第九章系综理论.

其中，
qi pi d i qi p dt t i qi t pi t t i qi pi H H i t pi q i qi pi
第九章
系综理论
主要内容
系统微观运动状态的经典描述和量子描述； 统计平均方法，系综的概念；
三种系综及其分布；
正则系综理论的简单应用； 实际气体的物态方程、固体的热容量 巨正则系综的简单应用。 吸附现象中的吸附率、巨正则分布推导独立粒子 的平均分布、玻色分布和费米分布的涨落分析
Hale Waihona Puke §9.1系统微观运动状态的描述
对自由度为f的系统以描述系统状态的2f个变量 q1,q2,…qf ,p1,p2,…pf为直角坐标轴构成一个2f维空间， 系统在某时刻t 称为系统的相空间或Γ空间。 的状态可用相空间中的一个点表示，称为系统运 动状态的代表点。
§9.1
系统微观运动状态的描述
（1）Γ空间是人为想象的超越空间；Γ空间中一个 点代表体系的一个微观状态，体系状态随时间的 变化对应代表点在Γ空间的一个运动轨迹。 空 间 性 质 （2）任何体系都有和它相应的Γ空间； 只有力学 性质完全相同的系统才会有相同的Γ空间。 （3）对于孤立系统，H(q,p)=E ，对应相空间中一 孤立系统运动状态 个2f–1维曲面，称为能量曲面， 的代表点一定位于能量曲面上。 （4）在一般物理问题中，哈密顿函数H及其微分都 是单值函数，决定了在Γ空间代表点的运动轨迹要 么是一条封闭曲线，要么是一条永不相交的曲线。 Γ
§9.1
系统微观运动状态的描述
μ空间与Γ空间的比较 （1）μ空间用来描述粒子状态，μ空间中一个点表 示粒子的一个运动状态，全同近独立粒子系统的 状态用N个点表示； （2）Γ空间用来描述系统的运动状态，Γ空间中 一个点表示系统的一个运动状态。 3．空间中给定相体积内运动代表点数 当系统从一个已知的初状态出发沿正则方程确定的 轨道运动时，系统在时刻t的状态在相空间中对应 着一个确定的代表点，若这个系统有N个可能的初 状态（ N很大），那么系统在时刻t的各种可能状 态在相空间中对应着N个代表点，这些状态的代表 点形成一个分布．
第九章
系综理论
通过前面统计物理的学习，我们认识到：任何统计 理论总要解决三方面的问题： 一是如何描述系统的微观运动状态，最好包括力 学上的解析描述和几何描述； 二是如何进行统计平均，这里的核心问题是怎样 得到分布函数； 三是如何求出热力学量，导出热力学基本方程，提 出与实验的比较方法。 学习系综理论也要抓住这三个方面。 系综理论是关于热力学系统统计的普遍理论，在不 计粒子之间作用时，能得到最概然统计结果。
§9.1
系统微观运动状态的描述
二、代表点密度随时间的变化—刘维尔定理 考虑时刻t代表点处在(q，p)处，时刻t+dt代表点运 刘维尔定理是描述代表点密度随时间变化的规律的 dt , p p dt )处，则在后一处的代表点密度 动到( q q 可以写为 d
1dt , p f p f dt , t dt ) (q1 , p f , t ) (q1 q dt dt
热力学•统计物理
汪志诚（第五版）
重庆师范大学物理与电子工程学院
第九章
系综理论
前面五、六、七三章讨论的统计方法叫最概然统计 方法，实用的条件是：粒子之间没有作用。这时系 统的微观状态通过粒子的微观状态来描述(给出粒 子数分布)，通过分析在粒子的各能级上粒子数分 布得到微观状态数最大的分布。 统计平均的方法： 热力学量是最概然分布下系统微观量的统计平均值 （最概然分布并不是系统的唯一分布）。 自然界实际系统内部微观粒子之间的作用通常不能 忽略，这时系统的能量除包含每个粒子的能量外， 还包括粒子之间相互作用势能及粒子在外场中的能 量。 本章学习的系综理论是可以处理粒子之间存在 相互作用的统计理论。
该相体积元内代表点数（体系的微观状态数）为
(q1 ,q f ; p1 , p f ; t )dΩ (q, p, t )dΩ
(q,p,t)表示单位相体积内代表点数叫代表点密度。
(q, p, t )d
N
其中N 是所设想的系统总数，是大常量。（在等 概率原理下/N表示概率密度。）
本节作为基础先学习系综理论中怎样描述系统的 一、系统微观运动状态的经典描述 微观运动状态。 1．解析描述 对自由度为f的系统，系统在任一时刻的微观（力 当粒子之间存在作用时，描述系统的力学状态 学）状态，由f个广义坐标q1,q2,…qf及与其共轭的f 必须把系统作为一个整体考虑。 个广义动量p1,p2,…pf在此时刻的数值确定。即t时 刻状态用q1,q2,…qf ,p1,p2,…pf描述。 系统由N个全同粒子组成 f=Nr 若系统包含多种粒子
§9.1
系统微观运动状态的描述
为了研究方便， 我们假想这些代表点的分布是N(很大) 个结构完全相同的系统（它们有相同的Γ空间），各 自从其确定的初状态出发独立地沿着正则方程确定的 轨道运动在t时刻形成的。 相空间的微小体积元（相体积）为
dΩ dq1 dq f dp1 dp f dqdp
i q H , pi i p
f N i ri
i
系统运动状态随时间的变化遵从哈密顿正则方程
H qi i 1, 2 ,, f
§9.1
系统微观运动状态的描述
其中H(q,p)是系统的哈密顿量，以后为书写方便， 我们将q1,q2,…qf ,p1,p2,…pf简记为q，p 。对于孤立 系统H(q,p)=E（系统的能量），包括粒子的动能、 粒子间相互作用势能和粒子在保守场中的势能。它 是q,p的函数，当存在外场时还是外场参量的函数， 但不是时间t的显函数。 2．几何描述—Γ空间
可以证明 或
d 0 dt
刘维尔定理：在Γ空间中代 表点的密度在运动中不变。