2019年高中数学必修四世纪金榜课件向量

2019-2020高中数学必修四配套课件：2.2.1向量加法运算及其几何意义

第九页，编辑于星期日：点三十七分。
向量加法的运算
【例 1】 (2017 年山东济南校级月考)已知四边形 ABCD，
连接 AC，BD，则A→B＋B→C＋C→D为( )
A．A→D
B．B→D
C．A→C
D．0
第十页，编辑于星期日：点三十七分。
【解题探究】根据平面向量的加法运算法则，进行化简即可．
【答案】A 【解析】根据平面向量的加法运算，得A→B＋B→C＋C→D＝A→C ＋C→D＝A→D.故选 A．
第三页，编辑于星期日：点三十七分。
三角形图
法则形
法则平行四
边形法则
前已知不共线的两个向量 a，b，在平面内任取提一点 O 作以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻法边作平行四边形 OACB
第四页，编辑于星期日：点三十七分。
平行结论对角线__O_→_C__就是 a 与 b 的和四边法则形法图形则规定对于零向量与任一向量 a，都有 a＋0＝0＋a＝__a__
2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义
第一页，编辑于星期日：点三十七分。
目标定位
重点难点
1.通过实例了解向量加法定义的重点：向量加法运算，并理由来
解其几何意义 2.掌握向量加法运算，并理解其
难点：掌握向量加法的运算几何意义
律，并会应用它们进行向量 3.掌握向量加法的运算律，并会
→
|A→B|＝|D→C|，A→B∥D→C
→
四边形ABCD 是平行四边形
【解析】A→B＝A→O＋O→B，D→C＝D→O＋O→C，
∵A→O＝O→C，O→B＝D→O，∴A→B＝D→C.
∴AB∥DC 且 A．

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.精讲优练课型2.2.3

3.向量共线定理以及向量的线性运算 (1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ , 使_b_=_λ__a_. (2)向量的加、减、数乘运算统称为向量的_线__性__运__算__. 对于任意向量a、b及任意实数λ 、μ 1,μ 2,恒有 λ (μ 1a±μ 2b)=_λ__μ__1_a_±__λ_μ__2_b_.
【思维脉图】
【自主预习】 1.向量的数乘运算
定义记法长度
方向
向量的数乘实数λ 与向量a的乘积是一个_向__量__
_λ__a_
λ ＞0 λ ＜0
|λa|= __|λ_|_|_a|_ 方向与a的方向_相__同__ 方向与a的方向_相__反__
2.向量数乘的运算律设λ 、μ 为任意实数,则有: (1)λ (μ a)= _(_λ__μ__)_a_. (2)(λ +μ )a=_λ__a_+_μ__a_. (3)λ (a+b)=_λ__a_+_λ__b_. 特别地,有(-λ )a=_-_(_λ__a_)_=_λ__(_-_a_)_. λ (a-b)=_λ__a_-_λ__b_
②当0<|λ |<1时,有|λ a|<|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ <1)或反方向(-1<λ <0)上缩短到|a|的|λ |倍.
2.共线向量定理中规定a≠0的原因若将条件a≠0去掉,即当a=0时,显然a与b共线. (1)若b≠0,则不存在实数λ ,使b=λ a. (2)若b=0,则对任意实数λ ,都有b=λ a.
,所以
uuur AC＝
3
uur AB
, BuuCr＝

2
uur AB
.
AB 5

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.5平面向量应用举例2.探究导学课型2.5

4.如何利用向量的方法求线段的长度? 提示:根据向量的有关运算,求出对应向量的模,即为线段的长度.
结论: 1.向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)转化:建立平面几何与向量的联系,用_向__量__表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_向__量__问题.
(2)运算:通过_向__量__运算,研究几何元素之间的关系, 如距离、夹角等问题. (3)翻译:把_运__算__结__果__“翻译”成_几__何__关__系__.
(2)设OA a,OB b,则 AM 1 b a, NB b 1 a, AB b a.
2.用向量方法解决平面几何中的常见问题设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0且b≠0),a与b的夹角为θ . (1)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的_线__性__ _运__算__、向量的_模__. (2)证明垂直或涉及垂直问题,常用向量垂直的等价条件:a⊥b⇔_a_·_b_=_0__⇔_x_1x_2_+_y_1_y_2=_0_.
4.物理学中的功是一个标量,即为力F与位移s的_数__量__积__. 即W=F·s= __|_F_|_|_s_|_c_o_s_θ_(θ 为F与s的夹角).
【微思考】 1.向量数量积运算的物理背景是什么? 提示:向量数量积运算的物理背景是力做功的计算. 2.用平面向量可解决物理中的哪些问题?试举例说明. 提示:(1)与力有关的问题.(2)与速度有关的问题.
4.一条河宽为800m,一船从A出发垂直航行到达河正对
岸的B处,船速为20km/h,水速为12km/h,则船到达B处所
需时间为
分钟.
【解析】因为v实际=v船+v水=v1+v2, |v1|=20,|v2|=12, 所以|v|= v1 2 v2 2

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.2.3向量数乘运算及其几何意义2.探究导学课型2.2.3

其他正确.
3.若|a|=5,b与【解析】因为|a|= 5 |b|,且a与b方向相反,所以a=- 5 b.
7
7
答案:- 5
7
4.若向量方程5(x+a)+3(x-b)=0,则向量x=
.
【解析】原方程可变形为5x 5a 3x 3b 0,即8x 5a 3b, 所以x 5 a 3 b.

3a

2b,
代入①得33a 2b 2y a,所以y 4a 3b.
所以x 3a 2b, y 4a 3b.
【方法总结】向量的线性运算的思路 (1)利用实数与向量的积的运算律可以化简有关向量式. 其化简方法与代数式的化简有些类似. (2)已知某些向量,而要化简与它们有关的向量式,其解题方法可类比初中所学的“求代数式的值”,即先化简向量式,再代入求值.这样能简化解题过程.
(3)解向量的线性方程组的方法同解实数系中的一次方程组一样,即进行消元,其消元方法也有代入消元法、加减消元法.
【巩固训练】化简下列各式.
【微思考】 1.实数与向量能否进行加减运算? 提示:不能.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算. 2.在什么情况下λ a=0(λ 为实数)? 提示:当λ =0或a=0时,λ a=0.
3.向量数乘得到的依然是向量,那么它的方向由谁确定? 提示:实数λ 与向量a数乘,得到向量λ a,其方向由λ 的正负及向量a的方向共同确定. 4.数乘向量满足什么运算律? 提示:数乘向量满足分配律、结合律.
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
主题1 向量的数乘运算 1.类比:实数运算,x+x+x=3x,思考a+a+a能否写成3a呢? 提示:可以,即a+a+a=3a. 2.3a与a的方向有什么关系?-3a与a的方向呢? 提示:3a与a的方向相同,-3a与a的方向相反.

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.3.1平面向量基本定理2.探究导学课型2.3.1

3
3
33
故CE CA AE CA 1 AD AC 1 ( 2 AB 1 AC)
2
23 3
1 AB 5 AC， 36
类型一对平面向量基本定理的理解
【典例1】(1)(2017·金华高一检测)设e1,e2是表示平
面内所有向量的一组基底,则向量a=e1+λ e2与向量b=
-e1+2e2共线的条件是
.
(2)(2017·惠州高一检测)如图,已知△ABC中,D为边BC
上靠近B点的三等分点,连接AD,E为线段AD的中点,若
结论:平面向量基本定理 1.定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_不__共__线__向量, 那么对于这一平面内的_任__意__向量a,有且只有一对实数
λ 1,λ 2,使a=λ 1e1+λ 2e2. 2.基底:_不__共__线__的向量e1,e2叫做表示这一平面内_所__有__ 向量的一组基底.
【微思考】 1.在平面向量基本定理中为何要求向量e1,e2不共线? 提示:若向量e1,e2共线,则λ 1e1+λ 2e2与向量e1,e2共线, 即向量λ 1e1+λ 2e2只能表示与向量e1,e2共线的向量,无法表示平面内其他的向量.
【预习自测】 1.设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有 ( ) A.e1,e2一定平行 B.e1,e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a=λ e1+μ e2(λ ,μ ∈R) D.若e1,e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有 a=λ e1+μ e2(λ ,μ ∈R)
【解析】选D.由平面向量基本定理可知.
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理

2019版数学人教B版必修4课件：2.1.2 向量的加法 .pdf

UITANGYANLIAN
1234
4.向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a;
(2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 【做一做 4-1】在▱ABCD 中,�� + �� + ��等于( )
A.��
B.��
名师点拨应用向量加法的三角形法则,关键是要做到“首尾相接”, 即将向量b平移,使其始点与另一向量a的终点重合,则以向量a的始点为始点,以向量b的终点为终点的向量就是向量a与b的和.
-3-
2.1.2 向量的加法
1234
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
【做一做2】在四边形ABCD中, �� + �� = ��,则四边形ABCD
是( )
A.梯形
B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
答案:D
-5-
2.1.2 向量的加法
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
2.n个向量的和仍是一个向量; 3.多边形法则的要领是“首尾相连,首是首,尾是尾”,与向量加法的三角形法则相同.
-7-
2.1.2 向量的加法
M Z Z 目标导航 UBIAODAOHANG
知识梳理
HISHI SHULI
重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D S 典例透析 IANLI TOUXI
随堂演练

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角1.精讲优练课型2.4.2

|AB |= x2 x1 2 y2 y1 2 ,即| AB |的实质是A,B两点
间的距离或线段AB的长度,这也是模的几何意义.
【自主检测】
1.已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是 ( )
A.23
B.7
C.-23
D.-7
【解析】选D.由数量积的计算公式得,a·b=(-3,4)·
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【课标要求】新课程标准: 1.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角. 2.能用坐标表示平面向量垂直的条件.
教学目标: 1.掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算. 2.能运用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
【思路导引】1.先求出_(_a_+_2_b_)_,然后利用平面向量的数量积求出(a+2b)·c. 2.利用平面向量的数量积运算求出_a_·__b_,由a·b=-1得出关于x的方程求解. 3.设c=(x,y),利用平面向量的数量积运算,列出_关__于__ _x_,_y_的__方__程__组__求解.
【解析】1.选C.依题意可知,a+2b=(1,-2)+2(-3,4)= (-5,6),所以(a+2b)·c=(-5,6)·(3,2)=-5×3+6×2= -3. 2.选D.因为a=(1,2),b=(2,x),所以a·b=(1,2)·(2,x) =1×2+2x=-1,解得x=- 3 .
2
3.设c=(x,y),因为a·c=2,b·c=5,
【提示】(1)×.因为当x1y2-x2y1=0时,向量a,b的夹角也可能为180°. (2)√.由向量数量积定义可知正确. (3)×.因为两向量的夹角有可能为180°.

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.2.1向量加法运算及其几何意义2.探究导学课型2.2.1

.
【解题指南】(1)根据向量加法的平行四边形法则判断四边形的形状. (2)根据多边形各边顺序来判断向量的顺序.
【解析】(1)选C.因为 AC=AB+AD, 所以 DC=DA+AC =DA+AB+AD=DA+AD+AB=AB, 即 DC=AB,所以四边形 ABCD为平行四边形. (2)根据多边形各边顺序判断这些向量的排列顺序为
主题2 向量加法的运算律实数的加法运算律有哪些?向量的加法是否也有相似的运算律? 提示:实数的运算律有:交换、结合律,向量的加法也有类似的运算律.
结论:向量加法的运算律 1.交换律:a+b=_b_+_a_. 2.结合律:(a+b)+c=a+(_b_+_c_) 特别地:对于任意向量a与零向量的和有:a+0=_0_+_a_=_a_.
(3)当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半,在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.
【巩固训练】(2017·阜阳高一检测)如图所示,试用几何法分别作出向量 BA+BC,CA+CB.
类型一向量的加法法则及应用【典例1】(1)如图所示,在四边形ABCD中, AC=AB+AD, 则四边形为 ( )
A.矩形 B.正方形 C.平行四边形 D.菱形
(2)(2017·苏州高一检测)如图(1),某人想要从点A出发
绕阴影部分走一圈,他可按图(2)中提供的向量行走,则
这些向量的排列顺序为
回答下列问题: 1.从物理学的角度,上面实例中位移、牵引力说明了什么? 提示:后面一次位移是前面两次位移的合位移,四边形 OACB的对角线的力是 OA与 OB 表示的力的合力.

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.5平面向量应用举例1.精讲优练课型2.5

2.选D.如图,取AB的中点E,连接OE,
则 OA OB＝2OE. 又 OA OB OC =0, 所以 OC =-2 OE .又O为公共点, 所以O,C,E三点共线,且| OC|=2| OE |. 所以O为△ABC的重心.
3.方法一:设正方形ABCD的边长为1,AE=a(0<a<1), 则EP=AE=a,PF=EB=1-a,AP= 2 a,
2.5 平面向量应用举例
【课标要求】新课程标准: 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
教学目标: 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题.
【思维脉图】
【自主预习】 1.用向量方法解决平面几何问题的步骤 (1)建立平面几何与向量的联系,用_向__量__表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为_向__量__问__题__.
【自主总结】
向量方法解决平面几何问题的六个应用
(1)证明线段相等:通过向量运算,证明
2
AB

2
CD ,
即可
证明AB=CD.
(2)证明线段平行:利用 AB CD, 点A,B,C,D不共线,可以证明AB∥CD,特别地,当λ =1时,AB�� CD.
(3)证明线段垂直:利用 AB CD 0, 证明两线段垂直. (4)证明三点共线:利用 AB AC(λ ∈R)可以证明 A,B,C三点共线,也可变形为 OA xOB＋yOC (x,y∈R,x+y=1),其中O为空间任意一点.
【思维辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则. ( ) (2)若△ABC为直角三角形,则有 AB BC =0. ( ) (3)若向量 AB ∥CD ,则AB∥CD. ( )

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.2.2向量减法运算及其几何意义1.精讲优练课型2.2.2

【思维脉图】
【自主预习】 1.相反向量 (1)定义:①非零向量a的相反向量是与a__长__度__相__等__,_ _方__向__相_反___的向量;②零向量的相反向量是_零__向__量__. (2)记法:向量a的相反向量,记作_-_a_.
(3)结论.
文字语言
任一向量与其相反向量的和是零向量
形式1 形式2
符号语言 _a_+_(_-_a_)_=_(_-_a_)_+_a_=0 若a,b是相反向量,则
a=_-_b_, b=_-_a_,_a_+_b_=0
2.向量的减法 (1)定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_相__反__向__量__.
(2)作法:在平面内任取一点O,作
uuur uuur CA＝BA

uur BC

a

b.
2.非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是( )
A.m=n
B.m=-n
C.|m|=|n|
D.方向相反
【解析】选A.零向量m与n是相反向量,则有m=-n, |m|=|n|.
3.下列运算中正确的是 ( )
A.
uuur OA

uur OB

uur AB

b.
因
为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|=|
uuur OC
|,
|a-b|=|
uuur BA
|,分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两
条对角线的长.
【自主检测】
1.在△ABC中,若
BuuAur＝a，BuuCr＝b，则
uuur CA
等于
(
)
A.a B.a+b C.b-a

2019-2020年新版高中数学北师大版必修4课件：第二章平面向量 2.1

是向量的为( )
A.①② B.②③
C.②④
D.③④
解析:由向量的概念可知,浮力和拉力是向量,密度和温度是数量.
答案:C
【做一做1-2】下列说法中正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
目标导航
知识梳理
典例透析
题型一
题型二
题型三
解:(1)正确.∵a=b, ∴a,b 的长度相等,且方向相同.
又 b=c,
∴b,c 的长度相等,且方向相同. ∴a,c 的长度相等,且方向相同,故 a=c.
(2)正确. �� = ��有两重含义: ��与��
典例透析
随堂演练
【变式训练1】判断下列命题是否正确,并简述理由. (1)若a=b,b=c,则a=c; (2)在四边形ABCD中,若�� = ��, 则四边形��为平行四边形; (3)模为0的向量方向不确定; (4)若|a|=|b|,且a∥b,则a=b.
目标导航
知识梳理
典例透析
123
【做一做 2-1】如图, �� = ��, ��与��相交于点��,
则相等的向量是( )
A. ��与��B. ��与��
目标导航
知识梳理

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.2.1向量加法运算及其几何意义1.精讲优练课型2.2.1

【解析】选A.只有a∥b,且a与b方向相同时才有 |a+b|=|a|+|b|成立,故A正确.
4.设a表示“向东走5 km”,b表示“向南走5 km”,则
a+b表示 ( )
A.向东走10 km
B.向南走10 km
C.向东南走10 km D.向东南走5a+b, AB 5，BC =5,且 AB⊥BC,则 AC 5 2，∠BAC=45°.
【自主总结】 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.
(2)当两个向量不共线时,两个法则是一致的. 如图所示, AC AB AD (平行四边形法则),又因为
BC AD，
5.在△ABC中, AB a，BC b，CA c，则 a+b+c=________.
【解析】由向量加法的三角形法则,得 AB BC AC，即a+b+c= AB BC CA =0. 答案:0
类型一向量加法法则【典例】1.如图,已知三个向量a、b、c,试用三角形法则和平行四边形法则分别作向量a+b+c.
2.如图,设O为正六边形ABCDEF的中心,求下列和向量:
1OA OC.2BC FE.
世纪金榜导学号77476051
【思路导引】本题是求向量的和问题,方法是使用 _三__角__形__法__则__或_平__行__四__边__形__法__则__.
【解析】1.利用三角形法则作a+b+c,如图①所示,作 OA =a,以A为起点,作AB =b,再以B为起点,作 BC =c,则 OC OB BC OA AB BC =a+b+c. 利用平行四边形法则作a+b+c,如图②所示,作 OA =a, OB =b, OC =c,以 OA、OB 为邻边作▱OADB,则OD =a+b,再以 OD、OC 为邻边作▱ODEC,则 OE OD OC=a+b+c.

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.1平面向量的实际背景及基本概念1.精讲优练课型2.1

【解析】1.选B.加速度是既有大小又有方向的量,是向量.而时间、面积、长度是只有大小的量,是数量. 2.由零向量的方向是任意的,知①错误,③正确;由零向量的定义知②正确;由单位向量的模是1,知④正确. 答案:②③④
【方法技巧】 1.判断一个量是否为向量的两个关键条件关键看它是否具备向量的两要素: (1)有大小.(2)有方向.两个条件缺一不可.
② AB CD.
③ AB CD. 以上结论中正确的个数是 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2.四边形ABCD为边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点作为向量,则与 AC 平行且长度为2 2 的向量个数有________个.
世纪金榜导学号77476049
素养本题主要考查相等向量与共线向量的概念, 立意突出考查数学直观的核心素养.
2.给出下列说法: 世纪金榜导学号77476048 ①零向量是没有方向的; ②零向量的长度为0; ③零向量的方向是任意的; ④单位向量的模都相等, 其中正确的是________(填上序号).
【思路导引】1.既有_大__小__又有_方__向__的量是向量. 2.长度为_0_的向量是零向量.长度为_1_的向量是单位向量.零向量的方向是_任__意__的.
【思维脉图】
【自主预习】 1.向量的定义及表示 (1)定义:既有_大__小__,又有_方__向__的量.
(2)表示: ①有向线段:带有_方__向__的线段,它包含三个要素: _起__点__、方向、长度;
②向量的表示:
长度 | AB |
a，b，c
2.特殊向量 (1)零向量:长度为_0_的向量叫做零向量,记作_0_. (2)单位向量:长度等于_1_个单位的向量叫做单位向量. (3)相等向量:长度_相__等__且方向_相__同__的向量叫做相等向量.

2019秋新版高中数学人教A版必修4课件：第二章平面向量2.4.2

.
2.向量数量积性质的坐标表示剖析 :设两个非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),a 与 b 的夹角为 θ. (1)a· b=a1b1+a2b2; (2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0; (3)a· a=|a| 2⇔| a| = (4)cos θ=
��· �� ⇔ cos θ= |��||��|
��1 ��2+��1 ��2
2 2 2 ��2 1+��1 ��2 +��2
求解.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
仅供学习交流！！！
-16-
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)a· b=2 3 + 2 3 = 4 3. (2)cos θ=
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量积、向量的模以及两个向量的夹角. 2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.
平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有下表:
题型四
【变式训练1】已知向量a与b共线,b=(1,2),a· b=10,求a的坐标. 解:∵a与b共线,且a,b都是非零向量,∴设a=λb. ∵a· b=10,∴λb· b=λb2=10. ∵b=(1,2),∴b2=5,∴λ=2. ∴a=2b=2(1,2)=(2,4).
-12-
题型一
题型二
题型三
. 同理可得,向量 a 在向量 b 方向上的投 =

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.2.2向量减法运算及其几何意义2.探究导学课型2.2.2

(2)向量减法的几何意义如图,设 OA =a, OB =b,
则 BA =a-b,即a-b表示从向量_b_的终点_B_指向被减向量 _a_的终点_A_的向量.
【微思考】 1.移项法则对向量等式适用吗?即若a-c=b-d,则 a+d=c+b成立吗? 提示:成立,移项法则对向量等式适用.
2.若|a|=|b|,则a=b或a=-b吗? 提示:若|a|=|b|,但两向量不一定共线,故不一定有 a=b或a=-b成立.
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
主题向量减法及其几何意义 1.实数a的相反数是-a,-a的相反数是a,0的相反数是0, 若把实数a换成向量a,结论还成立吗? 提示:成立.向量a的相反向量是-a,-a的相反向量是a,0 的相反向量是0.
பைடு நூலகம்
2.我们知道,在数的运算中,减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则?如何理解向量的减法呢? 提示:向量的减法有类似的法则,即a-b可理解为向量a 加上向量b的相反向量.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|ab|=|a|+|b|. 综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
【预习自测】
1.给出下列运算:
①AB AC BC 0;②AB CB CA 0;
③AB AC BD CE ED;④ AB CD AC BC
(2)如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
【解题指南】(1)可以通过相反向量,把向量减法运算转化为加法运算也可直接利用向量减法的三角形法则. (2)在平面内任取一点O,先利用向量加法的三角形法则作出a+b,然后再用向量减法的三角形法则作a+b-c.

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.3.4平面向量共线的坐标表示2.探究导学课型2.3.4

【微思考】 1.共线定理的坐标表示中,若b=0,结论是否成立? 提示:当b=0时,x2=y2=0,x1y2-x2y1=0仍成立. 2.向量共线的等价条件有哪几种形式? 提示:有两种,a∥b(b≠0)⇔a=λ b⇔x1y2-x2y1=0.
3.对于两个非零平行向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),如何根据向量的坐标判断两个向量的方向是相同的还是相反的? 提示:根据向量的坐标,由(x1,y1)=λ (x2,y2),当λ >0时, 两向量的方向相同;当λ <0时,两向量的方向相反.
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
主题向量共线的坐标表示已知下列几组向量: (1)a=(0,3),b=(0,6). (2)a=(2,3),b=(4,6).
(3)a=(-1,4),b=(3,-12).
(4)a=
(1 ,1) ,b=
2
( 1 , 1) .
2
回答下列问题: (1)上面几组向量中,a,b有什么关系? 提示:(1)(2)中b=2a,(3)中b=-3a,(4)中b=-a. (2)以上几组向量中,a,b共线吗?a,b的坐标满足什么条件? 提示:共线,向量a,b的横纵坐标成比例.
4.两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)平行的条件x1y2-
x2y1=0与
x1 y1 x2 y2
有什么区别吗?
提示:x1y2-x2y1=0对任意两个向量平行时都满足,具有
一般性;而
x1 y1 x2 y2
只对x2≠0且y2≠0时,成立.
【预习自测】
1.设a= (3 ,sin) ,b=
因为u∥v,所以(2x+1)×1-3×(2-x)=0,解得x=1.
答案:1
类型一根据向量共线求参数

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义2.探究导学课型2.4.1

【预习自测】
1.已知向量a·b=10,|a+b|=5 2 ,|a|= 5,则|b|等于 ()
A. 5 B. 10 C.5
D.25
【解析】选C.因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=5+20+b2=50,
所以b2=25,所以|b|=5.
2.若向量a,b满足|a|=|b|=1,a与b的夹角为120°,则
.
【解析】因为 AB 13，BC 5，CA 12，
5.对于任意向量a与b,是否总有(a·b)2=a2·b2成立? 提示:不一定,因为a·b=|a||b|cosθ, 所以(a·b)2=(|a||b|cosθ)2=|a|2|b|2cos2θ, 而a2·b2=|a|2·|b|2,所以(a·b)2与a2·b2不一定相等.
6.若两个向量的数量积大于零,则这两个向量的夹角一定是锐角吗?若两个向量的数量积小于零,则这两个向量的夹角一定是钝角吗? 提示:不一定.当a·b>0时,a与b的夹角θ为锐角或零角, 当a·b<0时,a与b的夹角θ为钝角或平角.
3.向量的数量积的正负由哪个量决定? 提示:向量的数量积的正负由向量之间的夹角决定.
4.根据数量积的几何意义.请思考如何用数量积表示向
量的投影.
提示:|a|cosθ
=
ab |b|
,|b|cosθ
= ab
|a|
.
主题2 数量积的性质已知两个非零向量a,b,θ 为a与b的夹角,回答下列问题: 1.若a·b=0,则a与b有什么关系? 提示:由a·b=|a||b|cosθ=0得cosθ=0. 所以θ=90°,则a⊥b.
4.试讨论当两向量a,b的夹角θ 取不同的值时,其数量积的变化情况. 提示:当θ=0°时,cosθ=1,a·b=|a||b|; 当θ为锐角时,cosθ>0,a·b>0; 当θ为钝角时,cosθ<0,a·b<0; 当θ为直角时,cosθ=0,a·b=0;

2019年高中数学必修四世纪金榜课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角2.探究导学课型2.4.2

x1x2 y1y2
x12 y12
x
2 2

y
2 2
无意义,同时,a·b=x1x2+y1y2=0,因为0
的方向是任意的,所以不能说a⊥b,而是a∥b.
故向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立的前提条件是a≠0且b≠0.
【预习自测】 1.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为 ( )
【微思考】 1.向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? 提示:适用.无论是零向量,还是非零向量,均可使用向量数量积的坐标公式.
2.向量数量积坐标表示的作用是什么? 提示:向量的坐标表示简化了数量积的运算.
主题2 平面向量模的坐标表示 1.若a=(x,y),怎样利用平面向量数量积的坐标表示|a|? 提示:由数量积的定义及性质即可. 2.若已知向量a的起点和终点的坐标,则|a|如何表示? 提示:可先求出a的坐标然后再求|a|.
答案: 58
类型一平面向量数量积与模的坐标运算【典例1】(1)(2017·石家庄高一检测)设x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且a∥b,则|a+b|= ( )
A. 5B. 5源自C.2 5D.52
(2)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则 AEBD
=
.
【解题指南】(1)由a∥b利用向量共线的坐标表示求x 的值.再利用向量模的坐标公式求|a+b|. (2)方法一:用 BA,BC 分别表示向量 AE,BD ,用数量积的定义计算 AEBD .方法二:坐标运算.首先要建立坐标系,确定各关键点的坐标,再求得数量积 AEBD .
ab
示即可.
结论:
1.向量垂直的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔_x_1x_2_+_y_1_y_2=_0_.