高一数学 函数的单调性2教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的单调性2

一．课题：

二．教学目的：1. 进一步掌握单调性，会求复合函数的单调区间；

2. 会应用单调性解题。

三．教学重点、难点：复合函数的单调区间

四．教学过程：

（一）复习：（提问）

1．单调函数的概念

2．练习：证明)1,0(是函数x

x y 1+=的单调递减区间。 （二）新课讲解：

1．例题分析：

例1．判断下列函数的单调区间：21x

y = 解：令2x t = （0>t ） t

y 1=在),0(+∞上为减函数 而2

x t =在)0,(-∞上为减函数，在),0(+∞上是增函数 ∴21x

y =在)0,(-∞上为增函数，在),0(+∞上为减函数。

说明：复合函数的单调性的判断：

设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]

y f g x =在],[b a 上也是单调函数。

①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。

②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单

调性相同。

即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）

练习：（1）函数24x y -=

的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．

（2）541

2+-=x x y 的单调递增区间为 ．

例3．讨论函数21)(++=x ax x f )2

1(≠a 在),2(+∞-上的单调性。 解：设12x -<<2x ， 2

212212)(+-+=+-++=x a a x a a ax x f

∴)(2x f )(1x f -)221()221(12+-+-+-+=x a a x a a )2

121)(21(12+-+-=x x a 1221(12)(2)(2)x x a x x -=-⋅

++ 又 12x -<<2x ， ∴0)

2)(2(1221<++-x x x x ∴ 当021>-a ，即2

1

1>a 时，)(2x f )(1x f >， 所以，当21

1)(++=x ax x f 在),2(+∞-为减函数； 当21>a 时， 2

1)(++=x ax x f 在),2(+∞-为增函数。 例4．（1）已知函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]3,(-∞上是减函数，求实数a 的

取值范围；

（2）已知2)1(2)(2

+-+=x a x x f 的单调递减区间是]3,(-∞，求实数a 的取值

范围。

解：（1）原二次函数的对称轴为a x -=1，

又因为该函数开口向上，

所以，由题意得：a -≤13， 即2-≤a ．

（2）由题意得： 13a -= 即2a =-．

练习：函数12)(2+-=ax x x f 在)1,(-∞上是减函数，求a 的取值范围。