高三解析几何双曲线教师版

圆锥曲线（2）教师版

双曲线

一、双曲线的定义

㈠平面内到两个定点的距离差等于定值且该定值小于这两个定点的距离的点的轨迹为双曲线 ㈡符号语言: 已知

F

F 2

1

,为平面上两个定点

若(

)F F F F

a a P P

2

1

21

202||<

<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线

注；单支双曲线的定义 已知

F

F 2

1

,为x 轴上的两个定点且

F

F 2

1在左侧

①若()F F F F a a P P 2

1

21

202<<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的右支 ②若(

)F F F F

a a P P

2

1

12

202<

<=-则P 点轨迹为以F F 21,为焦点的双曲线的左支

双曲线位置的判定 方程()()(

)

N m y

m x m m m m *

∈=--+--2

2

2

2

2

935220113

表示双曲线

⑴求m

⑵求双曲线焦点坐标及渐近线方程 典例

求双曲线标准方程⎪⎩

⎪

⎨⎧轨迹方程法待定系数法几何法

㈠几何法：求实半轴a 及虚半轴b

注：双曲线定位条件：双曲线上点的坐标，焦点位置，渐进线方程，若题中无定位条件可以利用换轴法写方程，反之不行

例已知双曲线()0,012

2

2

2>>=-b a b

y a x 的一条渐近线为y=kx （k>0）离心率为k e 5=则双曲线标准方程

A 、1422

2

2

=-

a y a x B 、1522

2

2

=-a

y a x

C 、142

2

2

2

=-b y b x D 、152

2

2

2

=-b

y b x

答案：C

练习：1、已知圆C ：

08462

2

=+--+

y x y

x ，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和定点，

则适合该条件的双曲线的标准方程为

答案：

112

4

2

2

=-

y

x

2、已知双曲线中心在原点，焦点F

F 2

1

,，离心率为2，且过点()

10,4-

⑴求双曲线的方程

⑵若点M （3,m ）在双曲线上，求证：012=⋅→

→F M F M

⑶求F

F M 21∆

的面积

答案；⑴

62

2

=-y

x ,⑶6

3、过双曲线

()0,012

2

2

2>>=-b a b

y a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直

径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为 提示：用通径算 答案：2

㈡待定系数法:

①已知双曲线上两个点坐标双曲线方程可设为()012

2

<⋅=-B A B A

y x

②已知双曲线的渐近线方程为0=±By Ax 则与它对应的双曲线标准方程可设为

()02

2

2

2

≠=-λλy

B x A

例1求经过点P （

3,4

15），且一条渐近线为4x+3y=0的双曲线标准方程 答案：

116

9

2

2

=-

y

x

例2双曲线的渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐进线的距离为3，求双曲线的标准方程 提示：分类讨论方法处理，找到渐进线的倾斜角直接可求c

答案：

19

27

19

32

2

2

2

=-

=-x

y y x 或

㈢轨迹方程法（定义法） 例已知动圆M 与圆()24:2

2

1=+-y

C x 外切，与圆()24:2

2

2=+

-y

C x 内切，求动圆圆心M 的轨迹方程

圆

C

1

的圆心

C

1

（-4,0）半径

21

=r

,圆C 2的圆心C 2（-4,0）半径22=r

设动圆的半径为r,r r C

C 212

1

8+>=故圆C 1与圆C 2外离

如图所示

圆M 与圆

C 1

外切故r C

r M 11

+=,圆M 与圆C 2外切故r C r M 22-=

a M M C C 22221==-

∴M 点轨迹为以

C C 2

1,为左右焦点的双曲线的右支∴()

2114

22

2

≥=-x y

x

注：当遇到利用定义法求曲线轨迹方程涉及圆内切问题时，一定要分析两已知圆的位置关系，只有这样才能知道动圆与圆

C

2

哪个是大圆哪个是小圆

练习1：设椭圆

C

1

的离心率是13

5

，焦点在x 轴上且长轴长26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点距离差的绝对值等于8，则曲线

C

2

的标准方程为,答案：19

16

2

2

=-

y

x

2、双曲线

116

9

2

2

=+

y

x

的两个焦点为F F 21,，点P 在双曲线上，若F F P p 21⊥，则P 到x 轴的距离是

提示：双曲线定义+等积法,答案：

5

16

3、F F 21,是双曲线()0,012

2

22

>>=-b a b

y a x 的两个焦点，P 在双曲线上，若

ac F P F P F P F P 221,021==⋅→

→

→→（c 为半焦距）

，则双曲线的离心率为 答案；

2

5

1+ 三、双曲线的几何性质 例

F F 21,是双曲线

()0,012

2

2

2>>=-b a b

y a x 的两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P ，使

022=⋅⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+→

→→P F F O OP ，且F P F P 231→

→

=

，则双曲线的离心率是