材料力学动载荷
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受冲击 的构件
v
F
a
冲击物
向加速度，结构受到冲击力的作用。
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
根据能量守恒定律，即
T V V
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；
Ve :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的应变能。
计算冲击问题时所作的假设： (1)冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物 和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。
第10章
动 载 荷
概述
前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、 稳定性的计算都是在静载荷作用下进行的，即认为载荷从零 开始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，载 荷加到最终值后也不再变化。 在工程实际问题中： 一些高速运动的构件或零部件，以及加速提升的构件， 其质点具有明显加速度。 再如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向冲击的构件， 更是在瞬间速度发生急剧改变。 显然这些情况不能作为静载荷来考虑，称之为动载荷，在 动载荷作用下的构件的计算称为构件的动力计算。
在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为D ， 则其直径变化 D D D ，径向应变为
所以
t D π( D D ) r t D πD E d v 2 D D D E Eg
v 2 D D D D(1 ) gE
例1 一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料 比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。 解： FNd ( x) 吊索截面上的内力：
FNd ( x)
m
a
m x
重物与吊索的重力： Q ,
Ax
Ax Ax
g
a
x
Q ， Ax a 惯性力为： a g g
根据动静法，列平衡方程： Q
由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。
•动静法解题的步骤： 1、计算构件的加速度； 2、将相应的惯性力 Fg ma 作为外力虚加于各质点 3、作为平衡问题进行处理。
例
Байду номын сангаас
如图a所示， 一根长l=12 m的14号工字型钢由两根钢缆
吊起，并以匀加速度a=10 m•s-2上升。已知钢缆的横截面面积 A=72mm2，工字钢的许用应力 =160MPa，试计算钢缆的 动应力，并校核工字钢梁的强度。
M 993.7 N m st max st max 61.7MPa 6 3 Wz 16.110 m
2qst
6qst
st max 61.7MPa
3. 钢梁的强度校核 梁内最大动应力为
d max Kd st max 2.02 61.7 124.6MPa [ ] 160MPa
1 Ve Pd d 2
F
Fd
根据力和变形之间的关系：Fd k d
Fd ：冲击物速度为0时，作用于杆之力。
P
被冲击构件增加的应变能Vε ，是等于冲 击载荷 Fd 在冲击过程中所作的功。
st
d
且 F d
k
d P st
于是应变能为
根据能量守恒：
1 1 P 2 V Fd d d 2 2 st
T V
可以得到：
即
2
1 P 2 P( h d ) d 2 st
由平衡方程
0 0.5π (kN m) 得 Mf Md 3
x
刹车时，轴与飞轮的角加速度为：
M
2. 计算轴AB横截面上的最大切应力
任一横截面上的扭矩为：
T T Mdd d M 0 0 .. 5 5 π π (kN (kN m) m) 3 3
轴横截面上的最大扭转切应力为：
(l x )dx
2 2
2 l 3
3Eg
直杆单位长度上的动载荷及杆内动应力与到轴线的距离之 间的关系如图。
例
在如图示的轴上，B端装有一个质量很大的飞轮，其
转动惯量为Jx=0.5kN•m•s2，转速为n=100r/min。轴的直径 d=100mm，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的A端 装有刹车离合器。刹车时使轴在10s内均匀减速停止转动。
•动荷系数 K d的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与 静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以 下重要关系：
Fd d d d Kd Pst st st st
式中 Fd , d , d , d 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移； P st , st , st , st 分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。
0.5π 1033 N m Td 6 dmax 3 2.69106 Pa 2.69MPa max 3 3 π W W 3 3 Pt 10010 m 16
请思考，若制动时间减为1s或0.1s， τd max将如何变化?
§10.2 构件受冲击时的应力
•冲击问题的特点： 结构（受冲击构件）受外力（冲击 物）作用的时间很短，冲击物的速度 在很短的时间内发生很大的变化，甚 至降为零，冲击物得到一个很大的反
Fd d d P st st
冲击物 动能 T 和势能 V 能量守恒 T+V = Vε 被冲击物 应变能Vε 结果偏于安全
根据假设，工程实际上的梁、轴、拉(压)杆均可简化 为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物F,在 高度h处落下的作用，计算冲击应力。
P P h P
h
h
二、匀角速度旋转构件
1.旋转圆环的应力计算 一平均直径为D 的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面 的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁 厚为t。 解：
qd
A AD 2 qd an g 2g
an
D o
t
o
圆环横截面上的内力：
qd
y
qd d
D 2
2 FNd
Ax Ax
g
a
x
Ax Q st A
a 代入上式，并引入记号K d 1 ，称为动荷系数，则： g
Q a g
Q
d st Kd
于是，动载荷作用下构件的强度条件为：
d max ( st )max Kd [ ]
式中得[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。
从而可知杆内最大动应力为
d max
l
2g
2 2
⒉ 求杆的总伸长 在x处取一微段dx，其伸长d(Δld)可根据 胡克定理求得，即 d ( x) d(l d ) d ( x)dx dx E 于是，杆的总伸长量为
ld d(ld )
0
l
l
2
2 Eg
0
构件的动力计算，包括构件的载荷和内力分析；应力与强度、
变形与刚度的分析与计算。
对动力学的学习与研究(基本定理与动静法)提供了构件动力 计算分析的前提。
前面各章在静载荷下对杆件基本变形及组合变形的内力、应
力、变形分析，为构件的动载荷下的应力与变形计算奠定了基础。 本章将把两方面结合起来应用于杆件的动力计算。
(2)不考虑被冲击物的质量，冲击力瞬间传遍构件，
且材料服从胡克定律 (3)冲击过程中，忽略声、光、热能的转化，即只有
势能与动能的转化。
假设： 1. 冲击物为刚体，被冲击物为弹性体。 2. 不计冲击过程中的能量损失。 3. 被冲击物质量远小于冲击物质量，可略去不计。 4、冲击载荷和冲击变形仍然满足线弹性关系，即
对动载荷作用下的构件，只要应力不超过比例极限σP，胡
克定律仍然适用．弹性模量也与静载下相同：其强度、刚度和稳 定性的条件均与静载荷作用下相同，只不过将其公式中的静载荷 与静应力、静变形以动载荷与动应力、动变形代之。
静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增
加到某一定值不再随时间改变。
动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时 间变化的载荷。
解：1. 计算钢缆内的动应力 由型钢表查得，工字钢每米长度
的重量qst =165.62 N•m-1，抗弯截面系数Wz=16.1×10-6 m3。根 据题意，动荷因数为
a 10 Kd 1 1 2.02 g 9.8
工字钢梁在自重作用下的受力图如图b所示
由钢梁的平衡方程ΣFy=0 ，
因此，距轴线距离为x的截面上的轴力为
A
g
2x
FNd qd ( x)dx
x
l
l
A 2
g
x
xdx
A 2
2g
(l 2 x 2 )
FNd
相应的动应力为
A 2
2g
(l 2 x 2 )
FNd 2 2 d ( x) (l x 2 ) A 2g
动应力：构件内由于动载荷引起的应力。
本章讨论的问题： 作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；
在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；
实验证明：静载荷下服从胡克定律的材料，在动载荷下 只要动应力不超过比例极限，仍然服从胡克定律，而且具
有相同的弹性模量。
一、作匀加速直线运动构件
1.动静法(达朗贝尔原理)
结论：钢梁的强度满足要求。
例
如图所示，等直杆OB在水平面
内绕通过O点并垂直于水平面的z-z 轴转动。已知角速度为ω ，杆横截 面积为A，材料的容重为γ ，弹性模 量为E。试求杆内最大动应力和杆的
总伸长。
解：⒈ 求杆内最大动应力 向心加速度为
an 2 x
到轴线距离为x处杆单位长度上的动载荷为 q d ( x)
π
0
D qd d sin qd D 2
FNd
d o
x
FNd
FNd
AD 2 2 4g
圆环横截面上的应力：
FNd D 2 2 v 2 d A 4g g
式中 v
D 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为： 2
d
v 2
g
[ ]
•旋转圆环的变形计算
A B 弹簧
设：受重物F自高度 h 落下，冲击弹性系统后， P 速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最 大值 d 。
d
h
P P
此时，全部（动）势能转化为应变能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就 以此时来计算：
•释放出的动能（以势能的降低来表示）
弹簧
T P(h d )
•增加的应变能，在弹性极限内
求轴内最大动应力。
解： 1. 计算轴AB的载荷
轴与飞轮的转动角速度为：
nπ 100 π 10π 0 (rad/s) 30 30 3
10 0 1 0 3 (rad/s) t 10 3 π 0.5π 按动静法得： M d J x 0.5 (kN m) 3 3
Q a g
F
x
0
Q
Ax Q FNd ( x) Ax a Q a 0 g g a FNd ( x) ( Ax Q)(1 ) g
解得：
吊索中的动应力为：
FNd ( x)
FNd Ax Q a d ( x) (1 ) A A g
当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截 面上的静荷应力为：
§10.1 匀加速运动构件的应力计算 —惯性力法
设有等直杆：长L，截面积A,比重，受拉力F 作用,以等 加速度a 运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。
x dx m a F
qd
F F Fg a m AL / g AL F qd a g L
A 1
对作等加速度运动或等速转动构件进行受力 分析时，可以认为构件的每一质点上作用着与加 速度a方向相反的虚加惯性力,其大小等于质量与 加速度的乘积。从而使质点系上的真实力系与虚 加的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达 朗贝尔原理即动静法。 当构件作匀速直线运动时，加速度等于零， 惯性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止 状态是相同的。对这类运动下的构件，可视为静 载荷的作用。
FN st qst l 1 165 .62 N m 1 12 m 993 .7 N 2 2
故钢缆内的动应力为
d K d st 2.02
993 .7 N 27.9MPa 6 2 72 10 m
2. 计算梁内最大静应力
最大弯矩和弯曲正应力发生在跨中截面上
1 M st max FN st 4 qst 62 6qst 6 165 .62 993 .7 N m 2
v
F
a
冲击物
向加速度，结构受到冲击力的作用。
采用能量法近似计算冲击时构件内的最大应力和变形。
根据能量守恒定律，即
T V V
T :冲击物接触被冲击物后，速度0，释放出的动能；
V :冲击物接触被冲击物后，所减少的势能；
Ve :被冲击构件在冲击物的速度0时所增加的应变能。
计算冲击问题时所作的假设： (1)冲击物无回弹，并且不计冲击物的变形，冲击物 和被冲击物在冲击后共同运动，形成一个运动系统。
第10章
动 载 荷
概述
前述各章有关构件的工作情况的分析以及强度、刚度、 稳定性的计算都是在静载荷作用下进行的，即认为载荷从零 开始缓慢增加，杆件上各点加速度很小，可以不加考虑，载 荷加到最终值后也不再变化。 在工程实际问题中： 一些高速运动的构件或零部件，以及加速提升的构件， 其质点具有明显加速度。 再如锻锤的锤杆、受重物沿铅直或水平方向冲击的构件， 更是在瞬间速度发生急剧改变。 显然这些情况不能作为静载荷来考虑，称之为动载荷，在 动载荷作用下的构件的计算称为构件的动力计算。
在惯性力集度的作用下，圆环将胀大。令变形后的直径为D ， 则其直径变化 D D D ，径向应变为
所以
t D π( D D ) r t D πD E d v 2 D D D E Eg
v 2 D D D D(1 ) gE
例1 一吊车以匀加速度起吊重物Q,若吊索的横截面积为A，材料 比重为，上升加速度为a，试计算吊索中的应力。 解： FNd ( x) 吊索截面上的内力：
FNd ( x)
m
a
m x
重物与吊索的重力： Q ,
Ax
Ax Ax
g
a
x
Q ， Ax a 惯性力为： a g g
根据动静法，列平衡方程： Q
由上式可见，圆环直径增大主要取决于其线速度。
•动静法解题的步骤： 1、计算构件的加速度； 2、将相应的惯性力 Fg ma 作为外力虚加于各质点 3、作为平衡问题进行处理。
例
Байду номын сангаас
如图a所示， 一根长l=12 m的14号工字型钢由两根钢缆
吊起，并以匀加速度a=10 m•s-2上升。已知钢缆的横截面面积 A=72mm2，工字钢的许用应力 =160MPa，试计算钢缆的 动应力，并校核工字钢梁的强度。
M 993.7 N m st max st max 61.7MPa 6 3 Wz 16.110 m
2qst
6qst
st max 61.7MPa
3. 钢梁的强度校核 梁内最大动应力为
d max Kd st max 2.02 61.7 124.6MPa [ ] 160MPa
1 Ve Pd d 2
F
Fd
根据力和变形之间的关系：Fd k d
Fd ：冲击物速度为0时，作用于杆之力。
P
被冲击构件增加的应变能Vε ，是等于冲 击载荷 Fd 在冲击过程中所作的功。
st
d
且 F d
k
d P st
于是应变能为
根据能量守恒：
1 1 P 2 V Fd d d 2 2 st
T V
可以得到：
即
2
1 P 2 P( h d ) d 2 st
由平衡方程
0 0.5π (kN m) 得 Mf Md 3
x
刹车时，轴与飞轮的角加速度为：
M
2. 计算轴AB横截面上的最大切应力
任一横截面上的扭矩为：
T T Mdd d M 0 0 .. 5 5 π π (kN (kN m) m) 3 3
轴横截面上的最大扭转切应力为：
(l x )dx
2 2
2 l 3
3Eg
直杆单位长度上的动载荷及杆内动应力与到轴线的距离之 间的关系如图。
例
在如图示的轴上，B端装有一个质量很大的飞轮，其
转动惯量为Jx=0.5kN•m•s2，转速为n=100r/min。轴的直径 d=100mm，与飞轮相比，轴的质量可以忽略不计。轴的A端 装有刹车离合器。刹车时使轴在10s内均匀减速停止转动。
•动荷系数 K d的物理意义：是动载荷、动荷应力和动荷变形与 静载荷、静荷应力和静荷变形之比。因此根据胡克定律，有以 下重要关系：
Fd d d d Kd Pst st st st
式中 Fd , d , d , d 分别表示动载荷，动应力，动应变和动位移； P st , st , st , st 分别表示静载荷，静应力，静应变和静位移。
0.5π 1033 N m Td 6 dmax 3 2.69106 Pa 2.69MPa max 3 3 π W W 3 3 Pt 10010 m 16
请思考，若制动时间减为1s或0.1s， τd max将如何变化?
§10.2 构件受冲击时的应力
•冲击问题的特点： 结构（受冲击构件）受外力（冲击 物）作用的时间很短，冲击物的速度 在很短的时间内发生很大的变化，甚 至降为零，冲击物得到一个很大的反
Fd d d P st st
冲击物 动能 T 和势能 V 能量守恒 T+V = Vε 被冲击物 应变能Vε 结果偏于安全
根据假设，工程实际上的梁、轴、拉(压)杆均可简化 为弹簧来分析。现以一弹簧代表受冲构件，受重物F,在 高度h处落下的作用，计算冲击应力。
P P h P
h
h
二、匀角速度旋转构件
1.旋转圆环的应力计算 一平均直径为D 的薄壁圆环绕通过其圆心且垂直于圆环平面 的轴作等角速度转动。已知转速为，截面积为A，比重为，壁 厚为t。 解：
qd
A AD 2 qd an g 2g
an
D o
t
o
圆环横截面上的内力：
qd
y
qd d
D 2
2 FNd
Ax Ax
g
a
x
Ax Q st A
a 代入上式，并引入记号K d 1 ，称为动荷系数，则： g
Q a g
Q
d st Kd
于是，动载荷作用下构件的强度条件为：
d max ( st )max Kd [ ]
式中得[]仍取材料在静载荷作用下的许用应力。
从而可知杆内最大动应力为
d max
l
2g
2 2
⒉ 求杆的总伸长 在x处取一微段dx，其伸长d(Δld)可根据 胡克定理求得，即 d ( x) d(l d ) d ( x)dx dx E 于是，杆的总伸长量为
ld d(ld )
0
l
l
2
2 Eg
0
构件的动力计算，包括构件的载荷和内力分析；应力与强度、
变形与刚度的分析与计算。
对动力学的学习与研究(基本定理与动静法)提供了构件动力 计算分析的前提。
前面各章在静载荷下对杆件基本变形及组合变形的内力、应
力、变形分析，为构件的动载荷下的应力与变形计算奠定了基础。 本章将把两方面结合起来应用于杆件的动力计算。
(2)不考虑被冲击物的质量，冲击力瞬间传遍构件，
且材料服从胡克定律 (3)冲击过程中，忽略声、光、热能的转化，即只有
势能与动能的转化。
假设： 1. 冲击物为刚体，被冲击物为弹性体。 2. 不计冲击过程中的能量损失。 3. 被冲击物质量远小于冲击物质量，可略去不计。 4、冲击载荷和冲击变形仍然满足线弹性关系，即
对动载荷作用下的构件，只要应力不超过比例极限σP，胡
克定律仍然适用．弹性模量也与静载下相同：其强度、刚度和稳 定性的条件均与静载荷作用下相同，只不过将其公式中的静载荷 与静应力、静变形以动载荷与动应力、动变形代之。
静载荷：作用在构件上的载荷是由零开始缓慢地增
加到某一定值不再随时间改变。
动载荷：使构件产生明显的加速度的载荷或者随时 间变化的载荷。
解：1. 计算钢缆内的动应力 由型钢表查得，工字钢每米长度
的重量qst =165.62 N•m-1，抗弯截面系数Wz=16.1×10-6 m3。根 据题意，动荷因数为
a 10 Kd 1 1 2.02 g 9.8
工字钢梁在自重作用下的受力图如图b所示
由钢梁的平衡方程ΣFy=0 ，
因此，距轴线距离为x的截面上的轴力为
A
g
2x
FNd qd ( x)dx
x
l
l
A 2
g
x
xdx
A 2
2g
(l 2 x 2 )
FNd
相应的动应力为
A 2
2g
(l 2 x 2 )
FNd 2 2 d ( x) (l x 2 ) A 2g
动应力：构件内由于动载荷引起的应力。
本章讨论的问题： 作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件；
在冲击载荷下构件的应力和变形的计算；
实验证明：静载荷下服从胡克定律的材料，在动载荷下 只要动应力不超过比例极限，仍然服从胡克定律，而且具
有相同的弹性模量。
一、作匀加速直线运动构件
1.动静法(达朗贝尔原理)
结论：钢梁的强度满足要求。
例
如图所示，等直杆OB在水平面
内绕通过O点并垂直于水平面的z-z 轴转动。已知角速度为ω ，杆横截 面积为A，材料的容重为γ ，弹性模 量为E。试求杆内最大动应力和杆的
总伸长。
解：⒈ 求杆内最大动应力 向心加速度为
an 2 x
到轴线距离为x处杆单位长度上的动载荷为 q d ( x)
π
0
D qd d sin qd D 2
FNd
d o
x
FNd
FNd
AD 2 2 4g
圆环横截面上的应力：
FNd D 2 2 v 2 d A 4g g
式中 v
D 是圆环轴线上各点的线速度。强度条件为： 2
d
v 2
g
[ ]
•旋转圆环的变形计算
A B 弹簧
设：受重物F自高度 h 落下，冲击弹性系统后， P 速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最 大值 d 。
d
h
P P
此时，全部（动）势能转化为应变能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就 以此时来计算：
•释放出的动能（以势能的降低来表示）
弹簧
T P(h d )
•增加的应变能，在弹性极限内
求轴内最大动应力。
解： 1. 计算轴AB的载荷
轴与飞轮的转动角速度为：
nπ 100 π 10π 0 (rad/s) 30 30 3
10 0 1 0 3 (rad/s) t 10 3 π 0.5π 按动静法得： M d J x 0.5 (kN m) 3 3
Q a g
F
x
0
Q
Ax Q FNd ( x) Ax a Q a 0 g g a FNd ( x) ( Ax Q)(1 ) g
解得：
吊索中的动应力为：
FNd ( x)
FNd Ax Q a d ( x) (1 ) A A g
当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截 面上的静荷应力为：
§10.1 匀加速运动构件的应力计算 —惯性力法
设有等直杆：长L，截面积A,比重，受拉力F 作用,以等 加速度a 运动，求：构件的应力、变形（摩擦力不计）。
x dx m a F
qd
F F Fg a m AL / g AL F qd a g L
A 1
对作等加速度运动或等速转动构件进行受力 分析时，可以认为构件的每一质点上作用着与加 速度a方向相反的虚加惯性力,其大小等于质量与 加速度的乘积。从而使质点系上的真实力系与虚 加的惯性力系在形式上组成平衡力系，这就是达 朗贝尔原理即动静法。 当构件作匀速直线运动时，加速度等于零， 惯性力也等于零；就惯性力而言与构件处于静止 状态是相同的。对这类运动下的构件，可视为静 载荷的作用。
FN st qst l 1 165 .62 N m 1 12 m 993 .7 N 2 2
故钢缆内的动应力为
d K d st 2.02
993 .7 N 27.9MPa 6 2 72 10 m
2. 计算梁内最大静应力
最大弯矩和弯曲正应力发生在跨中截面上
1 M st max FN st 4 qst 62 6qst 6 165 .62 993 .7 N m 2