2017届高三二诊模拟考试数学(理)试卷(附答案)

1
2-i=
a+b i(a,b∈R)，则ab的值是（
A．4+4πB．8+4πC．4+πD．8+
4
24
的图像，只需把函数y=log x的图像上所有的点（
四川省成都七中2017届高三二诊模拟考试数学（理）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上）．
1．已知集合A={-2,-1,0,1,2}，B={x|lg x≤0}，则A B＝（）
A．{}B．{0,1}C．{0,1,2}D．{1,2}
2．已知i是虚数单位，若
1+7i
）
A．-15B．-3C．3D．15
3．如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（）4．为了得到函数y=log
x+1
正视图侧视图
俯视图
4
A向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）
A．3B．4C．5D．6
-1-/11
A ．
- 3 , 3 ⎪⎭
 0, 3 ⎪⎭
⎝ - 3 ,0 ⎭ 3 ⎭ ⎝ 3
1 2 ( )
11．已知函数 f (x ) = mx 3 + nx 2
+ x + 2017 ，其中 m ∈{2,4,6,8 }, n ∈{1,3,5,7 }，从这些函数中任取不同的
6．如图，圆锥的高 PO =
2 ，底面⊙O 的直径 AB = 2 ，C 是圆上一点，且 ∠CAB = 30 ，D 为 AC 的中点，
则直线 OC 和平面 PAC 所成角的正弦值为（
）
P
C
D
A
O B
A ．
1 2 B ． 3 2 C ． 2
3 D ． 1 3
7．若曲线 C ： x 2 + y 2 - 2x = 0 与曲线 C ： y ( y - mx - m ) = 0 有四个不同的交点，则实数 m 的取值范围是
1
2
（
）
⎛ 3 3 ⎫
⎝
⎛ 3 ⎫ B ．
⎪⎪ ⎛ 3 ⎫ ⎝
⎡ 3 3 ⎤
C ． ⎢-
, ⎥ ⎣ 3 3 ⎦
⎛ 3 ⎫ ⎛ 3 ⎫ D ． -∞, - ⎪ , +∞ ⎪ ⎝ ⎭
8．三棱锥 A - BCD 中， AB 、AC 、AD 两两垂直，其外接球半径为 2，设三棱锥 A - BCD 的侧面积为 S ， 则 S 的最大值为（ ）
A ． 4
9．已知 a =
⎰ π -2
B ． 6
C ． 8
D ．16
4 - x 2 - e x dx ，若 (1 - ax )2017 = b + b x + b x 2 + + b x 2017 (x ∈ R ) ，则
0 1 2 2017
b b b
1 +
2 + + 2017 的值为（ ）
2 22 22017
A ．0
B ． -1
C ．1
D ． e
10．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”，
才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空
的子集 M 与 N ，且满足 M
N = ∅, (M , N )，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称 (M , N )为
戴金德分割．试判断，对于任意戴金德分割(M , N )，下列选项中一定不成立的是（
）
A ． M 没有最大元素， N 有一个最小元素
B ． M 没有最大元素， N 也没有最小元素
C ． M 有一个最大元素， N 有一个最小元素
D ． M 有一个最大元素， N 没有最小元素
1 1 3 2
两个函数，在它们在 (1, f (1))处的切线相互平行的概率是（
）
D ． ⎢1, + ln 2⎥ 14．已知点 P( x, y) 的坐标满足条件 ⎨ x + y ≤ 0 ，若点O 为坐标原点，点 M (-1,-1) ，那么O M OP 的最大值 ⎪ x ≥ 0 ⎩ a n ⎭
．
A ．
7
120
B ． 7 7
C ．
D ．以上都不对
60 30
z y y
12．若存在正实数 x 、y 、z 满足 ≤ x ≤ e z 且 z ln = x ，则 ln 的取值范围为（ ）
2 z x
A ． [1,+∞ )
B ． [1,e - 1]
C ． (-∞,e - 1]
⎡ 1 ⎤ ⎣ 2 ⎦
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上．
13．在 △ABC 中，边 a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，若 b cosC = (3a - c )cosB ，则 cosB = _________．
⎧ x - y ≤ 4 ⎪ ⎩
等于_________．
15．动点 M (x, y )到点 (2,0 ) 的距离比到 y 轴的距离大 2，则动点 M 的轨迹方程为_________．
16．在 △ABC 中，∠A = θ ，D 、E 分别为 AB 、AC 的中点，且 BE ⊥ CD ，则 cos2θ 的最小值为_________．
三、解答题（17~21 每小题 12 分，22 或 23 题 10 分，共 70 分．在答题卷上解答，解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤）．
17．设数列 {a n }的前 n 项和 S n = 2a n - a 1 ，且 a 1、a 2 + 1、a 3 成等差数列． （1）求数列{a }的通项公式；
n
⎧ 1 ⎫
（2）求数列 ⎨ - n ⎬ 的前 n 项和 T ．
n
18．为宣传 3 月 5 日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出 3 人组
成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得 1 分，答错不答都得 0 分，已知甲队 3 人
3 2 1
每人答对的概率分别为 , , ，乙队每人答对的概率都是 4 3 2
2 3 ．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用 X
表示甲队总得分．
（1）求随机变量 X 的分布列及其数学期望 E (X ) ；
（2）求甲队和乙队得分之和为 4 的概率．
19．已知等边 △AB 'C ' 边长为 2 ，△BCD 中， B D = CD = 1,BC = 2 （如图 1 所示）
，现将 B 与 B ' ，C 与
C ' 重合，将 △AB 'C ' 向上折起，使得 A
D = 3 （如图 2 所示）
20．已知圆 E : x 2 + y 2 = 2, 将圆 E 按伸缩变换： ⎨ 2 后得到曲线 E 1
⎪ y ' = y （2）过直线 x = 2 上的点 M 作圆 E 的两条切线，设切点分别是 A 、B ，若直线 AB 与 E 交于 C 、D 两点，求
)
x
⎪ x = -2 +
又过点 P (-2, -4) 的直线 l 的参数方程为 ⎨
A
B
D
C
（1）若 BC 的中点 O ，求证： 平面BCD ⊥ 平面AOD ；
（2）在线段 AC 上是否存在一点 E ，使 ED 与面BCD 成 30︒ 角，若存在，求出 C E 的长度，若不存在，请 说明理由；
（3）求三棱锥 A - BCD 的外接球的表面积．
⎧ x ' = x
⎪ 2 2
⎩ 2
（1）求 E 的方程；
1
2
1
|CD |
| AB |
的取值范围．
21．已知函数 g (x ) = xsin θ - ln x - sin θ 在 [1,+∞ ) 单调递增，其中θ ∈ (0, π （1）求θ 的值；
（2）若 f (x ) = g (x )+
2x - 1
x 2 ，当 x ∈ [1,2 ]时，试比较 f (x ) 与 f '(x )+ 1 2
的大小关系（其中 f ' (x )是 f (x ) 的
导函数），请写出详细的推理过程；
（3）当 x ≥ 0 时， e x - x - 1 ≥ kg (x + 1)恒成立，求 k 的取值范围．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．
【选修 4—4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C ：ρsin 2θ = 2acos θ (a > 0) ，
⎧ ⎪ ⎪ y = -4 + ⎪⎩
2 2 2 2 t
t
（ t 为参数）， l 与曲线 C 分别交于 M 、N ．
（1）写出曲线 C 的平面直角坐标系方程和 l 的普通方程；
（2）若 PM , MN , PN 成等比数列，求 a 的值． 23．
【选修 4—5：不等式选讲】
设函数 f (x) = x + 1 a + x - a (a > 0 )
（1）证明： f (x) ≥ 2 ；
（2）若f(3)5，求a的取值范围．
- n = - n ，因数列 ⎨ ⎬ 是首项为 ，公比为 的等比数列， a ⎭ ⎩ n ⎧ 1 ⎫
⎢1 - ⎪ ⎥ 1 2 2n 2 ⎣
⎦ n (n + 1) = 1 - 1 -
四川省成都七中 2017 届高三二诊模拟考试数学（理）试卷
答 案
一、选择题
1~5．ABDCB 二、填空题
6~10．CBCBC 11~12．BB
13．
1
3
14．4
15． y 2 = 8x (x ≥ 0) 或 y = 0 (x < 0)
16．
7
25
三、解答题
17．解：（1）由已知 S = 2a - a 有 a = S - S
n
n
1
n
n
即 a = 2a
(n > 1) ，从而 a = 2a , a = 4a ．
n
n -1
2
1
3
1
n -1
= 2a - 2a
n n -1
(n > 1) ，
又 a , a + 1,a 成等差数列，即 a + a = 2 (a + 1)，
1
2 3 1 3 2
∴ a + 4a = 2 (2a + 1)，解得 a = 2 ．
1
1
1
1
∴ 数列 {a } 是首项为 2，公比为 2 的等比数列故 a = 2n ．…………6 分
n
n
（2）由（1）得 1 1 1 1
a 2n
2 2
n
∴ T = n
1
⎡
⎛ 1 ⎫
n
⎤
1 2 ⎢ ⎝ 2 ⎭ ⎥ - n (n + 1) ．………………12 分
18．解：（1）X的可能取值为0，1，2，3．
1111
43224
3111211111
4324324324
32112131111
43243243224
3211
4324
∴X的分布列为
-6-/11
P(X)=0=⨯⨯=，
P(X=1)=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
P(X=2)=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
P(X=3)=⨯⨯=，
+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ = ⨯ C 1 ⨯ ⨯ ⎪ + ⨯ C 2 ⨯ ⎪ ⨯ + ⨯ ⎪ = ．………………………………………12 分
4 3 ⎝ 3 ⎭ 24 ⎝ 3 ⎭ 3 4 ⎝ 3 ⎭ 3
, R △ BCD 中， OD = 1 BC = 2
2 2
∴sin ∠ADO = ( )
，在 △Rt ADH 中 AH = ADsin ∠ADO = 1，设 CE = x 0 ≤ x ≤ 2 ，作 EF ⊥ CH 于F ，平 面 AHC ⊥ 平面 BCD ，∴ EF ⊥ 平面BCD, ∠EDF 就是 ED 与面BCD 所成的角．由 = ,∴ EF = x
1
X
0 1 2 3
1 P
24
1 4
11 24
1 4
E (X ) = 0 ⨯ 1 1 11 1 23
24 4 24 4 12
．…………………………………………………………7 分
（2）设“甲队和乙队得分之和为 4”事件 A ，包含“甲队 3 分且乙队 1 分”，“甲队 2 分且乙队 2 分”，“甲
队 1 分且乙队 3 分”三个基本事件，则：
P ( A ) = 1 2 ⎛ 1 ⎫2 11 ⎛ 2 ⎫2 1 1 ⎛ 2 ⎫3 1
3 3
19．解：（1） △ABC 为等边三角形， △BCD 为等腰三角形，且 O 为中点
∴ BC ⊥ AO , BC ⊥ DO ，
AO DO = O ，
∴ BC ⊥ 平面 AOD ，又 BC ⊂ 面 ABC ∴ 平面BCD ⊥ 平面AOD ∴ 平面 BCD ⊥ 平面 AOD …………3 分
（2）
A
B
E
D
O
H
F C
法一：作 AH ⊥ DO, 交 DO 的延长线于 H ，则平面 BCD
平面 AOD = HD
则 AH ⊥ 平面 BCD ，在 t ，
在 △Rt ACO 中， AO = 3 6 AC =
2 2 ，在 △AOD 中，
AD 2 + OD 2 - AO 2 6
cos ∠ADO = =
2 A D ⋅ OD 3
，
3 3 EF CE 2
AH AC 2
（※），
在 △Rt CDE 中， DE = CE 2 + CD 2 =
x 2 +1 ，要使 ED 与面BCD 成 30︒ 角，只需使 2
x 2 = ,∴ x = 1 ，
x 2 + 1 2
当 CE = 1 时， ED 与面BCD 成 30 角………………………………………………………………………9 分
，
(0,0,0),E⎛ ⎛2
⎝2
x,1,
2
x
⎭
,DE=
⎝2
x,1,
2
x
⎭
1
=cos60，即2
20．解：（1）按伸缩变换：⎨2得:(x')2+2(y')2=2,则E：+y2=1…………………3分
2
⎪y'=y
(
切线斜率是-
x
1，方程是x x+y y=2，经过B点的切线方程是x x+y y=2，又两条切线AM、BN相
y
z
A
x
E
B D
O
H F C
y
法二：在解法1中接（※）以D为坐标原点，以直线D B、DC分别为x轴，y轴的正方向，以过D与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系
则D
22⎫2⎫
⎪ ⎪，
又平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1)，要使
ED与面BCD成30角，只需使DE与n成60，
只需使
DE n
DE n
2
x
=,∴x=1，
x2+12
当CE=1时ED与面BCD成30角
法三：将原图补形成正方体（如右图所示），再计算
（3）将原图补形成正方体，则外接球的半径r=
3
，表面积：3π………………………………12分
2
⎧x'=x
⎪x2
1
⎩2
（2）设直线x=2上任意一点M的坐标是(2,t),t∈R切点A、B坐标分别是(x,y)、x,y
1122
)则经过A点的
1122
1
交于 M (2, t )∴ ⎨ 1
t = 0, A (1,1), B (1,-1), C 1, , D 1,- 2 ⎪⎭
2 ⎪⎭ 2 ∴| CD |= 2,| AB |= 2,∴ | CD | ⎪⎪ t ⎪ x + y 2 = 1
( )
( ⎪⎪ 3
t 2 + 8 ⎪ 3 t 2 + 8
t
( + 4)2 t t
+ + 1, 又令u = ∈ 0, ⎪
ϕ (x ) =
-32u 3 + 6u + 1,u ∈ 0, ⎪
, ∴ϕ (u )在 0, ⎪
( ) ( )
∴ | CD | ∈ ⎛ ∴ϕ (u )∈ ϕ (0)，ϕ ⎪ ⎪ ，即 ϕ (u ) ∈ 1, 2 ， f (x )∈ 1, 2 ,1⎪⎪ 综上所述，∴ | AB | ⎝ 2
,1⎪⎪
……………………………………………………………………………………………12 分
≥ 0 恒成立∴sin θ ≥
∴ s in θ ≥ 1 ∴ s in θ = 1 θ ∈ (0, π )∴θ = ……2 分
= x - ln x + - - 1 ∴ f ' (x ) = 1 - - +
- 2 令 h (x ) = x - ln x ， H (x ) = + ∴ f (x )- f '(x ) = x - ln x + + - 2 ∴h '(x ) = 1 - ≥ 0
⎧2 x + ty = 2
1 ⎩
2 x 2 + ty 2 =
2
所以经过 A 、B 两点的直线 l 的方程是 2x + ty = 2
当
⎛ 2 ⎫ ⎛ 2 ⎫ ⎪ ， ⎝ ⎝ y
A M
C O x
D
2
=
| AB | 2
B
y
= 当 t ≠ 0 时，联立 ⎨ 2
⎪
⎩ 2 ⎧ 2 - 2x
，整理得 t 2 + 8 x 2 - 16x + 8 - 2t 2 = 0 设 C, D 坐标分别为 (x , y )、x , y ) 则 3 3 4 4
⎧
16
x + x =
4 ⎨ ⎪ x ⋅ x = 8 - 2t 2
4
| CD |= 2 2 ( 2 + 4 )
t 2 + 8
2 (
2
+ 2)
| AB |= 2
∴
t 2 + 4
| CD | | AB |
= 3
2
( 2 + 8) t 2 + 2
t 2 + 4 = x > 4, 设 f (x ) = - 32 6 1 ⎛ 1
⎫
x 2 x x ⎝ 4 ⎭
⎛ 1 ⎫ ⎝ 4 ⎭ ϕ (x ) = -96u 2 + b = 0 ⇒ u = 0 1 4 ⎛ 1 ⎫
⎝ 4 ⎭
⎝ ⎝ 4 ⎭⎭ ⎭
⎡ 2 ⎫
范围是 ⎢
⎣ 2 ⎭
21．解：（1）由题： g '(x ) = sin θ - 1 1 (x ∈[
1,+∞))恒成立 x x
π
2
（2） f (x ) = g (x )+ 2x - 1 2 1 1 2 2
x 2 x x 2 x x 2 x 3
3 1 2 3 1 2 1
- -
x x 2 x 3 x x 2 x 3 x
-9-/11
x 4 令 ϕ (x ) = -3x 2 - 2 x + 6 显然 ϕ (x ) 在 [1,2] 单调递减
= min {H (1), H (2)}= H (2) = - ∴ H (x ) ≥ H (2) = - 1
2 即： f (x ) > f '(x )+
x + 1 - (k + 1)
x + 1 - (k + 1)
x + 1 - (k + 1) ≥ x + 1 +
x + 1 - (k + 1) ≥ 1 + k - (k + 1) = 0
x + 1 - (k + 1) ≥ 1 + k - (k + 1) = 0
( ) 当 k > 1 时， F '' x = e x - ( x + 1)2
则 F ''(x )单调递增，又 F '' (0) = 1 - k < 0 且
∴ h (x )单调递增则 h (x ) ≥ h (1) = 1
又 H ' (x ) = -3x 2 - 2x + 6
且 ϕ (1) = 1,ϕ (2) = -10, 则 ∃x ∈ (1,2 ) 使得 H (x ) 在 (1, x )单调增，在 (x ,2 )单调递减
0 0
∴ H (x ) min
1
2 2
∴ f (x )- f '(x ) = h (x )+ H (x ) ≥ h (x ) min + H (x ) min
= 1
2 又两个函数的最小值不同时取得；
∴ f (x )- f '(x ) > 1 1
2 ……………………………………………………………7 分
（3） e x - x - 1 ≥ kg (x + 1)恒成立，即： e x + k ln (x + 1) - (k + 1)x - 1 ≥ 0 恒成立，
令 F (x ) = e x + k ln (x + 1) - (k + 1)x - 1 ，则 F '(x ) = e x +
k
由（1）得： g (x ) ≥ g (1)即 x - ln x - 1 ≥ 0 (x ≥ 1) ，即： x + 1 ≥ ln (x + 1) + 1(x ≥ 0)
即： x ≥ ln (x + 1)(x ≥ 0) ∴ e x ≥ x + 1 ∴ F '(x ) ≥ (x + 1)+
k
当 k = 1 时， x ≥ 0 F '(x ) ≥ (x + 1)+ k 1 x + 1 - 2 ≥ 0
∴ F (x ) 单调增，∴ F (x ) ≥ F (0) = 0 满足
当 k ∈ (0,1)
x ≥ 0 由对角函数性质 F '(x ) ≥ (x + 1)+
k
∴ F (x ) 单调增，∴ F (x ) ≥ F (0) = 0 满足
当 k ≤ 0 时，
x ≥ 0 由函数的单调性知 F '(x ) ≥ (x + 1)+
k
∴ F (x ) 单调增，∴ F (x ) ≥ F (0) = 0 满足
k
x → +∞, F '' (x ) > 0 则 F ''(x ) 在 (0, +∞) 存在唯一零点 t ，则 F ' (x ) 在 (0, t ) 单减，在 (t , +∞ ) 单增，∴当
0 0
x ∈ (0, t ) 时， F ' (x ) < F (0) = 0
∴ F ( x ) 在 (0, t ) 单减，∴ F ( x ) < F (0) = 0 不合题意
综上： k ≤ 1 ………………………………………………………………………………………………12 分 22．解：（Ⅰ）曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 = 2ax (a > 0 )
min = a +
（2）因为 f (3) < 5 ，所以 | 1 1 1 1 + 5
5 + 21
直线 l 的普通方程为 x - y - 2=0 ．………………………………………………………………………4 分
（Ⅱ）将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立，得
t 2 - 2 (4 + a )t + 8 (4 + a ) = 0 (*) ∆ = 8a (4 + a ) > 0．设点 M 、N 分别对应参数 t 、t , 恰为上述方程的根．
1
2
则 PM = t , PN = t , MN =| t - t | ．
1
2
1
2
由题设得 (t - t
1
2
)2 ＝ t t
1 2
,即
(t + t 1
2
)2 - 4t t ＝ t t
1 2 1 2
.
由（*）得 t + t = 2 (4＋a ), t t = 8 (4＋a ) > 0 则有
1
2 1 2
(4＋a )2 - 5(4＋a ) = 0, 得 a = 1, 或 a = -4, 因为 a > 1 ，所以 a = 1 ．…………………………………10 分
23 ．解：（ 1 ）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：
f (x ) 1 a
≥ 2, 当且仅当 a = 1 取等，所以
f (x ) ≥ 2 ．…………………………………………………………………………………………………4 分
1 1
+ 3| + | a - 3| < 5 ⇔ + 3+ | a - 3| < 5 ⇔ | a - 3| < 2 - ⇔
a
a
a
- 2 < a - 3 < 2 - ，解得： < a < a a 2
2
．…………………………………………………10 分。