D18隐函数习题课

z x ( ) 2 x 2 z x
注：隐函数高阶导数的求法.
2
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
2、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、
掌握求导法，了解反函数定理与坐标变换
x 2 y 2 z 2 50, 例3 设 x 2 y 3 z 4.
2 y 2x ( F , G ) Fx Fx 2 1 2 y 4 x. ( y, x ) Gx Gx
(F , G ) 当 6 y 4 z 0 时， ( y, z ) (F ,G ) dy ( x, z ) 6 x 2 z z 3 x , dx (F ,G ) 6 y 4z 3 y 2z ( y, z ) (F ,G ) 2 y 4x dz ( y , x ) 2x y , dx (F ,G ) 6 y 4z 3 y 2z ( y, z )
3, 得稳定点P0 (0,0), P ( 1 2 3 3 , 3 ). ), P ( 2 2 2 2
由于函数f在圆周(有界闭域)上连续, 故一定取得 最大值和最小值, 并且必在稳定点取得. 又 f ( P ) 0，f ( P ) ，f ( P ) ，
0 1 3 3 4 2 3 3 4
2 2 2
1 化为求点 P( x, y, z ) 满足 x y z 0使 d ( x y 2 z 2) 2 最小． 6 1 得 令 F ( x, y, z ) ( x y 2 z 2) 2 ( z x 2 y 2 ), 6
F 1 ( x y 2 z 2) 2x 0, x 3 1 Fy ( x y 2 z 2) 2y 0, 3 1 Fz 3 ( x y 2 z 2)(2) 0, 2 2 z x y ,
D1 dy 当 D 0 时， dx D
x z D1 z 3 x , 1 3
y.
z 3 x , 3 y 2z
dz D2 2 x y , 3 y 2z dx D
3、会求平面曲线的切线与法线，
空间曲线的切线与与法平面， 曲面的切平面与法线
3 求x y z 169, 在点(3,4,12)的切平面方程
Ly xz y
2
0,
Lz xy

z2
0,
即稳定点：
(3r ,3r ,3r )
x y z 3r
1 1 1 1 , x y z r
解：作拉格朗日函数： 令
1 1 1 L( x, y, z ) xyz ( ) x y z Lx yz 2 0, x
2 2 2
和法线方程. 解： n 2 x,2 y,2 z
( 3 , 4 ,12 )
6,8,24,
切平面 : 3( x 3) 4( y 4) 12( z 12) 0, 即3x 4 y 12 z 169;
法线 :
x 3 3

y 4 4

z 12 12
2
x
( e y)(cos y x) (e x y )( sin y y 1) x0 ( cos y x ) 2 y0 y 1 3
x
2 z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解:利用隐函数求导 z z z x 2x 2z 4 0 x x x 2 z
,即 .
x 3 y 4 z 12
练习 3 求曲线 x y z 6 ， x y z 0 在点(1,2, 1)处的切线及法平面方程.
2 2 2
解1
直接利用公式;
解2
将所给方程的两边对 x 求导并移项，得
y dy z dz x dy z x dz x y , , dx dx dx y z dx y z dy dz dy dz 1 0, 1, dx dx dx (1,2, 1) dx (1,2, 1) 由此得切向量 T {1, 0,1},
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
解法2 利用公式 2 2 2 设 F ( x, y , z ) x y z 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4

x x Fx z z2 2 z x Fz
两边对 x 求偏导
2 2
解： L xy [( x 1)2 y 2 1],
Lx y 2 ( x 1) 0, 解方程组 L y x 2y 0, L ( x 1) 2 y 2 1 0,
有y 2 x( x 1), ( x 1) 2 x( x 1) 1 2 x 2 3 x 0,
dy dz 求 , . dx dx
2 2 2 1 F ( x , y , z ) x y z 50 0, 解 ：令
G ( x , y , z ) x 2 y 3 z 4 0.
则
Fx 2 x , G x 1,
Fy 2 y, G y 2,
Fz 2 z ,Baidu NhomakorabeaGz 3.
2
由 定理可知,
导的隐函数
在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 且
x Fx dy e y cos y x x 0, y 0 d x x 0 Fy x 0
d y d e y x0 ( ) y0 2 x0 d x cos y x dx y 1
解 2：
x 2 y 2 z 2 50, 方程两端对 x 求导。 x 2 y 3 z 4.
得
2 x 2 y dy 2 z dz 0, 注意： y y ( x ), dx dx z z ( x ). 1 2 dy 3 dz 0. dx dx
例2. 求在 f ( x, y, z ) xyz 约束条件
1 1 1 1 , x, y, z 0 x y z r
并证明不等式：
下的极小值；
1 1 1 1 3 3( ) 3xyz , x, y, z 0 x y z
解：作拉格朗日函数： 令
1 1 1 L( x, y, z ) xyz ( ) x y z Lx yz 2 0, x
(1) (2) 解得 : 1 1 1 x ,y ,z . (3) 4 4 8 (4)
1 1 1 即得唯一驻点 ( , , ), 4 4 8
根据题意距离的最小值一定存在，且有唯一 1 1 1 驻点，故必在 ( , , ) 处取得最小值． 4 4 8
d min 1 1 1 1 7 2 . 64 4 4 4 6
y dy z dz x , 即 dx dx 2 dy 3 dz 1. dx dx
y z D 3 y 2 z . 2 3
即
y dy z dz x , dx dx 2 dy 3 dz 1. dx dx
y z D 3 y 2 z . 2 3 y x D2 2x 2 1
g z yz 2 yz z 2 yz y 2 3 , 2 x x x x x x
2 2 3
2 g 2 xz 3 2 y y3
( F , G ) F y Fz 2 y 2 z 6 y 4z. 2 3 G y Gz ( y, z )
2 x 2z ( F , G ) Fx Fz 1 3 ( x , z ) G x Gz
6 x 2z.
( F , G ) Fx Fz 2 x 2 z 6 x 2 z . ( x , z ) G x Gz 1 3
x 1 y 2 z 1 , 所求切线方程为 1 0 1 法平面方程为 1 ( x 1) 0 ( y 2) 1 ( z 1) 0,即 x z 0.
4、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题
(极值、最值、不等式)
6 求函数f ( x, y ) xy在圆周( x 1) y 1上的最大和最小值.
二 练习
1、理解隐函数存在唯一性定理、可微性定理，
掌握隐函数的求导法
例1. 验证方程 可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy d y , dx x 0 dx 2 x 0
解: 令 F ( x, y ) sin y e x x y 1, 则
x F e y, Fy cos y x 连续 , F, x F (0,0) 0 , Fy (0,0) 1 0
故最大值为 umax 6 4 2 6912.
3 2
练习2 求曲面 z x 2 y 2 与平面 x y 2 z 2 之间的最短距离．
解 设 P( x, y, z ) 为抛物面 z x 2 y 2 上任一点, 则P 到平面
1 x y 2 z 2 0 的距离为 d x y 2z 2. 6
第18章 隐函数定理及其应用小结
一、内容要求
1、了解隐函数的概念，理解隐函数存在唯一性定理、可微性定 理，掌握隐函数的求导法
2、了解隐函数组的概念，理解隐函数组定理、掌握求导法， 了解反函数定理与坐标变换 3、会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与与法平面， 曲面的切平面与法线
4、会用拉格朗日乘数法解决条件极值问题(极值、最值、不等式)
现在用二元函数取极值的充分条件判别 (3r , 3r ) 是 g ( x, y )的极值点。 z z2 2 , 由约束条件得： x x
z z2 2 y y
g z yz 2 从而 yz xy yz x x x
g z xz 2 xz xy xz y y y
Ly xz y
2
0,
Lz xy

z2
0,
即稳定点：
(3r ,3r ,3r )
x y z 3r
1 1 1 1 , x y z r
其次再判别稳定点是极值点
记
1 1 1 1 F ( x, y, z ) x y z r
1 则 Fz (3r,3r,3r) 2 z
得最大值和最小值 ，
3 3 4
3 3 4
.
练习 1
将正数 12 分成三个正数 x , y, z 之和 使得 u x 3 y 2 z 为最大.
解 令 F ( x , y , z ) x 3 y 2 z ( x y z 12) ,
Fx 3 x 2 y 2 z 0 3 F 2 x yz 0 y 则 3 2 F x y 0 z x y z 12 解得唯一驻点(6,4,2) ，
0 故方程
z 3 r
1 1 1 1 1 1 1 1 F ( x, y, z ) 0 ( ) x y z r x y z r
在稳定点 (3r ,3r ,3r ) 附近可唯一确定可微数
z z ( x, y )
令 g ( x, y) f ( x, y, z ( x, y))