相似矩阵及特征值和特征向量的性质
矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似
特征值和特征向量与矩阵相似的关系
01
特征值和特征向量是矩阵的重要属性，它们与矩阵 的相似性有着密切的联系。
02
如果两个矩阵相似，它们的特征值和特征向量也必 须相同。
03
特征值和特征向量的性质决定了矩阵的稳定性、可 逆性和可约性等重要性质。
特征值和特征向量在矩阵相似中的应用
在解决线性方程组时，可以利用特征值和特征向量的性质，将原方程组转 化为易于求解的形式。
|λ|=√aii，其中aii为矩阵A的对角线元素。
特征值和特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Av=λv来计算特征 值和特征向量。
幂法
通过迭代计算矩阵A的幂，然后观 察幂的迹的变化，从而找到特征 值和特征向量。
谱分解法
将矩阵A分解为若干个简单的矩阵 的乘积，然后通过计算这些简单 矩阵的特征值和特征向量来得到 原矩阵的特征值和特征向量。
矩阵的特征值、特 征向量和矩阵的相 似
目录
• 矩阵的特征值和特征向量 • 矩阵的相似 • 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似的
关系 • 矩阵的特征值、特征向量和矩阵的相似的
应用
01
CATALOGUE
矩阵的特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义
特征值
对于给定的矩阵A，如果存在一个标 量λ和对应的非零向量v，使得Av=λv 成立，则称λ为矩阵A的特征值。
02
CATALOGUE
矩阵的相似
矩阵相似的定义
定义：如果存在一个可逆矩阵P，使 得$P^{-1}AP=B$，则称矩阵A与B相 似。
相似矩阵具有相同的行列式值、迹、 秩和特征多项式。
矩阵相似的性质
01 相似的矩阵具有相同的特征多项式和行列式值。
§4.2 相似矩阵及特征值和特征向量的性质
n
n
n
i
| A | .
11
注 (1)方阵A的主对角线的元素之和称为A 的迹。此例表明A的所有特征值之和为A 的迹，而A的所有特征值之积为|A|。 (2)由此容易得到：方阵A可逆的充要条件 是A的所有特征值都不为零。
12
例４
证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则
(3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
这是因为 若A ~ B; B ~ C , 则存在可逆矩阵P; Q, 使得B P 1 AP; C Q 1 BQ, 所以C Q 1 P 1 APQ, 即C ( PQ) 1 APQ, 故A ~ C.
3
则A与C相似.
4.2.2、 特征值和特征向量的性质
因为1， 2 属于不同的特征值， 故它们线性无关，
因此有
1 0，2 0
由此得1 2，但这与1，2 互异矛盾，
所以1 2不是A的特征向量。
19
1 2 3 例 设A x y z ，已知A的特征值为1,3,5， 0 0 1 求x, y, z的值.
将AX X两边左乘A*，得A* AX A* X ,
因为A* A | A | E，所以 | A | X A* X ,
所以A X
*
| A|
X
即
| A|
是A*的特征值.
16
例5 设A是n 阶方阵，其特征多项式为
f A E A n an1n1 a1 a0
2 2
X 3X 2 X
2
( 3 2) X 0
2
因为X 0，故 1或 2。
5_1_2特征值特征向量的性质、相似矩阵内容
两个有用的关系：根据一元n 次方程根与系数之间的关系有：设n λλλ,,,21L 是n 阶矩阵A 的全部特征值（其中可以是相等的），那么(1) n λ++λ+λL 21=nn a a a +++L 2211=A 的对角线元素之和（称为A 的迹，记为tr (A ).）.(2) n λλλL 21= |A |.特征值特征向量的性质：1. 设s λλλ,,,21L 是矩阵A 的互异特征值, s ξξξ,,,21L 是分别属于它们的特征向量，那么s ξξξ,,,21L 线性无关.2. 设21,λλ是矩阵A 的两个互异的特征值，s ξξξ,,,21L 和t ηηη,,,21L 分别是属于21,λλ的线性无关的特征向量，那么,,,,21s ξξξL t ηηη,,,21L 线性无关.性质2对于任意多个互异的特征值也是成立的.3. n 阶矩阵A 与它的转置矩阵A T 有相同的特征值.4. 属于不同特征值的特征向量是线性无关的.5. 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.6. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一，一个特征向量不能属于不同的特征值.若i λ为n 阶矩阵A 的k i 重特征值，则属于特征值i λ的线性无关特征向量个数不超过其特征值的重数k i .相似变换、相似矩阵的定义：设A , B 都是n 阶矩阵, 如果有n 阶可逆矩阵P ，使,1B AP P =−那么称A 与B 相似，记为A ∼ B . 对A 进行运算AP P 1−称为对A 进行相似变换，称可逆矩阵P 为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足：1. 反身性：A ∼ A ;2. 对称性：若A ∼ B ，则B ∼ A ；3. 传递性：若A ∼ B ，B ∼ C , 则A ∼ C .两个常用的运算表达：1. ()()111P ABP P APP BP −−−= 2. ()111P kA lB P kP AP lP BP −−−+=+ 其中,k l 为任意实数.相似矩阵的性质：1. 相似矩阵有相同的特征多项式，因此也有相同的特征值.2.相似矩阵的秩相等.3.相似矩阵的行列式相等.相似矩阵有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似.。
特征值与特征向量的性质
1 2 2
A 2 2
4 1 2 2, 3 7
2
4 2
1 (2,1, 0)T ,2 (2, 0,1)T 为属于特征值2的线性无关的
特征向量；
3 (1，2， 2)T 为3 7的特征向量.
1 (2,1, 0)T ,2 (2, 0,1)T ,3 (1，2， 2)T 线性无关。
特征值与特征向量的性质
性质1：n阶矩阵A的相异特征值1，2， ，m所对应 的 特征向量1,2 , ,m线性无关。
定理：对任意n阶方阵A, 属于不同特征值的特 征向量线性无关。
最一般的证法：数学归纳法。
证：用数学归纳法。
1 . m 1,1的特征向量1 O,1线性无关
2 . 假设m 1时结论成立,即
A的相异特征值1，2， ，m1所对应的特征向量 1,2 , ,m1线性无关。 下面证明m时成立。
即证明A的相异特征值1，2， ，m所对应的特征向量 1,2 , ,m线性无关。 回忆线性无关的证明方法！
设k11 k22 kmm O
（1）
设k11 k22 kmm O （1） 左乘A
A(k11 k22 kmm ) O ( Ai ii) k111 k222 kmmm O（2）
2 2 1
1,2,3 1 0 2 9.
0 1 2
推论：
n阶矩阵A的相异特征值为1，2， ，m,i1,i2 , ,iri
m
是特征值i所对应的线性无关的特征向量，则 ri个特征
i 1
向量11,12, ,1r1 ,21,22, ,2r2， ，m1,m2 , ,mrm
线性无关。
例 设矩阵A的两个互异的特征值为1与2，即1 2， 向量1，2，3是属于1的线性无关的特征向量；向量 1，2是属于2的线性无关的特征向量。证明向量组 1，2，3，1，2线性无关。
特征值与特征向量相似矩阵
注：
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2 ,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量， 则 k11 k22 L kss , k1, k2 ,L , ks 不全为零 也是A的属于 的特征向量.
2 2 4 x3
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
4 2 2 4 2 2
解之得基础解系为
2 x1 2 x2 0, 4 x3
(1 , 1 , 1)T ,
所以属于 1 5 的一个线性无关的特征向量就是
1 = 1 + 2 + 3，
全部特征向量就是 k11 (0 k1 P) .
11
12
1n
E A
a 21 M
a ... 22 M
a 2n M
a a ... a
n1
n2
nn
n (a a L a ) n1 L (1)n A
11
22
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
| E - A | = ( - 1)( - 2) … ( - n) .
比较上述两式可得
1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ;
12 …n = |A|.
证毕
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
n次多项式的根与系数的关系
韦达定理： 设 1,2 是 ax2 bx c 的两个根，则
性质2：设n阶矩阵 A (aij )nn ，则
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是现代数学中重要的一种数学工具，它在线性代数、微积分、概率论等不同领域都有广泛的应用。
矩阵的特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们具有重要的理论意义和实际应用价值。
本文将从理论和实际应用两个方面，详细介绍矩阵的特征值与特征向量。
一、特征值与特征向量的定义在介绍特征值与特征向量之前，首先我们需要明确矩阵的定义。
矩阵是由数个数或数的组合所构成的矩形阵列。
一个矩阵可以是多行多列的，其中每个元素都是一个实数或复数。
接下来，我们来介绍特征值与特征向量的概念。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个非零向量X，使得AX=kX，其中k是一个常数，则称k为矩阵A的特征值，X称为对应于特征值k的特征向量。
特征值与特征向量的存在性是基于以下的线性代数定理：对于任何n阶矩阵A，都存在至少一个特征值和对应的特征向量。
二、特征值与特征向量的求解如何求解矩阵的特征值与特征向量呢？求解特征值与特征向量可以通过矩阵的特征方程来实现。
设A是一个n阶矩阵，其特征方程为|A-λI|=0，其中λ为待求的特征值，I为单位矩阵。
解特征方程得到的根即为矩阵的特征值。
确定了特征值后，我们可以通过代入特征值到原特征方程，解线性方程组来求解对应的特征向量。
解出的特征向量需要满足非零向量的条件。
三、特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量具有以下重要的性质：1. 矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关。
这意味着矩阵的特征向量可以构成矩阵的一个线性无关组。
2. 特征值的个数等于矩阵的秩。
这个性质对于推断矩阵的秩具有重要的参考价值。
3. 矩阵的特征值之和等于矩阵的迹。
矩阵的迹即主对角线上的元素之和。
这个性质在矩阵运算和推导中有重要的应用。
4. 矩阵的特征值与特征向量在相似矩阵之间具有不变性。
也就是说，相似矩阵具有相同的特征值。
四、特征值与特征向量的应用特征值与特征向量在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下列举了一些常见的应用领域：1. 特征值与特征向量在物理学中有重要的应用。
43相似矩阵—线性代数(吴赣昌-第四版)
注意：mi 为方程组 ( A j E ) x 0 的基础解
系所含解向量个数 .
A可对角化
m1 m2 ms n
A不可对角化 m1 m2 ms n
推论2 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 的每一个 ni
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
因而, Ai ii ,i 1, 2,L , n,
因为P (1,2 ,L
,n )可逆,故1,2 ,L
,
线性无关且
n
它们分别是A对应于特征值1,2,L ,n的特征向量。
设矩阵A有n个线性无关的特征向量 1,2 ,L ,n 它们对应的特征值分别为1，2，L ，n,则Ai ii ,
1
A(1 ,2 ,L
,n ) (1,2 ,L
,
n
)
2
O
n
即 AP PΛ
又1,2 ,L ,n线性无关 ,故P (1,2 ,L ,n )可逆
从而 P1AP Λ, 即A与Λ相似.
推论１若n阶方阵A有n个相异的特征值1, 2 ,L n， 则A可对角化，且A相似于diag(1, 2 ,L n ).
当A的特征方程有重根时，它不一定有n个线性无关 的特征向量，从而不一定能对角化。
设 1, 2 ,L , s是矩阵A的所有特征值，重数分别为 m1, m2 ,L , ms ,
xj1, xj2 ,L , xjmj 是方程组
(A jE)x 0
的一个基础解系, j=1, 2, …, s, A的特征向量组为
(i=1，2，…，s) 重特征值i对应有 ni 个线性无关的特征向量.
6.相似矩阵复习
3 设1 λ是 的 个 同 特 值 α， 2是 应 . λ， 2 A 两 不 的 征 ， 1 α 相 的
征 量 明 α， 2 线 无 ； 特 向 ,证 ： 1 α 必 性 关
征 量 明 α 2 不 的 征 量 特 向 ,证 ： 1 +α 必 是A 特 向
证明1 证明1 因为A～B, 所以存在可逆矩阵P,使 因为A 所以存在可逆矩阵P,使 P,
A λE =0 根1 λ，， n就 A n 特 值 − 的 λ， 2 ⋯ λ 是的个 征
2、特征向量的求法
λ所 应 特 向 为 对 的 征 量 i kα + +kα ,k ,⋯k 不 为 , r 全 零 1 1 ⋯ r r 1
特 值i ( , 基 解 α , r 对 征 λ,解 A−λE X=0 得 础 系 1,⋯α i )
0 −4 −5 0=1 −A= 0 0 −6 =− 4 , ∴ c=0 E 2c −c 0 −2
3---特征向量的性质 ---特征向量的性质
1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。 方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。 2）实对称矩阵A的不同特征值所对应的特征向量必相 实对称矩阵A 互正交。 互正交。 3）正交向量组必是线性无关组。 正交向量组必是线性无关组。
(1) (2) (3)
用A左乘(1),得 左乘(1),得 (1),
λ 乘 ) 用 2左 ( 1 得 x λα +x λα =0 1 2 1 2 2 2
(3)-(2),得 (3)-(2),得
x λα +x λα =0 1 1 1 2 2 2
x ( λ −λ ) α =0 1 2 1 1
, 1 2 ∵ α ≠0 λ ≠λ , 1
第六章矩阵的相似特征值和特征向量
第六章矩阵的相似特征值和特征向量矩阵的相似性：在线性代数中，如果两个矩阵具有相同的特征值，则它们被称为相似矩阵。
当两个矩阵A和B相似时，它们之间可以通过一个可逆矩阵P进行相互转换，即A=PBP^(-1)。
相似矩阵具有一些有用的性质和应用。
特征值和特征向量：一个n阶矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Av=λv，其中v 是一个非零的n维向量，称为特征向量。
特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程来计算。
特征值和特征向量对于理解矩阵的性质和应用非常重要。
特征值和特征向量的求解：要求解矩阵的特征值和特征向量，可以通过以下步骤进行：1. 对于矩阵A，计算其特征方程det(A-λI) = 0，其中det表示矩阵的行列式，I为单位矩阵。
2.解特征方程，得到特征值λ1，λ2，...，λn。
3. 对于每个特征值λi，求解方程(A-λiI)v = 0，其中v为特征向量。
得到多组特征向量v1，v2，...，vn。
特征值和特征向量的性质：特征值和特征向量具有一些重要的性质：1.相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。
2.特征向量可以用于将线性变换A表示为对角矩阵D的相似变换，即A=PDP^(-1)。
3.特征值的和等于矩阵的迹（主对角线上元素的和），特征值的乘积等于矩阵的行列式。
4.如果矩阵A是对称矩阵，则其特征向量是相互正交的。
特征值和特征向量的应用：特征值和特征向量在多个领域都有广泛的应用：1.物理学中，特征值和特征向量用于描述物理系统的振动模式和稳定性。
2.图像处理中，特征值和特征向量用于图像压缩、图像恢复等算法。
3.机器学习中，特征值和特征向量用于降维、主成分分析等特征提取方法。
4.工程学中，特征值和特征向量用于结构分析、系统控制等问题的求解。
总结：特征值和特征向量是矩阵相似性的重要概念，它们可以帮助我们理解矩阵的性质和应用。
通过求解特征方程，我们可以得到矩阵的特征值和特征向量。
它们具有许多有用的性质和应用，在多个领域中得到广泛的应用。
第五章 相似矩阵(2)
k1X1 k2 X 2 ... km X m 0中，
X m 0,km 0
X
1,
X
2,
...X
线性
m
无关
。
定理4：设1, 2,... m是方阵A的m个互不相同的特征
值,xi1,xi2,…xiki是矩阵A对应于特征值i(i=1,2,…m)的
线性无关的特征向量,则向量组x11,x12,…x1k1, x21,x22,…x2k2, …xm1,xm2,…xmkm线性无关
的特征向量,则有
(1)当A可逆时,
1
是A-1的特征值;
(2)当A可逆时, A是A的伴随矩阵A*的特征值;
(3)f(x)是x的一个一元多项式,则f()是f(A)的一个特征值,并且x仍
是矩阵A-1,A*,f(A)的分别对应于特征值 1 ,
A
, f()的特征向量.
定理3：设1，2，m 是方阵A的m个互不相同的特征 值， X1，X2，Xm依次为与之相对应的特征向 量， 则X1，X2，Xm线性无关。
AX= X
成立，则称数为方阵A的特征值，非零列向量X称为A对应
于特征值的特征向量。
a11 a12
f () E A
a21
a22
a1n
a2n
an1 an2 ann n (a11 a22 ann ) (1)n A
称为方阵A的特征多项式,|E-A|=0称为矩阵A关于的特 4 征方程.
相似矩阵一定等价，但矩阵等价不一定相似。
定理6：相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
证明：设A与B相似，则P1AP B
E B E P1AP P1EP P1AP
P1(E A)P P1 E A P E A 11
16相似矩阵
2 0 0 AP = P 0 1 1 0 0 1
即:（Ap1, Ap2, Ap3）=（2p1, p2, p2 + p3) （ （ 得知： 得知：Ap1 = 2p1，Ap2= p2，Ap3= p2 + p3 也就是说， 的与特征值2对应的特征向 也就是说，p1是A的与特征值 对应的特征向 的与特征值 是与特征值1所对应的特征向量 所对应的特征向量,而 量，p2是与特征值 所对应的特征向量 而P3则是 方程组(A – E)X = p2的解向量。 的解向量。 方程组
3. 相似矩阵的特征值、特征向量 相似矩阵的特征值、 定理1. 相似， 定理 若A与B相似，则A和B具有相同的特征 与 相似 和 具有相同的特征 多项式，从而具有相同的特征值。 多项式，从而具有相同的特征值。 定理2. 定理 若B=P-1AP, α是A的关于特征值λ的一个 的关于特征值 特征向量,则 特征向量 则β = P-1α是B的关于特征值λ的 的关于特征值 一个特征向量。 一个特征向量。 λ0 1 0 λ0 0 0 A = 0 λ0 1 与 B = 0 λ0 0 例1. 证明 0 0 λ 0 0 λ 0 0 尽管具有相同的特征值，但它们并不相似。 尽管具有相同的特征值，但它们并不相似。
1 1 0 2 0 0 显然： 显然： P-1AP = 0 1 1 ,其中 P = 2 0 1 其中 8 3 2 0 0 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0 0 3 1 1 例5．证明矩阵 A = ． 标 的Jordan标 6 4 3
1 0 0 标准型为 J = 0 1 1 0 0 1 1 λ 解： 3 6
也就是说,矩阵 应该有 也就是说 矩阵A应该有 个线性无关的特征 矩阵 应该有3个线性无关的特征 向量. 向量 的秩为2， 而这是不可能的．因为矩阵A 的秩为 而这是不可能的．因为矩阵 - λ0E的秩为 ， 方程组(A 方程组 - λ0E)X = 0不可能有三个线性无关的 不可能有三个线性无关的 证毕 解向量。 解向量。
第四章相似矩阵
2 1 1 求矩阵A 0 2 0 的特征值与特征向量 . 4 1 3 解：令 A E 0, 解得1 1，2 3 2 1 当1 1，解方程组（ A E）x 0, 解得基础解析为 1 0 1 则k11为A关于特征值1 1的特征向量，其中 k1 0. 1 1 当2 3 2，解方程组（ A 2 E）x 0, 解得基础解析为 2 4 , 3 0 0 4 则k 2 2 k3 3为A关于特征值2 3 2的特征向量，其中 k 2 , k3不全为零.
2 1 1 1 求相似矩阵 P , 使得 P AP Λ , 其中 A 0 2 0 例1、 . 4 1 3 解：令 A E 0, 解得1 1，2 3 2 1 当1 1，解方程组（ A E）x 0, 解得基础解析为 1 0 . 1 1 1 当2 3 2，解方程组（ A 2 E）x 0, 解得基础解析为 2 4 , 3 0 . 0 4 1 1 令P (1 , 2 , 3 ), Λ 2 , 则P AP Λ. 2
由上式可知i为A的特征值，i为A关于i的特征向量 , 又因为相似变换矩阵 P可逆，所以1 , 2 ,, n线性无关. 可知Λ由A的n个特征值构成， P由A的n个线性无关的特征向量 构成.
A可对角化的条件： 定理1：n阶矩阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 定理2：n阶矩阵A可对角化 A的每个ti重根i都对应ti 个线 性无关的特征向量 定理3：A有n个互异的特征值 n阶矩阵A可对角化
第四章
相似矩阵
第
一
节
方阵的特征值与特征向量
ch5-4 实对称矩阵的相似矩阵
解: 由 A E
1 1 1 对1 1,由A E ~ 0 0 , 得 1 1 ; 1 1 1 对2 3,由A 3 E ~ 0 0 , 得 2 1
1
素的对角矩阵.
福 州 大 学
2013-7-21
4
三、利用正交矩阵将实对称矩阵 对角化的方法
根据上述结论，利用正交矩阵将实对称矩阵 化为对角矩阵，其具体步骤为： 1. 求A的特征值 1 , 2 ,, n ; 2. 由 A i E x 0, 求出A的特征向量 ; 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化得 P1 , P2 ,, Pn . 5。写出正交阵 P P 1
征向量，求A的属于特征值 1的特征向量。
T 解 设A的属于特征值 1的特征向量为 3 x1，x2，x3） , （
3与1 , 2正交， [3 ,1] [3 ,2 ] 0
x1 x2 x3 0 2 x1 2 x2 x3 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 2 2 1 令 x2 = 1 x1 x2 T 3 11 0 （ ，） ， x3 0
福Hale Waihona Puke 州 大 学2013-7-21
3
性质3：实对称矩阵A的k重特征值所对应的线性无 关的特征向量恰有k个。 由此推出：实对称矩阵A一定能对角化。
二、实对称矩阵的相似对角化：
定理1：实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
实
定理2： A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵P , 使 设
P AP , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
6-2 相似矩阵
B
相似， 或说矩阵 A 与 B 相似， 相似矩阵， 则称 B 是 A 的相似矩阵， 【性质】 若n阶方阵 与 B相似，则A与B的特征多项式相同 性质】 的特征多项式相同. 与 的特征多项式相同 (1)若 阶方阵 阶方阵A与 相似 相似， 相同的行列式,相同的秩 ，相同的特征值,相同的行列式 相同的秩 相同的特征值 相同的行列式
5 + a = 4 + b ∴ − (5a + 3) = −( 4 + 4b ) 6a − 6 = 4b
解得a = 5, b = 6
小结
1、相似矩阵的概念； 、相似矩阵的概念； 2、相似矩阵的性质及推论； 、相似矩阵的性质及推论；
作业 ： 173页习题 页习题6-2 页习题 2
第一节 特征值与特征向量
( x1 , x 2 , L , n )
那么
A ( x1 , x 2 ,L , x n ) =
或
( Ax1, Ax2 ,L, Axn ) = (λ1 x1, λ2 x2 ,L, λn xn )
第二节 相似矩阵
相似矩阵的概念及性质 方阵可对角化的条件及方法 问题与思考
6.2.2节 二（6.2.2节）、 方阵相似对角化问题
【定义6.3 】 若方阵 定义6.3 相似， A 能与一个对角阵 Λ相似，
则称 A 可以相似对角化. 【定理6.3 】 定理6.3 n 阶方阵 可以相似对角化的充要条件是 阶方阵A可以相似对角化的充要条件是 A有n个线性无关的特征向量 有 个线性无关的特征向量
3 4 A= , 5 2
1 − 1 4 1 P = , Q = − 5 1 − 1 2
−1
1 − 1 3 4 1 − 1 1 9 −1 P AP = 5 2 − 1 2 = 2 4 − 1 2 4 1 3 4 4 1 − 2 −1 Q AQ = 5 2 − 5 1 = 0 − 5 1
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵是线性代数中的重要概念之一，特征值与特征向量是矩阵理论中常被提到的概念。
在本文中，我们将详细介绍矩阵的特征值与特征向量，以及它们之间的关系和应用。
一、特征值与特征向量的定义矩阵A是一个n阶方阵，那么非零向量x是矩阵A的特征向量，如果满足以下条件：Ax = λx其中λ为实数，称为矩阵A的特征值。
特征向量是指在变换矩阵作用下，只发生缩放而不改变方向的向量。
特征值则是衡量该变换强度的标量。
二、求解特征值与特征向量的方法1. 特征值的求解要求解特征值，我们需要解方程|A-λI|=0，其中I为单位矩阵。
解这个方程就可以得到矩阵A的特征值。
2. 特征向量的求解当求得特征值λ之后，我们可以将其代入方程(A-λI)x=0中，通过高斯消元法求解得到特征向量。
三、特征值与特征向量的性质1. 特征值的重要性质矩阵A的特征值个数等于其阶数n，且特征值具有唯一性。
2. 特征向量的重要性质特征向量x与特征值λ的关系为：Ax = λx。
这表明特征向量在矩阵A的作用下只发生了缩放，而未改变方向。
3. 特征值与特征向量的关系同一特征值对应的特征向量可由标量倍数唯一确定。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵的对角化矩阵的特征值与特征向量可以被用于对矩阵进行对角化。
对角化使得矩阵运算更加简单，且能够揭示矩阵的某些性质。
2. 矩阵的相似性特征值与特征向量的概念也被用于定义矩阵的相似性。
相似矩阵具有相同的特征值。
3. 特征值在图像处理中的应用特征值与特征向量的概念在图像处理中有广泛的应用。
例如，它们可以用于图像压缩、边缘检测等领域。
五、总结矩阵的特征值与特征向量是线性代数中的重要概念。
特征值是矩阵的度量，而特征向量则是与特征值相关联的向量。
通过求解特征值和特征向量，我们可以得到揭示矩阵性质的重要信息，并应用于各种实际问题中。
特征值与特征向量的概念在科学领域中有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学等。
它们的理解与掌握对于深入理解矩阵理论以及解决实际问题具有重要的意义。
矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是线性代数中非常重要的概念，它们在许多领域的数学和科学问题中都起着至关重要的作用。
本文将介绍矩阵的特征值与特征向量的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、特征值与特征向量的定义给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得满足下面的关系式：Av = λv其中λ是一个实数，那么称λ为A的特征值，v为对应于特征值λ的特征向量。
特征值与特征向量的存在性是由代数基本定理所保证的。
在实际计算中，我们通常将这个关系式转化为一个线性方程组来求解特征值和特征向量。
二、特征值与特征向量的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值如果两个矩阵A和B相似，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B。
那么A和B具有相同的特征值。
证明：设Av = λv，其中v是A的特征向量。
将上式两边同时左乘P^{-1}，得到(P^{-1}AP)(P^{-1}v) = B(P^{-1}v)。
令u = P^{-1}v，则Bu = λu，其中u是B的特征向量。
因此，λ也是B的特征值。
2. 特征向量可以线性组合如果v_1和v_2是矩阵A对应于相同特征值λ的特征向量，那么对于任意实数c_1和c_2，cv_1 + c_2v_2也是对应于特征值λ的特征向量。
证明：由于Av_1 = λv_1，Av_2 = λv_2，那么A(cv_1 + c_2v_2) = cAv_1 + c_2Av_2 = cλv_1 + c_2λv_2 = λ(cv_1 + c_2v_2)。
因此，cv_1 +c_2v_2也是对应于特征值λ的特征向量。
三、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化将一个矩阵A通过相似变换P^{-1}AP = D变换为对角矩阵D，其中D的对角线上的元素为A的特征值。
这个过程称为矩阵的对角化。
对角化后的矩阵形式更加简洁，便于计算和分析。
2. 矩阵的幂对于一个对角化的矩阵A和一个非负整数k，有A^k = PD^kP^{-1}，其中D^k是D的每个元素都进行了k次幂运算。
矩阵的相似变换
2
2
2 2 2
0 0 0
如下形式 x1 x2 x3 0
T 1 , 1 , 0 x 1 , x 0 取 2 得 3
取 x2 0, x3 1得 1, 0, 1 2 ,3均为A的二重特征值2,3 1 的特征向量，全 部特征向量为 k 2 2 k33 其中 k 2 , k3 不全为 零
例 1 求A = 1 2 2 征向量
1 A I 2 2 2 2
2 1 2
2 2 1
的全部特征值和对应的特
1 2 2
1 2 2
0 (5 )(1 ) 2 1 2 (5 ) 1 1 2 (5 ) 0 1 0 0 1 2 1 1 2 1
的几何重数 与代数重数m 满 特征值
对应的特征向量为 x1 , x2 ,, xn )为一多项式，则 f (A )的特征值为f(i ), 又设f( i = 1,2,3…..n 且 i 所对应的特征向量 xi 也同 时为f(i )所对应的特征向量。
典型例题分析
1）特征值于特征向量的计算
设A为实对称矩阵，则有 (1) A的特征值都是实数； (2) A的不同特征值对应的特征向量正交 (3) A可正交对角化，既存在正交阵Q使 Q1 AQ QT AQ 其中 diag 是A的特征 (1 , 2 , n ) 1 , 2 ,, n 值注 注 正交阵Q的求法 对A的k（k>1）重特征根 ，将求出的的基础解系正 交化,这样合并后得到的n个特征向量 1 , 2 ,, n
ij nn
x
aij ) nn (
第一步：求出方程 A I 0的所有根 , , ，即为 A的全部特征值 第二步：对每个不同的 i ，解其次方程组(A i I) =0，求出一个基础解系 i , i ,, i , 即为A的属于 i 的线形无关特征向量。 t t t 则为A的属于i 的全部特征向
第六章 矩阵的相似 特征值和特征向量
量，构成向量空间吗？ 不！因为不含零向量。
4
第 6章
矩阵的相似 特征值和特征向量
(1)
a1n a2 n ann 0
2.2 特征值与特征向量的求法 由 Ax x
a11 a12 a22 an 2
可得 ( A E ) x 0
(2)
显然，（2）有非零解的充要条件是 det( A E ) 0 即
§2 特征值和特征向量
2.1 特征值与特征向量的概念 Definitቤተ መጻሕፍቲ ባይዱon 6.1 设 A 是 n 阶方阵，如果数 和 n 维非
零向量 x 使关系式
对应于特征值 Theorem 6.1
Ax x
（1）
成立，则称 为 A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的
的特征向量.
特征向量，则 k1x1 k2x2 也是A 的属于特征值 0 的特
( x1 x2 ) x 1 1 2 2x
( ) x 0 即 (1 ) x 1 2 2
因 1 2 , 由Th. 4.5 知 x1，x2 线性无关，故由上式 得 1 2 0 即 1 2 与题设矛盾 15 因此， x1+ x2 不是 A 的特征向量.
2 2 1 1 3 5 2全部特征向量为 2 Solution : A 对应于 2 A k E 2 1 2 ( 1) (5 ) x （ k 是不为零的任意常数） 3 3 3 2 2 1
特征值是 1 2 1，3 5
theorem612的对应于特征值的线性无关的特征向量恰有r344242实对称矩阵的相似对角化实对称矩阵的相似对角化theorem613阶实对称矩阵则必存在n阶正交阵u1au其中是以a对实对称矩阵a求正交阵u1au1求出a的全部互不相等的特征值它们的重数分别为k重特征值求方程的基础解系1au注意中对角元的排序应与u中列向量排序相对应
矩阵的特征值与特征向量
3 32 24 28
上式 ( 2)( 5 14) ( 2)( 7)( 2) 1 2 2, 3 7 （这就是特征值。）
2
经试根知，2是一个根。故
（下面求特征向量。）
对1 2 2, (解( A 2E ) X O) 1 2 2 1 2 2 0 0 x1 2 x2 2 x3 A 2E 2 4 4 0 2 0 0 0 4 4
矩阵的相似对角形
矩阵的特征值与特征向量
一、相似矩阵： 1.定义1：设A与B都是n阶矩阵，若存在一个 n阶可逆阵P，使
B P 1 AP，则称矩阵A与B相似，记作 A~B
可逆阵P称为相似变换矩阵。
(1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。 (2) A~B AB,反之不对。 相似与等价的关系
(i ) A ~ B r( A) r( B)
3.特征值的求法公式：设为A的特征值，则
(i ) k为kA的特征值； (ii) m为Am的特征值； (iii) f ( )为f ( A)的特征值； (iv) 1为A1的特征值；
(v ) A
非常重要的公 式，一定要背过。
(vi) 为AT的特征值 .
(i) 12 n A;
证明详见课本。 在求行列式时特别有用。
A的特征值为 1 ， 1 ， 2，求 A 3E . 例2：设三阶方阵
三、特征值与特征向量的性质：
40
性质1：n阶矩阵A的相异特征值 1，2， ，m所对应的 特征向量1 , 2 , , m线性无关。
推论：
n阶矩阵A的相异特征值为 1，2， ，m , i1 , i 2 , , iri 是特征值i 所对应的线性无关的特 征向量，则 ri 个特征
两矩阵相似得出的结论总
两矩阵相似得出的结论总
两个矩阵相似意味着它们具有相同的特征值，但是特征向量可能不同。
从这个结论我们可以得出以下总结：
1. 相似矩阵具有相同的特征值：特征值是矩阵的一个重要性质，它描述了矩阵转换后的向量的放大或缩小倍数。
两个相似矩阵具有相同的特征值意味着它们具有相似的特征变换效果。
2. 相似矩阵的特征向量可能不同：特征向量是与特征值相对应的向量，描述了特征变换后的向量的方向。
即使两个矩阵具有相同的特征值，它们的特征向量可能是不同的，因为不同矩阵的特征变换可能会将向量方向变换为不同的方向。
3. 相似矩阵可以通过可逆矩阵进行转换：两个相似矩阵可以通过一个可逆矩阵进行转换，使得它们具有相同的特征值。
这种转换称为相似转换，可以利用矩阵的特征值和特征向量来进行。
4. 相似矩阵具有相似的性质：由于相似矩阵具有相同的特征值，它们也具有相似的矩阵性质，比如迹、行列式、秩等。
5. 相似矩阵可以简化计算：相似矩阵具有相同的特征值，这意味着它们具有相似的特征分解形式。
通过对一个相似矩阵进行特征分解，我们可以得到另一个
相似矩阵的特征分解，从而简化计算。
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定义4.2.1 设A, B都是n阶矩阵,如果存在可逆 矩阵P, 使
P 1 AP B, 则称A相似于矩阵B, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算P 1 AP称为对A进行相似变换,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵.记为A ~ B.
1
相似矩阵与相似变换的性质
(1)反身性 A与A本身相似. 这是因为 A E 1 AE,故A ~ A.
(2)对称性 若A与B相似,则B与A相似.
这是因为 若A ~ B,则存在可逆矩阵P,
使得B P 1 AP, 所以A (P 1 )1 BP1,
故B ~ A.
(3)传递性 若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
这是因为 若A ~ B; B ~ C,则存在可逆矩阵P;Q,
使得B P 1 AP;C Q 1BQ, 所以C Q 1P 1 APQ,
a0 X a1X ar r X ()X
14
所以 ( )是方阵 ( A)的特征值， 并且A的对应于的特征向量X也是 ( A) 对应于 ( )的特征向量。
例 设是可逆方阵A的特征值，
证明 | A | 是A*的特征值。
证 设是A的特征值，X是对应于的特征向量， 将AX X两边左乘A*，得A* AX A* X ,
所以A的特征多项式中n和n1的项为 n (a11 a22 ann )n1,
在A的特征多项式中令 0得
f (0) | A | (1)n | A |,
所以A的特征多项式中常数项为 (1)n | A |,
由多项式的根与系数的关系可得
n
n
n
i aii , i | A | .
i 1
i 1
i 1
10
注 (1)方阵A的主对角线的元素之和称为A 的迹。此例表明A的所有特征值之和为A 的迹，而A的所有特征值之积为|A|。 (2)由此容易得到：方阵A可逆的充要条件 是A的所有特征值都不为零。
11
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x是A的属于
的特征向量，则
(1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时,1是A1的特征值.
证明 1 Ax x AAx Ax Ax x A2 x 2 x
再继续施行上述步骤 m 2次，就得 Am x m x
故m 是矩阵Am的特征值,且 x是 Am 对应于m的特
征向量.
2当A可逆时, 0,
由Ax x可得
A1Ax A1x A1x
A1 x 1 x 故 1是矩阵A 1的特征值, 且x是A 1对应于 1
即C (PQ)1 APQ,故A ~ C.
2
4.2.2、 特征值和特征向量的性质
定理4.2.1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项 式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
证明 A与B相似
可逆阵P,使得P 1 AP B
E B P1EP P1AP P1E AP
P1 E A P E A.
,
xm
pm
1 1
2
m
m1 2
m1 m
0,0,
,0
上式等号左端第二个矩阵的行列式为范德蒙行列
式,当各i不相等时,该行列式不等于0,从而该矩阵
可逆.于是有 x1 p1, x2 p2 , , xm pm 0,0, ,0,
即 xj pj 0 j 1,2, ,m.但 pj 0,故 x j 0 j 1,2, ,m.
推论 若 n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1, 2 , , n即是A的n个特征值.
4
定理4.2.2 设1, 2 , , m是方阵A的m个特征值,
p1, p2 , , pm依次是与之对应的特征向量.如果
1, 2 , , m各不相等,则 p1, p2 , , pm 线性无关.
证明 设有常数 x1, x2 , , xm 使 x1 p1 x2 p2 xm pm 0.
的特征向量.
13
从定义出发 省略不讲了
例 如果是A的特征值，(x) a0 a1x ar xr , 证明 ( )是 ( A)的特征值。
证 设是A的特征值，X是对应于的特征向量， 由于(x) a0 a1x ar xr , 所以( A) a0 E a1 A ar Ar ,
故有(A)X a0 EX a1 AX ar Ar X
7
因为,如果设x同时是A的属于特征值1 ,2的
1 2 的特征向量,即有
Ax 1x, Ax 2 x 1 x 2 x
1 2 x 0,
由于1 2 0, 则x 0, 与定义矛盾 .
推论 如果n阶方阵A有n个互不相同的特征值， 则A有n个线性无关的特征向量．
8
例 设1, 2 , , n是n方阵A (aij )的n个特征值,
因为A* A | A | E，所以| A | X A* X ,
所以A* X | A | X 即| A | 是A*的特征值.
15
例5 设A是n 阶方阵，其特征多项式为
fA E A n an1n1 a1 a0
求 AT的特征多项式.
解 f AT E AT E AT
E A n an1n1 a1 a0
n
n
n
证明 i aii , i | A | .
i 1
i 1
i 1
证 设n阶方阵A的特征多项式为，
a11 a12
f () | E A | a21 a22
a1n a2n
an1 an2 ann 其中n与n1的项)( a22 ) ( ann )中出现, 9
所以向量组 p1, p2 , , pm 线性无关.
6
注意 １. 属于不同特征值的特征向量是线性无关
的． ２. 属于同一特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３. 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征 值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一； 一个特征向量不能属于不同的特征值．
则 Ax1 p1 x2 p2 xm pm 0, 即
1 x1 p1 2 x2 p2 m xm pm 0, 类推之，有 1k x1 p1 k2 x2 p2 km xm pm 0.
k 1,2, ,m 1
5
把上列各式合写成矩阵形式，得
1
1
m1 1
x1 p1, x2 p2 ,