三个求导法则

并求 y x0 。
解：
(xy) x (e ) x (e ) x 0
x y
y xy e e y 0 y x (e x) y e y
x y
x
e y y y e x
∵当 x 0 时， y 0 ，
y x 0
y 0
e 0 0 1 e 0
＝ cos x ln(tanx) sec x ，
y ＝ (tanx) sin x （ cos x ln(tanx) sec x ） 。
x ( x 1) 例 5、求 y＝ 的导数。 ( x 2)(x 3)
1 解： ln y ＝ [ ln x + ln(x 1) - ln(x 2) - ln(x 3) ] 2 1 1 1 1 1 1 y · ＝ [ + ] y 2 x x 1 x 2 x 3
类似的，y＝f(x)的二阶导数的导数叫做y＝f(x)的三阶导数；
y＝f(x)的三阶导数的导数叫做y＝f(x)的四阶导数； … y＝f(x)的(n-1)阶导数的导数叫做y＝f(x)的n阶导数，
它们分别记作
d dy ＝ ( )。 dx 2 dx dx
d2y
y ，
或 f (x) ，
y(4) ，
dy b cos t b y cot t dx a sin t a b b csc 2 t ( cos t ) a a b 2
d y a b y 2 2 3 dx a sin t a sin t
2
csc t
七、课堂练习
1、P54习作题3～10。 八、课后作业 P62～63习题三21～27。
五、三个求导法则
（一）隐函数的求导法 1、隐函数的概念
如果变量 x、y 之间的函数关系是由一个方程 F(x，y)＝0 所确定， 那么这种函数叫做隐函数。
例如： x 2 y 5 0 ， x 2 y 2 R 2 ， xy e xy ， y x e sin x 1 。
2 x a cost , d y （或 2 ） 例 5、设函数 。 (0 t 2 ) ，求 y dx y b sin t
d y d dy dx ( )/ 2 dt dx dt dx
2
解： (a cost ) a sin t ， (b sin t ) a cost ，
x a(t sin t ), 例 7、求摆线 （ 0 t 2 ） ， y a(1 cost )
（1）在任何点的切线的斜率； （2）在 t

2
处的切线方程。
dy a sin t t cot 。 解 ： （1） dx a(1 cost ) 2
dy t cot 1， （2） dx t 2 t
2 3 (6)
y(k) 0 (k n) ，即 n 次多项式的一切高于 n 阶的导数都是零。
例 4、已知 y x(2x 1) (x 3) ，求 y
解： y(6) 1 22ຫໍສະໝຸດ Baidu13 6 ! 4 6 ! 2880，
及y
(7)
。
y ( 7) 0 。
2、由参数方程所确定的函数的二阶导数
（1）y＝ x (x>0)；
解： （1）y＝ x ， ln y ＝x ln x ，
x
x
1 y' ＝ ln x + 1， y
y ＝ x
x
( ln x + 1)。
（2） y (tanx) sin x 。
解： （2） ln y ＝ sin x ln(tanx) ，
1 sec2 x y' ＝ cos x ln(tanx) sin x y tan x
0
例 3、求曲线 3 y 2 x 2 ( x 1) 在点（2，2）处的切线方程。
解：
6 yy 3x 2 x
2
3x 2 x y 6y
2
y ( 2, 2)
，
4 3
4 y 2 ( x 2) 3
4x 3 y 2 0
（二）对数求导法 例4、求下列函数的导数。
t
y ＝ e t ( sin t cos t )- e t ( cos t sin t )＝2 e t sin t 。
＝-2 e t sin t + 2e t cost =2 e t ( cos t sin t ) y
例 2、求指数函数 y e x 的 n 阶导数。
解： y e x ， y e x ， y e x ， …，
y (n ) e x 。
例 3、求 n 次多项式
y a x n a1x n1 a 2 x n2 a n2 x 2 a n1x a n
的 n 阶导数。
解： y
(n)
n! a 是一个常数。
对函数y＝f(x)的导函数y＝f(x)再求一次导数，就叫做函数f(x) 的二阶导数，
d2y 记作 f (x)， y ，或 2 ， dx
f ( x x ) f ( x ) 即 f (x)＝ lim 。 x 0 x
y =(y)，
f (x)＝[f(x)]，
1 ∴ y ＝ 2 1 1 1 1 x ( x 1) [ + ] ( x 2)(x 3) x x 1 x 2 x 3
例 6、求 y
1 ex
x cos x 的导数。
1 1 1 解： ln y ＝ + ln x + ln cos x 2x 4 8 1 1 1 sin x y · ＝ 2 + + 4 x 8 cos x y 2x
例 1、求由方程 x 2 y 2 R 2 所确定的隐函数 y y( x ) 的导数 y 。 x
解：将方程两边对 x 求导，按复合函数的求导法则 得 2x 2y y ＝0，
x yx ＝－ 。 y
例 2、求由方程 xy e x e y 0 所确定的隐函数 y y( x ) 的导数 y ，
2、隐函数的显化
由 x y 3 1 0 ，解得 y 3 1 x 。
有些隐函数不可能显化： e y xy 0 。
3、隐函数的求导法
由于由方程 F(x，y)＝0 所确定的函数 y＝y(x)，能使 F(x，y(x)) 0 成为关于 x 的恒等式。因此，由方程 F(x，y)＝0 求 y 对 x 的导数时，只要把其中的 y 看成 是 x 的函数 y( x ) ，同时利用复合函数的求导法则，对 等式两端求对 x 的导数，然后由得出的含 x、y、 y 的等式中解出 y 就可以了。
y ＝
1 ex
1 1 1 2 － tan x ） 。 x cos x （ 4 x 2x 8
（三）参数方程所确定的函数的求导法
x (t ) 设变量 x，y 之间的函数关系由方程组 y (t )
dy 所确定，求 。 dx
dy dy dt dy 1 (t ) 则 。 dx dt dx dx dx (t ) dt
… ， … ，
y (n ) ；
f (4) (x) ，
f (n) (x) ；
或
d y dx 3
3
，
d y dx 4
4
，
… ，
d y dx n
n
。
例 1、求函数 y＝ e t cos t 的二阶导数及三阶导数。
解：
y＝- e
t
cos t - e
t
sin t ＝- e ( sin t cos t )，
2 2
切线方程为 y a x a (

2
1) ，
y x a(2

2
)
六、高阶导数
设物体作变速直线运动，其运动方程为s＝s(t),
ds 则 v＝s(t)＝ , dt d 2s a＝v (t)＝ S (t)＝ 。
dt
对时间t的二阶导数。 1、高阶导数的概念
2
a叫做物体运动的加速度，a就是速度v对时间t的导数，或路程s