微分中值定理一

定理4.1(费马定理)的逆命题不一定正确. 例: 设f (x) = x3,则f ′(x) = 3x2,故f ′(0) = 0.
但x = 0不是f (x)的极值点. 通常, 称使f ′(x) = 0的点x为f (x)的驻点(临界点).
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定理4.2(罗尔中值定理) : 设f (x)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导.若f (a) = f (b),则必存
由于ξ介于x1, x2之间,即x1 < ξ < x2.故0 < θ < 1.
从而ξ = x1 +θ (x2 − x1),0 < θ < 1表示线段x1x2之间的任何一点.
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因此, 微分中值定理 : f (x2 ) − f (x1) = f ′(ξ )(x2 − x1)可表示为 : f (x2 ) − f (x1) = f ′[x1 +θ (x2 − x1)](x2 − x1), 且称之为微分中值公式.
因此罗尔中值定理判断导函数f ′(x)的零点
与连续函数零点存在定理2.6不一样.
例:
f
(x)
=
x 2
cos
1 x
x ≠ 0,则f (x)在[−1,1]连续, (−1,1)可导.
0
x=0
且f (−1) = f (1),由罗尔中值定理知 : 存在ξ ∈ (−1,1),使f ′(ξ ) = 0.
但f
在ξ ∈ (a,b)使f ′(ξ ) = 0.
证 :由定理2.5知 : f (x)在[a,b]内必有最大值M与最小值m. (1) :当M = m时,则f (x)在[a,b]内是常数函数,故f ′(x) ≡ 0, x ∈[a,b].从而命题成立. (2) :当M > m时,由f (a) = f (b)知 : 最大值M与最小值m至少有一个在开区间(a,b)
则f (x2 ) − f (x1) = f ′(ξ )(x2 − x1), x1 < ξ < x2.
若f ′(x) > 0, x ∈ (a,b),故f ′(ξ ) > 0.从而f (x2 ) > f (x1).
由x1, x2的任意性知 : f (x)在[a,b]内严格单增; 若f ′(x) < 0, x ∈ (a,b),故f ′(ξ ) < 0.从而f (x2 ) < f (x1). 由x1, x2的任意性知 : f (x)在[a,b]内严格单减.
由于f ′(x) = (2x5 + 4x − 3)′ = 10x4 + 4 > 0.从而f (x)在R上严格单增,
故f (x)有唯一的零点x = ξ ,即方程2x5 + 4x − 3 = 0有唯一的正根x = ξ.
a
ξb x
F (a) = f (a), F (b) = f (b) − f (b) − f (a) (b − a) = f (b) −[ f (b) − f (a)] = f (a). b−a
由罗尔中值定理知 : 存在ξ ∈ (a,b)使得F′(ξ ) = 0,
即F′(ξ ) = F′(x) = f ′(x) − f (b) − f (a) = f ′(ξ ) − f (b) − f (a) = 0.
注 :函数f (x)在[a,b]上连续可导定义为：导函数f ′(x)在[a,b]上连续. f (x)在[a,b]上连续可导可推出：f (x)在[a,b]上连续且f (x)在(a,b)上可导.
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由于f (x)可导,但f ′(x)未必连续.
如果最大值与最小值分别在边界上取得，则不是极大值与极小值.
解 : 设x0 ∈ (a,b)且f (x)在x0取得最大值M ,即f (x0 ) = M . 令δ = min{b − x0, x0 − a}, 则δ > 0. 而且当x ∈ Oδ (x0 ) ⊂ (a,b)时, 有f (x0 ) ≥ f (x).
aξ
bx
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罗尔中值定理常用来判断导函数f ′(x)的零点. 例: 证明方程sin x + x cos x = 0在(0,π )内必有实根. 证 :由于sin x + x cos x是x sin x的导函数,故考虑函数F (x) = x sin x, x ∈[0,π ].
′(
x)
=
2x
cos
1 x
+
sin
1 x
x ≠ 0在x = 0点不连续.
0
x=0
即使 : f ′(−1) = −2 cos1− sin1 < 0, f ′(1) = 2 cos1+ sin1 > 0.
也不能用零点存在定理2.6来判定f ′(x)在(−1,1)上的零点存在性.
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极小值与极大值统称为极值. 极小值点与极大值点统称为极值点.
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例: 设f (x) = x2,则x = 0为f (x)的一个极小值点. 由于存在领域Oδ (0),使当x ∈ Oδ (0)时, f (x) ≥ f (0).
例: 设f (x) = −x2,则x = 0为f (x)的一个极大值点. 由于存在领域Oδ (0),使当x ∈ Oδ (0)时, f (x) ≤ f (0).
故x0为f (x)的一个极大值点.
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定理4.1(费马定理) : 设y = f (x)在x0点取得极值,若f (x)在x0点可导,则f ′(x0 ) = 0.
证 : 不妨设f (x)在点x0处取得极小值( f (x)在点x0处取得极大值可类似证明)
特别地, f (x0+∆x) − f (x0 ) = f ′(ξ ) ⋅ ∆x, ξ ∈ (x0,x0+∆x).
f (x0+∆x) − f (x0 ) = f ′(x0 +θ ⋅ ∆x) ⋅ ∆x, 0 < θ < 1.
注 : 微分中值公式 : f (x2 ) − f (x1) = f ′[x1 +θ (x2 − x1)](x2 − x1)
则F (x)在[0,π ]上连续, 在(0,π )上可导. 而且F (0) = F (π ) = 0.
由罗尔中值定理知 : 存在ξ ∈ (0,π )使得F′(ξ ) = F′(x) = sin ξ + ξ cosξ = 0. x=ξ
故方程sin x + x cos x = 0在(0,π )内有实根.
与有限增量公式f (x) − f (x0 ) = f ′(x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ), (x → x0 )不同.
(1)有限增量公式中x必须与x0充分接近,即x在x0的一个小领域内. 而微分中值公式中区间[x1, x2 ]的长度是任意的.
(2)有限增量公式中x0的位置是确定的. 而微分中值公式中ξ的位置是不确定的.
即在点x0的邻域(x0 − δ , x0 + δ ), (δ > 0)内, 有f (x) ≥ f (x0 ).
由于 f ′(x0 )存在,故 f−′(x0 ) 和 f+′(x0 ) 都存在,且f ′(x0 ) = f−′(x0 ) = f+′(x0 ).
由于当x ∈ (x0 , x0
+ δ )时, 有
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定理4.3(拉格朗日中值定理) : 设f (x)在[a,b]内连续, 在(a,b)内可导.则必存在ξ ∈ (a,b)
使f ′(ξ ) = fቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(b) − f (a) .
b−a
y
证 : 构造辅助函数 : F (x) = f (x) − f (b) − f (a) (x − a). b−a
则F (x)在[a,b]上连续,且在(a,b)内可导.
第四章 中值定理与导数的应用
4.1、微分中值定理
定义4.1: 设f (x)在点x0的某一领域Oδ (x0 )内有定义, 若f (x) ≥ f (x0 ), x ∈ Oδ (x0 ),则称f (x0 )为f (x)的一个极小值; 这时称x0为f (x)的一个极小值点; 若f (x) ≤ f (x0 ), x ∈ Oδ (x0 ),则称f (x0 )为f (x)的一个极大值. 这时称x0为f (x)的一个极大值点.
x=ξ
b − a x=ξ
b−a
故f ′(ξ ) = f (b) − f (a) .
b−a
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由于拉格朗日中值定理的一般性, 我们称其为微分中值定理.
微分中值定理也可表示为: f (x2 ) − f (x1) = f ′(ξ )(x2 − x1), 其中x1, x2是[a, b]中任意两点, 但是ξ介于x1, x2之间(x2 > x1或x2 < x1均可),且ξ与x1, x2有关. 注 : ξ可表示为 : ξ = x1 +θ (x2 − x1),0 < θ < 1.
例: 设f (x) = k(k为常数),则任何一点x0都是为f (x)的一个极大值点与极小值点.
由于对任何一点x0 , 存在领域Oδ (x0 )使当x ∈ Oδ (x0 )时, f (x) ≤ f (x0 )且f (x) ≥ f (x0 ).
例: f (x) = x3,则x = 0不是f (x)的一个极值点.