应用随机过程第4章随机模拟
随机模拟的方法和应用
随机模拟的方法和应用随机模拟是一种重要的数学方法，可以用来模拟各种现实世界中复杂的系统、行为和事件。
它的应用领域广泛，包括金融、统计学、天气预测、交通规划、工程设计等多个领域。
本文将简要介绍随机模拟的基础知识以及其在不同领域的应用。
1. 随机模拟的基础知识随机模拟的实质是通过计算机程序生成的一系列随机数，来模拟真实的随机过程。
因此，随机模拟的核心是随机数生成器。
随机数生成器需要生成能够代表真实随机事件的随机数，这需要考虑一些关键问题：如何确定随机数的分布、如何生成不相关的随机数、如何满足特定的统计性质等。
常用的随机数生成方法包括线性同余发生器、Marsaglia发生器、梅森旋转游程测试以及基于物理过程的随机数发生器。
这些方法在不同场合下各有优缺点，可以根据具体需求进行选择。
随机模拟的另一个基础是随机过程的建模。
随机过程是一组与时间有关的随机变量序列，用来描述某个系统、事件或行为的随机性质。
在进行随机模拟前，需要根据实际应用建立相应的随机过程模型，通常包括确定随机变量的分布、相关性结构以及参数等。
2. 随机模拟在金融中的应用在金融领域，随机模拟被广泛应用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。
随机模拟可以通过模拟不断变化的金融市场来评估不同投资策略的风险水平和收益率。
其中，蒙特卡罗模拟是一种常用的方法，它通过生成随机数对股票价格进行模拟，以此来分析不同投资组合在不同市场情况下的表现。
此外，随机模拟还可以用来构建金融风险模型，包括VaR、CVaR等风险指标。
通过随机模拟的方法，可以不断地生成样本数据，并结合实际数据来计算风险指标，从而更加准确地评估金融投资风险。
3. 随机模拟在天气预测中的应用天气预测是一项非常重要的应用领域，也是随机模拟的重要应用之一。
天气系统具有复杂的非线性关系，因此难以建立确定性模型。
随机模拟通过计算机程序模拟大气系统、海洋系统等自然系统的复杂变化，提供了一种高效、准确的天气预测方法。
第4章 各态历经性与随机实验
2020/1/30
7
各态历经过程或遍历过程的实际应用
一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经(或
遍历)过程的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数 的时间平均代替整个过程的统计平均，在实际工作中， 时间不可能无限长，只要足够长即可。
E
A X t , X (t, )
lim 1 T 2T
T T
RX
(t
,t)dt
RX
相关函数各态历经性等价于：
①RX(t+τ,t)=RX(τ)，即该信号的相关函数是平稳的；
②Var{A[X(t+τ,ξ)X(t,ξ)]}=0, 即时间平均以概率1取一个确定 函数。
解：X(t)的均值和相关函数分别为：
E X t EC mc 常量
Rt
,t
E
C2
2 c
mc2常量故Xt)为广义平稳信号。但是 A
X
t
lim
T
1 2T
T
Cdt C
T
即A[X(t)]为一随机变量，虽然均值为mc，但
方差不为0，故X(t)不是均值各态历经的。
解：
A X (t) lim 1
T 2T
T T
a
cos
w0t
dt
lim T
a
cos sin
w0T
w0T
0
A X (t )X (t) lim 1
应用随机过程PPT课件
(1) 0 F ( x1, x2 ,, xd ) 1；
(2) F ( x1, x2 ,, xd )对每个变量都是单调的 ；
(3) F ( x1, x2 ,, xd )对每个变量都是右连续 的；
(4) lim F (x1,, xi ,, xd ) 0,
xi
(i 1,2,, d )
lim
xi
7. 分布： 密度函数
f
(x)
(
)
x
1ex
,
0,
x0 x0
（ 0）
称之为以，为参数的分布，函数定义为
( ) 0 x 1exdx （ 0）
函数的性质：
(1) ( 1) ( );
(2) (1) 1;
(3) (1) ;
2 (4) (n 1) n!
8.指数分布： 在分布中，令 0， 0
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
(F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n ,则 Ai F , Ai F;
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
Borel - 代数, 记作B(R)，其中的元素称为Borel集 合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数, 记作B(Rn ). 显然 B ((, a),a R).
定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足 （1）对任意A F，有0 P(A) 1;
随机模拟方法总结
随机模拟方法总结引言随机模拟方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，通过模拟随机事件的方式，来求解实际问题。
随机模拟方法在各个领域中都有广泛的应用，特别是在金融、物理、计算机科学和工程等领域。
本文将总结随机模拟方法的基本原理和常用的应用场景。
基本原理随机模拟方法的基本原理是通过生成服从某种概率分布的随机数，并在该分布上进行采样，来模拟实际问题。
其基本步骤如下：1.确定概率分布：根据实际问题的特点和要求，选择合适的概率分布，如均匀分布、正态分布等。
2.生成随机数：利用确定的概率分布，生成服从该分布的随机数序列。
3.采样模拟：根据具体问题，对生成的随机数进行采样模拟，得到问题的解或近似解。
4.分析结果：对采样模拟得到的结果进行统计分析，评估其准确性和可靠性。
常用应用场景随机模拟方法在各个领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：金融风险评估在金融领域，随机模拟方法常用于风险评估。
通过模拟随机的市场变动、利率变化等因素，来评估投资组合的风险水平。
这些模拟结果可以帮助投资者做出更加准确的决策，降低投资风险。
物理系统模拟在物理学领域，随机模拟方法广泛应用于物理系统的建模和模拟。
通过随机模拟方法可以模拟分子动力学、粒子运动等复杂的物理现象，进一步深入理解和预测实验中观察到的现象。
计算机网络性能评估随机模拟方法可以用于评估计算机网络的性能。
通过模拟网络中的随机事件，如消息传输延迟、丢包率等，可以评估网络的性能指标，从而优化网络架构和改进网络协议。
工程系统仿真在工程领域，随机模拟方法可用于工程系统的仿真和优化。
通过模拟随机因素对工程系统的影响，可以评估系统的可靠性和性能，并进行系统优化设计。
常用模拟算法实际应用中，常用的随机模拟算法包括：•蒙特卡洛方法：通过随机采样和统计学方法，进行数值计算和模拟，如求解积分、求解微分方程等。
•马尔可夫链蒙特卡洛方法：利用马尔可夫链的性质，进行随机抽样和模拟，如在复杂系统中进行参数估计和优化。
随机模拟总结
随机模拟总结引言随机模拟是一种常见的数值计算方法，通过对概率分布进行随机抽样来模拟某种现象的统计特性。
它在各个领域都有广泛的应用，如金融、物理学、生物学等。
本文将介绍随机模拟的基本原理、常见的应用场景以及优缺点，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用随机模拟方法。
随机模拟的基本原理随机模拟的基本原理是基于概率论和随机过程的理论，通过生成服从特定概率分布的随机变量来模拟某个随机现象。
在随机模拟中，我们通常使用随机数发生器来生成伪随机数序列，然后利用这些伪随机数来模拟目标分布。
随机模拟通常包括以下几个步骤：1.选择合适的概率分布函数：根据所模拟的现象和问题的特点，选择合适的概率分布函数作为随机模拟的基础。
2.生成随机数：利用随机数发生器生成服从选定概率分布函数的随机数。
3.运用模拟方法：使用生成的随机数来模拟目标现象，并收集统计数据。
4.分析结果：对模拟得到的数据进行统计分析，得出所关注问题的结果或得到近似解。
随机模拟的应用场景随机模拟在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：金融领域在金融领域，随机模拟常用于风险管理、投资组合优化等问题。
通过模拟市场价格的随机变动和投资组合的收益率，可以评估不同投资策略的风险水平和回报潜力，帮助投资者做出更明智的决策。
物理学领域在物理学研究中，随机模拟常用于模拟粒子运动、统计物理系统的行为等问题。
通过生成服从特定概率分布的随机数，可以模拟粒子在给定势能场中的运动轨迹，从而研究物理系统的性质和行为。
生物学领域在生物学研究中，随机模拟常用于模拟遗传演化、蛋白质折叠等问题。
通过生成服从特定概率分布的随机数，可以模拟基因突变的发生、蛋白质的折叠过程等，从而深入了解生物体内的复杂过程和机制。
随机模拟的优缺点随机模拟方法具有一些显著的优点和一些限制性缺点。
优点1.灵活性：随机模拟方法可以适应各种问题和模型，能够模拟多种复杂的现象和系统。
2.实用性：随机模拟方法可以直接从统计样本中获取信息，使得相关问题的求解更加直观和实用。
应用随机过程第4章随机模拟
4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种 子的原理，是 要产生多少个 随机数种子， 就按一定步长 递增多少次， 然后得到一个 随机数作为种 子。 这个宏有个缺 点，就是当步 长*随机数种子 数量>2**31-1 时，可能得不 到要求得到的 随机数种子数 量。
4.2 随机数的抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数 序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数 种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的 随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定 能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– SAS随机数函数
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 › 利用SAS生成标准分布随机数一般有两种方法 – 由随机数函数产生随机数序列 其语法为：var = name(seed,<arg>) – CALL子程序产生随机数序列 其语法为：call name(seed,<arg>,var)。 ｰ 两种方法的主要区别在于： ｰ 随机数函数产生随机数序列时，其序列的值只由 第一个随机数种子的值决定，而用CALL子程序时， 每一次调用随机函数，都会重新产生新的随机数 种子。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 在SAS系统中， – 常数a=397,204,094 – m = 2^31-1=2,147,483,647（是一个素数） – c=0 – 种子R(0)必须是一个整数并且其值介于1到m-1之 间。 – 这里c=0的数据生成器被称为multiplicative congruential generator，被广泛地应用。
应用随机过程PPT课件
k
EX kP(X k) (1)P(X k)
k0
k1 i1
P(X k)
交换求和顺序
k1
2021/7/1
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同理，对连续型随机变量有相似的结论成立
若X0
x
EX0 xd(PXx)0 (0 dy)dP(Xx)
0 P(Xx)dx
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概率
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1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
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概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
64
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Chebyshev不等式
0,
P(|
X
EX
|
)
DX
2
P(|
X
EX
|
)
E
|
X EX
p
|p
( p1)
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条件数学期望
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(iN)
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用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面“随机变量”部分 ）
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例： 随机变量 X I A ,Y I B , A, B ，
几个典型随机过程的模拟及应用
Y
1. 随机面积的计算
○
X
某实际问题（譬如大楼的倒塌）可抽象为：试将一把 筷子先垂直放置于桌子上；放手后，筷子纷纷倒下， 求这些筷子倒下后所张成的面积的分布。 为解题的方便，先做如下几个假设： ①将筷子垂直放置于图中的格子点上。 ②所谓“随机倒下”是指筷子的底端不动，而顶端落下 后，筷子与X轴的夹角～U[0，2π]。 ③假设各筷子是相对独立地随机倒下，而这些筷子所张 成的面积是指包含这些筷子端点的最小凸多边形的面 积。
输入过程 顾客 序号 到达间 隔 E[10] 1 2 3 4 5 6 10 13 8 11 7 15 服务时 间 U[10, 15] 11 13 14 12 15 10
模拟过程的输出结果
到达时 刻服务时 间Fra bibliotek等待时 间
离开时 刻
10 23 31 42 49 64
11 13 14 12 15 10
0 0 5 8 13 13
2. 随机游动（一维）
一维随机游动 一质点从直线上的某一点出发，每次以概率 p 左移一 步，以概率 q ＝ 1 － p 右移一步。直到碰到某边界点而 停止游动，这样的边界点称为吸收壁。 模拟方法如下：
－2
―1
0
1
2
3
2. 随机游动(Cont)
1.取[0,1]均匀分布上的随机数 ,若 <p,则取r1 =-1; 表示质心左移1步，否则r1 =1,表示质心右移1步； 2.依次取随机数 ,分别与p比较得到每次的随机 游动ri 3.令Sn ri , 则Sn 表示经n步后质心离开出发点的步数。
1. 随机面积的计算(Cont)
由 ~U[0,2 ]，假定底端位置为(x1 , y1 ), 筷子长度为l , 则顶端在 1 x1 cos 随机倒下后的位置(u1 , v1 )满足 1 y1 sin 这样，除了原来的m个底端外，又产生了m个顶端，共 2m个点，坐标(si , ti ),1 i 2m. 问题变成：决定上面2m个点所张成的凸边形的面积即为所求。
几个典型随机过程的模拟及应用
2. 随机游动(Cont)
模拟方法： 产生随机数 ~ U [0，， 1] 若0 p1 , 左移一步； 若p1 p1 p2 , 右移一步； 若p1 p2 p1 p2 p3 , 上移一步； 若p1 p2 p3 p1 p2 p3 p4 1, 下移一步； 同样根据吸收壁位置，计算质点每次移动后的位置， 如果到达过吸收壁，则被吸收。
Y
P2 P1 P0
0
X
1. 随机面积的计算(Cont)
算法如下： 1.决定最左边的点P0； 2.求P 1，使得 P 0P 1与Y 轴的夹角最小； 3.求P2，使得 P 1P 2与 P 0P 1的夹角最小;求P 3 ,使得 P2 P3与P 1P 2的夹角最小； 直到Pk 与P0重合为止。在此过程中逐步求出P0 P 1P 2， P0 P2 P3 ...的面积，将其相加，即可得到这2m个点所 张成的凸边形的面积。 重复n次，可以得到这随机面积的统计规律。
几个典型随机过程的模拟及应用
Outline
1. 2. 3. 随机面积的计算 随机游动 单服务台排队服务系统
Y
1. 随机面积的计算
○
X
某实际问题（譬如大楼的倒塌）可抽象为：试将一把 筷子先垂直放置于桌子上；放手后，筷子纷纷倒下， 求这些筷子倒下后所张成的面积的分布。 为解题的方便，先做如下几个假设： ①将筷子垂直放置于图中的格子点上。 ②所谓“随机倒下”是指筷子的底端不动，而顶端落下 后，筷子与X轴的夹角～U[0，2π]。 ③假设各筷子是相对独立地随机倒下，而这些筷子所张 成的面积是指包含这些筷子端点的最小凸多边形的面 积。
即第1个顾客在开门后21分离开(即T=21分离开)。第2个 顾客是T=23分=(10+13)分到达的，由于第一个顾客已被 服务完毕离开了，因此也不必等待,D2 =0分，服务时间 S2 13分，所以第2个顾客于C2 (23 13 0) 36分离开。 第3个顾客到达时间是X 3 31分 （ 10 13 8）分，由于 T 31分的时候，第2个顾客正在接受服务，鼓第3个顾 客先要排队，等待时间D3 (36 31) 5分。第2位离开 后第3位接受服务，服务时间S3 14分，第3位离开时刻 C3 (31 14 5) 50分；第4位到达时刻X 4 42分 (10 13 8 11）分；其等待时间D4 (50 42) 8分， 服务时间为S4 12分，离开时刻C4 62分 （42 12 8）分，....,模拟实验的部分结果见下表：
第4章 各态历经性与随机实验
证明充要条件（3）：
对于均值各态历经R.S.，由定义有： E[ X (t )] mX 常数 Var A [ X ( t , s )] 0 1 T E A[ X (t , s )] =E[lim X (t , s )dt ] T 2T T 1 T 1 T mX dt lim E[ X (t , s)]dt lim T 2T T T 2T T
1 2 T 2T 1 lim 2 C ( )dud 2T 2T 2 T 4T 1 2T 1 lim 2 C ( )(4T 2 )d 2T 2 T 4T
1 2T lim (1 )C ( )d T 2T 2T 2T
＝t1－t2 u＝t1＋t2
u＝－ 2t1 u＝ +2t2
T -T 0 -T
u 2T
t2
T
2T
T
2T
2T 0 -T T
t1
-2T
-T
2T
-2T
2T
1 0 2T 1 1 2T 2T 1 lim 2 C ( )dud lim 2 C ( )dud 2T 2T 2 0 2T 2 T 4T T 4T
10
4.1.1 均值各态历经性
定理4.1：（均值各态历经性判断条件）若信 号广义平稳，则 （1）充分条件：lim C 0 且 C 0
1 T lim C ( )d 0 （2）充要条件：T 2T T 1 2T lim 1 C ( )d 0 （3）充要条件：T 2T 2T 2T
每条样本函数都经历了随机过程的各种状态，
应用数学中的随机过程和随机模拟
应用数学中的随机过程和随机模拟在当今世界，计算机科学的发展日新月异，而应用数学则在其中发挥着举足轻重的作用。
其中，随机过程和随机模拟是应用数学中非常重要的一部分。
本文将从概率论的角度出发，系统介绍随机过程和随机模拟的基本概念、方法和应用。
一、随机过程随机过程是用数学方法描述随机事件发展的一种模型。
它由一个样本空间S和一个集合T组成。
S可以看作是所有可能的随机事件的集合，T是一组实数（或离散的矩阵）作为时间的参数，用来表示随机事件在时间上的变化。
随机事件在每个时刻t的状态称为状态变量，并且可以用随机变量表示。
因此，随机过程也可以看作是一个关于时间变化的随机变量序列。
随机过程的建立比较抽象，需要借助概率论和统计学的知识。
其中，最基础的随机过程是马尔可夫链。
它描述的是一个系统在状态空间中的状态变化，并具有“无记忆性”的特点，即"当前状态只与前一时刻状态有关"。
马尔可夫链和马尔可夫过程是大多数随机过程的基础，被广泛应用于物理、生态、社会、金融等许多领域。
除了马尔可夫链之外，还有很多其他类型的随机过程，例如布朗运动、泊松过程、随机游走等。
布朗运动描述的是颗粒在流体中随时间的运动轨迹，是一种连续的随机过程。
泊松过程则描述的是随机事件之间的时间间隔，是一种离散的随机过程。
随机游走则是在空间上随机移动的过程，最典型的例子是股票价格的变化过程。
二、随机模拟随机模拟是将随机过程的数学模型映射到计算机程序中进行模拟和实验的过程，它被广泛应用于科学、工程、金融等领域中的计算问题求解、产品设计、风险评估等方面。
简单来说，随机模拟就是通过一定的随机算法产生伪随机数序列，并将这些数作为模拟过程中的“随机事件”的实现，以此来近似真实过程的行为。
随机模拟的实现过程可以归纳为以下几个步骤：1. 选择模型。
在实际问题中，通常需要先根据具体问题选择合适的随机过程或概率模型。
2. 生成随机数。
为了进行随机模拟，我们需要生成一组伪随机数，它们的分布和关联性需要符合所模拟的真实情况。
随机过程与随机分析
随机过程与随机分析一、课程目标知识目标：1. 理解随机过程的基本概念，掌握随机过程的基本类型及其特点；2. 学会运用随机分析的方法，对随机过程进行建模、分析和预测；3. 掌握随机过程中的数学期望、方差等统计量的计算方法；4. 了解随机过程在现实生活中的应用，提高解决实际问题的能力。
技能目标：1. 能够运用概率论知识对随机过程进行描述和分析；2. 掌握运用计算机软件进行随机模拟和数据分析的方法；3. 能够运用随机过程的理论和方法解决实际应用问题，提高解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对随机过程与随机分析的兴趣，激发他们探究未知领域的热情；2. 培养学生的团队合作意识，提高他们在学术探讨中的沟通与协作能力；3. 增强学生面对复杂问题的信心，培养他们勇于挑战、积极进取的精神风貌。
课程性质：本课程为高中数学选修课程，旨在让学生掌握随机过程与随机分析的基本知识，培养他们在实际应用中运用数学工具解决问题的能力。
学生特点：高中学生已具备一定的数学基础和逻辑思维能力，对概率论有一定了解，但对随机过程与随机分析尚较陌生。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过案例分析和实际操作，使学生掌握课程内容，提高解决问题的能力。
在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学策略，确保课程目标的实现。
将课程目标分解为具体的学习成果，便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 随机过程基本概念：引入随机过程的基本定义，包括马尔可夫链、泊松过程、布朗运动等，讲解各种随机过程的性质和特点。
教材章节：第二章 随机过程的基本概念与性质。
2. 随机分析方法：介绍随机分析的基本方法，如随机微积分、随机微分方程等，并结合实际案例进行分析。
教材章节：第三章 随机分析的方法与应用。
3. 随机过程统计量计算：讲解随机过程中的数学期望、方差等统计量的计算方法，以及在实际问题中的应用。
教材章节：第四章 随机过程中的统计量计算。
4. 随机过程应用案例分析：分析随机过程在金融、物理、生物等领域的应用，让学生了解随机过程在实际问题中的重要性。
《应用随机过程》课件
希望本课程能够为您的学习和职业发展带来启发和帮助！谢谢大家！
随机过程在传输信号、网络拥塞控制和信道建 模等方面具有广泛应用。
随机过程的模拟和分析
模拟
利用数值方法和计算机模拟生成随机过程的样本路径，用于验证和测试理论模型。
分析
通过概率论和统计学方法分析随机过程的特性和统计规律，为实际问题提供解决方案。
总结
通过本课程的学习，我们深入了解了随机过程的基本概念、分类、特性、应 用以及模拟和分析方法。
马尔可夫性
随机过程的未来值只与当前值相关， 与过去值无关，便于建模和计算。
随机过程的应用
金融领域
随机过程在股票市场预测和衍生品定价等方面 发挥重要作用。
数据分析
随机过程的工具和方法用于分析和建模时间序 列数据，揭示隐藏的统计规律。
排队系统
随机过程可用于优化排队系统的性能，提高服 务质量和效率。
通信网络
连续时间
随机变量在连续的 时间区间内变化， 例如布朗运动和泊 松过程。
时齐
随机过程的统计特 性在时间上是不变 的，例如平稳随机 过程。
非时齐
随机过程的统计特 性随时间变化，例 如非平稳随机过程。
随机过程的特性
1
平稳性
2
随机过程的统计特性在时间上保持不
变，具有一定的预测性。
3
随机性
随机过程的未来值是随机的，无法精 确预测。
《应用随机过程》PPT课件
课程介绍 什么是随机过程 随机过程的分类 随机过程的特性 随机过程的应用 随机过程的模拟和分析 总结
课程介绍
欢迎大家来到《应用随机过程》课程！本课程将带领您深入了解随机过程的 理论和应用，为您打开了一扇探索机会与挑战的大门。
应用随机过程期末总结
应用随机过程期末总结随机过程是概率论的一个重要分支，主要研究随机变量的规律性和演化规律。
应用随机过程是将随机过程的模型与实际问题相结合，通过建立数学模型和分析求解的方式，研究真实世界中的随机现象和现象演化规律。
本文将对应用随机过程的相关内容进行总结和归纳。
一、随机过程的基本概念和性质随机过程是一类函数族，它的每一个函数都是随机变量，且这些随机变量之间相互依赖。
随机过程可以用集合函数、分布函数、概率密度函数和特征函数等来描述。
随机过程的性质主要包括平稳性、独立性、连续性和马尔可夫性。
其中，平稳性是指随机过程的统计规律不随时间变化而变化；独立性是指随机变量之间相互独立；连续性是指随机过程的样本函数是连续函数；马尔可夫性是指过程的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
二、随机过程的分类随机过程可以分为离散时间过程和连续时间过程两种类型。
离散时间过程是在离散时间点上对随机变量的观测结果进行描述的；连续时间过程是在连续时间上对随机变量的观测结果进行描述的。
离散时间过程主要包括马尔可夫链和泊松过程。
马尔可夫链是一类具有马尔可夫性的离散时间过程，其中状态空间是有限或可列的；泊松过程是一类具有独立增量和无记忆性质的离散时间过程，广泛应用于生物学、通信网络和金融等领域。
连续时间过程主要包括布朗运动和随机微分方程。
布朗运动是一类具有无记忆性、连续性和高斯性质的连续时间过程，广泛应用于金融工程、物理学和生物学等领域；随机微分方程是描述随机过程演化规律的一种数学工具，广泛应用于自然科学和工程技术中。
三、应用随机过程的数学模型应用随机过程主要通过建立数学模型来描述和分析真实世界中的随机现象。
常用的数学模型包括马尔可夫过程、排队论、随机网络和信号处理等。
马尔可夫过程是一类具有马尔可夫性质的随机过程，广泛应用于工程技术和经济管理等领域。
排队论是研究顾客到达和被服务时间的随机过程，广泛应用于交通运输、通信网络和生产管理等领域。
随机过程模拟使用随机数生成器模拟随机过程
随机过程模拟使用随机数生成器模拟随机过程随机过程模拟是一种通过使用随机数生成器来模拟随机过程的方法。
在现实世界中，有许多现象和过程都是具有随机性的，比如天气变化、股票价格波动等等。
通过进行随机过程模拟，我们可以更好地理解和预测这些随机现象。
在随机过程模拟中，随机数生成器起着至关重要的作用。
随机数生成器是一种能够产生一系列看似随机的数值序列的工具。
这些数值序列通常是根据一些预定的规则和算法生成的，尽管它们不能真正被称为“随机”，但在实际应用中，它们通常具备足够的随机性。
在使用随机数生成器进行随机过程模拟时，我们需要确定以下几个关键因素：1. 随机数生成器的选择：选择合适的随机数生成器对于模拟结果的准确性和可信度至关重要。
常见的随机数生成器包括线性同余法、Mersenne Twister算法等。
根据具体的模拟需求，选择适合的随机数生成器是必要的。
2. 随机数种子的设定：随机数生成器通常需要一个随机数种子作为初始输入。
在模拟过程中，种子的选择和设定会直接影响到生成的随机数序列。
为了获得更加真实和随机的模拟结果，种子的选择需要进行一定的考虑和调整。
3. 模拟过程的建模：在进行随机过程模拟时，我们需要建立模型来描述所研究的随机过程。
随机过程可以是连续的也可以是离散的，可以是时间齐次的也可以是非齐次的。
根据具体的实际应用需求，选择合适的模型是必要的。
4. 模拟结果的分析：模拟过程结束后，我们需要对生成的模拟结果进行分析和评估。
这包括统计特性的计算、概率密度函数的拟合等等。
通过对模拟结果的分析，可以验证模型的准确性，并做出相应的结论。
通过随机过程模拟，我们可以做出更为准确的预测和决策。
比如在金融领域，通过模拟股票价格的随机过程，可以进行风险评估和投资决策；在天气预报领域，通过模拟气象变化的随机过程，可以进行灾害预警和资源调配等工作。
总之，随机过程模拟是一种重要的模拟方法，通过使用随机数生成器和合适的模型，可以更好地理解和预测具有随机性的现象和过程。
统计方法4 随机模拟2
统计方法4 随机模拟随机模拟(random simulation)方法,又称为蒙特卡洛（Monte Carlo,MC ）方法。
它的基本思想是为了求解实践中问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型的抽样试验获得这些参数的统计特征，最后给出解的近似值。
解的精确度由估计值得标准误差来表示。
其基本数学原理为强大数定律。
Monte Carlo 方法最早产生于二战期间美国研发原子弹的曼哈顿工程。
电子计算机的出现使得模拟随机试验成为了重要的科学方法。
图：赌城Monte CarloMonte Carlo 方法可以处理的问题基本可以可以分为两类：第一类是随机性的问题。
这一类问题往往直接利用概率法则通过随机抽样进行模拟。
如核物理问题，随机服务系统中的排队问题，生物种群的繁衍与竞争，传染病的传播等都属于这一问题。
第二类是确定性的问题。
首先建立一个与所求问题有关的概率模型，使所求解是该概率模型中的概率分布或者数学期望。
然后对这个模型进行随机抽样。
用算术平均值作为所求解的估计值。
如求解多重积分，解线性方程组，解偏微分方程积分方程等复杂数学问题。
第一节 生成随机数 1.生成随机数的基本数学原理较为普遍应用的产生随机数的方法是选取一个函数)(x g ，使其将整数变换为随机数。
以某种方法选取0x ，并按照)(1k k x g x =+产生下一个随机数。
最一般的方程)(x g 具有如下形式：c ax x g mod)()(+= （8.1）其中0x 初始值或种子（00>x ）=a 乘法器（0≥a ）=c 增值（0≥c ）=m 模数对于t 数位的二进制整数，其模数通常为t 2。
例如，对于31位的计算机m 即可取1312-。
这里a x ,0和c 都是整数，且具有相同的取值范围0,,x m c m a m >>>。
所需的随机数序{}n x 便可由下式得m c ax x n n mod )(1+=+ （8.2） 该序列称为线性同余序列。
随机过程与随机模拟
随机过程与随机模拟是概率论与数理统计中的重要分支，它们在多个领域中都发挥着重要的作用。
随机过程描述了随机事件的演化规律，而随机模拟可以通过模拟随机过程来研究和分析随机现象。
本文将从理论和应用两个方面介绍随机过程与随机模拟。
随机过程是指一系列随机变量组成的序列，其值的演化是随机的。
随机过程可以分为离散和连续两种类型。
离散随机过程是在离散的时间点上进行观察和模拟的，而连续随机过程是在连续时间上进行观察和模拟的。
随机过程的重要特征是其概率分布的统计特性，其中最基本的是均值和方差。
随机过程的研究可以帮助我们了解随机现象的演化规律，并预测未来的概率分布。
例如，在金融领域中，随机过程可以用来模拟股票价格的变动，帮助投资者制定投资策略。
在通信领域中，随机过程可以用来研究信号的噪声特性，提高通信系统的性能。
此外，随机过程还应用于天气预报、交通流量研究、系统可靠性分析等领域。
随机模拟是通过计算机模拟的方法来研究和分析随机过程。
随机模拟的基本思想是生成满足一定概率分布的随机数序列，然后根据序列来模拟随机过程的演化。
在随机模拟中，我们可以通过大量的模拟实验来估计随机过程的统计特性，如均值、方差、分位数等。
随机模拟技术的发展和应用给了我们一种更灵活、高效的方法来研究和解决实际问题。
随机模拟在各个领域中都有广泛的应用。
在工程领域，随机模拟可以用来分析复杂系统的可靠性和性能。
例如，在航空飞行器设计中，可以通过随机模拟来模拟不同天气条件下的飞行状况，评估飞行器的风险和安全性。
在医学领域，随机模拟可以用来研究药物的疗效和副作用，并优化药物的治疗方案。
在城市规划中，随机模拟可以用来模拟城市交通流量，评估交通拥堵的程度，并设计优化交通系统。
总之，随机过程与随机模拟是概率论与数理统计中的重要分支，它们在理论研究和实际应用中都具有重要的作用。
随机过程描述了随机事件的演化规律，而随机模拟通过模拟随机过程来研究和分析随机现象。
随着计算机技术的不断进步，随机模拟技术将在更多领域中发挥重要的作用，为我们解决实际问题提供更加准确和全面的方法。
随机模拟在金融工程中的应用-教案
随机模拟在金融工程中的应用-教案一、引言1.1随机模拟的基本概念1.1.1随机模拟的定义随机模拟是一种基于随机变量和统计实验的数学方法。
它通过模拟随机过程来研究金融工程中的不确定性和风险。
1.1.2随机模拟在金融工程中的重要性金融工程中的许多问题都涉及随机性，如资产价格波动、信用风险等。
随机模拟为这些问题提供了一种有效的解决方法。
1.1.3随机模拟的应用范围包括衍生品定价、风险管理、投资组合优化等。
1.2教学目标1.2.1掌握随机模拟的基本原理和方法理解随机模拟的基本概念和数学基础。
学会使用随机模拟方法解决金融工程问题。
1.2.2学习如何应用随机模拟于实际问题分析金融工程中的具体问题，并选择合适的随机模拟方法。
掌握随机模拟在金融工程中的应用流程和技巧。
1.2.3培养学生的创新思维和解决问题的能力通过实际案例分析和模拟实验，提高学生的实践能力和创新思维。
1.3教学方法1.3.1理论教学通过讲解和演示，让学生理解随机模拟的基本原理和方法。
使用多媒体教学手段，如PPT、视频等，增强学生的学习兴趣和理解能力。
1.3.2实践教学安排实验课程，让学生动手进行随机模拟实验。
提供实际案例，让学生分析和解决金融工程中的问题。
1.3.3讨论和交流组织课堂讨论，让学生分享自己的实验结果和经验。
鼓励学生提问和回答问题，促进知识的深入理解和交流。
二、知识点讲解2.1随机模拟的数学基础2.1.1随机变量的介绍随机变量的概念和方法。
讲解常用的随机数算法，如线性同余法、梅森旋转法等。
2.1.2随机过程的模拟介绍随机过程的概念和模拟方法。
讲解常用的随机过程模型，如布朗运动、随机游走等。
2.1.3统计实验的设计介绍统计实验的基本原理和方法。
讲解如何设计实验来评估金融工程中的风险和不确定性。
2.2随机模拟在金融工程中的应用2.2.1衍生品定价介绍衍生品的概念和定价问题。
讲解如何使用随机模拟方法进行衍生品定价。
2.2.2风险管理介绍风险管理的概念和方法。
随机模拟完整版课件
则P(B)=0.6. 用计算器或计算机产生1～5之间的随
机数，当出现随机数1、2或3时,表示一局 比赛甲获胜，其概率为0.6. 由于要比赛3 局,所以每3个随机数为一组. 例如，产生 20组随机数: 423 123 423 344 114 453 525 332 152
用随机模拟 的方法得到的是 20次试验中事件 A发生的频率,它 是概率的近似值 事件A的概率的
下表是20次模拟试验的结果. 事件A发生了14次，事件A的概 率估计值为0.75，与事件A的概率(约0.78)相差不大.
四、典型例题
例2 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决
赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.利
用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
解: 设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，
方法2 利用电子表格软件模拟试验. 在A1、B1、C1、D1、E1、F1单
元格分别输人“=RANDBETWEEN(1,12)”，得到6个数，代表6个人 的出生月份，完成一次模拟试验.选中A1、B1、C1、D1、E1、F1 单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行， 相当于做20次重复试验. 统计其中有相同数的频率，得到事件A 的概率的估计值.
fn
n 10 20 50 100 150 200 250 300
利用随机
蒙特卡洛方法是在第二次世界大战期间兴起
模拟解决问题 和发展起来的，它的奠基人是冯•诺依曼.这种方法
的方法为蒙特 . 在应用物理、原子能、国体物理、化学、生物、
卡洛方法. 生态学、社会学以及经、典型例题
342
精确值为0.648.
5相3当4 于44做3 了5120次54重1 复12试5 验43.2其3中34事1件51A发31生4 了13次,对应的数组
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4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – RANUNI生成的随机均匀分布数据有着广泛的应 用，它主要是通过以下递归公式来产生随机数据， – R(i+1)=(a*R(i)+c) (mod m) i=0,1,2…， – 这里R(i)为第i个随机数，a为乘子，c为增量， (mod m)是指将(a*R(i)+c)得到的数据取模运算， 使得得到的数据都在(0,m)这个区间内。 – 要产生的随机数序列R(i)从第一个随机数R(0)开 始和决定，然后得到在(0,m)这个区间的均匀分布 的随机数，SAS会通过除以m得到(0,1)区间的随 机数。
4.2 随机数的抽样
› 非标准分布随机数生成：接受-拒绝法
› 接受拒绝法（Acceptance Rejection Method）算法： › 1.选择一个容易抽样的分布g作为建议分布，确定常数M>1使 得在f的定义域上f（x）≤Mg（x）成立； › 2.生成服从分布g的建议随机数y； › 3.生成一个服从均匀分布U(0,1)的随机数u； › 4.计算接受比函数h(x)=f(x)/(Mg(x)), 如果u < h(x)，则接受建 议随机数y，否则拒绝y，返回2。 › 由此生成的随机数序列即为服从目标分布f的随机数。证明略。
4.2 随机数的抽样
› 由SAS生成50000个服从指定离散分布（1/0.1 2/0.2 3/0.4 4/0.2 5/0.1）的随机数，对生成的样本作频数统 计，并作分布拟合检验。 样本容量为 50000时，样本 分布与期望分 布的差异减小， （检验统计量 的值由7.0625 减小为 2.1371）。 分布拟合检 验结果接受原 假设，即认为 样本分布与期 望分布相同。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成 – 伪随机数生成算法 – 蒙特卡罗模拟的核心是随机数据的生成器，而各 种随机数据的生成器的核心是随机均匀分布数据 的生成器，因为各种特定分布的随机数据都可以 通过随机均匀分布数据得到。 – 产生随机数，可以通过物理方法取得，但当今最 为普遍的乃是在计算机上利用数学方法产生随机 数。这种随机数根据特定的迭代公式计算出来， 初值确定后，序列就可以预测出来，所以不能算 是真正 随机模拟
› 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法定义：the use of random sampling techniques and often the use of computer simulation to obtain approximate solutions to mathematical or physical problems especially in terms of a range of values each of which has a calculated probability of being the solution (Merriam-Webster, Inc., 1994, pp. 754-755) › 蒙特卡罗模拟的基本思想：当所求解问题是某种随机事 件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过 某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一 随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特 征，并将其作为问题的解。
4.1 随机模拟
› 蒙特卡罗模拟的试验过程：计算机模拟试验过程，就是 将试验过程转化为数学问题，在计算机上实现。在解决 实际问题的时候应用蒙特卡罗模拟主要有两部分工作： 用蒙特卡罗模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的 随机变量，然后用统计方法把模型的数字特征估计出来， 从而得到实际问题的数值解。 › 蒙特卡罗模拟主要适用于哪些情况？当我们手上的数据 并不能满足统计理论的假设时，蒙特卡罗模拟就是理论 预测的一个很好的替代。蒙特卡罗模拟的一个主要应用 是评估估计结果是否违反最初的假设，另一个应用是当 一个样本没有理论分布时，我们可以用蒙特卡罗模拟来 决定样本分布。
4.1 随机模拟
› 用蒙特卡罗模拟掷骰子（SAS实现）
› 利用SAS中的随机数函数与数学函 数，模拟掷骰子游戏。每次游戏独 立地掷骰子2次，分别用变量N1, N2记录2次抛掷出现的点数，用变 量Sum记录2次抛掷出现的点数之和， 用变量Id记录游戏的序号。
4.1 随机模拟
› 用蒙特卡罗模拟掷骰子（SAS实现）
4.2 随机数的抽样
› 非标准分布随机数生成：逆变换法
4.2 随机数的抽样
› 非标准分布随机数生成：接受-拒绝法
› 接受拒绝法（Acceptance Rejection Method）： 假设希望生成的随机数的概率密度函数（PDF）为f， 则首先找到一个PDF为g的随机数发生器与常数M， 使得f伪随机数发生器 f（x）≤Mg（x），然后根据接收拒绝算法求解。 › 由于算法平均运算M次才能得到一个希望生成的随 机数，因此c的取值必须尽可能小。显然，该算法的 缺点是较难确定g与M。
0.028 0.056 0.083 0.111
0.139 0.167 0.139 0.111
0.083 0.056 0.028
4.1 随机模拟
› 在随机过程课程中学习随机模拟的意义
– 随机过程是典型的随机系统，表现出复杂的不确定 性，不容易被理解和掌握。通过计算机仿真，帮助
同学们进一步认识与感知随机过程。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› Seed为零时的随机数序列：
– 随机数据集由随机数种子(seed) 决定，它的值可以 是（-（2^31-2），2^31-2）中的任何一个数。其 中，当随机数种子(seed)的值大于0时，每次产生的 R(0)的值都是一样的，但当的seed值小于或等于零 时，每次产生的R(0)的值是不同的，它会以系统的时 间为种子产生随机数值。 – 当Seed为零时，每一次执行CALL子程序所产生的随 机数序列结果都会不一致，我们可以将SEED=0看作 是随机种子。
– 利用“随机模拟”方法研究随机过程。
– 除理论研究、科学实验之外，在认识论层面拓宽同
学们的思路，补充“随机模拟” 这种研究方法。搭 建“随机过程”课程理论与实际应用之间的桥梁。
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成
– 伪随机数生成算法
› 非标准分布随机数生成
– 逆变换法
– 接受拒绝法
› 多维联合分布抽样
4.2 随机数的抽样
› 标准分布随机数生成，利用SAS生成标准分布 随机数
› 生成大量不重复的seed序列
– 在实际的应用中，我们经常会遇到需要大量随机数 序列的情况，这时候我们就不能靠手工输入随机数 种子。 – 当SEED=0时，我们可以用这个随机种子产生大量的 随机数序列，但是这里产生的随机数序列并不一定 能保证这些随机数序列不重复。 – 这里介绍一个产生不重复的随机数种子的宏
› 由SAS生成50000个服从正态分布的随机数，并对生成 的样本作描述性统计分析和拟合分布检验。
4.2 随机数的抽样
› 由SAS生成50000个服从正态分布的随机数，并对生成 的样本作描述性统计分析和拟合分布检验。
分布拟合检验结果：模拟样本来自标准正态总体。
4.2 随机数的抽样
› 由SAS生成50000个服从正态分布的随机数，并对生成 的样本作描述性统计分析和拟合分布检验。
/*建立数据集Dice*/ DATA DICE ; DO Id =1 TO 10000; N1=1+INT(6*RANUNI(123)); N2=1+INT(6*RANUNI(123)); SUM = N1+N2; OUTPUT ; 骰子的结果的和; END; RUN;
*** 掷10000次骰子; *** 第一次掷骰子的结果; ***第二次掷骰子的结果; *** 两次掷骰子的结果的和; *** 保存两次掷骰子的结果及两次掷
4.2 随机数的抽样
› 生成大量不重复的seed序列
产生随机数种 子的原理，是 要产生多少个 随机数种子， 就按一定步长 递增多少次， 然后得到一个 随机数作为种 子。 这个宏有个缺 点，就是当步 长*随机数种子 数量>2**31-1 时，可能得不 到要求得到的 随机数种子数 量。
4.2 随机数的抽样
› 随机模拟是运用计算机对随机系统进行的一 种仿真研究方法。因其简单实用、适用面广， 已经成为科学技术各领域的有力研究手段。
› 随机模拟方法也称为“蒙特卡罗（Monte Carlo）” 方法，其灵魂在于由计算机生成 随机数序列，从而使人们可以由此模拟出各 种随机现象（随机事件）。 › 注：蒙特卡罗是摩纳哥国的世界闻名赌城 › 随机模拟方法要求研究者具有概率论与随机 过程的基本知识以及最基本的编程能力。
第4章 随机模拟
2016-2017学年第2学期 统计与信息学院 张建新
2017/4/19
第4章 随机模拟 Stochastic Simulation
› 4.1 随机模拟 › 4.2 随机数的抽样 › 4.3 随机游走模拟
› 4.4 泊松过程模拟
› 4.5 马尔可夫链蒙特卡罗方法
› 参考文献
4.1 随机模拟
4.1 随机模拟
› 用蒙特卡罗模拟掷骰子（SAS实现）
这里我们可以看 到 两次投出的点 数之和 sum=7 的Percent在 1/6=16.67附近， 也即验证了概率 论计算的结果。
4.1 随机模拟
› 用蒙特卡罗模拟掷骰子（SAS实现）
› 变量Sum的理论分布律
Sum P P 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36
模拟样本数据直方图对标准正态分布的密度函数拟合良好。
4.2 随机数的抽样
› 由SAS生成1000个服从指定离散分布（1/0.1 2/0.2 3/0.4 4/0.2 5/0.1）的随机数，对生成的样本作频数统 计，并作分布拟合检验。