中考数学《一次函数与反比例函数综合》复习课教案

反比例函数与一次函数综合复习课

学习目标: 能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。

重点：熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题 难点：进一步利用数形结合的思想方法进行解题 考点透视：

考查反比例函数的基本性质在几何中的应用。适当设双曲线上的点的坐标，用坐标转化题中的几何条件及几何结论，利用双曲线上的点的代数、几何性质，建立方程进行求解及利用坐标糸解决不规则三角形面积计算问题。注意勾股定理、完全平方式、整体代入、图形变换等结合及点坐标的应用。要求学生熟练掌握反比例函数代数性质：函数图像上任意点的横、纵坐标的积为k 。

一、知识回顾 1．若反比例函数x

k

y =与一次函数y ＝3x ＋b 都经过点(1，4)，则kb ＝________． 2．反比例函数x

y 6

-

=的图象一定经过点(－2，________)． 3．若点A (7，y 1)，B (5，y 2)在双曲线x

y 3

-

=上，则y 1、y 2中较小的是________． 4．如图，反比例函数的图象在第一象限内经过点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别P 、Q ，若矩形APOQ 的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________． 二、学习新知：

1.如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=x

m

的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．

(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-

x

m

<0的解集(直接写出答案)．

2．已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．OB ＝10，tan ∠DOB ＝

3

1

． （1）求反比例函数的解析式：

（2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）当△OCD 的面积等于

2

S

时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段能否等于3．如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由． 解：（1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ． ………1分

在Rt △OHB 中， HO ＝3BH ． ………………2分

由勾股定理，得 BH 2

＋HO 2

＝OB 2

． 又∵ OB ＝10．∴ BH 2

＋（3BH ）2

＝（10）2

．

第4题

∵ BH ＞0， ∴ BH ＝1，HO ＝3． ∴ 点B （－3，－1）． ………………………3分 设反比例函数的解析式为x

k y 1

=

（k ≠0）． ∵ 点B 在反比例函数的图象上， ∴ 反比例函数的解析式为x

y 3

=

． ……4分 （2）设直线AB 的解析式为y ＝k 2x ＋b （k ≠0）． 由点A 在第一象限，得m ＞0．

又由点A 在函数x

y 3

=

的图像上，可求得点A 的纵坐标为m 3．

∵ 点B （－3，－1），点A （m ，m

3

），

∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-．，m b mk b k 31322 解关于k 2、b 的方程组，得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧-==．，m m b m

k 312 ∴ 直线AB 的解析式为 m

m

x m y -+

=

31． ………………………5分 令 y ＝0， 求得点D 的横坐标为 x ＝m －3． 过点A 作A G ⊥x 轴于点 G ． S ＝S △BDO ＋S △ADO ＝

21DO ·BH ＋21DO ·G A ＝21DO （BH ＋G A ）＝⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+-m m 31321． 由已知，直线经过第一、三、四象限， ∴ b ＞0时，即

03>-m

m

． ∵ m ＞0， ∴ 3－m ＞0．由此得 0＜m ＜3． ………………………6分

∴ S ＝21

（3－m ）（1＋m

3）． 即 S ＝m m 292-（0＜m ＜3） ………7分

（3）过A 、B 两点的抛物点线在x 轴上截得的线段长不能等于3．

证明如下：

S △OCD ＝21DO ·OC ＝2

1

︱m －3︱·m m -3＝()m m 232

-．

由 S △OCD ＝2

S

， 得 ()m m m m 29212322

-⋅=-． 解得 m 1＝1，m 2＝3． 经检验，m 1＝1，m 2＝3都是这个方程的根． ∵ 0＜m ＜3，

∴ m ＝3不合题意，舍去， ∴ A （1，3）． ……………………………8分 设过A （1，3）、B （－3，－1）两点的抛物线的解析式y ＝ax 2

＋bx ＋c （a ≠0）．

∴ ⎩⎨⎧-=+-=++．，1393c b a c b a 由此得⎩⎨⎧-=+=．

，

a c a

b 3221

即 y ＝ax 2

＋（1+2a ）x+2－3a ． …………………………………9分

设抛物线与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2． 则 x 1＋x 2＝a a 21+-

，x 1·x 2＝a

a

32-． 令 ︱x 1－x 2︱＝3． 则 （x 1－x 2）－4x 1x 2＝9． 即 9324212

=-⋅

-⎪⎭

⎫

⎝⎛+-a a a a ． 整理，得 7a 2

－4a ＋1＝0． ∵ Δ＝（－4）2

－4×7×1＝－12＜0， ∴ 方程7a 2－4a ＋1＝0无实数根．

因此过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3． ………………10分

三、巩固知识

中考宝典P40-41 18、19题 四、感受中考 20．（本题满分9分）（2009年）

如图，已知反比例函数y ＝ m

x

的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的

图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B ．

(1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标． 23、（本题满分9分）（2008年）如图所示，一次函数y x m =+和反比例函数1

(1)m y m x

+=

≠-的图象在第一象限内的交点为(,3)P a ． ⑴求a 的值及这两个函数的解析式；

⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反 比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．

20．（本题满分8分）（2010年） 已知点P （1，2）在反比例函数y =x

k

(0≠k )的图象上． （1）当x 2-=时，求y 的值；

（2）当1＜x ＜4时，求y 的取值范围．

（2011年）20、如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx-3的图象在第一象限内相交于点A （4，m ）． （1）求m 的值及一次函数的解析式；

（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B 、C ，求线段BC 的长．

五、今年中考预测

与以往类同，都是利用交点坐标解题 六、课后练习

1．若正比例函数x k y 1=的图象与反比例函数x

k y 2

=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（32,3），则k 1k 2=____________．

(,3)P a

O

x

y