结构动力计算结构力学 教学
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结构力学 结构的动力计算
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或系统）的识别 结构 （系统）
输入 （动荷载）
输出 （动力反应）
第三类问题：荷载识别 输入 （动荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动荷载）
结构 （系统）
控制系统 （装置、能量）
输出 （动力反应）
2．结构动力计算的目的 研究结构在动荷载作用下的反应规 律，找出动荷载作用下结构的最大动内 力和最大动位移，为结构的动力可靠性 设计提供依据。
第13章
结构的动力计算
§13－1 动力计算的特点和动力自由度
一．动荷载及其分类
动荷载是指其大小、方向和作用位置随 时间变化的荷载．由于荷载随时间变化较快 ，所产生的惯性力不容忽视。因此，考虑惯 性力的影响是结构动力学的最主要特征。 静荷载只与作用位置有关，而动荷载 是坐标和时间的函数。
动荷载按其随时间的变化规律进行分类：
质量 m 在 t 时刻的位移y(t)是由此时作 用在质量上的惯性力产生的，位移方程为：
y(t ) [m(t )] y
整理，
m(t ) y 1
y (t ) 0
(a) (b)
单自由度体系： k
1
式（13－1）或（a）称为单自由度体系 自由振动运动方程（微分方程）
二.自由振动运动方程的解
由式（13－4）
y (t ) A sin(t ) A sin(t 2 ) A sin[ (t 2 ) ] y (t 2 )
y(t)是周期函数
T 2
－自振周期（固有周期） －自振频率（固有频率）
2 T
1. 结构自振周期 T 和自振频率 的各种等 价计算公式
结构力学结构的动力计算
下册P73
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
§14-1 概述
一、构造动力计算旳特点
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，构造旳内力、位移等计算原理 和计算措施。求出它们旳最大值并作为构造设计旳根据。 （2）研究单自由度及多自由度旳自由振动、逼迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载旳大小和方向不随时间变化（如梁板 自重）。 （2）动荷载：荷载旳大小和方向随时间变化，需要考虑 惯性力（与影响线不同）。
2、自由度：构造运动时，拟定全部质点位置 所需要旳独立几何参变量旳数目（与几何构成自由 度不同）。
3、有关自由度旳几点阐明：
（1）基本未知量数目与自由度数目是一致旳。前者强调独 立位移数目，后者强调独立坐标数目。
（2）与几何构成份析中旳自由度不同。
（3）一般采用“集中质量法”，将连续分布旳质量集中为 几种质点研究。
y
y 0 ω
sinωt
y0cosωt
进一步可拟定式
y c sin(t ) 中旳c和
c
c12 c22
y02
(
y0
)2
tg
1(
c2 c1
)
tg 1 (
y0
y0
)
c
c2
c1
频率定义：
2 2f
T
频率：
k11 1 g gk11
m
m 11
w 11
w
周期： T 2
m 2 k11
■ 动力计算与静力计算旳区别:
•达朗伯原理:动力计算可化为静力平衡问题来处理。 •这是一种形式上旳平衡，是一种动平衡，是在引进 惯性力旳条件下旳平衡。 • 注意两个特点：
（1）力系中涉及惯性力； （2）瞬间旳平衡，荷载、位移、内力等都是时间旳 函数。
结构力学——结构的动力计算
11
11[ P(t ) m(t )] y
P (t )
y(t ) 11[ P(t ) m(t )] y
l
l3 柔度系数 m(t ) 11 y 3EI 3EI (t ) 3 y (t ) P(t ) my l
二、刚度法
P (t )
l
EI
m m(t ) y y (t )
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
§1.2
结构动力学的研究内容和任务
结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。 一.结构动力学的研究内容 当前结构动力学的研究内容为: 第一类问题：结构动力荷载的确定
结构力学
傅向荣
第十章 结构的动力 计算
§1. 绪论
§1.1 动荷载及其分类
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
P (t )
EI
m
EI1
EI
l
1
24 EI k 3 l
11
1
k
EI1
1 11 k
12 EI / l 3 12 EI / l 3
l l
EI EI
k2
EI1
EI EI
k1 ?
k1
k2 ?
24 EI k1 k 2 3 l
层间侧移刚度 对于带刚性横梁的刚架(剪切型刚架), 当两层之间发生相对单位水平位移时,两 层之间的所有柱子中的剪力之和称作该 层的层间侧移刚度. l l
结构力学第10章 结构的动力计算
F k
1
2 1 2
yst sin t
A yst
F F yst F 2 m k
动荷载幅值当作静载 作用时质体的位移
1
2 1 2
A yst
动力系数
§10-3
单自由度体系的强迫振动
动力系数的讨论
0， 1
荷载变化比较慢，可按静载处理。
解
对于竖向振动，柔度系数为
l3 48 EI
ml 3 T 2 m 2 48 EI
1 48 EI ml 3 m
§10-2
单自由度体系的自由振动
例题10-2 求图示悬臂杆的水平和竖向振动时的自振周期
解 （1）水平振动
当杆顶作用水平力W时，杆 顶的水平位移为
Wl 3 st 3EI
杜哈梅积分(Duhamel)
1 t y (t ) 0 FP sin t d m
零初始条件下，单自由度体系在任意荷载下的动位移公式
若 则
y0 0
v0 0 v0
1 y y0 cos t sin t m
t
0
FP ( ) sin t d
y t C1 sin t C2 cos t
F y t y t y * t C1 sin t C2 cos t sin t 2 2 m
§10-3
单自由度体系的强迫振动
代入初始条件
y 0 0 C2 0; F y 0 0 C1 m 2 2
（2）竖向振动
Wl 3 T 2 3EIg
当杆顶作用竖向力W时，杆顶的 竖向位移为
第9章动力计算,结构力学,课件
3 3 3
EI1
EI1
20 10 6 T 2 0.1434 s 7 24 3.528 10 9.8 A
12EI1 l3
24EI1 k= 3 l B 12EI1 l3
l=6m
结构的刚度系数即使柱顶发生单 位位移时，在柱顶需施加的力。 EI1 考虑梁AB的平衡可得： 24EI k 3 1 1 l 结构的自振周期：
1 2
(b)
m3
自由度为2
例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体 系的动力自由度数为多少？
m1
EI 1 =∞ EI EI
m2
EI
m1
EI 1=∞ EI
m2
自由度数5
三、阻尼
阻尼对结构的作用 ： 一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。 另一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。 阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;
y
y ky
m
m y
9.2.1 单自由度体系的自由振动
二、自由振动微分方程的解 2 微分方程： m ky 0 令： k 方程可改写为： y m 2 y 0 y y(t) C1 sin t C2 cost 方程通解： 根据初始条件：t=0时，y=y0, v=v0可确定 C1 , C2
1. 2. 3.
单自由度体系的自由振动； 单自由度体系的强迫振动； 阻尼对振动的影响；
9.2.1 单自由度体系的自由振动
一、自由振动微分方程的建立
y k
m
1. 刚度法：从力系平衡的角度考虑
m受力： 弹性力：-ky，与位移方向相反； y 惯性力： m，与加速度方向相反； 根据达朗伯原理： m ky 0 k y 2. 柔度法：从变形协调角度考虑 y 体系受惯性力： fI m y fI m y m的位移： 其中：k— 刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力； 1 — 柔度系数；单位力作用下m产生的位移： k
EI1
EI1
20 10 6 T 2 0.1434 s 7 24 3.528 10 9.8 A
12EI1 l3
24EI1 k= 3 l B 12EI1 l3
l=6m
结构的刚度系数即使柱顶发生单 位位移时，在柱顶需施加的力。 EI1 考虑梁AB的平衡可得： 24EI k 3 1 1 l 结构的自振周期：
1 2
(b)
m3
自由度为2
例：考虑各杆件的弯曲及柱的轴向变形，图a所示体 系的动力自由度数为多少？
m1
EI 1 =∞ EI EI
m2
EI
m1
EI 1=∞ EI
m2
自由度数5
三、阻尼
阻尼对结构的作用 ： 一类是材料的非弹性变形，使变形能损失。 另一类是阻尼力，包括介质阻力和摩擦阻力。 阻尼是振动的一个重要因素，而且很复杂，需化简;
y
y ky
m
m y
9.2.1 单自由度体系的自由振动
二、自由振动微分方程的解 2 微分方程： m ky 0 令： k 方程可改写为： y m 2 y 0 y y(t) C1 sin t C2 cost 方程通解： 根据初始条件：t=0时，y=y0, v=v0可确定 C1 , C2
1. 2. 3.
单自由度体系的自由振动； 单自由度体系的强迫振动； 阻尼对振动的影响；
9.2.1 单自由度体系的自由振动
一、自由振动微分方程的建立
y k
m
1. 刚度法：从力系平衡的角度考虑
m受力： 弹性力：-ky，与位移方向相反； y 惯性力： m，与加速度方向相反； 根据达朗伯原理： m ky 0 k y 2. 柔度法：从变形协调角度考虑 y 体系受惯性力： fI m y fI m y m的位移： 其中：k— 刚度系数；使m产生单位位移需要施加的力； 1 — 柔度系数；单位力作用下m产生的位移： k
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
结构力学Ⅱ课件：结构动力学(一)
• 结构的动力计算不但要考虑动力荷载的性质，还要 考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、 阻尼特性分布的影响；
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
16
刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
11
三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
一、动力计算的特点 • 动力计算与静力计算的本质区别：不能忽略惯性力
（1） 计算中考虑惯性力 FI ma my （2）利用达朗伯原理原理，把惯性力视为外力参与
瞬时的平衡，将动力问题转化为静力问题来处理。 （3）动力方程是二阶微分方程，方程求解复杂困难。
F (t )
动荷载：F (t) 干扰力、受迫力、激励
阻尼力： FD cy 和速度方向相反
16
刚度法建立动力方程
y (t )
FD
FI
F(t) y，y, y
FS
质点平衡方程： FI FD FS F (t )
惯性力： FI my
阻尼力： FD cy
约束力（恢复力)： FS ky
刚度法的运动方程： my cy ky F(t) （2-1）
三、动力计算中体系的自由度 • 集中质量法——
假定忽略杆的轴向变形和质点的转动。 平面内每个质点最多有两个线位移。
• 质点体系的振动自由度确定方法—附加链杆法
使每个质点不发生线位移所施加的附加链杆数，即为体 系动力计算的自由度。
11
三、动力计算中体系的自由度
2个自由度
1个自由度
2个自由度 单自由度
研究对象
• 求解杆系结构在动荷载 作用下的变形和内力。
本章重点
• 单自由度体系的自振频 率及在简谐荷载作用下
的动力响应。
§10.1 概述
一、动力计算的特点
• 动力计算研究结构在动力荷载作用下的变形和内力，即 研究结构的动力反应。
• 动力荷载：大小、方向、作用点随时间变化的荷载。 • 结构的动力反应不但与动力荷载的性质有关，还与结构
结构力学第10章-结构动力计算基础
1 1 1 3
2 2 2 3
k11 Q1 Q2
12 ( E1 I 1 E 2 I 2 ) h3
刚架水平振动时的自振频率为：
k11 12( E1 I1 E2 I 2 ) m m h3
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转 速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖 向分量为Fsinθt 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 ×104kN.m2。忽略梁
F (t ) FS (t ) FI (t ) 0
整理得
改写为
t k11 y t F (t ) my
y t 2 y t F (t ) m
k 11 m ,
此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中 下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
0 0， y 0 可由图乘法计算得到， 振动。初始时刻质点速度为零，即 y
1 1 1 y M M d x ，则质点m的位移 0 1 P E I E I
1 1 3 E I y y c o s t c o s t 0 E I 4 m
F F 11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起 式中 yst 的位移。令 1
2 1 2
则
F A yst
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
2 2 2 3
k11 Q1 Q2
12 ( E1 I 1 E 2 I 2 ) h3
刚架水平振动时的自振频率为：
k11 12( E1 I1 E2 I 2 ) m m h3
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
1）运动微分方程的建立
体系在动力荷载作用下所产生的振动称为受迫振动。
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
【例3】简支梁跨中安装一台电动机。已知电动机重Q=35kN，转 速为n=400r/min。转动时由于偏心产生的离心力F=10kN，离心力的竖 向分量为Fsinθt 。梁的截面抗弯刚度EI=1.848 ×104kN.m2。忽略梁
F (t ) FS (t ) FI (t ) 0
整理得
改写为
t k11 y t F (t ) my
y t 2 y t F (t ) m
k 11 m ,
此式即为单自由度体系无阻尼受迫振动的微分方程。式中 下面分别讨论几种常见动力荷载作用下结构的动力性能。
1 1 2 1
1 3 E I m 11 4 m
当静荷载撤除后，梁的运动为单自由度体系的无阻尼自由
0 0， y 0 可由图乘法计算得到， 振动。初始时刻质点速度为零，即 y
1 1 1 y M M d x ，则质点m的位移 0 1 P E I E I
1 1 3 E I y y c o s t c o s t 0 E I 4 m
F F 11 ，表示将动荷载的幅值F作为静荷载作用于结构时所引起 式中 yst 的位移。令 1
2 1 2
则
F A yst
§10-3 单自由度体系无阻尼受迫振动
结构力学 结构的动力计算
小结
4. 两个自由度体系的自由振动有两个自振频率，数值较小的称为基本频率； 相应地有两个主振型。关键是如何计算结构的柔度系数或刚度系数，并验 证主振型的正交性。 5. 两个自由度体系的受迫振动，各质点的振幅、动力幅值没有一个统一的 动力系数，这是和单自由度体系受迫振动不同的。 6. 振型分析法将无限自由度体系的自由振动问题转化为单自由度体系的计 算问题。它将复杂的问题分解为简单的问题，使我们看出复杂运动与主振 型之间关系的规律。
子项目 结构的动力计算 知识链接
（2）冲击荷载 这类荷载在很短时间内，荷载值急剧增大（图 5 – 2a）或急剧减小（图 5 – 2b）。各种爆炸荷载都属于这一类。当升载时间趋于零时，就是突加荷载 （图 5 – 2c）。
子项目 结构的动力计算 知识链接
（3）随机荷载 这类荷载的特点是荷载随时间变化的规律很不规则，荷载在任一时刻 t 的数值无法事先确定，要通过记录和统计得到其规律和计算数值。如地 震作用的地面运动加速度（图 5 – 3）。
子项目 结构的动力计算 知识链接
3．动力计算的自由度 在进行动力计算时，也需选取一个合理的计算简图，但考虑惯性力的作用，需要 确定质量在运动中的状态。因此，体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时 刻全部质量的位置所需要的独立几何参数的数目。 实际结构的质量都是连续分布的，在计算中常把连续分布的无限自由度问题简化 为有限自由度问题。
子项目 结构的动力计算
知识链接
概括起来，动力计算的基本特点： ① 动力响应与时间有关，即荷载、位移、内力等随时间急剧变化。 ② 建立平衡方程时要包括质量的惯性力。 2．动力荷载的分类 工程中常见的动力荷载有以下几种分类： （1）周期荷载 这类荷载随时间作周期性的变化。简谐荷载是周期荷载中最简单也是最 重要的一种，它随时间 t 的变化规律可用正弦或余弦函数表示，如图 5 – 1b 所示。具有偏心质量的机器（图 5 – 1a）运转时，传到结构上的 偏心力 P(t) 随时间 t 的变化规律可用Psinθt和Pcosθt表示。
结构力学 结构动力计算
Y st yt mg yt
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
⑶质点沿水平方向振动时，水平总线位移 Y yt
§10—2
运动方程为：
单自由度体系的自由振1 动
k
m
mY kY W 0
st
y(t)
Y(t)
因为 Y (t) st y(t) Y (t) y(t) -kY -mY
所以 my k[ y(t) st ] W
⑵阻尼力与质点速度平方成正比，固体在流体中运动受到的阻力。
⑶阻尼力与质点的速度无关，摩擦力属于此类。
§10—1 动力计算的特点和动力体系自由度
关于阻尼力的理论很多，为计算方便我们选用粘滞阻尼理论。
理论假定：阻尼力的大小与质点的运动速度成正比，方向与质 点的 运动速度方向相反。即：
R
cv
c
dy dt
w
又 k st kW W
my ky(t) W W
my ky(t) 0
§10—2 单自由度体系的自由振动
可见，重力对动位移y (t ) 的运动方程无影响。 质量围绕静力平衡位置进行振动。
aa
a a
W mymax
l m
ymax st a (W mymax)
st
a
ymax
Mmax (W mymax)l
§10—2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系的动力分析虽简单但很重要体现在两个方面：
⑴很多实际动力学问题，可按单自由度体系进行分析和计算，而所 得结果基本上能反映其实际的动力特点。
⑵单自由度体系的动力分析是多自由度体系动力分析的基础。
一、振动模型的建立
对于各种单自由度体系的振动，都可以用一个弹簧质块模型的振动来描述， 因为它们有相同的运动规律和运动微分方程。
《结构力学》结构的动力计算
t................(e)
y(t) Asin( t )........................( f )
yy
T
0
t y cos t
-y
y
T
v
0
v
y T
A
0
-A
t
v sin t
t
Asin
t
13
三、结构的自振周期和频率
由式 y(t) Asin( t ) 及图可见位移方程是一个周期函数。
非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构
的振动规律，就要研究阻尼。
18
关于阻尼，有两种定义或理解： 1）使振动衰减的作用； 2）使能量耗散。 2、在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素 1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量； 2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，
1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）
P(t )
P
t 简谐荷载（按正余弦规律变化）
t 一般周期荷载
3
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P
P(t )
P
P
tr
t
tr
t
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 （如地震荷载、风荷载）
三、动力计算中体系的自由度
改写为 y k y 0 m
y 2 y 0 其中 2 k
m
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t) C1 sin t C2 cost ...............(d )
积分常数C1，C2由初始条件确定
结构力学 动力计算例题PPT课件
Psin
m
l
l
第10页/共49页
例题4 (1)体系的自振频率
单位力作用下的
求
例题
M图
1 2
l
l
•
2 3
l
l3
EI
3EI
自振频率
k m
1
m
3EI ml 3
第11页/共49页
P=1 l
l
M图
例题
例题4
(２)简谐荷载的频率
6
(３)动力系数
1
1
2 2
1
1 1 6
2
36 35
（４）位移振幅
15m 2
k
1 0.2936
k, m
2 0.6673
k, m
3 0.9319
k m
第27页/共49页
例题8
（2）求主振型
例题
K2 M Y 0
第一主振型
K12 M
YY1211 Y31
k 15
17.414
5
0
5 6.707
3
0 3 1.707
YY1211 Y31
k (1) jj
0
0 0
k (2) ij
k (3) ij
ql2 0 0 0 27l 0 5 27l 0 19 0 0 0T
1000EI
2
3
②
q ①
l ③
y M，
1
4
x
l
第17页/共49页
例题
例题6
（１）由结构位移向量得出单元①的位移
1 ql2 0
1000EI
0
0
0
27l
5T
q
m
l
l
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例题4 (1)体系的自振频率
单位力作用下的
求
例题
M图
1 2
l
l
•
2 3
l
l3
EI
3EI
自振频率
k m
1
m
3EI ml 3
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P=1 l
l
M图
例题
例题4
(２)简谐荷载的频率
6
(３)动力系数
1
1
2 2
1
1 1 6
2
36 35
（４）位移振幅
15m 2
k
1 0.2936
k, m
2 0.6673
k, m
3 0.9319
k m
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例题8
（2）求主振型
例题
K2 M Y 0
第一主振型
K12 M
YY1211 Y31
k 15
17.414
5
0
5 6.707
3
0 3 1.707
YY1211 Y31
k (1) jj
0
0 0
k (2) ij
k (3) ij
ql2 0 0 0 27l 0 5 27l 0 19 0 0 0T
1000EI
2
3
②
q ①
l ③
y M，
1
4
x
l
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例题
例题6
（１）由结构位移向量得出单元①的位移
1 ql2 0
1000EI
0
0
0
27l
5T
q
结构力学课件—结构动力学
中南大学
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17:04
§14-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
结构力学
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是 简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。 F
r
m
F (t) F t
θ t
o
简谐荷载
l/ 2
l/ 2
非简谐性周期荷载
F (t)
例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
o
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17:04
§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
同刚度法所得方程
此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。 初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移 m （2）结构具有初始速度 Δ st 静平衡位置 （3）上述二者同时存在
yd
结构力学
自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。
k11
m
FS (t )
yd
W
FI ( t )
1. 不考虑阻尼时的自由振动
结构动力计算结构力学学习资料
P(t )
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。θt
P
P(t )
P(t )
P
P
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ
t
tr (Suddenly
a突pp加lie荷d c载otn惯水sta性平nt力 分lo:量aPd=均)爆m为炸θ简tr荷2e谐,载其荷竖t载向. 分量随(和ra即nd荷o载m
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质
量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度 问题。
演示
m m>>m梁
m+αm柱
m+αm梁
I 厂房排架水平振动 I 2I
时的计算简图
三个自由度体系
单自由度体系
(single degree-of-freedom system)
1
k
EI
k11 k l 3
l
k11 3EI l3 k
m
m
•对于静定结构一般计算柔度系数方便。
•如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点
都不能发生转动（如横梁刚度为无穷大的刚架)计算刚度系数方
便。 两端刚结的杆的侧移刚度为：
12EI l3
3EI 一端铰结的杆的侧移刚度为： l 3
§15-3 单自由度体系的强迫振动
y ky m
my..
二、自由振动微分方程的解
my..+ky =0
( a) Þ y..+w 2 y =0
(w =
k )
m
y( t ) =C1 sinwt +C 2 coswt
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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的。
12ห้องสมุดไป่ตู้
单自由度结构体系运动方程的一般形式：
m
k
m
k
水平运动模型
m
k
m 竖向运动模型
13
一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）
1、刚度法(stiffness method)
(D’Alember’s principle)
从力系平衡建立的自由振动微分方程
my ky 0........a( )
无限自由度体系化成有限自由度体系的另一种 y(x)
方法假设震动曲线 n
y(x) aii (x)
i1
1,2,..., 2 为满足位移边界条件已知函数,称为
形状函数, a1, a2, …an为待定的参数（广义坐标）。
•烟囱底部的位移条件: y 0, dy 0
于是近似设变形曲线为: dx
y(x) a1x2 a2 x3 .... an xn1
单自由度体系
(single degree-of-freedom system)
三个自由度体系
7
v(t) u(t)
θ(t)
三个自由度
三个自由度
水平振动时的计算体系
构架式基础顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
8
x
2）广义坐标法(generalized coordinate)将
2、柔度法(flexibility method) y(t)
从位移协调角度建立的 自由振动微分方程
m my..
k m y(t) my..
取振动体系为研究对象， k 惯性力：
fI my δ=1/k
y fI (my) .......( b)
y ky m
my..
14
刚度法
质点的位移、速度和加速度是以向下为正。
P(t )
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
θt
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和 水平分量均为简谐荷载.
5
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。
P
P(t )
P
P
tr
t
突加荷载
(Suddenly applied constant load)
W
无关，与重量
FI (t ) my myd 无关（但与质
FP(t) Y 0
量有关）
FP (t) W FI (t) FS (t ) FD(t) 0
myd cyd kyd FP (t )
k
c
m
y, y, y
k
c
m
ys k
c
m
ys
y=ys+yd yd
静平衡位
FP(t)
y ys yd y yd y yd
位移 速度 加速度
displacement velocity acceleration
15
取质点为研究对象
W kys
FI(t)
FS(t)
FD(t)
FS (t) ky k( ys yd ) W kyd FD(t ) cy cyd 振动与静位移
§10-1 动力计算概述 1、结构动力计算的特点和内容
•动荷载(dynamic load)与静荷载(static load)的区别
动荷载：大小、方向或位置随时间而变， 而且变得很快
静荷载：大小、方向或位置不随时间而变， 或变得很慢
衡量荷载变化快慢的标准还有结构的自振频率。
1
与静力计算的区别
两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静 法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了 惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载内力都是时间 的函数。建立的方程是微分方程。
tr
t
爆炸荷载
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载 P(t )
在将来任一时刻的数值无法事先确
定。（如地震荷载、风荷载）
t
随即荷载
(random load)
6
3、动力计算中体系的自由度(degree-of-freedom)
确定运动过程中任意时刻全部质量的位置所需独立几何参 数的个数称为体系的振动自由度。
n个自由度体系
•简支梁的位移条件y(0)=0,y(l)=0
于是近似设变形曲线为:
y(x)
n k 1
ak
sin
kx
l
n个自由度体系
9
3) 有限元法（finite element）
将结构划分为有限个单元，通过单元分析得到单 元刚度方程，组装成整体刚度矩阵，适当将质量分布 于单元结点上，除这些点之外物体是无质量的。这样 就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。
动是绝对的；静是相对的。把荷载看成是 静荷载还是动荷载应结合结构本身的动特性加 以判决。
3
动荷载的分类
确定 动荷载
周期 非周期
简谐荷载 结构振动分析 非简谐荷载
冲击荷载 突加荷载
其他确定规律的动荷载
不确定
风荷载
随机振动分析
地震荷载
其他无法确定变化规律的荷载
4
1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）
动力计算的内容
研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算 原理和方法。涉及到内外两方面的因素：
1. 结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型。 （自由振动）
2. 荷载的变化规律及其动力反应。 （强迫振动）
2
2、动荷载及其分类
动荷载的定义
结构在大小方向和作用点随时间变化的荷 载作用下，质量运动加速度所引起的惯性力 (innertia force)和荷载相比达到不可忽视的程 度时的荷载称为动荷载（dynamic load）
l
10
几点注意
1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集 中质量数，可能比它多，也可能比它少。
一个质点两 个自由度
两个质点一 个自由度
2）体系的自由度与其超静定次数无关。 3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。 4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自 由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动
自由度。 自由度数和质量点个数 有关，但没有确定关系
11
§10-2 单自由度体系的自由振动
单自由度体系动 力分析的重要性
①具有实际应用价值，或进行初步的估算。 ②多自由度体系动力分析的基础。
y(t)
m
自由振动(free vibration)：
振动过程中没有干扰力作
用，振动是由初始位移或初始
k
速度或两者共同影响下所引起
实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自
由度体系。计算困难，常作简化如下：
1）集中质量法(method of lumped mess)把连续分布的质量 集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由 度问题。
m m>>m梁
m+αm柱
m +αm梁
I 厂房排架水平振动 I 2I
时的计算简图