抛物线的切线问题教案

抛物线的切线问题

天台平桥中学 杨启

一、教学目标、重点、难点

1．知识目标：掌握抛物线的切线方程的求法，巩固“坐标法”在解决直线与抛物线

线位置关系问题的应用.

2．能力目标：培养学生的运算能力和思维能力，让学生进一步体会数形结合、化归

与转化的数学思想.

3．情感目标：通过问题的探究，培养学生勇于探索的精神，使学生经历一个发现问

题，研究问题，解决问题的思维过程，从中领悟其过程所蕴涵的数学思想，体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新精神.

4．教学重点和难点：在抛物线的切线问题的情景下，用“坐标法”解决直线与抛物

线的位置关系问题.

二、教学过程

（一）引入

在近5年高考中，有些省份的解析几何题出现了以抛物线的切线为载体的直线与圆锥曲线的位置关系问题，如2005江西，2006全国卷II ，2007江苏，2008山东，2009浙江等试题中的解析几何题都以抛物线的切线形式出现，所以我们有必要研究这些题目，希望通过研究它们来进一步提高我们对直线与抛物线的位置关系的认识，提高我们的解题能力. （二）典型例题

例1 (2007江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于,A B 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q 两点.

（1）若2OA OB ⋅=，求c 的值；

（2）若P 为线段AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线； （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由.

分析：(1)设出AB 的直线方程，及A ，B 两点坐标联立抛物线方程，利用韦达定理即可.

（2）AQ 的斜率用A 点导数表示，也可用两点斜率公式表示，两者相等就得证.

（3）先写出逆命题，再利用斜率相等.

解：（1）设直线AB 的方程为c kx y +=，

将该方程代入2y x =得02=--c kx x .

令A ),(211x x ,B ),(2

2

2x x ，则c x x -=21. 222

22121=+-=+=⋅c c x x x x OB OA , .2.(1,2=-==∴c c c 故舍去）或

(2)由题意知),2

(2

1

c x x Q -+，

直线AQ 的斜率为12

12

1212112122

2x x x x x x x x x c x k AQ =--=+-

+=

又2

y x =的导函数为x y 2='，

所以点A 处切线的斜率为12x .因些，QA 为此抛物线的切线. （3）（2）的逆命题成立，证明如下：

设),(0c x Q -，若AQ 为该抛物线的切线，则12x k AQ =.

又直线AQ 的斜率为0

12

1210121x x x x x x x c x k AQ

--=

-+=， 10

12

1212x x x x x x =--∴

2121012x x x x x +=∴

)0(2

12

10≠+=

∴x x x x 所以点P 的横坐标为2

2

1x x +，即逆命题成立.

评析：本题只要抓住斜率相等关键条件，结合韦达定理，准确地运算，即可得到解答.

例2（2010 浙江金华十校）已知抛物线C 1：2x y =，椭圆2C ：14

2

2

=+y x . （1）设21,l l 是C 1的任意两条互相垂直的切线，并设M l l =21 ，证明：点M 的纵坐标为定值；

（2）在C 1上是否存在点P ，使得C 1在点P 处切线与2C 相交于两点B A 、，且AB 的中垂线恰为C 1的切线？若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.

分析：（1）设出切点坐标),(211x x ,),(2

2

2x x ，利用导数可写出两个切线方程)(21121x x x x y -=-，

)(2222

2x x x x y -=-，又21l l ⊥可得到斜率之积12221-=x x 通过运算得到结论.

（2）设出坐标写出切线方程联立椭圆方程，利用韦达定理及（1）找出相关的关系式进而解出点P 从标.

解：(1)设切点分别为),(211x x ,),(2

2

2x x ， 由x y 2='可得

)(211211x x x x y l -=-的方程即2112x x x y -= ① 的方程2l 2

222x x x y -= ② 联立①②并解之，得

⎪⎩⎪⎨⎧

=+=2

1212x x y x x x 即为点M 的坐标),2

(

212

1x x x x + 21l l ⊥ 12221-=∴x x ，所以4

1

21-==x x y M

即点M 的纵坐标为定值4

1

-.

（2）设),(200x x P ，则C 1在点P 处的切线方程为2

002x x x y -=，

代入2C 方程04422=-+y x ，得

044)44(4030220

=-+-+x x x x x ， 设),(),,(4433y x B y x A ，则

2

4043202043444,1x x x x x x x x +-=+=+，0)44(164

020>-+=∆x x 由（1）知41-=M y ，从而41243-=+y y ，即4

1)(2

0430-=-+x x x x ， 进而得4112

02

40-=-+x x x ，解得3120=x 经检验3

1

2

0=

x 满足0>∆，所以这样的点P 存在，其坐标为)31,33(±

评析：本题通过导数得到切线斜率，使求切线方程过程得到简化，为求点M 的坐标奠定基础，点M 又使两小量连接起来.关于存在性问题，务必要检验结论成立的条件.本题变量多，运算量大，只有在清晰的思路的引导下，规范书写，才能避免出错. （三）练习

（2006全国II ，21）已知抛物线24x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，

且(0).AF FB λλ=>过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.

（I ）证明AB FM ⋅为定值； （II ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式，并求S 的最小值。 解：(I)由题意，设直线AB 的方程为1+=kx y 代入24x y =得0442=--kx x

设),(),,(2211y x B y x A 则4,42121-==+x x k x x

又2

x

y ='所以切线方程分别为42211x x x y -=，422

22x x x y -=从而

)1,2

(2

1-+x x M

所以2

2

21x x k FM +-

=

，故14222121-=+⋅+-=

⋅x x x x k k FM 即AB FM ⊥ 所以0=⋅AB FM 为定值.