ．
5．已知 ，化简： ．
6．设 ， ，则M与N的关系为（）
A． B． C． D．
7．（1）计算： ________， ________， _________．
（2）观察你计算的结果，直接写出 ．
8．先来看一个有趣的现象： ，这里根号里的因数2经过适当的演变，竟跑到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如： ， 等等．
（1）猜想： _________；
（2）你能只用一个正整数n（ ）来表示含有上述规律的等式吗？证明你发现的规律．
9．化简：（1）பைடு நூலகம்；（2） ．
10．若 ， ，求代数式 的值．
11．利用“ ”解答下列问题：
（1）若 ，求a，b，c的值；
（2）若 ，求a，b，c的值．
12．若 ，求 的值．