江苏高考向量复习

大方向教育个性化辅导教案

教师： 徐琨 学生： 学科： 数学 时间：

课 题（课型） 平面向量的概念及其线性运算

教学方法： 知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练

[最新考纲]

1．了解向量的实际背景．

2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．

4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．

5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义.

知 识 梳 理

1．向量的有关概念 名称 定义

备注

平行向量 方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量 长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算 向量 运算

定 义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量 和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝ a ＋(b ＋c )

减法

求a 与b 的 相反向量 －b 的和的 运算叫做 a 与b 的差

三角形法则

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与 向量a 的积 的运算

(1)|λa |＝|λ||a |；

(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0

λ(μa )＝λμa ；

(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb

3.共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .

辨 析 感 悟

1．对共线向量的理解

(1)若向量a ，b 共线，则向量a ，b 的方向相同． ( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .

( )

(3)(2013·郑州调研改编)设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝－12.

( )

(4)(2013·陕西卷改编)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．

( )

2．对向量线性运算的应用 (5)AB →＋BC →＋CD →＝AD →.

( ) (6)(教材习题改编)在△ABC 中，D 是BC 的中点，则AD →＝12(AC →＋AB →

)．

( )

学生用书

第69页

[感悟·提升]

1．一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向

量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．

2．两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).

考点一 平面向量的有关概念

【例1】 给出下列命题：

①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →

是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b .其中真命题的序号是________．

规律方法 对于向量的概念应注意以下几条：

(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；

(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；

(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．

【训练1】 设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是 ．

考点二 平面向量的线性运算

例2】 如图，在平行四边形OADB 中，设OA →＝a ， OB →

＝b ，BM →＝13 BC →， CN →＝13 CD →.试用a ，b 表示OM →， O N →及MN →

.

规律方法 (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量

用已知向量表示出来．

(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．

【训练2】(2013·四川卷)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →

＋AD →＝λ AO →

，则λ＝________.

考点三 向量共线定理及其应用

【例3】 (2013·郑州一中月考)设两个非零向量a 与b 不共线．

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．

【训练3】 (2014·西安模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为_____．

1．向量的加、减法运算，要在所表达的图形上多思考，多联系相关的几何图形，比如平行四边形、菱形、三角形等，可多记忆一些有关的结论．

2．对于向量共线定理及其等价定理，关键要理解为位置(共线或不共线)与向量等式之间所建立的对应关系．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b ＝λa ，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．

方法优化3——准确把握平面向量的概念和运算

【典例】 (2012·浙江卷)设a ，b 是两个非零向量．( )． A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |