第03章 刚体力学基础(转动定理新法)

刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
二．刚体的定轴转动
１.定轴转动的特点
轴上所有各点都保持不动 Z
mi P
x
轴外所有各点都在转动平面 内做圆周运动 (转心、半径） 轴外所有各点在同一时间间隔 t 内走过的弧长虽不同，但对转 心的位矢转过的角度都相等。
——适用于质点的圆周运动
o
转轴
定轴转动的研究方法：
F ji i F
ij
rj
j
M ij M ji
M ij 0
j
二
定轴转动定律
1）单个质点 m 与转 轴刚性连接
M rF sin rF
M
O
z
r
m
F F
Fn

F ma mr b
M mr b
2
质量元受外力F ，内力F 外j 内j 2 Mej Mij mj rj b
通过一个共同的角位移、角速度和角加速度 来描述刚体的转动
２. 刚体定轴转动的描述
(1) 角位置 定轴转动的运动方程
转轴 刚 体
( t )
单位： 弧度(rad) (2) 角位移 ( t t ) ( t )
(3) 角速度

p x
参考 方向

w lim d dt t 0 t
对转动无贡献。
F1
转动 平面
F
r
F2
在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩 是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩。
Fi
合力矩 转动 平面
F1
F
M ri Fi
i
ri
r
F2
合力矩等于各分力矩的矢量和
3 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
M ji
d
ri
Law of rotation on Rigid body with fixed-axis
一
力矩---- 1. 力在转动平面内(与转轴垂直）
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 .
M
Z 的力矩 F 对转轴
M Fr sin Fd
M r F
M
O
z
r
F
*
d
P

Fi 0 , Mi 0
d F
: 力臂
Baidu Nhomakorabea F
Fi 0 , Mi 0
F
F
2. 力不在转动平面内(不与转轴垂直）
M =r ×F = r × ( F1 +F2 ) = r × F1 + r × F2 = r × F2 r ×F1
解：ω =ω + β
t
2×10=1.26×103 (rad/s) 1.26 × 10 =
v = Rω = 0.15×1.26×103 2 (m/s) 1.89 × 10 = 2 an = R ω = 0.15×(1.26×103)2 5 (m/s2) 2.38 × 10 = a t = R β = 0.15×1.26×102 =18.9 (m/s2 )
上一点的速度和加速度。
R 0.15m
t 0.5 s, n 10 rev / s
w0 0
R
w b
a
（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；
t 0.5 s, n 10 rev / s , w 0 0 w w 0 bt (1) ω = 2 πn 解： n 2×3.14×10 2 ω ω π β = = = t t 0.5
二．刚体的运动
1.平动：在运动时，刚体上任意两点的连线方向在 各个时刻的位置始终保持平行。
平动特点：其上各个质点的运动状态完全相同，故 可用任意一点的运动代表刚体整体的运动。 B" 选哪个点来代表？ B
A A'
B'
A"
质心
通常用质心的运 动来代表整体的运动。
作平动的刚体可简化为质点 2
转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
1 2 β t = w 0t 2 1 2×(0.5)2 = 5π 1.26 × 10 × = 2 N=2 π = 2.5 (rev)
= 1.26×102 (rad/s2 )
（2）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘
上一点的速度和加速度。 b 1.26 102 , R 0.15m
§3-1 刚体运动的描述 §3-2 刚体定轴转动的转动定律 §3-3 刚体定轴转动的的功和能
§3-4 角动量定理 角动量守恒定律
质点力学中，我们把物体当作质点处
理，显然过于理想化。在很多实际问题中，
必须考虑物体的大小与形状，不能抽象为
质点。
刚体力学就是解决有大小、形状物体的运动 与动力学规律的。
d
dS
P
v rw
a rb 2 an rw
7
【比较】
x , v w, a b
1）匀加速度直线运动：
1 2 2
v v0 a t
2 2 0
x v0t at ， v v 2a x
2）匀角加速定轴转动：
1 2 2
w w0 b t
b dw d 2 dt dt
2
(4) 角加速度
w 方向:

右手螺旋方向
6
定轴转动中角量与线量的基本关系
dS r d
w
O
rd d S v rw dt dt d( rw ) d v a rb dt dt
( rw )2 an rw 2 r v2
r
一．刚体
任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的
作用在刚体各部分之间的内力，在刚体的整体运动 中不起作用。
刚体力学的研究方法 质点质点系＝>刚体 刚体与一般质点系的区别 刚体不发生形变，所以各质元间的距离不 发生变化，因此刚体是一个不变的质点系 这样，就可以把质点的动力学规律用于每 个质元，再考虑到刚体的特点，从而得到刚体 整体所服从的规律．
2 2 0
w 0t bt , w w 2b
例3-1
一飞轮直径为0.30m, 质量为5.00kg，边缘绕
有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀地
加速 ，经 0.50 s 转速达10rev／s。假定飞轮可看 作实心圆柱体，求： （1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数； （2）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘