圆内接四边形面积最大值的探究

圆内接四边形面积最大值的探究

数学解题教学中，特殊法是常用的一种思想方法.比如，“问道于零”可以解决实数的很多是非判断题，特值法是解决代数式问题常用的方法，在解决图形问题时常常脱口而出“中点法”——倍长中线，遇见中点找中点，中点相连中位线…教材编写的体例也是遵循这一原则，比如四边形→平行四边形→特殊平行四边形.从平时的教学来看，绝大部分学生已经把这当作研究和解决问题的“常规思维”，中考复习教学时，笔者总是要求自己和学生在此基础上再经历一个由特殊到一般的过程，感觉对问题的分析更深入，方法的衍生更具有生长的空间，收获很大.本文介绍一类圆内接四边形面积最大值的探究过程，希望得到同行的批评指正.

一、问题呈现

如图1，在⊙O 中，1,1r AB BC ===，求圆内接四边形ABCD 面积的最大值.

解析 如图2，连结AC ，由条件易得120ABC ∠=︒，AC =ABC S ∆=. 要使四边形ABCD 的面积最大，只需ADC ∆的面积最大，即点D 是弦AC 的中垂线与圆的交点.

此时，,,D O B 三点共线，四边形ABCD 反思 本题的关键是发现对角线AC 为定值，再将四边形面积的最大值问题转化为圆上的点到直线距离的最大值问题.但1AB BC ==这个条件太强，于是笔者从边长和角度两方面对条件进行弱化，并由此得到了两个与圆内接四边形面积最大值有关的结论.

二、条件变式

变式1 如图3，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且,AB a BC b ==，求四边形ABCD 面积的最大值.

解析 如图4，连结AC ，因为弦AB 和BC 已知，则AB ，BC ，AB BC +也随之确定，所以弦AC 是定值.

那么，解题思路与原题相同，当点D 是AC 中垂线与圆的交点，即DA DC =时，四边形ABCD 的面积最大.

那么，如何计算此时的最大面积呢?

思路 1 先分别求出ACD ∆和ABC ∆的面积再相加.但,a b 如果不是特殊值，D ∠和B ∠就不是特殊角，那么AC 的计算过程会特别复杂，所以不适用.

思路 2 根据前面的分析，当四边形ABCD 面积最大时，有DA DC =，即BD 平分ABC ∠.

常规的辅助线是作旋转.如图5，连结DB ，将DAB ∆绕点D 逆时针旋转，使得DA 与DC 重合，与DBC ∆拼接成等腰三角形'DBB ∆，且'BB a b =+.此时四边形的最大面积等于'DBB ∆的面积，但同样因为,a b 的非特殊性，使得'DBB ∠不是特殊角，从而导致面积求解困难，所以此方法也不适用.

思路3 在同圆或等圆中，除了等弧所对的弦相等外，平行弦所夹的弧相等，则所夹的弦也相等.

于是笔者再次尝试.如图6，连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆). 因为BF AD DC EC ===，所以四边形BCEF 是等腰梯形，且它的面积与四边形ABCD 的面积相等.

如图8，再过点O 作,EF BC 的垂线，垂足分别为点,P Q .

又因为,EF AB a BC b ===，所以OP =

OQ =由梯形面积公式，可得 max ()BCEF ABCD S S =四边形四边形

1(2a b =++ 如果把问题中“邻边已知”改为“对边已知”，情况又会怎么样呢?

变式2 如图9， ⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且,AD a BC b ==，求四边形ABCD 面积的最大值.

解析从条件来看，AD 与BC 是对边，也就不存在“弦AC 是定值”这样的结论. 难道圆内接四边形面积最大值的公式仅限于“有一组邻边已知”的条件?上述“通过旋转改变四边形边与边的相邻关系，但不改变四边形面积”的思路为本题做了铺垫.

如图10，同样连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).

,BF AD a BC b ===，问题转化为变式1，解法同上，可得

max 1()(2ABCD S a b =++四边形. 评注 在不改变四边形面积的前提下，利用圆的旋转不变性，通过旋转巧妙地改变了四边形边与边的相邻关系.一方面，“邻边”向“对边”转化有效地解决了面积最大值的求解问题;另一方面，“对边”向“邻边”转化，完善了圆内接四边形面积最大值与边有关的结论. 由变式1和变式2，可得结论:

命题 1 若⊙O 是四边形ABCD 的外接圆且半径为r ，已知四边形任意两边的长为,a b ，

则四边形ABCD 面积的最大值为

max 1()(2ABCD S a b =++四边形 ① 结论再反思 边是定值，则边所对的圆心角、圆周角、弧的度数也是定值;那反过来，如果给定的是圆心角、圆周角、弧的度数，也可转化为上述变式中边已知的情况，结论依然成立.

在圆内接四边形中，一组邻边已知，则这组边所对的一个四边形内角是定值;反过来，已知一个四边形的内角，但无法确定四边形的任何一边.于是，笔者尝试从角度入手，进一步弱化边的条件，来增加四边形顶点中动点的个数.请见以下变式.

变式3 如图12，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且2AB BCm θ+，求四边形ABCD 面积的最大值.

解析 如图13，连结AC ，由2AB BCm θ+，可得2AC θ=，则弦AC 是定值. 在四边形ABCD 中，不妨假设,A C 是定点，则,B D 是动点.

分别过点,B D 作AC 的垂线，垂足是点,Q P ，则

1()2

ABCD S AC DP BQ =+四边形. 再连结BD ，因为斜大于直，2DP BQ BD r +≤≤.

所以，当四边形ABCD 面积最大时，BD 过圆心O 且垂直于AC ，即BD 是AC 的中垂线(如图14).

连结,OA OC ，因为2AC θ=，则

ADC AOB θ∠=∠=，

可得2sin AC r θ=，所以

2max 1()2sin 22sin 2

ABCD S r r r θθ==四边形. 根据前面的探究经验，可继续研究把“相邻弧的度数和”改为“相对弧的度数和”的情 况.请见以下变式.

变式4 如图15，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，半径为r ，且2AD BCm θ+，求四边形ABCD 面积的最大值.

解析 连结,,,OA OB OC OD ，将OAB ∆与OAD ∆绕点O 旋转“交换”位置，得到四边形BCEF (如图7 ，OAB ∆对应OEF ∆，OAD ∆对应OBF ∆).