高三解析几何双曲线教师版

圆锥曲线（2）教师版双曲线一、双曲线的定义㈠平面内到两个定点的距离差等于定值且该定值小于这两个定点的距离的点的轨迹为双曲线 ㈡符号语言: 已知FF 21,为平面上两个定点若()F F F Fa a P P2121202||<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线注；单支双曲线的定义 已知FF 21,为x 轴上的两个定点且FF 21在左侧①若()F F F F a a P P 2121202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的右支 ②若()F F F Fa a P P2112202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的左支双曲线位置的判定 方程()()()N m ym x m m m m *∈=--+--22222935220113表示双曲线⑴求m⑵求双曲线焦点坐标及渐近线方程 典例求双曲线标准方程⎪⎩⎪⎨⎧轨迹方程法待定系数法几何法㈠几何法：求实半轴a 及虚半轴b注：双曲线定位条件：双曲线上点的坐标，焦点位置，渐进线方程，若题中无定位条件可以利用换轴法写方程，反之不行例已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的一条渐近线为y=kx （k>0）离心率为k e 5=则双曲线标准方程A 、142222=-a y a x B 、152222=-ay a xC 、142222=-b y b x D 、152222=-by b x答案：C练习：1、已知圆C ：084622=+--+y x yx ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和定点，则适合该条件的双曲线的标准方程为答案：112422=-yx2、已知双曲线中心在原点，焦点FF 21,，离心率为2，且过点()10,4-⑴求双曲线的方程⑵若点M （3,m ）在双曲线上，求证：012=⋅→→F M F M⑶求FF M 21∆的面积答案；⑴622=-yx ,⑶63、过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 提示：用通径算 答案：2㈡待定系数法:①已知双曲线上两个点坐标双曲线方程可设为()0122<⋅=-B A B Ay x②已知双曲线的渐近线方程为0=±By Ax 则与它对应的双曲线标准方程可设为()02222≠=-λλyB x A例1求经过点P （3,415），且一条渐近线为4x+3y=0的双曲线标准方程 答案：116922=-yx例2双曲线的渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐进线的距离为3，求双曲线的标准方程 提示：分类讨论方法处理，找到渐进线的倾斜角直接可求c答案：19271932222=-=-xy y x 或㈢轨迹方程法（定义法） 例已知动圆M 与圆()24:221=+-yC x 外切，与圆()24:222=+-yC x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程圆C1的圆心C1（-4,0）半径21=r,圆C 2的圆心C 2（-4,0）半径22=r设动圆的半径为r,r r CC 21218+>=故圆C 1与圆C 2外离如图所示圆M 与圆C 1外切故r Cr M 11+=,圆M 与圆C 2外切故r C r M 22-=a M M C C 22221==-∴M 点轨迹为以C C 21,为左右焦点的双曲线的右支∴()2114222≥=-x yx注：当遇到利用定义法求曲线轨迹方程涉及圆内切问题时，一定要分析两已知圆的位置关系，只有这样才能知道动圆与圆C2哪个是大圆哪个是小圆练习1：设椭圆C1的离心率是135，焦点在x 轴上且长轴长26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为,答案：191622=-yx2、双曲线116922=+yx的两个焦点为F F 21,，点P 在双曲线上，若F F P p 21⊥，则P 到x 轴的距离是提示：双曲线定义+等积法,答案：5163、F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点，P 在双曲线上，若ac F P F P F P F P 221,021==⋅→→→→（c 为半焦距），则双曲线的离心率为 答案；251+ 三、双曲线的几何性质 例F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P ，使022=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→→→P F F O OP ，且F P F P 231→→=，则双曲线的离心率是解：根据向量加法的平行四边形法则作F O OP OM 2→→→+=显然四边形F OPM 2为菱形∴F OP 2∆为直角三角形例FF 21,是双曲线1322=-y x的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若F P F P 2413→→=，则F F P 21∆的面积等于 练习：过双曲线()012222>>=+a b bya x 的左焦点F （-c,0）（c>0）作圆ay x 222=+的切线切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若⎪⎭⎫⎝⎛+=→→→OP OF OE21（O 为坐标原点）则双曲线的离心率为 A 、5 B 、3 C 、25 D 、26显然 OE 为B FRt F'∆的中位线，∴a B F 2'=又c F F 2'=由勾股定理及b a c 222+=，则BF=2b 又由双曲线定义知b=2a 可求e由双曲线定义四、直线与双曲线的位置关系㈠从几何角度探讨直线与双曲线的位置关系问题1：直线与双曲线重合时，直线与双曲线有几个交点？问题2：直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线有几个交点？能不能出现下面几种情况？归纳：当直线与双曲线渐进线平行时，直线与双曲线有唯一交点问题3：直线与双曲线相切时，能不能出现下面两种情况？归纳：直线与双曲线相切，直线与双曲线有唯一交点问题4：直线与双曲线相交最多有几个交点？把直线方程和双曲线方程联立消元（消y ）得到的方程02=++C Bx Ax最多两个根，故直线和双曲线最多有两个交点。

当直线和双曲线有两个交点时，直线和单支有两个交点或与两支一边一个交点如下图当直线与双曲线无交点时㈡从代数角度探讨直线与双曲线的位置关系1、 首先考虑斜率存在的直线l 与双曲线的位置关系 设斜率存在的直线方程为l:y=kx+m,双曲线方程为()0,012222>>=-b a by a x⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222by a x mkx y ()02222222222=----m a b a a x k a b x km⑴当x abk k ab ±==-即0222时 ⅰ）当m=0时直线与双曲线渐近线重合，直线与双曲线无交点 ⅱ）当0≠m 直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线有唯一交点 ⑵当0222≠-kab时点直线与双曲线相交于两⇔>∆0 点直线与双曲线相切于一⇔=∆0 直线与双曲线无交点⇔<∆02、 当直线斜率不存在时联立方程求交点或数形结合判断直线与双曲线的位置关系注：①直线与双曲线有两个交点的条件：首先保证直线与双曲线渐近线不平行也不重合，再把直线方程与双曲线方程联立消元得到的二次方程的判别式大于②上面两种方法讨论直线与整条双曲线的关系当直线与双曲线相交于两点时，有时问题特别强调这两个交点的位置例直线与双曲线的左支有两个交点，与右支有两个交点或者与左右两支一边一个交点解题思路：将直线方程和双曲线方程联立消元（消去取值范围为R 的变量）再利用yy x x 2121⋅⋅或讨论问题例1：已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右交点为F ，若过F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的范围师生活动：在双曲线右支内取点任取一点M ，先过F 作与渐进线平行的直线①过F 的直线与渐进线平行时即k k k k ll ll21==或，直线与双曲线有唯一交点②过F 的直线落在阴影内时即k k k l l l 12<<或写成abkl<，直线与双曲线的两支一边一个交点 ③过F 的直线落在空白处时即k k k kl l l l21<>或或写成abk l >，直线与双曲线的右支有两个交点同理我们也可以讨论在双曲线左支内取点的情况教学建议；对于讨论直线与双曲线位置关系问题，就题论题，不要编造一些匪夷所思的问题自己折磨自己， 答案；[)+∞,2练习1；设离心率为e 的双曲线()0,012222>>=-b a by a x 右焦点为F ，斜率为k 的直线过F ，且与双曲线的左右两支以及y 轴的交点分别为R ，P ，Q ⑴试比较k e221+与的大小⑵若P 为FQ 中点，且ek=2,求e解⑴斜率为k 的直线过F ，且与双曲线的左右两支各有一个交点则12222-=<⇒<e ba k ab k⑵利用直线方程求出F ，Q 的坐标，利用F ，Q 的坐标表示P 点坐标，将P 点坐标代入双曲线，联立ek=2可求e=5练习2已知双曲线()0,012222>>=-b a by a x 与直线y=2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围是提示几何法 答案；5>e例2：已知双曲线C 中心在原点，而且右焦点为F （2,0）右顶点为()0,3⑴求双曲线C 的方程⑵若直线l:2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同交点A 和B ，且2>⋅→→OB OA ，其中O 为坐标原点，求k的取值范围 解⑴答案：1322=-y x⑵⎪⎩⎪⎨⎧=-+=33222y x kx y ()09263122=---kx x k0363603122>-=∆≠-k k 且∴1122<≠k k且①22121>+=⋅→→y y x x OB OA()()()2222212122121+++=++=x x xx k x x y y k k k∴()()02121212>+++x x xx k k∵139,3126221221-=-=+k x x kx x k∴0311213992222>-+-+kkk k∴3312<<k 结合①1312<<k 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈1,3333,1k设计说明：在本题中给出向量关系式，在有些问题中可以自己创造向量垂直条件，如下题 例3已知双曲线()0,012222>>=-b a bya x 的离心率为332=e ，过点A （0，-b ）和（a,0）的直线与原点的距离为23 ⑴求双曲线方程⑵直线y=kx+m （0,0≠≠m k ）与该双曲线交于不同两点C ，D 且C ，D 都在以A 为圆心的同一个圆上，求m 的范围 解⑴1322=-y x⑵如图设M 为CD 中点，显然CD AM →→⊥以下略答案：0414<<->m m 或 注：不要忘记检验直线与双曲线相交于两点条件设计说明：建模方法除了向量法外，还有弦长公式 四、双曲线的弦长公式㈠若将斜率存在的直线方程l:y=kx+m 与双曲线方程联立消元（消y ）后得到方程02=++C Bx A x弦长AAB k∆+=21 若将斜率存在的直线方程l:y=kx+m 与双曲线方程联立消x 得到方程02=++C By A y弦长公式为AAB k∆+=211 ㈡当直线的斜率不存在时先求直线与双曲线的交点再求弦长 注： 不要忘记检验直线与双曲线相交于两点条件例：求两条渐近线为02=±y x 且截直线x-y-3=0所得弦长为338的双曲线方程 提示：利用渐近线设出双曲线方程再求弦长 答案；1422=-y x综合练习：1、 双曲线12222=-by a x 与12222=+ax b y 的离心率e e 21与，则e e 21+最小值为答案：22 2、 方程c b ay x=+22表示双曲线是ab<0的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 答案：D3、 双曲线的渐进线为034=±x y ，则双曲线的离心率为 答案：3545或 4、F F 21,是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的两个焦点,A,B 是以O 为圆心，以F O 1的圆与该双曲线左右两支的两个交点，且AB F 2∆为等边三角形，则双曲线的离心率为答案：31+5、FF 21,是双曲线1922=-y x左右焦点，若点P 在双曲线上，且021=⋅→→F P F P ，则=+→→F P F P 21,答案：1026、设双曲线()0,012222>>=-b a bya x 的两条渐近线与实轴的夹角为θ，而离心率[]2,2∈e ，则θ的取值范围,答案：⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,2ππ 7、FF 21,是双曲线()0,012222>>=-b a bya x 的两个焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B两点，若FAB2为锐角三角形，则离心率e 的范围是要想FAB2为锐角三角形,只需⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠2,02πB A F ，∴⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ ∴()1,0tan 22∈==ac c a b bθ∴1110222<-⇒<-<eac eac∴211+<<e7抛物线一、抛物线定义1、文字语言：到定点的距离与到直线距离相等点的轨迹为以定点为焦点，以定直线为准线的抛物线（定直线不过定点）2、符号语言：F 为定点，l 为定直线 若()l F l P d PF ∉=1,则P 点轨迹为以P 为焦点，以l 为准线的抛物线注：PF 长为焦半径，焦半径数值上等于()l P d ,二、抛物线的几何性质注：①一次项定轴，一次项为x ，焦点在x 轴上；一次项为y,焦点在y 轴上②一次项系数定开口方向⎩⎨⎧<>开口向左或向下开口向上或向右00t t③抛物线的通径：过焦点与对称轴垂直的弦的弦长=|t|练习1对于顶点在原点的泡物线，给出下列条件① 焦点在y 轴上②焦点在x 轴上③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为6④抛物线的通径长为5⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）能满足抛物线方程x y102=的条件是 答案：②⑤练习2已知椭圆12222=+by a x 的一条通径与抛物线()022>=p px y 的通径重合，则椭圆的离心率答案：12-典例一、求抛物线标准方程：㈠ 几何法（求t ）练习：1、若抛物px y 22=的焦点与椭圆12622=+yx 的右焦点重合，则P 的值为答案：42、抛物线()042>=m mx y的焦点到双曲线191622=-yx 的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的标准方程为 答案：x y202=3、在平面直角坐标系xOy 中有一定点A （2,1），若线段OA 的垂直平分线过抛物线()022>=p px y的焦点，则该抛物线的准线方程是 答案：l:45-=x 4、若双曲线1163222=-pyx 的左焦点在抛物线px y 22=的准线上，求抛物线标准方程答案：x y82=5、设椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的标准方程为 答案：1121622=+yx6、抛物线的焦点是双曲线14491622=-y x的左顶点，求抛物线的标准方程答案：x y122-=7、设抛物线m x y=2的准线与直线x=1的距离为3，则抛物线方程提示：314=--m则m=8或-16 8、在直角坐标系xoy 中，椭圆()012222>>=+b a bya x 的左右交点为F F F 221,,也是抛物线x y 42=的交点，点M 为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且352=FM，求椭圆方程,答案：13422=+y x ㈡待定系数法例1已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A （m,-3）到焦点F 的距离为5，求m 注；利用抛物线上点的坐标可确定抛物线的开口方向 在本题中抛物线开口可能向下，向右或向左 ⑴当抛物线开口向下，设抛物线标准方程为()02<=t ty x43t PF -==5∴t=-8∴抛物线标准方程为y x 82-=,将A 点坐标代入可求m=62± ⑵当抛物线的对称轴为x 轴时，设抛物线标准方程为()02≠=t tx y|4|t m PF +==5 又A 在抛物线上 ∴9=mt 解得m=2921或 练习 ：1、顶点在原点，关于坐标轴对称，且过点（2，-3）的抛物线标准方程是 答案：y x x y342922-==或 2、抛物线的焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于A 点，|AF|=5，求抛物线标准方程 答案：x x y y18222±=±=或㈢轨迹方程法：定义法若点P 到直线x=-1的距离比它到点（2,0）距离小1，则点P 的轨迹 解：如图P 到直线l:x=-2的距离和它到点（2,0）距离相等 故P 点轨迹是以F （2,0）为焦点，以l:x=-2为准线的抛物线二、抛物线的几何性质 例；以抛物线()022>=p px y的焦半径|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系设PF 中点为M ，P （x,y ），2px PF += ()PF p x y M d 21221,=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=轴∴以抛物线()022>=p px y的焦半径|PF|为直径的圆与y 轴相切结论：设P 是抛物线()02≠=t tx y上任意一点，则以此抛物线焦半径|PF|为直径的圆与y 轴相切。