第4章 被控过程的数学模型(修改)
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根据压力关系：
假定q2与h 近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R2 成反比关
系，则
h q2 R2
阀门阻力，即流量增加 1m2/s时的液位升高量
微分方程与传递函数
综合上述两类关系：
d h q1 q2 A dt h q2 R2
整理得到单容液位过程的微分方程增量表示：
R2 A dh h R2 q1 dt
即：经过 3T 时间，输出已经变化了满幅值的 95％。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。
例2 具有纯滞后的单容对象
在例1中考虑输入液体体积流量为Q0，当进水阀1的开度 产生变化后，需流经长度为l 的管道才能进入水箱，使液位发 生变化。 假设流经长度为l的管道所需时间为τ0，具有纯时延的单 容过程的微分方程和传递函数为：
求法：
y(t ) [ Kx 0 (1-e )]t T
0.632 y∞)
t T
y(T ) Kx 0 (1-e )
-1
T t
0.632 Kx 0
T反映了对象输出对输入的响应速度
T越大，响应越慢。如水槽对象中 T=AR ，说 明水槽面积越大，水位变化越慢。 在相同的 阶跃输入作用
下，对象的时
dh wenku.baidu.com2 A h R2 q0 (t - 0 ) dt
T0=R2A K0=R2
K 0 0 s H ( s) R2 0 s G( s) e e Q1 (s) R2 As 1 T0 s 1
C=A
τ0与l有关
具有纯滞后的单容对象——阶跃响应曲线
q0(t)
具有自平衡能力的双容对象——阶跃响应
q
q1
q2
q3
h
h1 h2
t
具有自平衡能力的双容对象——容量滞后
与单容过程相比，多容过程受到扰动后，被控量h2 的变化速度并不是一开始就最大，而是要经过一段滞后 后才达到最大，即多容过程对于扰动的响应在时间上存 在滞后，称为容量滞后。 产生容量滞后的原因是两个容积之间存在阻力，所 以使h2的响应时间向后推移。
Q2 (s) 1 Q1 (s) C1R2 s 1 R3 H 2 (s) Q2 (s) C2 R3 s 1
阀2
h1 q2 R2
阀3 q3
h2 R3
具有自平衡能力的双容对象——传递函数
令： 水槽1的过程时间常数 T1=R2A1=R2C1
水槽2的过程时间常数 T2=R3A2=R3C2
T R2 C 为被控过程的时间常数
进行拉普拉斯变换， 并写成传递函数形式
K R2
为被控过程的放大系数
H (s) R2 K G( s) Q1 (s) R2Cs 1 Ts 1
C 为被控过程的容量系数，或称 过程容量，这里 C A
列写基本方程式并增量化
根据动态物料平衡关系:
冷水量 水位
蒸发率 汽泡溃灭 水位
进水量大
4.1.3
过程建模方法
1．机理演绎法——白箱方法
根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系， 用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。
2．试验辨识法——黑箱方法
先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的 输出变化量，得到一系列试验数据或曲线，最后再根据输入－ 输出试验数据确定其模型的结构（包括模型形式、阶次与纯滞 后时间等）与模型的参数。
在阶跃输入作用下，输出会 出现多种形式。图中，a)、 b)和c)为振荡过程，d)和e) 为非振荡过程。
4．具有反向特性的过程
对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内， 过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化方向， 则称其为具有反向特性的被控过程。
4．具有反向特性的过程
锅炉汽包水位的变化过程即为典 型的具有反向特性的过程。
4.2.3 多容过程的解析法建模
1.具有自平衡能力的双容对象
例如：分离式双容液位槽
过程输入量为Q1，过程输出量第二个液位槽的液位h2 假设：不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所造成的时间延 迟，求h2与Q1之间的数学关系。
具有自平衡能力的双容对象——微分方程组
根据动态平衡关系，有
dh1 水槽1 q1 q2 C1 dt dh2 水槽2 q2 q3 C2 dt
3. 混合法——灰箱方法
机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种方法
4.2
解析法建立过程的数学模型
4.2.1．解析法建模的一般步骤 1）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2）以物料或能量平衡方程为基本依据,列写基本平衡方程； 3）以基本平衡方程减去起始平衡点的平衡方程（初始 条件），得到增量方程； 4） 整理得到以增量为变量的微分方程标准形式。 4.2.2 单容过程的解析法建模 例1：某单容液位过程，如右图。贮
罐中液位高度h为被控参数,流入贮罐 的体积流量q1为过程的输入量并可通 过阀门1的开度来改变；流出贮罐的 体积流量q2为过程的干扰，其大小可 以通过阀门2的开度来改变。试确定q1 与h之间的数学关系?
解
根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位 时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率
具有自衡特性的过程及其响应曲线
无自衡过程及其阶跃响应曲线
自平衡特性其传递函数的典型形式有： 无平衡特性其传递函数的典型形式有： 一阶惯性环节 G ( s )
K (Ts 1)
一阶环节 二阶环节
1 G (s) Ts
G( s) 1 T1s(T2 s 1)
二阶惯性环节 G( s)
一阶惯性+ 纯滞后环节 二阶惯性+ 纯滞后环节
拉氏变换，得到传递函数形式：
H ( s) R2 G( s) Q1 ( s) R2 As 1
微分方程与传递函数
令：过程的时间常数 T=R2A=R2C 过程的放大系数 K=R2
过程的容量系数 C=A
则：
容量：贮存能力大小， 即引起单位被控量变 化时，被控过程贮存 量变化程度。
H ( s) R2 K G( s) Q1 ( s) R2 As 1 Ts 1
双容自衡过程可以采用二阶环节加以描述。
具有自平衡能力的双容对象——对象框图
水槽1的输入量/ 输出量之间的动 态平衡关系
阀2的静压 力关系
水槽2的输入量/ 输出量之间的动 态平衡关系
Q 1 ( s)
1 H1(s) 1 Q2 (s) c1 s R2
Q 3 ( s)
1 c2 s
H2(s)
1 R3
阀3的静 压力关系
则有： q1 q2 A dh
dt
写为增量形式为
d h q1 q2 A dt
其中 q1 q2
h 分别为偏离某平衡状态的增量。A为贮罐的截面积 假定 q2与 h 近似成正比,而与阀门2的液阻 R2 成反比
d h R2 A h R2q1 dt
h ,带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式 则有 q2 R2 其中：
h(t)
t
例3 无自衡能力的单容对象
考虑例1中输出液体体积流量Q2通过定量泵来调节， 液位 高度变化时，出口处静压力不会对泵产生影响，Q2不变。 解 根据动态物料平衡关系: q1 q2 A dh 定量泵导致: q2 0
dt
整理后得到其增量化方程为：q1 A dh 得到其传递函数为：
间常数不同时，
被控变量的响
应曲线如图所 示。
T也反映了过渡过程时间
y∞)
被控变量变化到新的稳态 值所需要的时间理论上需要无 限长。 t
y(t ) Kx 0 (1-e T )
T
3T
t
当t→∞时，才有y＝Kx0
-3
，但是当t
=3T 时，便有：
y(3T ) Kx 0 (1-e ) 0.95Kx 0 0.95y( )
dh q1 q2 A dt
单位时间内水箱内液体流入 量与流出量之差 水箱截 面积
水箱内液体 容量变化率
表示为增量形式有:
q1 , q2 , h—偏离某平衡状态 q
d h q1 q2 A dt
10
, q20 , h0 的增量
静态时： q1 q2
dh 0 dt
消去中间变量
K (T1s 1)(T2 s 1)
Ke s G( s) (Ts 1)
Ke s G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
1 s e 一阶+纯滞后环节 G ( s ) Ts
1 s G ( s ) e 二阶+纯滞后环节 T1s(T2 s 1)
3．振荡与非振荡过程的特性
第4章 被控过程的数学模型
本章要点
1）掌握被控过程机理建模的方法与步骤； 2）熟悉被控过程的自衡和非自衡特性； 3）掌握单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表 达式； 4）重点掌握被控过程基于阶跃(方波)响应的建模步骤、 作图方法和数据处理； 5）熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会 用MATLAB语言编写算法程序。 6）熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用 MATLAB语言编写算法程序。
4.1.2
被控过程的特性
依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、单容特 性与多容特性、振荡与非振荡特性等 1．有自衡特性和无自衡特性
当原来处于平衡状态的过程受到干扰时，其 输出量在无人或无控制装置的干预下，能够自动 恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自 衡特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。
过程输出实际上是多个输 入的函数，每个输入对被控量 的影响都是不一样的，通常选 用一个可控性良好的输入作为 控制量，而其他输入被统称为 外部扰动。
过 程 的 数 学 模 型
静态数学模型
动态数学模型
被控过程的数学模型在过程控制中的重要性
1) 全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统 设计的基础。 2) 良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。 3) 数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要 条件 。 4) 通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或 仿真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指 导。 5) 利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的 故障及其原因，并提供正确的解决途径。
4.1 过程建模的基本概念
4.1.1 被控过程的数学模型及其作用
被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述 过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道 控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道 干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道 过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和
单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。
对象框图
水箱的输入量/输出量之 间的动态平衡关系 Q 1 ( s)
1 cs
Q 2 ( s)
H ( s)
1 R2
阀2的静压力关系
阶跃响应曲线
阶跃响应函数：
y(t ) Kx0 (1 et /T )
一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：
K G(s) Ts 1
dt H ( s) 1 G(s) Q1 ( s) Ts
单容非自衡过程可以采用积分环节加以描述。
无自衡能力的单容对象——阶跃响应
无时延非自衡
Q1
有纯时延非自衡
Q0
O t h
O h
t
O
t
O
0
t
意义：进水量增加，出水量不变，液位会升高，直到溢出。
单容过程模型总结
单容控过程中都有一个储存“能量”的环节。 液容 —— 液位控制系统中水箱的储水量 系数为水箱截面积A 热容 —— 温度控制系统中热水所含的热量 系数为热水质量与比热的乘积Gcp 电容 —— 电压控制系统系统中的电容 系数为电容量C 有自衡特性的单容过程是一阶惯性环节，无自衡特性的 是一个积分环节。
x x0
放大倍数K的物理意义
y
t
K 表明了稳态时，输出 对输入的放大倍数 。求法：
y(∞ )
K = y(∞ ) / x0
t
K 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。
时间常数T的物理意义 对象受到阶跃输入后，输出达到新的稳态值 的63.2％所需的时间，就是时间常数T。 或对象受到阶跃输入后，输出若保持初始速 度变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。
过程的放大系数 K=R3 获得双容液位过程的传递函数为
R3 Q2 (s) H 2 (s) G( s) Q1 (s) Q2 (s) C1R2 s C2 R3 s C2 R3 s C1R2 s 1 K K T1T2 s 2 (T1 T2 ) s 1 (T1s 1)(T2 s 1)
假定q2与h 近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R2 成反比关
系，则
h q2 R2
阀门阻力，即流量增加 1m2/s时的液位升高量
微分方程与传递函数
综合上述两类关系：
d h q1 q2 A dt h q2 R2
整理得到单容液位过程的微分方程增量表示：
R2 A dh h R2 q1 dt
即：经过 3T 时间，输出已经变化了满幅值的 95％。这时，可以近似地认为动态过程基本结束。
例2 具有纯滞后的单容对象
在例1中考虑输入液体体积流量为Q0，当进水阀1的开度 产生变化后，需流经长度为l 的管道才能进入水箱，使液位发 生变化。 假设流经长度为l的管道所需时间为τ0，具有纯时延的单 容过程的微分方程和传递函数为：
求法：
y(t ) [ Kx 0 (1-e )]t T
0.632 y∞)
t T
y(T ) Kx 0 (1-e )
-1
T t
0.632 Kx 0
T反映了对象输出对输入的响应速度
T越大，响应越慢。如水槽对象中 T=AR ，说 明水槽面积越大，水位变化越慢。 在相同的 阶跃输入作用
下，对象的时
dh wenku.baidu.com2 A h R2 q0 (t - 0 ) dt
T0=R2A K0=R2
K 0 0 s H ( s) R2 0 s G( s) e e Q1 (s) R2 As 1 T0 s 1
C=A
τ0与l有关
具有纯滞后的单容对象——阶跃响应曲线
q0(t)
具有自平衡能力的双容对象——阶跃响应
q
q1
q2
q3
h
h1 h2
t
具有自平衡能力的双容对象——容量滞后
与单容过程相比，多容过程受到扰动后，被控量h2 的变化速度并不是一开始就最大，而是要经过一段滞后 后才达到最大，即多容过程对于扰动的响应在时间上存 在滞后，称为容量滞后。 产生容量滞后的原因是两个容积之间存在阻力，所 以使h2的响应时间向后推移。
Q2 (s) 1 Q1 (s) C1R2 s 1 R3 H 2 (s) Q2 (s) C2 R3 s 1
阀2
h1 q2 R2
阀3 q3
h2 R3
具有自平衡能力的双容对象——传递函数
令： 水槽1的过程时间常数 T1=R2A1=R2C1
水槽2的过程时间常数 T2=R3A2=R3C2
T R2 C 为被控过程的时间常数
进行拉普拉斯变换， 并写成传递函数形式
K R2
为被控过程的放大系数
H (s) R2 K G( s) Q1 (s) R2Cs 1 Ts 1
C 为被控过程的容量系数，或称 过程容量，这里 C A
列写基本方程式并增量化
根据动态物料平衡关系:
冷水量 水位
蒸发率 汽泡溃灭 水位
进水量大
4.1.3
过程建模方法
1．机理演绎法——白箱方法
根据被控过程的内部机理，运用已知的静态或动态平衡关系， 用数学解析的方法求取被控过程的数学模型。
2．试验辨识法——黑箱方法
先给被控过程人为地施加一个输入作用，然后记录过程的 输出变化量，得到一系列试验数据或曲线，最后再根据输入－ 输出试验数据确定其模型的结构（包括模型形式、阶次与纯滞 后时间等）与模型的参数。
在阶跃输入作用下，输出会 出现多种形式。图中，a)、 b)和c)为振荡过程，d)和e) 为非振荡过程。
4．具有反向特性的过程
对过程施加一阶跃输入信号，若在开始一段时间内， 过程的输出先降后升或先升后降，即出现相反的变化方向， 则称其为具有反向特性的被控过程。
4．具有反向特性的过程
锅炉汽包水位的变化过程即为典 型的具有反向特性的过程。
4.2.3 多容过程的解析法建模
1.具有自平衡能力的双容对象
例如：分离式双容液位槽
过程输入量为Q1，过程输出量第二个液位槽的液位h2 假设：不计第一个与第二个液位槽之间液体输送管道所造成的时间延 迟，求h2与Q1之间的数学关系。
具有自平衡能力的双容对象——微分方程组
根据动态平衡关系，有
dh1 水槽1 q1 q2 C1 dt dh2 水槽2 q2 q3 C2 dt
3. 混合法——灰箱方法
机理演绎法与试验辩识法的相互交替使用的一种方法
4.2
解析法建立过程的数学模型
4.2.1．解析法建模的一般步骤 1）明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2）以物料或能量平衡方程为基本依据,列写基本平衡方程； 3）以基本平衡方程减去起始平衡点的平衡方程（初始 条件），得到增量方程； 4） 整理得到以增量为变量的微分方程标准形式。 4.2.2 单容过程的解析法建模 例1：某单容液位过程，如右图。贮
罐中液位高度h为被控参数,流入贮罐 的体积流量q1为过程的输入量并可通 过阀门1的开度来改变；流出贮罐的 体积流量q2为过程的干扰，其大小可 以通过阀门2的开度来改变。试确定q1 与h之间的数学关系?
解
根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位 时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率
具有自衡特性的过程及其响应曲线
无自衡过程及其阶跃响应曲线
自平衡特性其传递函数的典型形式有： 无平衡特性其传递函数的典型形式有： 一阶惯性环节 G ( s )
K (Ts 1)
一阶环节 二阶环节
1 G (s) Ts
G( s) 1 T1s(T2 s 1)
二阶惯性环节 G( s)
一阶惯性+ 纯滞后环节 二阶惯性+ 纯滞后环节
拉氏变换，得到传递函数形式：
H ( s) R2 G( s) Q1 ( s) R2 As 1
微分方程与传递函数
令：过程的时间常数 T=R2A=R2C 过程的放大系数 K=R2
过程的容量系数 C=A
则：
容量：贮存能力大小， 即引起单位被控量变 化时，被控过程贮存 量变化程度。
H ( s) R2 K G( s) Q1 ( s) R2 As 1 Ts 1
双容自衡过程可以采用二阶环节加以描述。
具有自平衡能力的双容对象——对象框图
水槽1的输入量/ 输出量之间的动 态平衡关系
阀2的静压 力关系
水槽2的输入量/ 输出量之间的动 态平衡关系
Q 1 ( s)
1 H1(s) 1 Q2 (s) c1 s R2
Q 3 ( s)
1 c2 s
H2(s)
1 R3
阀3的静 压力关系
则有： q1 q2 A dh
dt
写为增量形式为
d h q1 q2 A dt
其中 q1 q2
h 分别为偏离某平衡状态的增量。A为贮罐的截面积 假定 q2与 h 近似成正比,而与阀门2的液阻 R2 成反比
d h R2 A h R2q1 dt
h ,带入增量式中可得单容液位过程的微分方程增量式 则有 q2 R2 其中：
h(t)
t
例3 无自衡能力的单容对象
考虑例1中输出液体体积流量Q2通过定量泵来调节， 液位 高度变化时，出口处静压力不会对泵产生影响，Q2不变。 解 根据动态物料平衡关系: q1 q2 A dh 定量泵导致: q2 0
dt
整理后得到其增量化方程为：q1 A dh 得到其传递函数为：
间常数不同时，
被控变量的响
应曲线如图所 示。
T也反映了过渡过程时间
y∞)
被控变量变化到新的稳态 值所需要的时间理论上需要无 限长。 t
y(t ) Kx 0 (1-e T )
T
3T
t
当t→∞时，才有y＝Kx0
-3
，但是当t
=3T 时，便有：
y(3T ) Kx 0 (1-e ) 0.95Kx 0 0.95y( )
dh q1 q2 A dt
单位时间内水箱内液体流入 量与流出量之差 水箱截 面积
水箱内液体 容量变化率
表示为增量形式有:
q1 , q2 , h—偏离某平衡状态 q
d h q1 q2 A dt
10
, q20 , h0 的增量
静态时： q1 q2
dh 0 dt
消去中间变量
K (T1s 1)(T2 s 1)
Ke s G( s) (Ts 1)
Ke s G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
1 s e 一阶+纯滞后环节 G ( s ) Ts
1 s G ( s ) e 二阶+纯滞后环节 T1s(T2 s 1)
3．振荡与非振荡过程的特性
第4章 被控过程的数学模型
本章要点
1）掌握被控过程机理建模的方法与步骤； 2）熟悉被控过程的自衡和非自衡特性； 3）掌握单容过程和多容过程的阶跃响应曲线及解析表 达式； 4）重点掌握被控过程基于阶跃(方波)响应的建模步骤、 作图方法和数据处理； 5）熟悉被控过程的一次完成最小二乘建模方法，学会 用MATLAB语言编写算法程序。 6）熟悉被控过程的递推最小二乘建模方法，学会用 MATLAB语言编写算法程序。
4.1.2
被控过程的特性
依据过程特性的不同分为自衡特性与无自衡特性、单容特 性与多容特性、振荡与非振荡特性等 1．有自衡特性和无自衡特性
当原来处于平衡状态的过程受到干扰时，其 输出量在无人或无控制装置的干预下，能够自动 恢复到原来或新的平衡状态，则称该过程具有自 衡特性，否则，该过程则被认为无自衡特性。
过程输出实际上是多个输 入的函数，每个输入对被控量 的影响都是不一样的，通常选 用一个可控性良好的输入作为 控制量，而其他输入被统称为 外部扰动。
过 程 的 数 学 模 型
静态数学模型
动态数学模型
被控过程的数学模型在过程控制中的重要性
1) 全面、深入地掌握被控过程的数学模型是控制系统 设计的基础。 2) 良好数学模型的建立是控制器参数确定的重要依据。 3) 数学建模是仿真或研究、开发新型控制策略的必要 条件 。 4) 通过对生产工艺过程及相关设备数学模型的分析或 仿真，可以为生产工艺及设备的设计与操作提供指 导。 5) 利用数学模型可以及时发现工业过程中控制系统的 故障及其原因，并提供正确的解决途径。
4.1 过程建模的基本概念
4.1.1 被控过程的数学模型及其作用
被控过程的数学模型是指过程的输入变量与输出变量之间定量关系的描述 过程的输入变量至输出变量的信号联系称为通道 控制作用至输出变量的信号联系称为控制通道 干扰作用至输出变量的信号联系称为干扰通道 过程的输出为控制通道与干扰通道的输出之和
单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。
对象框图
水箱的输入量/输出量之 间的动态平衡关系 Q 1 ( s)
1 cs
Q 2 ( s)
H ( s)
1 R2
阀2的静压力关系
阶跃响应曲线
阶跃响应函数：
y(t ) Kx0 (1 et /T )
一阶对象的特性参数都具有明显的物理意义：
K G(s) Ts 1
dt H ( s) 1 G(s) Q1 ( s) Ts
单容非自衡过程可以采用积分环节加以描述。
无自衡能力的单容对象——阶跃响应
无时延非自衡
Q1
有纯时延非自衡
Q0
O t h
O h
t
O
t
O
0
t
意义：进水量增加，出水量不变，液位会升高，直到溢出。
单容过程模型总结
单容控过程中都有一个储存“能量”的环节。 液容 —— 液位控制系统中水箱的储水量 系数为水箱截面积A 热容 —— 温度控制系统中热水所含的热量 系数为热水质量与比热的乘积Gcp 电容 —— 电压控制系统系统中的电容 系数为电容量C 有自衡特性的单容过程是一阶惯性环节，无自衡特性的 是一个积分环节。
x x0
放大倍数K的物理意义
y
t
K 表明了稳态时，输出 对输入的放大倍数 。求法：
y(∞ )
K = y(∞ ) / x0
t
K 越大，表示对象的输入对输出的影响越大。
时间常数T的物理意义 对象受到阶跃输入后，输出达到新的稳态值 的63.2％所需的时间，就是时间常数T。 或对象受到阶跃输入后，输出若保持初始速 度变化到新的稳态值所需时间就是时间常数。
过程的放大系数 K=R3 获得双容液位过程的传递函数为
R3 Q2 (s) H 2 (s) G( s) Q1 (s) Q2 (s) C1R2 s C2 R3 s C2 R3 s C1R2 s 1 K K T1T2 s 2 (T1 T2 ) s 1 (T1s 1)(T2 s 1)