状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：xAx Bu y Cx=+=&由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=&闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
状态反馈极点配置基本理论与方法
状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。
状态反馈的极点配置
东南大学自动化学院实验报告课程名称：自动控制基础实验名称：控制系统极点的任意配置院（系）：自动化学院专业：自动化姓名：吴静学号：08008419实验室：实验组别：同组人员：实验时间：2011年4月29日评定成绩：审阅教师：一、实验目的1. 掌握用状态反馈的设计方法实现控制系统极点的任意配置；2. 用电路模拟的方法，研究参数的变化对系统性二、实验原理内容用全状态反馈实现二阶系统极点的任意配置，并用电路模拟的方法予予以实现； 理论证明，通过状态反馈的系统，其动态性能一定会优于只有输出反馈的系统。
设系统受控系统的动态方程为bu Ax x+= cx y =图6-1为其状态变量图。
图6-1 状态变量图令Kx r u -=，其中]...[21n k k k K =，r 为系统的给定量，x 为1⨯n 系统状态变量，u 为11⨯控制量。
则引入状态反馈后系统的状态方程变为bu x bK A x+-=)( 相应的特征多项式为)](det[bK A SI --，调节状态反馈阵K 的元素]...[21n k k k ，就能实现闭环系统极点的任意配置。
图6-2为引入状态反馈后系统的方框图。
图6-2 引入状态变量后系统的方框图实验时，二阶系统方框图如6-3所示。
图6-3 二阶系统的方框图引入状态反馈后系统的方框图如图6-4所示。
根据状态反馈后的性能指标：20.0≤p δ，s 5.0T p ≤，试确定状态反馈系数K1和K2图6-4 引入状态反馈后的二阶系统方框图三、实验步骤1．引入状态反馈前根据图6-3二阶系统的方框图，设计并组建该系统相应的模拟电路，如图6-9所示。
图6-9 引入状态反馈前的二阶系统模拟电路图在系统输入端加单位阶跃信号，用上位机软件观测c(t)输出点并记录相应的实验曲线，测量其超调量和过渡时间。
2．引入状态反馈后请预先根据前面给出的指标计算出状态反馈系数K1、K2。
根据图6-4引入状态反馈后的二阶系统的方框图，设计并组建该系统相应的模拟电路，如图6-10所示。
极点配置法设计状态反馈控制器——自动控制原理理论篇
设计算法--适用于用能控标准形表示的SI系统的算法
a0 f1 0 a1 f 2 1
an1 f n n1
f1 0 a0 f2 1 a1
fn n1 an1
举例
例8-21 设系统的状态空间描述为
x(t)
0 6
1 0 5x(t) 1u(t)
y(t) 2 1x(t)
试求：（1）求状态反馈矩阵F使闭环系统有期望 极点s1,2=-3±2j; (2)绘制带有状态反馈控制器的状态变量图
举例----求解过程
解： 0
B 1
0 1 0 1 AB 6 51 5
rankS
rankB
AB
0 1
1 5
2
系统能控。
举例----求解过程
期望闭环系统特征多项式为：
(s s1)(s s2 ) (s 3 2 j)(s 3 2 j) s2 6s 13
设： F f1 f2
s sI A BF
6 f1
SI系统，所以设 F f1 f2 fn
| sI A BF |
0 1
0 0
s 0
0
s
s
0
a0
0 a1
1
0
1
0
f1
f
2
f
n
an1 1
极点配置法设计状态反馈控制器
——《自动控制原理-理论篇》第8.8节
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
线性系统的状态反馈及极点配置
现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。
2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。
3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。
二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。
若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。
图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。
图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。
图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。
图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
6.2-6.3 反馈控制与极点配置-系统镇定
n 1
状态反馈极点配置定理(6/6)
如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为 f*(s) sn a1*sn-1 … an*
那么,只需令fK(s) f*(s),即取
a1 kn a1*, , an k1 an* 则可将状态反馈闭环系统K(ABK, B, C)的极点配置在特 征多项式f*(s)所规定的极点上 即证明了充分性 同时, 我们还可得到相应的状态反馈阵为 K=[k1 k2 … kn] 其中
能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的
镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内
镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先, 稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条 件, 是对控制系统的最基本的要求; 其次, 许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设 计目标;
系统镇定(2/2)
SISO系统状态反馈极点配置方法(5/10)
3. 求反馈律: 因此开环特征多项式
f(s) s22s5,
而由期望的闭环极点1j2所确定的期望闭环特征多项式 f*(s) s22s5,
则得状态反馈阵K为
~ 1 * K K Tc 2 [ a 2 - a 2 [ 5 - ( -5 ) - 7 / 3 a 1 - a 1 ]T c 2
对能控规范II形 馈阵如下
( A, B) 进行极点配置,
求得相应的状态反
*
~ * K an an
an 1 an 1
*
a1 a1
因此, 原系统的相应状态反馈阵K为
~ 1 K KTc 2
SISO系统状态反馈极点配置方法(3/10)
下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法 例6-2 设线性定常系统的状态方程为
自动控制原理学生实验：线性系统的状态反馈及极点配置
实验报告线性系统的状态反馈及极点配置一．实验要求了解和掌握状态反馈的原理，观察和分析极点配置后系统的阶跃响应曲线。
二．实验内容及步骤1．观察极点配置前系统极点配置前系统的模拟电路见图3-3-64所示。
图3-3-64 极点配置前系统的模拟电路实验步骤：注：‘S ST’不能用“短路套”短接！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。
（2）构造模拟电路：按图3-3-64安置短路套及测孔联线，表如下。
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A3单元输出端OUT（Uo）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：将信号发生器（B1）Y输出，施加于被测系统的输入端rt，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（0→+5V阶跃），观察Y从0V阶跃+5V时被测系统的时域特性。
等待一个完整的波形出来后，点击停止，然后移动游标测量其调节时间ts。
实验图像：由图得ts=3.880s 2.观察极点配置后系统 极点的计算：受控系统如图所示，若受控系统完全可控，则通过状态反馈可以任意配置极点。
受控系统设期望性能指标为：超调量M P ≤5%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1095.01t 707.0%5eM n n 2n p 1/p 2=≥⇒≤-==⇒≤=--ωωζωπζζζπ取因此,根据性能指标确定系统希望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=07.707.707.707.7*2*1j j λλ受控系统的状态方程和输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-----⋅-xC y b x A x μ式中][01,10,020120,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----C b A x x x系统的传递函数为：202020a S a S βS β)(2012010++=+++=S S S G受控制系统的可控规范形为：[][]020T C C b T b a a T A T A X T X X C Y U b X A X K K i o K K KK k K K K ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-===⎩⎨⎧=+=---10111,1020120010T ββ为变换阵），（式中当引入状态反馈阵K K =[K 0K 1]后,闭环系统()K K K K K C b K b A ,,-的传递函数为：()()()01201120120)20(20)(K S K S K a S K a S S S G o ++++=+++++=ββ而希望的闭环系统特征多项为：1001.14))(()(2*2*1**12*++=--=++=S S S S a S a S S f oλλ 令G K (S)的分母等于F #(S),则得到K K 为：[][]9.58010-==K K K k最后确定原受控系统的状态反馈阵K ：由于 1-=T K K k求得和===---111,T C b T b T A T A K k K求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-1102011T所以状态反馈阵为： [][]9.59.91102019.580-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=K极点配置系统如图所示：极点配置后系统根据极点配置后系统设计的模拟电路见下图所示。
状态反馈与闭环极点配置
16
§3.2-2 单输入系统的极点配置 确定反馈增益阵 K 为
1 ⎤ ⎡0 0 ˆ −1 = [ −4 66 14] ⎢0 1 −12 ⎥ K = KT ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 −18 144 ⎥ ⎦ = [14 −186 1220]
− 1 ± j.
则 A + BK 的特征值为 −2,
17
§3.2-3 多输入系统的极点配置 分两种情形进行讨论。 (1) A 为循环矩阵 A 为循环矩阵，则必有向量 引理3.1 若 ( A, B ) 能控， α ∈ \ p×1 , 使得 ( A, Bα ) 单输入能控。 证明：因为 A 为循环矩阵，故 A 的互异特征根各自对应 一个若当块，设 λ1 , λ 2 , " λσ 为 A 的互异特征值,对( A, B ) 进行非奇异线性变换，令
的系数。
使得
9
§3.2-2 单输入系统的极点配置 令 则由
ˆ = KT = [k K 0
k1 " kn −1 ]
(3.2.7)
ˆ ˆ = T −1 AT + T −1bKT = T −1 ( A + bK )T ˆ + bK A ˆK ˆ +b ˆ 与 A + bK 有相同的特征值。 知 A
由(3.2.5), (3.2.7)得
24
§3.2-3 多输入系统的极点配置 证明：必要性：即定理3.4。 充分性：用反证法。设 ( A, B ) 不完全能控，则对其进行 能控性分解
⎡ A11 A12 ⎤ ⎡ B1 ⎤ −1 −1 ˆ ˆ A = T AT = ⎢ , B = T B = ⎢ ⎥ (3.2.18) ⎥ ⎣0⎦ ⎣ 0 A22 ⎦ ( A11 , B1 ) 为完全能控。则对任一状态反馈矩阵 K , 令 ˆ = KT = [ K K ], 则有 K
现代控制理论基础_周军_第五章状态反馈与状态观测器
5.1状态反馈与极点配置一、状态反馈系统的动态方程以单输入-多输出受控对象动态方程为例：(5-1)将对象状态向量通过待设计的参数矩阵即状态反馈行矩阵，负反馈至系统的参考输入，于是存在(5-2)这时便构成了状态反馈系统，见图5-1。
图5-1 状态反馈系统结构图(5-3)(5-4)式中v为纯量，为维向量，为维矩阵，为维向量，为维行矩阵，为维向量，为维矩阵。
为闭环状态阵，为闭环特征多项式。
二、用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是：受控对象能控证明若式(5-1)所示对象可控，定可通过变换化为能控标准形，有若在变换后的状态空间内引维状态反馈矩阵：(5-5)其中分别为由状态变量引出的反馈系数，则变换后的状态反馈系统动态方程为：(5-6)(5-7)式中(5-8)该式与仍为能控标准形，故引入状态反馈后，系统能控性不变。
特征方程为：(5-9)显见，任意选择阵的个元素，可使特征方程的个系数满足规定要求，能保证特征值（即闭环极点）任意配置。
将逆变换代入式(5-6)，可求出原状态空间内的状态反馈系统状态方程：(5-10)与式(5-3)相比，式(5-10)所示对象应引入状态反馈阵为：(5-11)需指出，当受控对象可控时，若不具有能控标准形形式，并不必象如上证明那样去化为能控标准形，只要直接计算状态反馈系统闭环特征多项式，这时，其系数为的函数，与给定极点的特征多项式系数相比较，便可确定。
能控的多输入-多输出系统，经如上类似分析可知，实现闭环极点任意配置的状态反馈阵K为维。
若受控对象不稳定，只要有能控性，完全可由状态反馈配置极点使系统稳定。
状态变量受控情况下，引入状态反馈表示增加一条反馈通路，它能改变反馈所包围环节的传递特性，即通过改变局部回路的极点来改变闭环极点配置。
不能控状态变量与控制量无关，即使引入状态反馈，对闭环极点位置也不会产生任何影响，这是因为传递函数只与系统能控、能观测部分有关的缘故。
若不能控状态变量是稳定的状态变量，那么系统还是能稳定的，否则，系统不稳定。
7.4 状态反馈和极点配置
这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等。 通过使s的同次幂系数相等，可得
7
极点配置定理_充分性
a0 k0 a0
a1 k1 a1
an 1 kn 1 an 1 求解上述方程组，得到 ki
的值，则
K KP 1 [k 0 k1
[ a0 a0 a1 a1
0 1 an1 0
0 0 1 Bc P B 0 1
6
极点配置定理_充分性
设 K KP [k 0 k1 kn 1 ] 由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bc r
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。 ◆最后得到状态反馈增益矩阵K为 K [ a0 a0 a1 a1
1 an 1 an 1 ] P
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
1 0 0 0 , B 0 A 0 0 1 Ax Bu x 5 6 1 1 利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状 态反馈增益矩阵K。
0 0 1 Ac P AP 0 a0
x Ac x Bcu
1 0 0 a1
0 1 0 a2
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值为 1 , 2 , , n ，则 期望的特征方程为
( s 1 )( s 2 )
* n 1 * * ( s n ) s n an s ... a s a 1 1 0 0
an1 1 0 0 1 0 0 0
现代控制理论 极点配置
− −
= [ − − A − ]
= [ − − + ( − )( )]
ഥ−
ഥ
ഥ )]
= [ − (
ഥ −
其中， = , 即 =
这说明对于任意给定的期望极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ ，都可以找到状态反馈矩阵
,
= 2
1 3
满秩，系统是完全能控的，可由状态反馈任意配置系统的闭环极点。
（2）闭环系统的期望特征多项式为 ：
∗ = ( − 1 )( − 2 ) = 2 + 2 + 5
（3）设状态反馈阵为： =
− −
=
−
−2
4Hale Waihona Puke ，则状态反馈控制系统的特征多项式为：
二. 状态反馈极点可配置的条件
定理：线性定常系统
ሶ =A+B ， 0 = ， ≥0
=
可通过状态反馈 = − + 任意配置全部极点的充要条件是系统完全能控。
5.2
极点配置问题
证明：充分性(只讨论单输入单输出系统)
已知系统为完全能控，证明可任意配置极点。
即通过状态反馈必成立 − −
1. 利用非动态输出反馈 = − + ，不能任意地配置系统的全部极点。
以单输入单输出系统为例，设受控系统的传递函数为 ()，则输出反馈系统的传递函
数为:
()
=
1 + ()
因此，闭环系统的根轨迹方程为: 1 + =
当从0到∞ 变化时，就得到了闭环系统的根轨迹。
5.2
极点配置问题
三.单输入单输出系统状态反馈极点配置的算法
极点配置
只要原系统(A，B，C)是能控(见 能控性)的,则这样的反馈增益矩阵K就一定可以找到。反馈 增益矩阵K的 求解，对于单输入单输出情况，已有较为简单的计算公式；对于一般的多输入多输出情况，计算步骤要复杂得多， 往往需要采用计算机来处理。
极点配置
数学术语0103 定Fra bibliotek 05 配置方法
目录
02 意义 04 状态反馈
通过比例环节的反馈把定常线性系统的极点移置到预定位置的一种综合原理。 极点配置的实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。
pole assignment
极点配置定常线性系统的动态特性在很大程度上取决于它的传递函数矩阵（见传递函数）的极点在复数平面 （表示复数 s=x+jy的直角坐标平面）上的位置。
谢谢观看
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
配置方法
如果已知系统的模型或传递函数，通过引入某种控制器，使得闭环系统的极点可以移动到指定的位置，从而 使系统的动态性能得到改善，这种方法称为极点配置法。
有一控制系统其中a>b>0，要求设计一个控制器，使系统稳定， 解：（1）校正前，闭环系统的极点： s-a+s+b=0 s= > 0 因而控制系统不稳定。 （2）在控制对象前串联一个一阶惯性环节， c>0，则闭环系统极点： 显然，当 c-a+1>0,b-ac>0时，系统可以稳定。但此对参数 c的选择依赖于 a、 b。因而，可 选择控制器， c、 d，则有特征方程： 当b+d+c>a，时，系统稳定。 本例由于原开环系统不稳定，因而不能通过简单的零极点相消方式进行控制器的设计，其原因在于控制器的 参数在具体实现中无法那么准确，从而可能导致校正后的系统仍不稳定。
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
状态反馈极点配置方法的研究
实验报告课程线性系统理论基础实验日期2016 年月日专业班级姓名学号同组人实验名称状态反馈极点配制方法的研究评分批阅教师签字一、实验目的1．掌握状态反馈系统的极点配置;2．研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容原系统如图3—2所示。
图中,X1和X2是可以测量的状态变量.图3-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵，使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:（1) 已知:K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤20%，ts≤1秒.(12) 已知：K=1，T=0。
05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤5％,ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统,如图3-3所示：图3—3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。
三、实验环境 MATLAB R2015B四、实验原理(或程序框图）及步骤 (1）实验原理一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。
极点配置有两种方法:①采用变换矩阵T ，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K 后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K;②基于Carlay-Hamilton 理论,它指出矩阵状态矩阵A 满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式)(A 的值，可以推出增益矩阵K ，这种方法推出增益矩阵K 的方程式叫Ackermann 公式。
五、程序源代码（1)num=［10］；den=[1 1 10];[A,B，C,D]=tf2ss（num,den）；p=eig(A)'P=[-3+sqrt（—142)/2；-3—sqrt（—142)/2;] K=place(A,B,P)p=eig(A—B*K)'sysnew=ss（A-B*K，B,C，D）step(sysnew/dcgain(sysnew)）title('极点配置后系统阶跃响应’)num=［10];den=［1 1 10];［A，B，C,D]=tf2ss（num,den)；step(A，B，C，D）title（'极点配置前系统的阶跃响应’）(2)num=[1］；den=[1 1 0.5]；[A,B，C,D]=tf2ss(num,den）;p=eig(A）’P=[—6+sqrt（-36）；-6-sqrt（—36）；］K=place（A，B,P）p=eig(A-B＊K）'sysnew=ss（A—B＊K，B，C，D)step（sysnew/dcgain(sysnew）)title('极点配置后系统的阶跃响应’)num=[1］;den=[1 1 0。
(第11讲)极点配置与状态反馈
Ao P 1 AP, bo P 1b, co cP
第一能观标准型 四川理工自动化教研室
tgq77@
Review
SISO系统第二能控、能观标准型
第二能控标准型 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Ac 0 0 0 1 0 , b c 0, cc b0 b1 b2 b3 b4 0 0 0 0 1 0 a0 a1 a2 a3 a4 1 1 n 1 1 cAn 1
•在外扰下无静差跟踪。如使状态和控制的 二次型积分函数最小，即最优控制。
J (x, u) xT Qx uT Ru dt
0
四川理工自动化教研室
tgq77@
SISO系统的极点配置：问题表述
已知系统方程
x Ax bv y cx
* * 1 , * ,, * 和n个期望闭环极点值 2 n
A
y
四川理工自动化教研室
tgq77@
Review
0 1 Ac 0 0 0
SISO系统第一能控、能观标准型
T Qc b Ab An 1b
第一能控标准型
Ao
0 0 0 a0 1 Ac T 1 AT , b c T 1b, c c cT 0 0 0 0 a1 1 0 0 a2 , b c 0, c c 1 2 3 4 5 0 1 0 a3 0 0 0 0 1 a4 T T T T P 1 Qo c cA cAn1 A ,b c ,c b
u
B
x
A
H
线性系统状态反馈区域极点配置算法研究
线性系统状态反馈区域极点配置算法研究摘要20世纪50年代后期，控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变，现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构，但不同的是，经典控制理论中主要采用输出反馈，而现代控制系统中主要采用内部状态反馈。
状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，从而实现更优的控制。
闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。
这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。
在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，来实现系统的极点配置。
本论文对线性系统的状态反馈区域极点配置的算法进行了研究，分别以具有 稳定裕度和具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计为例，利用线性矩阵不等式LMI处理方法，编写系统的MATLAB仿真程序。
最后以同样的方法对不确定系统状态反馈区域极点配置进行了研究，结果证明了设计方法的正确性和有效性。
关键词：线性系统；状态反馈；极点配置；线性矩阵不等式；不确定系统Algorithmic Research for Regional PoleAssignment of Linear System Via StateFeedback ControllersABSTRACTIn the late 1950s, control theory later by classical control theory to modern control theory shift, modern control theory is introducing state and state space concept developed on the basis of. As with classical control theory, modern control system still mainly uses the feedback control structure, but different is, classical control theory mainly uses the output feedback, and modern control system mainly uses the internal state feedback. State feedback control for system provide more information feedback, so as to achieve better control.The distribution of closed-loop system poles depends on system stability and dynamic quality, therefore, can according to the system dynamic quality request, provisions that poles of close-loop system should have the distribution of the pole, configuration of the system dynamic quality indicators. The position of the poles in the process called poles. In space, the general state method in the feedback system state variables or output variable method to achieve system poles. This thesis studied the algorithm of linear system state feedback regional poles, and respectively by the state feedback controller design of stability margin of and has round domain constraints as examples, by using the linear matrix inequality LMI treatment methods, writing MATLAB simulation program of system. Finally in the same way the uncertain system state feedback regional poles are studied, and the result shows the design method is correct and effective.Key words：Linear system；State feedback；Pole placement；LMI；Uncertain system目录摘要............................................................................................................................................ΙABSTRACT...........................................................................................................................П1 绪论 (1)1.1课题背景及意义 (1)1.2 极点配置简介 (1)1.3 本论文研究的主要工作 (2)2理论基础及数学准备 (3)2.1 区域极点配置问题 (3)2.2 状态反馈 (4)2.3 线性矩阵不等式LMI (6)2.3.1 线性矩阵不等式LMI基本变换引理 (7)2.3.2 LMI工具箱介绍 (8)2.4 本章小结 (10)3线性定常系统状态反馈区域极点配置算法研究 (11)3.1 精确极点配置 (11)3.1.1 问题描述 (11)3.1.2 算法步骤 (12)3.1.3 仿真分析 (12)3.2具有稳定裕度的区域极点配置 (15)3.2.1 问题描述 (16)3.2.2具有稳定裕度的状态反馈控制器设计 (16)3.2.3程序清单 (17)3.2.4仿真结果 (18)3.3具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 (21)3.3.1 问题描述 (21)3.3.2具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 (21)3.3.3 程序清单 (22)3.3.4仿真结果 (23)3.4 本章小结 (26)4 线性不确定系统状态反馈区域极点配置算法研究 (27)4.1 不确定性 (27)4.2线性不确定系统区域极点配置 (27)4.2.1 问题描述 (27)4.2.2 不确定系统区域极点约束的状态反馈控制器设计 (28)4.2.3 仿真分析 (30)4.3 本章小结 (32)结论 (33)致谢 (34)参考文献 (35)1 绪 论1.1 课题背景及意义在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
状态反馈极点配置基本理论与方法
第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。
其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。
图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。
2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。
（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。
（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a) FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。
方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。
最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。
其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。
对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。
状态反馈控制器的设计
状态反馈控制器的设计状态反馈控制器是一种常见的控制器设计方法，用于调节系统的动态响应和稳定性。
它通过测量系统的输出和状态，并将这些信息与期望输出进行比较，来计算出控制器的控制输入。
接下来，我将介绍状态反馈控制器的基本原理、设计步骤和两个常见的设计方法。
状态反馈控制器的基本原理是基于系统的状态反馈，即通过系统的状态变量来进行控制。
在状态反馈控制器的设计中，首先需要确定系统的状态方程或状态空间表达式。
状态方程描述了系统的状态变化关系，通常使用微分方程或差分方程表示。
状态空间表达式则是将系统的状态方程转换为矩阵形式，以便于计算和分析。
设计一个状态反馈控制器包括以下步骤：1.系统建模：首先需要建立系统的数学模型，确定系统的输入、输出和状态变量。
这可以通过物理建模、数学建模或实验数据分析等方法来完成。
系统的模型可以是连续时间模型，也可以是离散时间模型。
2.系统稳定性分析：通过分析系统的特征值或极点，判断系统的稳定性。
如果系统的特征值都位于单位圆内或实部小于零，则系统是稳定的。
3.设计目标确定：根据系统的性能要求和目标，确定设计的指标，例如系统的快速响应、稳定性、误差补偿等。
4.控制器设计：根据系统的状态方程和控制目标，使用控制理论和方法，设计控制器的增益矩阵。
常用的设计方法有极点配置法和最优控制方法。
5.系统闭环仿真：将设计好的控制器与系统模型相连，进行闭环仿真，检验系统在不同工况和干扰下的响应性能。
可以通过调整控制器的参数来优化系统的性能。
接下来，我将介绍两种常见的状态反馈控制器设计方法：极点配置法和最优控制方法。
1.极点配置法：该方法通过选择恰当的状态反馈增益矩阵，使系统的极点移动到预定位置。
首先需要确定期望的系统极点位置，然后使用反馈增益矩阵的公式进行计算和调整。
极点配置法的优点是设计简单，但对系统的模型和性能要求较高。
2.最优控制方法：该方法是基于最优控制理论，对系统的控制性能进行优化设计。
最优控制方法通常需要确定一个性能指标，例如系统的能量消耗、误差最小化等，然后使用最优化算法来计算最优的控制器增益矩阵。
实验二 状态反馈与极点配置
实验二 状态反馈与极点配置一、实验目的a) 掌握状态反馈极点配置的设计方法。
b) 掌握运用模拟运算放大电路实现状态反馈。
c) 验证极点配置理论。
二、实验仪器a) TDN —AC/ACS 型自动控制系统实验箱一台b) 示波器c) 万用表三、实验原理和电路为了更好地达到系统所要求的各种性能指针，需要通过设计系统控制器，改善原有系统的性能。
由于系统的性能与其极点分布位置有密切关系，因而极点配置是系统设计的关键。
极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置。
在系统综合设计中，状态反馈和输出反馈是两种常用的反馈形式，而在现代控制理论中系统的物理特性是采用系统内部状态变量来描述的，利用内部状态变量乘以系数（向量）与系统参考输入综合构成的反馈系统，具有更优的控制效果。
1、单输入单输出状态反馈的极点配置受控系统如图2-1，图2-1受控系统其中状态变量1()1/G S S =，2()1/(0.051)G S S =+，状态变量1x 、2x ，对系统进行极点配置，达到系统期望的性能指针：输出超调量5%P M ≤；峰值时间0.5p t s ≤；系统频宽10b ω≤；跟踪误差0p e =（对于阶跃输入）。
i. 确定受控系统的状态空间模型211()()x u x G S =-，122()x x G S =，1y x =，系统的状态方程为：.11.2220200101x x u x x ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦；[]1210x y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ii.确定期望的极点21P M e ζ-=；21p n t ωζ=-；22412244b ωωζζζ=-+-+可解得0.707ζ≥，选0.707ζ=；9n ω≥由10b ω≤选10n ω=。
这样期望极点为：*17.077.07j λ=-+*27.077.07j λ=--iii. 确定状态反馈矩阵K原系统特征多项式：12110det()...2020n s n sI A s a s a s a s s ---=++++=++期望的闭环系统特征多项式：**212det()()()14.1100sI A BK s s s s λλ--=--=++ 计算K ：K =[10020-，14.120-]=[80，-5.9]计算变换矩阵p ：1111111[...]...1n n n a p A b Ab b a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1/20011p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦[][]1/20080 5.99.9 5.911K K p ⎡⎤==-=-⎢⎥-⎣⎦iv. 确定输入放大系数L闭环传递函数为2()20/(14.1100)G s s s =++系统要求跟踪阶跃信号误差为0则000lim(1())lim (1/()/)1/5p t s e y t s s G s s L →→==-=-=- 得L=52、极点配置的系统结构图图2-2极点配置后的系统将原系统的反馈线路与状态x1反馈线路合并后图2-3极点配置后的系统一、实验内容及步骤1、根据图2-4接线图2-4极点配置后系统的模拟电路M、峰值时间2、输入阶跃信号，用示波器观察并记录系统输出的波形，测量超调量Pt。
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2.1 引言 大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。
反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。其中状态反馈能够提供更加丰富的状 态信息。
状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端 与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。图 2.1 是一个多输 入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：
范数。
以上算法证明了，对于完全能控系统，任意给定的一组实数闭环特征值 L，
都可以进行极点配置。
2.5 混合极点的配置
假定矩阵 A 和 B 已经化为阶梯控制型标准型。当闭环的期望特征值中包含
共轭复数时，将矩阵 Λ 化为 Schur 型，共轭的闭环特征值在对角线上是 2*2 的块，
其余的实数闭环特征值在对角线上。假设特征值 j 和 j1 j 是一组共轭复极 点，复共轭部分可以表示为 2*2 的块：
,
j 1
x j1
,
j2
xj
,,
j2
x j1
,
n
xj
;
n
g j1
,
1
gj
,,
1
g j1
,
m
gj
m
并且 2n 维向量 r j, j 1 M1 ，其中：
0
M
ajIn A
I2
In
bj
bj 0
,
M1
M 2 j M 2 j1
, M 2 M 2 j2:2n
当 j 1 和 j n 1，容易得到(2.16a)和(2.16c)相似的等式，等式(2.18)中矩阵
点配置的方法与能控系统极点配置的方法相同，因此可以容易确定矩阵 X22 和 Λ22，最后得出反馈矩阵 F2。
对于任何一个任意矩阵 F1 和 Λ21，可以选择满足等式(2.21c)的矩阵 X21 去修 改不可控模型的特征向量。如果 Λ11 和 Λ22 的余项有交集，那么等式(2.21c)左侧 的 T 变换是可逆的。在这种情况下，矩阵 Λ21 可以由下面等式得出：
征值都是实数， 将是严格的上三角矩阵，而且特征值 λi 都在对角线上。 因此如果期望的特征值全为实数，那么 Λ 是实 Schur 矩阵，就不需要寻找矩
阵 Q。
已知在方程(2.7)中的 X PT X 和 G，特征向量矩阵 X 可以从下面式子得到：
X PX F 可以由(2.5b)得到，或者：
(2.10)
（1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。 （2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。 （3） 矩阵方程法—对矩阵 F，直接解方程
AX X BG FX G
(2.5a) (2.5b)
（4） 特征向量法—先找到特征向量 xj（等式(2.5)中矩阵 X 的列向量），然后利 用等式(2.5b)求解 F。
v uB
+
+
1 S
y
C
A F
图 2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图 其中受控系统的状态空间表达式为：
x Ax Bu (2.1)
y Cx
由图 2.1 可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：
u Fx v
(2.2)
其中 v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统
等式(2.14)左端的矩阵 M(j)，是 nn m 1维。如果矩阵 M(j)是行满秩的，
方程(2.14)有解，因此矩阵是右可逆的。如果精确的选择矩阵 A、B、X，可以实 现矩阵 M(j)是行满秩阶梯矩阵。
对于给定闭环期望特征值 j ，X 的列 Xj 按照 j 1,, n 的顺序递推得到。
方程(2.14)可以用常规的最小二乘法得到。最后结果 zj、xj、gj 是最小的 2-范数或 者最小的 F-范数。在方程(2.7)、(2.10)和(2.11)中正交矩阵 P 的范数将不影响最小
的形式：
PT AP PT XQ PT XQ QT Q PT B GQ
(2.7)
其中 P 和 Q 是正交矩阵， 的数值稳定性不变。
表示转置，使用正交矩阵可以保证方程(2.5a)
选择 P 使(A，B)可以转换为：
A11
A12 0
0 0
PT AP PT B Ak 1,1 Ak 1,2
M j, j 1v j, j 1 r j, j 1
(2.18)
矩阵 M j, j 1 X1:j1 I2, M2, B I2 是 2n2n 2m 3 维的。
v
j, j 1
z j1
,
1
zj
,,
1
z j1
,
j 1
zj
;
j 1
T
xj
0
A A k 1,k 1
k 1,k
0
Ak,1
Ak ,2
Ak ,k 1
Ak,k Bk
此外，非对角线上的块 Ai,i+1 选择满秩的下三角型：
(2.8)
0 0
0
*
0
Ai,i1
*
*
* *
*
假定方程(2.6)表示的系统为完全能控型，
0
0
0
0
表示非零的数，
(2.9) 表示任意值。
对于任意给定矩阵 Λ，找到 Q 使它转化成 Schur 型，在上三角矩阵 的 对角线上存在 2*2 的块，表示 L 的特征值中复共轭的部分。如果 L 中所有的特
(2.20)
A11 X11 X 11 11 0
(2.21a)
A11 B2F2 X22 X 22 22 0
(2.21b)
T X21 A21 B2F2 X21 X 21 11 X 22 21 A21 B2F1 X11 (2.21c)
等式(2.21a)表示不可控子系统，并且只要矩阵 Λ11 的余项等于不可控矩阵 A11 的余项，就容易选择矩阵 X11。其中最简单的方法是用 X11Λ11X11-1 作为 A11 的 Schur 分解。等式(2.21b)表示能控子系统的极点配置问题，此时的子系统的状态反馈极
因此任何反馈将不影响不能控部分的值。此外，由 A22 和 B2 组成的系统是能 控的。
假设矩阵 A 和 B 已经化为等式(2.19)中的形式，同时假设等式(2.5a)中的矩阵
X 和 Λ 形式为：
X
X11 X 21
0 X 22
,
11 21
0
22
那么等式(2.5)可以被分成三部分，第四个等式简化为 0=0。
的状态空间表达式：
x A BF x Bv
(2.3) y Cx
闭环系统的传递函数矩阵：
Ws s C sI A BF 1 B
(2.4)
由此可见，引入状态反馈后，通过 F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，
是系统获得所要求的性能。
2.2 极点配置方法的选择
对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法：
PT AP
PT B
A11 A21
0 A22
0
B2
(2.19)
这种阶梯标准型本质上将系统矩阵 A 和 B 分为两部分：A22 是能控的部分，
A11 是不能控的部分，A21 是耦合的部分。
F F1, F2 矩阵为反馈矩阵，那么闭环系统矩阵将是下面的表示形式：
A11
0
A21 B2F1 A22 B2F2
* 1
显然矩阵 X 满秩，而且满足下三角是标准的最小化。
假设所有的特征值 λi 都是实数，将第 j 列的 X、Λ、G 表示为：
(2.12)
0 1
,
z
j j
,
g
j
x j 0
Mj1:j2 表示矩阵 M 的第 j1 到 j2 列，Mj 表示 M 的第 j 列。
利用(2.13)可以证明，存在矩阵 X 满足等式(2.12)。
方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。方法（3）需要解(2.5a)方程，并 且对于系统矩阵 A 的特征值不能再分配。最有效并且数值稳定的方法是方法（2） 和方法（4）。其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较 复杂。对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒 性。
j 为不同值时，等式(2.5a)可以表示为不同形式：
(2.13)
当 j 1 时：
当1 j n 时：
1
A 2:n
B
x1 g1
A
1
1
(2.14a)
当 j n 时：
X1: j1
1
A 2:n
B
zj xj
A j
j
g j
(2.14b)
X1:n1
B
zn gn
A
n
n
(2.14c)
极点配置是要求找到一个实反馈矩阵 F，使闭环系统矩阵 A+BF 的特征值等
于
，L 是一个复共轭的集合。已知如果方程(2.6)定义的系统是完全
能控的，就可以进行极点配置。
极点配置问题转化为寻找矩阵 X 和 G，使等式(2.5a)中的矩阵 Λ 满足
。如果 X 是可逆的，根据方程(2.5b)求解 F。方程(2.5a)可以转化为等价
2.4 实数极点的配置
FPX G
(2.11)
对于方程(2.5)，如果假设矩阵 A 和 B 已经转换成为标准形式，并且期望的 闭环特征值全为实数，即 Λ 是实 Schur 矩阵。需要寻找非奇异矩阵 X，使方程(2.5a) 满足矩阵 G。
假设 X 的形式如下：
1 0
* 1
*1 X
*
* *
0
最简单的是选择
21
X 1 22
A21 B2F1 X11 T X21