合情推理-归纳推理与类比推理.ppt

B
P S1 S2 D S3 F
C
A
E
例题:类比平面内直角三角形的勾股定理，
B
P
c
试给出空间中四面体性质的猜想。
a
C
分析：
c
b
A
s1 a
D s3
s2
M
E
b
△PEF的面积为S
2 2 ？ 1 2 2
F
2 3
c2=a2+b2
直角三角形
∠C＝90° 2条直角边a，b和1条斜 边c
s s s s
3个面两两垂直的四面体
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理
注意
以旧的知识为基础,推测新的 结果，具有发现的功能，启 发思路、提供线索、举一反 三、触类旁通的作用。 类比推理的结论不一定成立
• 1．下面几种推理是类比推理的是(
)
• A ．因为三角形的内角和是 180°×(3 － 2) ，四边形的内角和
是180°×(4－2)，…，所以n边形的内角和是180°×(n－2)
180 例2 三角形的内角和是 ,
360 凸四边形的内角和是 ,
凸五边形的内角和是540
…

由此我们猜想:凸n边形的内角和是 (n 2) 180
例3:
2 2 1 3 3 1 2 22 3 3 2 2 23 3 33
b bm (a, b, m均为正实数） 由此我们猜想: a am
具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的 全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
例题解析： 例1. 蛇是用肺呼吸的, 鳄鱼是用肺呼吸的， 海龟也是用肺呼吸的， 蜥蜴是用肺呼吸的， 蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物。 所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
单位元
a+0=a
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
2、前提：矩形的对角线的平方等于其长和宽的平 方和。 结论：长方体的对角线的平方等于其长、宽、 高的平
3、前提：所有的树都是植物， 方和。 梧桐是树。 结论：梧桐是植物。 思考:这三个情境有什么共同特都由前提和结论两 部分构成 点？ 这三个情境各什么特点？ 推理的结构形式 有不同的特点
推理
推理：
从上面的情境中，我们看到了探索活动是一个不 断地提出猜想——验证猜想——再提出猜想—— 再验证猜想的过程
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
问题情境1 1、对自然数n，考 查 n
0 1
n n 11 2 n n 11
2
11 11 都是质数 2 13 3 17 4 23 5 31 6 41 2 结论：对所有的自然数n n， n 11 都是质数。
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
火星与地球类比的思维过程：
存在类似特征
地球
火星
地球上有生命存在
猜测火星上也可能有生命存在
试将平面上的圆与空间的球进行类比
.
.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
圆
弦 直径 周长 面积
截面圆 大圆 表面积 体积
F
△PEF的面积为S
1 1 1 2 2 由题知, EF a c , s3 ac EF DM a c DM 2 2 2 ac DM , PM DM 2 PD 2 ( ac ) 2 b 2 a2 c2 2 a2 c2 1 2 2 ac 1 2 S EF PM (a c ) [( )2 b 2 ] 4 2 a2 c2
1 2 2 a 2c 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 (a c ) ( 2 2 b ) a c a b b c 4 a c 4 4 4
s s s
2 1 2 2
2 3
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
变式练习：在三角形ABC中有结论： AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中 有 . P B C S1 Ｃ S2 S3 △PAB的面积为S
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
百度文库一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.
归纳推理的过程： 哥德巴赫猜想的过程：
由 两类对象具有 某些类似特征 ，在此 基础上，根据 一类对象的某些已知特征 , 推出 另一类对象也 具有这些特征 ，我们把 这种的推理称为类比推理.
1、进行类比推理的步骤： (1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象 的特征，从而得出一个猜想； (3)检验这个猜想. 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 2、类比推理的一般模式: A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同） ’ 所以B类事物可能具有性质d .
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
4 3
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
1 1 解析： 原问题的解法为等面积法，即 S＝ ah＝3× ar 2 2 1 1 1 ⇒r＝ h，类比问题的解法应为等体积法， V＝ Sh＝4× Sr 3 3 3 1 1 ⇒r＝ h，即正四面体的内切球的半径是高的 . 4 4
1 答案： 正四面体的内切球半径是高的4
例题：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想。
几何中常见的类比对象
平面几何 点 线 圆 三角形
立体几何
线 面 球 四面体（各面均为三角形）
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等
数
有限
相等
例题解析：
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° 三个两两垂直的面S1，S2，S3和 1个“斜面” S
c
S1
P
S2
下面证明猜想是否成立：
a SD
3
b
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
E
M
证明：设 ED a, DF b, DP c,
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
2 2
球
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆心与弦(非直径)中点连线垂直 球心与截面圆(不经过球心的截面圆) 圆心连线垂直于截面圆. 于弦. 与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两截面圆面 心距离不等的两弦不等,距圆心较 积相等;与球心距离不等的两 截面圆面积不等,距球心较近 近的弦较长. 的截面圆面积较大. 以点P(x0,y0)为圆心,r为半径的圆 以点P(x0,y0,z0)为球心,r为半径 的球的方程为 的方程为(x-x0)2＋(y-y0)2=r2. (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2.
华罗庚教授曾举过一个例子： 从一个袋子里摸出来一个红玻璃球，第二个是红玻璃球， 甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候，我们 立刻会出现一种猜想：“是不是袋里的东西全部都是红玻 璃球？”但是，当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候， 这个猜想失败了；这时我们会出现另外一个猜想：“是不 是袋里的东西全部都是玻璃球？”但是，当我们有一次摸 出一个木球的时候，这个猜想又失败了；那时我们又会出 现第三个猜想：“是不是袋里的东西全部都是球？”这个 猜想对不对，还必须加以检验……
从一个或几个已知命题得出另一个新命题 的思维过程称为推理. 说明：
（1）任何推理都包括前提和结论两个部 分； （ 2）前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知什 结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出 （3）推理包括：合情推理和演绎推理 其中合情推理包括归纳推理和类比 推理
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
和蝗虫的牙齿,发明了锯．
2.人们仿照鱼类的外型和它们在 水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
3、火星上是否存在生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29 C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：
在等差数列中“积”变“和”得a1＋a2＋…＋a9＝2×9.
答案： D
1 3．已知正三角形内切圆的半径是高的 ，把这个结论推 3 广到空间正四面体，类似的结论是________．
• B．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质 • C．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员 ，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员 • D．4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2
整除
• 答案： B
• 2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b8b9＝29，若{an} 为等差数列，a5＝2，则{an}类似的结论为( )
归纳推理的一般模式:
S1具有P,
S2具有P, …… Sn具有P, (S1,S2,…,Sn是A类事物的对象） 所以A类事物具有P
归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而, 由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象 推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立 足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资 料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
A
Ａ
Ｂ
S1 S2 S3 S
几何中常见的类比对象 平面图形（二维） 立体图形（三维） 点或线
点
线
线或面
空间直角坐标系
平面直角坐标系
几何中常见的类比对象
圆
三角形 四边形
球
四面体（各面均为三角形） 六面体（各面均为四边形） 代数中常见的类比对象 复数 向量
方程
函数
不等式 且，或，非运算
交集，并集，补集
(3) a=ba2=b2;
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
（4）哥尼斯堡七桥猜想：18世纪在哥尼斯堡城 的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河 岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座 桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始 地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。
除了归纳，在人们的创造发明活动中， 还常常应用类比。例如：
归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意
由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论
归纳推理的结论不一定成立
（3）地图的“四色猜想”：数学家猜想，任何 地图着色只需四种颜色就足够了。直到1976年9 月，美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈 根，利用电子计算机证明了地图的四色猜想是 正确的! 他们将地图的四色问题化为2000个特 殊的图的四色问题，然后在电子计算机上计算 了1200个小时，终于证明了四色问题。