材料工程基础第一章部分讲解及课后答案

所题以中：， p1 最小， p2 和 p3 相等，而 p4 最大。
21
习题
1-117.4 封闭水箱各测压管的液面高程为：1 100cm,2 20cm,4 60cm ，问 3 为多少？
解：由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ：
p p0 gh
p3 p0 水 g(1 3 )
p3 p0 水银 g(2 3 )
0 0 2 a2x a 2
ay
duy d
u y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
2
b2 y b 2
a z
duz d
uz
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
0
由
dx d
ux
ax
2,
dy d
uy
by
2,
dz d
uz
0
积分得：
x
c1ea
2
a
2 a2
2 a3 ;
得： 水银 g(2 3 ) 水 g(1 3 )
dx 2x
dy 3y
dz z
1 1 1
1
1
1
即x 2 1 y3
c1;
x z
2
c2 ;
y3 z
c3;
质点的迹线方程为：
因：
dx d
ux
2x
1
;
dy d
uy
3y
1
;
dz d
uz
z
1
分别积分得：
所以： x c11 2;
y c21 3
z c31
τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
所以： c1 a; c2 b; c3 c
x a1 2 y b1 3 z c1
所以：
ux
x
a1 2
2a1 ;
y
uy
b1 3
3b1 2;
z c1
uz c
所以, 拉格朗日描述的加速度：
ax
ux
பைடு நூலகம்
2 a;
ay
u y
6b1 ;
az
z
0
（3）由流线方程得：
解：速度的拉格朗日描述
u u u x 0; y e b c e b c ; z e b c e b c ;
x
y
2
2 z 2
2
由已知条件得： a x;
bc
y e
z
;
bc
yz e
代入上式得速度的欧拉描述：
u x 0;
u e y
yz 2e
e
yz 2e
yz 2
yz 2
z;
解：（1） 根据散度和旋度的定义，可得：
divu
•u
ux
u y
uz
2
3
1
6
x y z 1 1 1 1
i jk
rot u u
x
y
z
uz y
uy z
i
ux z
uz x
j
u y x
ux y
k 0
ux uy uz
（2） 由连续性方程得，当流体不可压时应满足： u 0
又因
u
6
0
1
h3
A
A
所以，
h2
p2 p1 汞gh2 水gh2 汞 水 gh2 0 p2 p1
B
B
2、3断面符合等压面的条件 静止、连续的同种流体，又在同一水平面上
所以， p2 p3
对于等压面A A，pA p3 汞gh3 p4 水gh3, p4 p3 汞gh3 水gh3 0 p4 p3
位置
r r (x( ), y( ), z( ), ) 或
x x( ) y y( )
z z( )
速度
u
dr
u(r,
)
ux
ux (x,
y,
z, )
dx d
d
或
u(x( ), y( ), z( ), )
uy
uy (x,
y,
z, )
dy d
uz
uz (x,
y, z, )
dz d
加速度
a(x,
dx ky
k
dy
x a
kx a dx kydy
1 kx2 kax 1 ky2 C
1 2
x2 y2
2
ax C1
2
（2） 由迹线方程定义可写出
dx
d
ux
k y;
dy
d
uy
kx
a
;
1 2
对（2）式求二阶导数
d2y
d 2
k
dx
d
a
dx ky d
又因
dz
d uz 0
d
d
d
x C1e 1, y C2e 1
代入已知条件，当 0时过空间点1，1得：C1 0,C2 0, 所以当 0时过空间点1，1的迹线方程为：
x 1
y 1
18
同样还是习题4
流体速度用u
x
2x 1
,uy
3y 1
,uz
z 1
描述中的流体，
求散度和旋度，并判断流体是否可压，流体运动是否有旋。
则欧拉描述的迹线为：
y
C1
cosk
C2
sin
k
a k
z C5
代入
0时，x
a, y
b, z
c的已知条件可求的：C4
a, C1
b
a k
所以，在（a,b,c）处 流体质点的迹线为
x C3 sin k a cosk a
y
bak
c os k
C2 sin k
a k
z C5
1 7 设流体的速度为ux x ,uy y ,uz 0,试求通过x 1, y 1,的流线及 0时
x
y
z
ux uy uz k(2x y) 2ky 0 k(2x 3y) 0 x y z
该流场不满足不可压连续性方程
（4） 由题有
ux ky cos xy, uy kx cos xy, uz 0
x
y
z
ux uy uz ky cos xy (kx cos xy) 0 k( y x) cos xy 0 x y z
通过x 1, y 1的迹线。
解：（1） 由流线方程
dx dy , 对此积分可得 x y
nx ny C x y ec C
代入过空间点1，1得：1 1 C C 1 2
则通过空间点 1，1的流线为：x y 1 2
（2） 由迹线方程 dx x , dy y , dz 0 对此积分可得
该流场不满足不可压连续性方程
1-115.2 在封闭端完全真空的情况下，水银柱差 Z2 50mm ，求盛水容器液面绝对压强 p1 和液
柱高度 Z1 。
解：由流体静压强分布规律：
p p0 gh
和等压面的关系得：
p2 2 gZ2 p1 1gZ1
而左端为真空，即 p2 =0 所以： p1 2 gZ2 13.6103 9.8 0.05 6664Pa
z 1
描述
（1）求其加速度的欧拉描述
（2）求矢径r=r(a,b,c,τ)的表达式和加速度的拉格朗日描述
（3）求流线和迹线
解：（1）加速度的欧拉描述为
ax
dux d
ux
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
1
2
x
2
1
4
x
2
2x
1 2
a y
duy d
u y
ux
u y x
uy
u y y
y
c2eb
2
b
2 b2
2 b3 ;
当 0时刻，x a, y b, z c 代入上式得：
z c3
c1
a
2 a3
c2
b
2 b3
又因：a b 0
c3 c
x
（a
2 a3
）e
a
2 a
2 a2
2 a3
;
y （ a
2 ）ea
2
2
2;
a3
a a2 a3
zc
所以：流体运动加速度的拉格朗日描述为
Z1
2 gZ2 1g
13.6103 9.8 0.05 1000 9.8
0.68m
20
习题
1-116.3 水管上安装一复式水银测压计，如图 1.3 所示。问 p1, p2, p3, p4 哪个最大？哪个最小？ 那些相等？为什么？
解：由流体静压强分布规律及等压面的关系得 ： h4
h1
对与等压面B-B，pB p1 汞gh2 p2 水 gh2
az
(a,b, c,
)
uz
(a,b, c,
)
2z(a,b, c, 2
)
x x(a,b, c, )
y y(a,b, c, ) z z(a,b, c, )
ux
(a,
b, c,
)
x(a, b,
c,
)
uy
(a,b, c,
)
y(a,b, c,
)
uz
(a,b, c,
)
z(a,b, c,
)
• 欧拉描述
u e z
yz 2e
e
yz 2e
yz 2
yz 2
y;
1-2设流体运动的欧拉描述为 ux ax 2,uy by 2,uz 0, 试求流体运 动加速度的欧拉描述和拉格朗日描述（a+b=0）
解：加速度的欧拉描述为：
a dux x d
ux
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
2 a ax 2
ax
2x 2
a3
2 ea a
2; a
ay
2 y 2
a3
2 a
ea
2 a
;
az 0;
1-3 流体运动的速度由 u x2 , y 2, xz 给出，当τ=1时，求质点
p(1,3,2)的速度及加速度（即求速度和加速度的拉格朗日描述）
解：由题意，流体运动的速度的欧拉描述为
u u u x2; y 2; xz
x
y
z
dx d
ux
x2 ;
dy d
uy
y 2;
dz d
uz
xz
积分得： x
2
2
c1;
3
y c2e 3 ;
2
z c3e
代入已知条件τ=1时刻，质点p的坐标为（1，3，2）
求得：c1 3;
-1
c2 3e 3 ;
c2 2e2;
求得：
x
2
2
3
y
3e
1 3
(
3
1)
z
2e2
1
1
所以，流体运动的速度的拉格朗日描述为
满足不可压缩的条件
（2）
ux y2 z2 uy z2 x2 uz x2 y2
所以：divu ux uy uz 0 0 0 0 x y z
满足不可压缩的条件
1-13 试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件：
（3） 由题有
ux k(2x y), uy 2ky, uz 0
3
d2y
d 2
k 2 y
ka
二阶线性非齐次 常微分方程
1
2
所以，求得其通解为
y
C1
cosk
C2
sin
k
a k
代入（1）式得：
dx
d
ux
ky
C1
k
cosk
C2
k
sin
k
a
C1k
cosk
C2k
sin
k
a
所以：x [C1k cosk C2k sin k a]d
C3 sin k C4 cosk a x C3 sin k C4 cosk a
所以： c1 a; c2 b; 质点的迹线方程为
c3 c
x a1 2 y b1 3 z c1
1 6 设流体运动的欧拉描述 为u x ky, u y kx a , uz 0, 其中k与a为常数，
求 1 时刻的流线方程；
2 0时在a,b, c处流体质点的迹线。
解：（1） 由流线方程
材料工程基础第一章部分讲解及课后答案
1
• 拉格朗日描述
位 置 r r (a,b, c, ) 或
速 度 u u(a,b, c, ) 或
加速度
ax
(a,b, c,
)
ux
(a, b,
c,
)
2x(a,b, c, 2
)
ay
(a, b,
c,
)
u y
(a, b,
c,
)
2 y(a,b, c, ) 2
解：
1-12 试确定下列各流场是否满足不可压缩流体的连续条件：
解：由流体的连续性方程 d divu 0得，当流体不可压缩
时，
d
divu 0 即：ux uy uz 0
x y z
（1）
ux x2 y2 uy 2xy uz 0
所以：divu ux uy uz 2x 2x 0 0 x y z
uz
uy z
6y
1 2
az
duz d
uz
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
0
分别对速度的欧拉描述进行积分得：
因：
dx d
ux
2x
1
;
dy d
uy
3y
1
;
dz d
uz
z
1
所以： x c11 2;
y c21 3
z c31
（2）由题意得： τ=0时，x=a, y=b z=c ;代入上式有：
du 0 1 dy 1103 0 1000 1/ s F mg sin 59.8 5 18.84N
13 F 18.84 0.10Pa / s
A du 0.18 (1000) dy
1-11 图示为一水平方向运动的木板，其速度为1m/s。平板如在油面上， 10mm ，油的 0.09807Pa s 。求作用在平板单位面积上的阻力。
又因由上面得rot
u
0
所以流体可压缩 所以流体无旋
1-110.1 一块面积为 40 45cm2 ，高为1cm 的木块，质量为 5kg ，沿着涂有润滑油的斜面等速向 下运动。已知 u 1m / s, 1mm ，求润滑油的动力粘性系数。
解： 根据牛顿粘性定律： F A du
dy
A 0.4 0.45 0.18m2
u x 4 3;
x
u u
y
3
2e
1 ( 3
3
1)
;
y
z
4
2( 1 1)
e
z
所以，流体运动加速度的拉格朗日描述为
a ux 12 4;
x
a a uy
3
e
1 3
(
3
1)
(2
3
);
y
z
uz
8 3
2( 1 1)
e
(1
1)
1-4
流体运动的速度由
ux
2x 1
,uy
3y 1
, uz
y,
z, )
du
u
u
dx
u
dy
u
dz
d x d y d z d
u u u u
u
ux x uy
(u • )u
y
uz
z
——哈密顿算子；
i
j
k
x y z
1-1流体质点的位置用x
a,
y
e
b
c 2
e
bc 2
,z
e
bc 2
e
b
c 2
, 表示，求其速
度的拉格朗日描述与欧拉描述。