《函数的单调性和奇偶性》经典例题解析

类型二、求函数的单调区间

2. 判断下列函数的单调区间；

(1)y=x2-3|x|+2；(2)

解：(1)由图象对称性，画出草图

∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.

(2)

∴图象为

∴f(x)在上递增.

举一反三：

【变式1】求下列函数的单调区间：

(1)y=|x+1|；(2)(3).

解：(1)画出函数图象，

∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；

(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，

在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；

(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)

3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.

解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.

4. 求下列函数值域：

(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].

1)f(x)在[5，10]上单增，；

2)；

(2)画出草图

1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).

举一反三：

【变式1】已知函数.

(1)判断函数f(x)的单调区间；

(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.

解：(1)

上单调递增，在上单调递增；

(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增

∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值

∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.

5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.

解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知

只需；

(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4

∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7 .

举一反三：

【变式1】（2011 北京理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.

解：单调递减且值域(0,1]，单调递增且值域为，由图象知，若有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）.

类型四、判断函数的奇偶性

6. 判断下列函数的奇偶性：

(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6

(7)

解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；

(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；

(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；

(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(5)

，∴f(x)为奇函数；

(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；

(7)，∴f(x)为奇函数.

举一反三：

【变式1】判断下列函数的奇偶性：

(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；

(4).

思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.

解：(1)；

(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；

(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1

∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；

(4)任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)

任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)

x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.

类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)

7．已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).

解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10

∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26

法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数

∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8

∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.

举一反三：

【变式1】（2011 湖南文12）已知为奇函数，，则为：解：，又为奇函数，所以．

8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.

解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x>0时，-y=(-x)2-(-x)

即y=-x2-x又f(0)=0，，如图

9．设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)

解：∵f(a-1)

而|a-1|，|a|∈[0，3]

.

类型六、综合问题

10．定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，