圆柱容球问题探究活动方案

正方体容球问题的探究活动方案红河乡九年制学校刘磊

正方体容球问题的探究活动方案

红河乡九年制学校刘磊

一、探究目的：

通过对已有知识的构建，加深学生对长方体、正方体、圆柱、和球的特征认识，提升中小学生对已知问题的深入探究意识，使学生能够在数学学习活动当中建立数学与生活的内在紧密联系，从而达到培养学生的空间思维能力和问题探究意识。

二、探究内容：

如图1，将一个球放在一个正方体容

器中，盖上容器上盖后，球恰好与正方体

的六个面紧密接触。假设球体的半径为

r ，则正方体的棱长为2r，那么球的体

积是正方体体积的几分之几，球体表面积

是正方体表面积的几分之几？

三、探究对象：

小学六年级学生及初中生已经学习了有关圆柱、正方体的相关知识，为本内容的探究奠定了一定的基础，因此可作为主要探究对象。

四、探究原理：

古希腊著名数学家阿基米德是历史上最杰出的数学家之一。按照他的生前遗愿，人们在他的墓碑上刻了一个“圆柱容球”的几何图形。他认为这是他在众多科学发现中，最为满意的定理发现，即在一个圆柱形容器中，盖上盖子后，球恰好与圆柱的上、下底面及侧面紧密接触，这

时球体的体积正好是圆柱体体积的三分之二，球体表面积也是圆柱表面 积的三分之二。 五、探究要素：

了解阿基米德“圆柱容球”定理，具有正方体、圆柱表面积及体积 计算的知识储备。

阿基米德定理:（如图2）圆柱容球就是把一个球放在一个圆柱形容

器中，盖上容器上盖后球恰好与圆柱的 上、下底面及侧面紧密接触。当圆柱容 球时，球的直径与圆柱的高和底面直径 相等。假设圆柱的底面半径为 r ，那么

圆柱的体积V 柱=πr²h = πr²×2r =2πr 3 ，阿

时，球的体积正好是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积 的三分之二。

根据阿基米德圆柱容球定理我们可得出：S 柱 = 2πr （r+h)=2πr (r+2r) 六、探究方法：

1、小学六年级学生可以以π≈3.14 取值进行数学运算；初中学生 可以直接以π代替数字进行数学运算，但在实际运算过程中须利用阿基 米德定理。

2、探究过程学生既可独立完成也可以小组协作完成。

图2

3、如果条件允许的情况下，学生还可以通过模拟实验的方法加以验证和检验。

七、预期目标：

1、通过以上问题的研究和探讨，激发学生的数学学习兴趣以及问题探究意识。

2、通过探究活动的开展使学生能够在数学学习活动过程当中发现更多的数学问题，学会利用已有的知识和经验进行数学研究活动。

3、培养学生的科学实践精神，提高学生搜集和整理信息、运用资料、处理资料等综合运用知识的能力，增强学生的团队协作意识和科学探究意愿。

附: a3=a×a×a

a2 =a×a