圆内接四边形面积最大值的探究

圆内接四边形面积最大值的探究
数学解题教学中，特殊法是常用的一种思想方法.比如，“问道于零”可以解决实数的很多是非判断题，特值法是解决代数式问题常用的方法，在解决图形问题时常常脱口而出“中点法”——倍长中线，遇见中点找中点，中点相连中位线…教材编写的体例也是遵循这一原则，比如四边形→平行四边形→特殊平行四边形.从平时的教学来看，绝大部分学生已经把这当作研究和解决问题的“常规思维”，中考复习教学时，笔者总是要求自己和学生在此基础上再经历一个由特殊到一般的过程，感觉对问题的分析更深入，方法的衍生更具有生长的空间，收获很大.本文介绍一类圆内接四边形面积最大值的探究过程，希望得到同行的批评指正.
一、问题呈现
如图1，在⊙O 中，1,1r AB BC ===，求圆内接四边形ABCD 面积的最大值.
解析 如图2，连结AC ，由条件易得120ABC ∠=︒，AC =ABC S ∆=. 要使四边形ABCD 的面积最大，只需ADC ∆的面积最大，即点D 是弦AC 的中垂线与圆的交点.
此时，,,D O B 三点共线，四边形ABCD 反思 本题的关键是发现对角线AC 为定值，再将四边形面积的最大值问题转化为圆上的点到直线距离的最大值问题.但1AB BC ==这个条件太强，于是笔者从边长和角度两方面对条件进行弱化，并由此得到了两个与圆内接四边形面积最大值有关的结论.
二、条件变式
变式1 如图3，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且,AB a BC b ==，求四边形ABCD 面积的最大值.
解析 如图4，连结AC ，因为弦AB 和BC 已知，则AB ，BC ，AB BC +也随之确定，所以弦AC 是定值.
那么，解题思路与原题相同，当点D 是AC 中垂线与圆的交点，即DA DC =时，四边形ABCD 的面积最大.
那么，如何计算此时的最大面积呢?
思路 1 先分别求出ACD ∆和ABC ∆的面积再相加.但,a b 如果不是特殊值，D ∠和B ∠就不是特殊角，那么AC 的计算过程会特别复杂，所以不适用.
思路 2 根据前面的分析，当四边形ABCD 面积最大时，有DA DC =，即BD 平分ABC ∠.
常规的辅助线是作旋转.如图5，连结DB ，将DAB ∆绕点D 逆时针旋转，使得DA 与DC 重合，与DBC ∆拼接成等腰三角形'DBB ∆，且'BB a b =+.此时四边形的最大面积等于'DBB ∆的面积，但同样因为,a b 的非特殊性，使得'DBB ∠不是特殊角，从而导致面积求解困难，所以此方法也不适用.
思路3 在同圆或等圆中，除了等弧所对的弦相等外，平行弦所夹的弧相等，则所夹的弦也相等.
于是笔者再次尝试.如图6，连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆). 因为BF AD DC EC ===，所以四边形BCEF 是等腰梯形，且它的面积与四边形ABCD 的面积相等.
如图8，再过点O 作,EF BC 的垂线，垂足分别为点,P Q .
又因为,EF AB a BC b ===，所以OP =
OQ =由梯形面积公式，可得 max ()BCEF ABCD S S =四边形四边形
1(2a b =++ 如果把问题中“邻边已知”改为“对边已知”，情况又会怎么样呢?
变式2 如图9， ⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且,AD a BC b ==，求四边形ABCD 面积的最大值.
解析从条件来看，AD 与BC 是对边，也就不存在“弦AC 是定值”这样的结论. 难道圆内接四边形面积最大值的公式仅限于“有一组邻边已知”的条件?上述“通过旋转改变四边形边与边的相邻关系，但不改变四边形面积”的思路为本题做了铺垫.
如图10，同样连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).
,BF AD a BC b ===，问题转化为变式1，解法同上，可得
max 1()(2ABCD S a b =++四边形. 评注 在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性，通过旋转巧妙地改变了四边形边与边的相邻关系.一方面，“邻边”向“对边”转化有效地解决了面积最大值的求解问题;另一方面，“对边”向“邻边”转化，完善了圆内接四边形面积最大值与边有关的结论. 由变式1和变式2，可得结论:
命题 1 若⊙O 是四边形ABCD 的外接圆且半径为r ，已知四边形任意两边的长为,a b ，
则四边形ABCD 面积的最大值为
max 1()(2ABCD S a b =++四边形 ① 结论再反思 边是定值，则边所对的圆心角、圆周角、弧的度数也是定值;那反过来，如果给定的是圆心角、圆周角、弧的度数，也可转化为上述变式中边已知的情况，结论依然成立.
在圆内接四边形中，一组邻边已知，则这组边所对的一个四边形内角是定值;反过来，已知一个四边形的内角，但无法确定四边形的任何一边.于是，笔者尝试从角度入手，进一步弱化边的条件，来增加四边形顶点中动点的个数.请见以下变式.
变式3 如图12，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且2AB BCm θ+，求四边形ABCD 面积的最大值.
解析 如图13，连结AC ，由2AB BCm θ+，可得2AC θ=，则弦AC 是定值. 在四边形ABCD 中，不妨假设,A C 是定点，则,B D 是动点.
分别过点,B D 作AC 的垂线，垂足是点,Q P ，则
1()2
ABCD S AC DP BQ =+四边形. 再连结BD ，因为斜大于直，2DP BQ BD r +≤≤.
所以，当四边形ABCD 面积最大时，BD 过圆心O 且垂直于AC ，即BD 是AC 的中垂线(如图14).
连结,OA OC ，因为2AC θ=，则
ADC AOB θ∠=∠=，
可得2sin AC r θ=，所以
2max 1()2sin 22sin 2
ABCD S r r r θθ==四边形. 根据前面的探究经验，可继续研究把“相邻弧的度数和”改为“相对弧的度数和”的情 况.请见以下变式.
变式4 如图15，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且2AD BCm θ+，求四边形ABCD 面积的最大值.
解析 连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).
因为BF AD =，则2BF BCm θ+，故问题转化为了变式3.
同理，可得
2max max ()()2sin ABCD BCEF S S r θ==四边形四边形.
进一步发现，当四边形BCEF 面积最大时，EB 是FC 的中垂线，即BF BC =，EF EC =.如果将旋转后的图形还原，就有,AD BF BC AB EF EC DC =====，此时四边形ABCD 是矩形(如图17).
通法归类在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性，通过旋转巧妙地改变了圆周上弧与弧的相邻关系，从而将“对弧”的条件向“邻弧”的条件转化，并由此得出圆内接四边形面积最大值与角度有关的结论。

命题2 ⊙O 的半径为r ，它的内接四边形ABCD 将其分成4段弧，只知其中两段弧的度数和为2θ，则四边形ABCD 面积的最大值为
2max ()2sin ABCD S r θ=四边形.②
结论再反思 首先，相邻弧的度数和已知，则这组弧所对的一个四边形内角也是定值;那反过来，如果只给定圆内接四边形一个内角或一组对角的度数，也可以转化为上述变式中只知其中两段弧的度数和的情况，解法相同.
在这里，笔者特别提醒读者仔细体会结论2中的“只知”二字.它强调只知弧的度数和，但其中每段弧的度数是未知的，这样才能保证四个顶点中有两个动点.结论1中已知两条边，则这两边各自所对的弧度数以及弧的度数和都是确定的，但四个顶点中只有一个动点.因此，在运用相关结论时，先要明确条件所涉及的动点情况.
三、结论应用
例1 如图18所示，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为1. AC 与BD 交于点E ，且60AEB ∠=︒，求四边形ABCD 面积的最大值.
解析 60AEB DBC ACB ∠=∠+∠=︒，则120CD ABm +︒，符合结论2的条件，代如公式②，可得
2max ()2sin ABCD S r θ=四边形
221sin 60=︒=
例3 如图19，⊙O 是四边形ABCD AC BD ⊥，垂足为E ，OH BC ⊥，且1OH =，求四边形ABCD 面积的最大值.
解析 如图20，连结BO 并延长交⊙O 于点F ，连结,FD FC .
∵BF 是直径，
∴90BDF BCF ∠=∠=︒.
∵AC BD ⊥，
∴//DF AC ，且AD FC =。

又∵OH BC ⊥，由垂径定理，得H 是BC 的中点，
∴22AD FC OH ===.
在Rt BOH ∆中，由勾股定理，可得2BH =，
∴24BC BH ==.
∵2,4AD BC ==，符合结论1的条件，代入①，得
22max 11()(22(5)4)9244
ABCD S =++-=四边形.
反思以上结论获得的全过程，不难发现，圆的旋转不变性是解决圆内接四边形面积最大值问题的关键，而旋转的对象及如何旋转是根据解题的需要在一般旋转作法的基础上衍生而
来.由此说明，在日常的数学教学中，教师要善于“小题大做”，引导学生“关注特殊”，从一道“小题”出发，从不同角度对条件进行弱化，形成变式，从而帮助学生感悟共性，提炼优法，提升能力.。