条件概率与概率的乘法公式

B {活到25岁}
显然， B A {现龄为 20岁的这种动物活到 25岁} 因为，“活到25岁”一定要“活过20岁”，所以
P( B) 0
P( A) 0
Baidu Nhomakorabea
2、概率的乘法公式
定理2 对事件 则有：
A, B
若
P( B) 0 P( A) 0
P ( AB ) P AP B A
或P( AB ) P B P A B
以上公式从大量的实验总结有，对于 件
n
个事
A1 , A2 ,, An有
, A2 , An ) P A1 P A2 A1 P A3 A1 A2 P An A1 A2
固A 包含的基本事件数为:P P P 16 P( A) 125
1 1 1 4 4 1
16
由加法公式推论2可知:
16 109 P A 1 P( A) 1 125 125
注意在概率的计算问题中，有的直接运算比较困难 ，可以把直接问题转化成相反问题计算容易的多。
二、条件概率与概率的乘法公式
1、条件概率 在实际问题中，有时需要求在事件B已发生的条 件下，事件A的概率。由于增加了条件“事件B已 发生”，所以称之为条件概率。
定义1
若
P( B) 0
则把事件B已发生的条件下，
事件A的概率称为条件概率，记为
P( A B )
例5
一批同类产品共14件，共中由甲厂提供的6件中有4件 优质品；由乙厂提供的8件中有5件优质品。试考察 下列事件的概率
C ( A B)
AB
PC P( A B) P A PB 0.85
例3
某人有5把钥匙，其中有一把是办公室门的,但他忘 了是哪一把,只好逐把试开(试完不放回),求三次内把 办公室门打开的概率
解: 设： Ai 恰好第 i次打开门
B 三次内把门打开
解: 设： A {甲击中目标 } } B {乙击中目标
( A B) {击 中 目 标 }
有： P( A) 0.8 P( B) 0.85 有定理1概率加法公式：
P( A B) 0.68
方法一
P( A B) P A PB P AB 0.97
例6
某地区气象资料表明，邻近的甲乙两城市中的甲市全 年雨天比例为12%，乙市全年雨天比例为9%，两城市 中至少有一市为雨天比例为16.8%,试求下列事件的概率
：
（1）甲市为雨天的条件下，乙市也为雨天 （2）在乙市为无雨的条件下，甲市也无雨
解 设
A {甲市为雨天 }
B {乙市为雨天 }
P( A) 0.12
B A1 A2 A3


则
且
有 ：
A1 , A2 , A3
两两互不相容
1 p( A1 ) 5 4 1 1 p( A2 ) 5 4 5
4 3 1 1 p( A3 ) 5 4 3 5
P(B) P( A1 A2 A3 ) PA1 PA2 PA3 0.6
方法二
P( A B ) P AP B P AP B P AB 0.97
例2
在打靶中，若“命中10环”的概率是0.40，“命中8环 或9环”的概率是0.45，求“至少命中8环”的概率
解: 设：
8环或9环} A {命中 10环}， B {命中
C {至少命中 8环}
例4
贷中装有4个黑球和一个白球,每次从贷中随机摸出一球, 并换入一个黑球,连续进行.求第3次摸到黑球的概率.
解: 设： A 第3次摸到黑球 A {第3次摸到白球}
先计算 A 的概率
这是一种有放回的摸球,连续摸3次球,基本事件的 总数为5×5×5=125。事件 相当于第一次和 A 第二次都摸到黑球，第三次摸到白球。
两市至少有一市为雨天
P( B) 0.09
P( A B) 0.168
概率加法公式有
P( AB) P A PB P A B 0.12 0.09 0.168 0.042
(1) P AB 0.042 P( B A) 0.35 P A 0.12
第三节
概率运算
一、概率的加法公式 二、条件概率与概率的乘法公式
一、概率的加法公式
定理1 对于任意两个事件 A, B 有
P( A B) PA PB PA B
P A1 A2 A3 P A1 P A2 P A3 P A1 A2 P A2 A3 P A
推论1 如果事件
概率的加法可以推广有限个事件和的情形：
A, B
互不相容，则
P( A B) P A PB
推论2 对于任意事件A，有
P A P A 1
例1
两人同时向目标射击，甲击中目标的概率0.8，乙击中 目标的概率0.85，两人同时击中目标的概率0.68，求 目标被击中的概率。
P( A B )
1 C4 2 所以P( A B ) 1 C6 3
3
AB {从全部事件中任取一件是甲厂的优质产品} 1 C4 2 即有P( AB ) 1 C14 7
本例不难发现
P AB P( A B ) P B P AB P( B A) P A
PA B PA B 1 0.168 P( A B ) 0.9143 PB PB 1 0.09
( 2)
例7
某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4, 问现龄为20岁的这种动物活到25岁的概率是多少？
解
设
A {活到20岁}
(1)从全部产品中任取一件是甲厂的产品 (2)从甲厂提供的产品中任取一件，而且恰是优质品 (3)从全部产品中任取一件是甲厂的优质产品
解 B {取得甲厂提供的产品 } } A {取得产品为优质品
(1)
C6 3 P( B ) 1 C14 7
1
（2）这里考察的是在事件B发生的条件下事件A的概率