3.2导数的计算

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3.2导数的计算练习

正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
考点2 求曲线的切线方程
例例2：求曲线y＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程．
[解： y′＝(x3－2x)′＝3x2－2， ∴y′|x＝1＝3×12－2＝1. 即在点(1，－1)处的切线的斜率是1. 由点斜式得切线方程为y＋1＝x－1即x－y－2＝0.
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
答案：C
二5.若、函填数空f题(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2 ，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
求过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．
解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2，故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)，即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)，又知切线过点(1，－1)，代入上述方程，得解－得1x0－＝(1x－或2x0x＝0)＝－(312x－，2)(1－x0)，故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－ 4 (x－1)，
10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由图象可知f′(1)＝0，f′(2)＝0. ∴3a＋2b＋c＝0，① 12a＋4b＋c＝0，② 又函数f(x)的图象过点(1,5)， ∴f(1)＝5，即a＋b＋c＝5③ 由①②③可得a＝2，b＝－9，c＝12. ∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.

3.2导数的计算(27张PPT)

;
(7) y 3 x; 2
例3 :日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯
净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化
到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：
c(x)= 5284 (80 x 100). 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;
(1)90%;
(2)98%.
x
x
f (x) (x2) ' lim y lim 2x x x2 lim (2x x) 2x.
x x0
x0
x
x0
公式三：（x2）' 2x
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
解: y f (x) 1 , x
y f (x x) f (x) 1 1 x x x x (x x)x
y
'
1 x2
探究：
表示y=C图象上每一点处的切线斜率都为0
表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1
这又说明什么?
这又说明什么?
画出函数y=1/x的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。
x+y-2=0
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
高二数学选修1-1
y f (x x) f (x) C C 0,
y 0, x
f (x) C lim y 0. x0 x
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数. 解: y f (x) x,
y f (x x) f (x) (x x) x x,
(1) c '(90) 5284 52.84 (100 90)2

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)

第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则设f(x)、g(x)是可导的. 公式语言叙述两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ；（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)；（6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex；（7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .

2014年人教A版选修1-1课件 3.2 导数的计算

问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何? (1) y=c (c为常数); (2) y=cx (c为常数); (3) y=x2; (4) y = 1 . x (2) y=cx, y f ( x x ) f ( x ) y = lim = lim x 0 x x 0 x c( x x ) cx 几何意义: = lim x 0 x 直线 y=cx 的切线是它本身, = lim c = c. x 0 切线的斜率就是此直线的斜率 c. 物理意义: 路程线性增加, 则速度为匀速 c.
解: y=3x, f ( x x ) f ( x ) y = lim x 0 x 3( x x ) 3 x = lim x 0 x = lim 3 = 3.
问题1. 上一课时我们学习了导函数, 你能求出以下函数的导函数吗? 其几何意义和物理意义如何? (1) y=c (c为常数); (2) y=cx (c为常数); (3) y=x2; (4) y = 1 . x 1, y = (4) x y f ( x x ) f ( x ) y y = lim = lim x 0 x x 0 x 1 1 几何意义: o x = lim x x x 曲线在每一点的切线 x 0 x 的斜率都是负的. 1 = lim x 0 x( x x ) = 12 . x
解: y=2x, f ( x x ) f ( x ) y = lim x 0 x 2( x x ) 2 x = lim x 0 x = lim 2 = 2.
x 0
(2x)=2.
y 4 3 2
y=4x y=3x y=2x
o
1
x
练习: (课本82页 “探究”) 1. 在同一平面直角坐标系中, 画出函数 y=2x, y=3x, y=4x 的图象, 并根据导数定义, 求它们的导数. (1) 从图象上看, 它们的导数分别表示什么? (2) 这三个函数中, 哪一个增大得最快? (3) 函数 y=kx (k≠0) 增 (减) 的快慢与什么有关?

3.2 导数的基本公式及四则运算法则

x
所以
∆y 1 ∆x ∆x = lim[ log a (1 + ) ] lim ∆x →0 ∆x ∆x − 0 x x
x
1 ∆x ∆x = log a lim (1 + ) ∆x →0 x x 1 1 ， = log a e = x x ln a
x
即
1 ． (log a x)′ = x ln a
y′ = 5( x 2 )′ + 3( x −3 )′ − (2 x )′ + 4(cos x)′
= 5 × 2 x + 3 × (−3) x −4 − 2 x ln 2 + 4(− sin x) 9 = 10 x − 4 − 2 x ln 2 − 4 sin x ． x
2.乘积函数的导数 2.乘积函数的导数
= 30 x 2 − 2 x − 1 ．
例3
设 y = x sin x ln x ，求 y′
解 y′ = ( x)′ sin x ln x + x(sin x)′ ln x + x sin x(ln x)′ 1 = 1 ⋅ sin x ln x + x cos x ln x + x sin x ⋅ x = sin x ln x + x cos x ln x + sin x ．
(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′ ．
例2 解
2 设 y = (1 + 2 x)(5 x − 3 x + 1) ，求 y′． y′ = (1 + 2 x)′(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(5 x 2 − 3 x + 1)′ = 2(5 x 2 − 3 x + 1) + (1 + 2 x)(10 x − 3)

高二人教A版高中数学选修1-3 第三章导数及其应用3.2 导数的计算

=
28 (1 4)2
=-
6 25
.
因此曲线 y= 2x 在点(2, 4 )处的切线方程为 y- 4 =- 6 (x-2),
x2 1
5
5 25
即 6x+25y-32=0.
答案:(1)6x+25y-32=0
(2)已知曲线 y=5 x ,则过点 P(0,5)且与曲线相切的切线方程为
.
解析:(2)因为点 P(0,5)不在曲线 y=5 x 上,
1
f′(x)= x ln a (a>0,且 a≠1)
1
f′(x)= x
2.导数运算法则
和差的导数积的导数
商的导数
[f(x)±g(x)]′= f′(x)±g′(x) [f(x)·g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
[ f (x) ]′= f (x)g(x) f (x)g(x)
3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
课标要求:1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=1 的导函数.2.理解导数的
x
四则运算法则.3.掌握几种常见函数的导数公式.4.能够应用导数公式及运
算法则进行求导运算.
自主学习课堂探究
值为( B )
(A)1-cos 1
(B)1+cos 1 (C)cos 1-1
(D)-1-cos 1
5.(商的导数的应用)设函数f(x)= sin x ,f′(x)为函数f(x)的导函数,则
x
f′(π )=
.
答案:- 1
π
课堂探究
题型一利用导数公式求函数的导数

§3.2 求导数的方法——法则与公式

对y=x 两边取对数,得: lny=lnx y 两端对x求导,得: y x
y x y 即得 (x)=x1 x x
五、指数函数y=ax (a>0,且a1)的导数
两边取对数,得: lny=xlna y ln a y=ylna 两端对x求导,得: y 即得 (ax)=axlna 特别, (ex)=ex
sec2 y 0. (tan y )
1 1 1 1 从而 (arc tan x ) 2 2 2 (tan y ) sec y 1 tan y 1 x
1 类似 (arccotx ) 2 1 x
x a 2 x 2 a arcsin x 例18. 求函数 y 2 2 a 的导数 2 ( x a 2 x 2 ) ( a arcsin x ) 解: y 2 2 a 2 2 ( x ) ( a x ) a 2 2 2 a 1 a x x 2 2 2 a2 x2 2 x )2 1 ( a 2 2 2 2 a x x a 2 2 2 2 2 2 a x 2 a x 2 2 a x
u ) uv uv (v( x ) 0) (3) ( 2 v v 1 ) v 特别, ( 2 v v
推论:
(1) [ f i ( x )] f i( x )
i 1 i 1
n
n
(2) [Cf(x)]=Cf (x)
(3) [ f i ( x )] f1( x ) f 2 ( x ) f n ( x )
二、复合函数的求导法则
如果函数u=(x)在点x处可导, y=f(u) 在对应点u=(x)处也可导,则有复合函数 y=f[(x)]在点x可导,其导数为: dy dy du dx du dx

原创1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）
掌握基本初等函数的导数公式，会求简单函数的导数.
1.本课重点是掌握基本初等函数的导数公式及应用. 2.本课的难点是利用基本初等函数的导数公式求简单函数的导数与导数公式的简单应用.
基本初等函数的导数公式
9
27
此时公切线的斜率为k=2x1=64 .
27
综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，2674 ③. …………………………………………………………………12分
1.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则n=( ) （A）1 （B）3 （C）2 （D）4 【解析】选B.∵y′=nxn-1,∴n×2n-1=12,可得n=3.所以选B.
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
（2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_n_x_n_-1_；
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=__c_o_sx_；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=__-_si_n_x_;
（5）若f(x)=ax，则f′(x)=_a_x_ln_a_(a>0)；
…………………………………………………………………4分
②当x=2 时，2x=3x2=4
3
3
.此时C1的切线方程为y-
4=
9
4(x-
3
)，2
3
而C2的切线方程为y- 8 = (4x- ).2显然两者不是同一条
27 3 3
切线，所以x= 2舍去.………………………………………6分
3
(2)当公切线切点不同时①，在曲线C1，C2上分别任取一点A
1 x；-23 1 1

3.2求导法则与导数公式

第二节求导法则与导数公式导数的四则运算基本初等函数的导数复合函数的导数反函数求导法则导数的四则运算（1）设 u ( x) v( x) 在x可导，则[u ( x) ± v( x)]′ = u ′( x) ± v′( x) 设 y = g ( x) = u ( x) + v( x)Δy = g ( x + Δx) − g ( x) = [u ( x + Δx) + v( x + Δx)] − [u ( x) + v( x)]= [u ( x + Δx) − u ( x)] + [v( x + Δx) − v( x)]= Δu + Δv Δy Δu Δv lim Δy = lim [ Δu + Δv ] = u ′( x) + v′( x) + = Δx Δx Δx Δx →0 Δx Δx →0 Δx Δx推广[u1 ( x) ± u2 ( x) ±′ ( x) ± u2 ′ ( x) ± u n ( x)]′ = u1′ ( x). ± un[u ( x) ± v( x)]′ = u ′( x) ± v′( x)[u1 ( x) ± u2 ( x) ±例解′ ( x) ± u2 ′ ( x) ± u n ( x)]′ = u1′ ( x). ± unf ( x) = x + sin x − cos x + 9 求其导数 f ′( x) = ( x + sin x − cos x + 9)′ = ( x )′ + (sin x)′ − (cos x)′ + (9)′= 1 / 2 x + cos x + sin x(2)设u ( x) , v( x)在x可导,则[u ( x)v( x)]′ = u ( x)v′( x) + u ′( x)v ( x ) 设 y = g ( x ) = u ( x )v ( x )Δy = g ( x + Δx ) − g ( x ) = u ( x + Δ x ) v ( x + Δx ) − u ( x ) v ( x ) = u ( x + Δ x ) v ( x + Δ x ) − u ( x ) v ( x + Δx ) + u ( x ) v ( x + Δ x ) − u ( x ) v ( x )= Δu ⋅ v( x + Δx) + u ( x)Δv. Δv Δy Δu = v ( x + Δx ) + u ( x ) . Δx Δx Δx Δy Δu Δv lim = lim ⋅ lim v( x + Δx) + u ( x) ⋅ lim Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx → 0 Δx= u ( x)v′( x) + u ′( x)v( x).[u ( x)v( x)]′ = u ( x)v′( x) + u ′( x)v ( x )[cu ( x)]′ = cu ′( x) （常数因子可以提出来）特别：例、求 f (x) = 7 x cosx 的导数解 f ′( x) = (7 x cos x)′ = 7[( x ) cos x +′′ x (cos x ) ]cos x = 7[ − x sin x] 2 x推广 (u ( x)v( x) w( x))′轮流求导= u ′( x)v( x) w( x) + u ( x)v′( x) w( x) + u ( x)v( x) w′( x)[u1 ( x)u2 ( x)′ ( x)u2 ( x) un ( x)]′ = u1 ′ ( x) + u1 ( x)u 2 un ( x) +un ( x) + u1 ( x)u2 ( x) ′ ( x). un例、求 f ( x ) = 4 x 2 ⋅ ln x ⋅ cos x 的导数解 f ′(x) = (4x2 ⋅ ln x ⋅ cosx)′ = 4(x2 ⋅ ln x ⋅ cosx)′1 = 4(2x ⋅ ln x ⋅ cosx + x2 ⋅ ⋅ cosx − x2 ⋅ ln x ⋅ sin x) x = 4(2x ⋅ ln x ⋅ cosx + x cosx − x2 ⋅ ln x ⋅ sin x)（3）设′ u ( x) ⎡ u ( x) ⎤ u ′( x)v( x) − u ( x)v′( x) 设 y = g ( x) = . ⎢ v( x) ⎥ = v( x) 2 [v( x)] ⎣ ⎦ Δy = g ( x + Δx ) − g ( x ) u ( x + Δx) u ( x) u ( x + Δx)v( x) − u ( x)v( x + Δx) = − = v( x + Δx) v( x) v( x + Δx)v( x) u ( x + Δx)v( x) − u ( x)v( x) + u ( x)v( x) − u ( x)v( x + Δx) = v( x + Δx)v( x) Δuv( x) − u ( x)Δv = v( x + Δx)v( x) Δu Δv ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ Δy Δx Δx = 因为u,v可导，所以也连续 Δx v( x + Δx)v( x)u ( x) , v( x) 在x可导 v( x ) ≠ 0u ′( x) ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ v′( x) Δy lim = Δx →0 Δx [v( x)]2例、求y=tanx的导数 sin x ∵ y = tan( x) = cos x ′ sin x ⎞ (sin x)′ cos x − sin x(cos x)′ cos 2 x + sin 2 x ⎛ ∴ y′ = ⎜ ⎟= = 2 2 x cos cos x cos x ⎠ ⎝(tan x)′ = sec 2 x(cot x)′ = − csc 2 x= sec 2 x′ 1 ⎞ − v′( x) 特别地 ⎛ ⎜ ⎜ v( x) ⎟ ⎟ = [v( x)]2 ⎝ ⎠ ′ sin x 1 ⎞ ⎛ = tan x ⋅ sec x (sec x)′ = ⎜ ⎟ = 2 ⎝ cos x ⎠ cos x (csc x)′ = − cot x ⋅ csc x例x2 y= x 2(u ± v )′ = u ′ ± v′ (uv )′ = u ′v + uv′′ u ⎛ ⎞ u ′v − uv′ ⎜ ⎟ = v2 ⎝v⎠解： y′ = ( x 2 ⋅ 2− x )′= 2 x 2− x + x 2 (−2− x ln 2) 2 x − x 2 ln 2 = . x 2基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) .y′ y == 2x 例：，求 y′ 1 x x x − 1 2 y′ = x 2 ⎛ ⎞′ 7 ′ − 1 ⎛ ⎞ 1 −2 ⎜ ⎟ 8 y′ = − x = − 解： x = ⎜ ⎟ 2⎟ ⎜ x ⎠ ⎝ x 3x x ⎠ ⎝ 1 −2 1 y′ = − x 15 =− 2 7 − 8 2 x3 =− x . 81y=x ,2y= x =x 1 y = = x −1 x 1 − 1 y= =x 2 x1 2基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).(a x )' = a x ⋅ ln a (a > 0, a ≠ 1). 1 1 (log a x)' = ⋅ (a > 0, a ≠ 1). x ln a ( x )′ = 3 x3 2( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) . (e x )' = e x . 1 (lnx)' = . x(3x )' = 3x ln 3 (π x )′ = π x ln π ((tan α ) x )′ = (tan α ) x ⋅ ln tan α( xπ )′ = π xπ −1 ( x tan α )′ = tan α ⋅ x tan α −1识别函数关键常数、变量所在位置幂函数例如指数函数ax＝aa＝xx＝xa识别对数函数log a x＝ log x a ＝log x x基本的初等函数的求导公式c′ = 0(c为常数 ).( x a )' = ax a −1 (a为实数 ) .(e x )' = e x . 1 1 1 (log a x)' = ⋅ (a > 0, a ≠ 1). (lnx)' = . x ln a x (sin x)' = cos x. 比较两边 (cos x)' = − sin x. (tan x)' = sec 2 x. (sec x)' = sec x ⋅ tan x. 1 (arcsin x)' = . 2 1− x 1 (arctan x)' = . 2 1+ x (cot x)' = − csc 2 x. (csc x)' = − csc x ⋅ cot x. 1 (arccos x)' = − . 1 − x2 1 . (arc cot x)' = − 2 1+ x(a x )' = a x ⋅ ln a (a > 0, a ≠ 1).例．设，求f ′ (1) , f ′( ) 8 4 π 解： f ′( x ) = ( x sin x)′ + (tan )′ π π 8 f ′( )＝{ f ( )}′ ′ 4 4 ′ = x sin x + x (sin x ) f ′(1)＝{ f (1)}′ 1 sin x + x cos x = 2 x 1 f ′(1) = sin 1 + cos1 2 π 1 π π π 3π f ′( ) = sin + cos = 4 4 2 4 4 π π 注： tan 是常数，其导数等于零； 8f ( x ) = x sin x + tanππ( )x +2 x− π , 求y'. 例设y = x解1 1 x − πx + 2 − y' = ( )' = ( x 2 − π + 2 x 2 )' x=1 ( x 2 )'− 1 2− ( π )' + 2( x1 + 2 ⋅ (− ) x 2 − 1 x x .−3 2−1 2 )'求导前先化简可减少计算量1 = x 2 =1 2 x1 例. 求 y = 的导数 1+ x1 ′(1 + x ) − (1 + x )′ ( 1 ) 解： y′ = ( )′ = 1+ x (1 + x ) 21 2 x =− = 2 2 x (1 + x ) 2 (1 + x )1 − f ′( x) )′ = 2 一般 ( , 其中f (x)可导, f (x) ≠ 0 f ( x) f ( x)−1复合函数的导数若函数 u = g ( x ) 在x可导, 函数 y = f (u ) 在u可导则复合函数 y= f [ g ( x )] 在x 可导且{ f [ g ( x)]}′ = f ′(u ) g ′( x)Δy = f ( g ( x + Δx)) − f ( g ( x)) Δu = g ( x + Δx ) − g ( x ) ,= f (u + Δu ) − f (u )Δy Δy Δu = ⋅ Δx Δu Δxlim Δu = 0 所以 Δ x →0( Δu ≠ 0)Δy Δu Δy lim = lim ⋅ lim Δx →0 Δx Δx →0 Δu Δx →0 Δx因为u在 x 可导，所以必连续Δy Δu = lim ⋅ lim Δu → 0 Δu Δx → 0 Δx分析{ f [ g ( x)]}′ = f ′(u ) g ′( x){(6 x + 7) 2 }′ = 2(6 x + 7) ⋅ (6 x + 7)′y = u2 y′ = (u 2 )′ ⋅ (6 x + 7)′ = 12uu=6x+7= 12(6 x + 7)设 y = f (u ), u = ϕ ( x) , 则复合函数 y = f [ϕ ( x)] 的导数为dy dy du = dx du dx或{ f [ϕ ( x )]}′ = f ′(u )ϕ ′( x )例.求y = sin2x的导数解：y = sin2x是由y = sinu，u = 2x复合而成dy du y′ = ⋅ = cos u ⋅ 2 = 2cos 2 x du dx例设 y=sin3 x，求 y'. 解令y = u 3，u = sin x，则dy dy du = ⋅ dx du dx = 3u 2 cos x = 3 sin 2 x ⋅ cos x.例. 求y = (3x2+1)100的导数解： y = u100，而 u = 3x2+1 由公式dy du y′ = ⋅ du dx= 100 u ⋅ 6 x99= 600x(3x 2 + 1)99)2ctg ( )4(′=′xy )2ctg (2ctg21′⋅=x x)2()2csc (2ctg 212′⋅−⋅=x x x )21(2ctg22csc 2⋅−=x x 2csc 2412x x tg ⋅−=})]([{′x f ϕ)()]([u f x f ′=′ϕ表示复合函数对自变量x 求导；而对中间变量求导。

3.2 导数的运算法则(上课用)

f (1) 2, 则f (1) ( B ).
A.-1 B.-2 C.2 D.0
(2008海南高考）设f ( x ) x ln x, 若f ( x0 ) 2,
则x0 ( B ).
A. e
2
B. e
ln2 C. 2
D. ln 2
曲线y x 3 x 3在点(1,3)处的 (2012广东高考）
3 0 2 0
1 x0 1或x0 2
当x0 1时，切点为 (1,1),切线方程为 3x y 2 0
1 1 1 当x 0 时，切点为 ( , ), 切线方程为 3x 4 y 1 0 2 2 8
4 2 若函数 f ( x ) ax bx c满足 (2010江西高考）
2
法则3 :两个函数的商的导数，等于分
子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
例3:求下列函数的导数 (1)y=tanx
解 : (1)h( x ) ( x sinx ) x sinx x(sinx ) sinx x cos x
( 2) f ( x ) 2( x ln x ) 2[( x ) ln x x(ln x )] 2(ln x 1)
(3)用两种方法求y (2 x 3)(3x 2)
5284 '(100 x ) 5284 (100 x )' c' ( x ) ( )' 5284 2 100 x (100 x )
5284 0 (100 x ) 5284 ( 1) 2 2 (100 x ) (100 x )

高二数学人教A版选修1-1课件：3.2 导数的计算

设过(1,0)②的直线与 y=x3 相切于点(x0,��03), 则在该点处的切线斜率为 k=3��02, 所以切线方程为 y-��03=3��02(x-x0), 即 y=3��02x-2��03.
案例探究
误区警示
思悟升华
又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0=32. 当 x0=0 时,切线方程为 y=0.由 y=0 与 y=ax2+145x-9 相切可得 a=-2654, 当 x0=32时,切线方程为 y=247x-247.由 y=247x-247与 y=ax2+145x-9 相切,
以及
这样想当然的错误;其次还要特��别��((��注��)) 意'=两��个��''((��函��))数积与商的求导公式中符号的异同,积的导数
法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.
一二三
知识精要
典题例解
迁移应用
【例 1】求下列函数的导数:
f(x)=ln x
导函数
f'(x)=0 f'(x)=αxα-1
f'(x)=cos x
f'(x)=-sin x
f'(x)=axln a(a>0)
f'(x)=ex
f'(x)=��
1 ln
��
(a>0,且
a≠1)
f'(x)=1
��
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123
判一判(正确的打“√”,错误的打“×”).
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数学3.2《导数计算》教案(新人教A版选修1-1)

§3.2 导数的计算【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。

——叶圣陶【关注.思考】1.阅读课本第81——82页，总结四个常用函数的导数公式，认真阅读导数公式的推导过程，这四个常用函数有什么共同的特征，其导数有什么意义？细节提示：利用导数的定义求解四种函数的导数，对照函数图象，把握住导数的物理意义和几何意义；四种常用函数实际上都是幂函数，探讨规律时，应把导函数的系数与幂指数与原函数进行对比.【领会.感悟】1.这四种函数实质上都是特殊的幂函数，它们的导函数的系数为幂函数的指数，指数为幂函数的指数减去1所的数值；函数的导数的几何意义是函数图象在该点处的切线的斜率【精读·细化】2.认真阅读教材83页,记住基本初等函数的导数公式，注意各公式之间的联系，特别注意对数函数与指数函数的导函数.细节提示:前面四个常见函数的导函数实际上就是公式1、2所对应公式，对数函数的导函数与指数函数的导函数形式不同，应注意两者之间的区别. 【领会·感悟】2.基本初等函数的导数公式是我们求解函数导数的基础，要记准确，记牢，才可能在运算过程中不出现错误。

例1是导数的简单应用.【精读·细化】3.认真阅读教材84——85页,识记到数的运算法则，两个函数的和（差）与积的导数的形式一致吗？两函数的商的导数有什么特征？它们成立的前提条件是什么.细节提示:两个函数和（差）与积的导数的形式是不一致的，特别要注意两函数积的导数，两函数上的导数的特征非常明显，注意法则成立的前提是两函数的导数都存在. 【领会·感悟】3.深刻理解和掌握到数的运算法则，在结合给定函数自身的特点，才能有效地进行求导运算；理解和掌握求导法则与公式的结构规律是灵活进行求导的前提。

【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的计算知识点1 几个常用函数的导数【情景引入】化学中常用PH 表示不同液体的酸碱性。

人教新课标版数学高二课件 3.2 第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

x＝
1x＝x
1 2
，
∴y′＝
1
x
3 2
.
2
解答
(2)y＝2cos22x－1. 解 ∵y＝2cos22x－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x.
解答
类型二导数公式的应用命题角度1 求切线方程例2 已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由.
解答
反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率. (2)切点在切线上. (3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.
跟踪训练2 已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1＝ y' |xx0 ＝cos x0，k2＝ y' |xx0 ＝－sin x0. 要使两切线垂直，必须有k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1，即sin 2x0＝2，这是不可能的. 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
f′(x)＝_α_x_α－__1
f(x)＝sin x
f′(x)＝_c_o_s _x_
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝－__s_i_n_x_
f′(x)＝ axln a(a>0)
f′(x)＝_ex_ 1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且a≠1)
解答

3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

'
3.y=f(x)=x2的导数
解：根据导数定义， y f ( x x ) f ( x ) ( x x ) 2 x 2 2 x x x 2 ,
y 2 x x x 2 2 x x , x x
y 所以f ( x ) lim lim ( 2 x x ) x 0 x x 0 2 x.
2.导函数当x=x0时, f（x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:
y f ( x x ) f ( x ) f ( x) y lim lim . x 0 x x 0 x
在不致发生混淆时，导函数也简称导数． f ( x) 3x 2 关系
（6）若f(x)=ex,则f′(x)=____. ex
1 x ln a (a>0,且a≠1). （7）若f(x)=logax,则f′(x)=_____
1 （8）若f(x)=lnx,则f′(x)=____. x
例假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%. 物价（单位 p :元）与时间（单位：年）有如下关系 t : p( t ) p0 (1 5%)t .其中p0为t 0时的物价.假定某种商品的p0 1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0.01）
解：由导数公式：p '(t ) 1.05t p0 ln1.05,
所以p '(10) 5 0.08 0.4(元/年).
1.下列各式正确的是（ C ）
A. (sin ) ' cos (为常数） B. （cos x) ' sin x C. (sin x) ' cos x 1 6 D. (x ) ' x 5

高中数学选修1课件1-3.2导数的计算

＝2scinosx2－x 1.
(4)先化简，得 f(x)＝1－2 x，
故 f′(x)＝1－2 x′＝2′1－x1－－x221－x′＝1－2 x2.
(5)因为 y＝2xx＋－11＝2x＋x＋11－3＝2－x＋3 1，所以 y′＝x＋312.
(6)y′＝e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝e－x(1－)．
切点坐标为(－2，－26)．
状元随笔
方法归纳根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标．
跟踪训练 3 (1)曲线 y＝x－x 2在点(1，－1)处的切线方程为 ()
答案：x＋2y－ 3－π6＝0
类型一利用导数公式求函数的导数例 1 求下列函数的导数： (1)y＝x20；(2)y＝x14；(3)y＝sin3π；(4)y＝log6x； (5)y＝ 1 .
5 x2
解析：(1)y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19； (2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5；
解析：∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋1，故切线斜率为 k＝y′|x＝1 ＝1.∴切线方程为 y＝x－1.
答案：C
4．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________.
解析：因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sin6π＝－12，所以在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝ 0.
解析：设切点为 P(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1，直线 l 的方程为 y－y0＝(3x20＋1)(x－x0) 即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16. 又因直线 l 过点(0,0)，

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f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中g ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
2 t 1 (t 1) t (t 1)t 解 : (1) s(t ) ( ) t t2 2t 2 t 2 1 t 2 1 2 2 t t
解：(2)y′＝(exsin x)′＝(ex)′sin x＋ex(sin x)′
＝exsin x＋excos x
＝ex(sin x＋cos x)．
2 2
x＋3 x＋3′x ＋3－x＋3x ＋3′ 解：(3)y′＝( 2 )′＝ x ＋3 x2＋32
x2＋3－x＋3×2x ＝ x2＋32
4
-2
(2) y= x
(3) y= x
2 y 2 x 3 x
3
y 4 x
3
x (4) y= 2
y 2 ln 2
x
(5) y=log3x y
1 x ln 3
1、y=5 2、y=xn 3、y=sinx 4、y=cosx 5、y=ax 6、y=ex 7、y=logax 8、y=lnx 9、y=x5+sinx-7x 10、y=6x-cosx+log7x 11、y=ex+lnx+9x7 12、y=4ex-2cosx+7sinx
3.2.1几个常用函数的导数
一、复习
1.求函数的导数的方法是:
(1)求函数的增量y f ( x x) f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : y f ( x x) f ( x) ; x x
y (3)求极限，得导函数y f ( x) lim . x 0 x
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)· 3 ＝18x2－8x＋9. 解： (2)法二： ∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，
∴y′＝18x2－8x＋9.
例 2：求下列函数的导数： x－ 1 (3)y＝； (4)y＝x· tan x. x＋ 1 x－1 解：(3)y′＝( )′ x＋1
公式二：x ' 1
二、几种常见函数的导数
3) 函数y=f(x)=x2的导数.
解 : y f ( x) x2 ,
y f ( x x) f ( x) ( x x)2 x2 2x x x2 ,
y 2 x x x 2 2 x x, x x
x－1′x＋1－x－1x＋1′ ＝ x＋12
x＋1－x－1 ＝ 2 x＋1
2 ＝ x＋12
例 2：求下列函数的导数： x－ 1 (3)y＝； (4)y＝x· tan x. x＋ 1 xsin x 解：(4)y′＝(x· tan x)′＝( )′ cos x xsin x′cos x－xsin xcos x′ ＝ cos2x
(5) y (2 x 3) 1 x ; 1 (6) y 4 ; x (7) y x x ;
2
1 x2 (3) y ; 2 2 (1 x ) 1 (4) y ; 2 cos x 6 x3 x (5) y ; 2 1 x 4 (6) y 5 ; x
练习：1 求下列幂函数的导数
（1）y x 1 ( 2) y 2 x 3 (3) y x
3
5
( 4) y x
5
注意:关于a x 和x a 是两个不同
的函数,例如:
(1)(3 ) 3 ln 3
x
x
(2)(x ) 3 x
3
2
练习1、求下列函数的导数。
(1) y= 5
y 0
2
( x ) sin x x (sin x) 解：y 2 sin x
2 ' 2 '
'
2 x sin x x cos x 2 sin x
2
x3 4. 求 y 2 在点x 3处的导数 x 3
1 ( x 3) ( x 3) 2 x 解：y 2 2 ( x 3)
解 : (1)h( x) ( x sin x) x sin x x(sin x) sin x x cos x (2) f ( x) (2 x ln x) (2 x) ln x (2 x)(ln x)
2 ln x 2
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：
1 1 公式三：（） ' 2 x x
可以直接使用的基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x a , 则f '( x) ax a 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
sin x＋xcos xcos x＋xsin x ＝ cos2x
2
sin xcos x＋x ＝ . cos2x
练习：求下列函数的导数 x＋ 3 1 1 2 x (1)y＝x(x ＋＋ 3)； (2)y＝e sin x； (3)y＝ 2 . x x x ＋3 1 1 1 2 3 解：(1)∵y＝x(x ＋＋ 3)＝x ＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 23. x x x x
2
( x ) (sin x) 2 x cos x
2
3 2 (2)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
3 2 解：g ( x) ( x x 6 x) 2 3 2 3 2 ( x ) ( x ) (6 x ) 3 x 3 x 6 2
3
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
2
2
解 : (2) f ( x) (
x (2)求函数f(x) x 的导数. e x x x
x e x ( e ) ) x x 2 e (e ) x x x x x e x(e ) e xe 1 x x x 2 2x (e ) e e
x 3. y 的导数 sin x
1、已知函数 y＝xlnx （1）求这个函数的导数（2）求这个函数的图像在点 x 1 处的切线方程
【变式训练】
说明:上面的方法中把x换成 x0即为求函数在点x0处的导数.
2.函数f(x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 就是导函数 f ( x )在x= x0处的函数值,即 f ( x0 ) f ( x) |x x0 .这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.
2 y 2 x x x f ( x) ( x 2 ) ' lim lim lim (2 x x) 2 x. x 0 x x 0 x 0 x
公式三：（x ） ' 2x
2
二、几种常见函数的导数
4) 函数y=f(x)=1/x的导数.
公式一：C 0 (C为常数)
二、几种常见函数的导数
2) 函数y=f(x)=x的导数.
解 : y f ( x) x,
y f ( x x) f ( x) ( x x) x x,
y 1, x y f ( x) x ' lim 1. x 0 x
(7) y 3 x; 2
练习：已知函数 f x 的导函数为 f ' x ，且满足 f x 3x 2 xf ' 2 ，
2
则 f ' 5
.
如何用导数解决与切线有关的问题?
设切点
求出切线方程依据题意，代人条件代数求解得到结论
3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 4.求切线方程的步骤：（1）找切点（2）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
二、几种常见函数的导数
根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数.
解 : y f ( x) C,
y f ( x x) f ( x) C C 0,
y 0, x y f ( x) C lim 0. x 0 x
（3）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
曲线的切线问题，是高考的常见题型之主要有以下几类问题：一、已知切点，求曲线的切线
1、函数 y lg x 在点 1,0 处的切线方程是 __________