求无向连通图的生成树
离散数学
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
离散数学课件16.1-2无向树和生成树
生成树
❖ 设G＝<V,E>是无向连通图,T是G的 生成子图,并且T是树,则称T是G的生 成树.
❖ G在T中的边称为T的树枝, ❖ G不在T中的边称为T的弦. ❖ T的所有弦的集合的导出子图称为T
的余树.
(2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T 的余树,注意余树不一定是树.
定理 任何连通图G至少存在一棵生成 树.
推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1.
推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T 是G的生成树,T'是T的余树,则T'中有 m-n+1条边.
图
基本回路
在图中,实边所示的子图是图G的一 棵生成树T,d,e,f为T的树枝,a,b,c 为T的弦.在T上加弦a,产生G的一 个初级回路aed.在T上加弦b,产生 G的一个初级回路bdf.在T上加弦 c,产生G的一个初级回路cef.这3 个回路中每一个回路都只含一条 弦,其余的边都是树枝,这样的回 路称为基本回路.
定义 设T是n阶连通图G=<V,E>的 一棵生成树,称T的n-1个树枝对应的 G的n-1个割集(每个割集只含一个 树枝,其余的边都是弦)S1,S2,···,Sn-1 为对应生成树T的G的基本割集,称 {S1,S2,···,Sn-1}为对应生成树T的基 本割集系统.
对一个n阶连通图G来说,对应 不同的生成树的基本割集可能 不一样,但基本割集的个数必为 n-1个,这也是G的固有特性.
T有5个树枝a,b,c,d,e,因而有5个基本割 集: Sa={a,g,f}; Sb={b,g,h}; Sc={c,f,h}; Sd={d,i,h}; Se={e,f,i};
考研数据结构图的必背算法及知识点
考研数据结构图的必背算法及知识点Prepared on 22 November 20201.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1条边。
最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{E})是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V为网图中所有顶点的集合，E为网图中所有带权边的集合。
无向连通图的生成树kruskal
采用kruskal(克鲁斯卡尔)算法求无向连通网图的一棵最小生成树。
#include<iostream>using namespace std;const int MaxSize=6; // 顶点数const int m=9; //边数int vertexNum, arcNum; //顶点数和边数char vertex[MaxSize]; //顶点数组int parent[MaxSize];struct EdgeType{int from, to;int weight;};EdgeType edge[m];void edgesz(char a[], int n, int e){int i,j,k,w;vertexNum=n; arcNum=e;for (i=0; i<vertexNum; i++) vertex[i]=a[i];for (k=0; k<arcNum; k++) //依次输入每一条边{cin>>i>>j>>w; //边依附的两个顶点的序号及权值edge[k].from=i;edge[k].to=j;edge[k].weight=w;}}int FindRoot(int parent[], int v){int t;t=v;while ( parent[t]>-1) t=parent[t];return t;}void DubbleSort(EdgeType r[],int n){int exchange,bound,j,k;exchange=n-1; //第一趟的区间为1-- nwhile(exchange) //当还未完全有序{ bound=exchange; //传递本趟最后交换位置exchange=0;for(j=0;j<bound;j++) //一趟扫描if (r[j].weight>r[j+1].weight){k=r[j].from;r[j].from=r[j+1].from;r[j+1].from=k;k=r[j].to;r[j].to=r[j+1].to;r[j+1].to=k;k=r[j].weight;r[j].weight=r[j+1].weight;r[j+1].weight=k;exchange=j; } //记录交换位置}}//kruskal(克鲁斯卡尔)算法int main(){int i;char a[MaxSize];cout <<"输入"<<MaxSize<<"个顶点数据："<<endl;for (i=0;i<MaxSize;i++) cin >>a[i];cout <<"依次输入"<<m<<"条边的每一条边两个顶点的序号及权值："<<endl;edgesz(a, MaxSize, m);DubbleSort(edge,m);cout <<"无向连通图的(Kruskal)生成树为："<<endl;Kruskal();cout << endl;return 0;}。
离散数学及其应用课件：树
树
图7-13 二叉树
树
例7.11 计算机中存储的文件目录,目录可以包含子目录
和文件。图7-14用多叉树表示一个文件系统。C表示根目录,
可以表示成根树,内点表示子目录,树叶表示文件或空目录。
树
图7-14 多叉树表示的文件系统
树
2.二叉树的遍历
定义7.10 对于一棵根树的每个结点都访问一次且仅一次
树
图7-16 给定单词二叉搜索树
树
7.2.3 最优二叉树及其应用
1.哈夫曼树
树
例7.14 计算图7-17所示带权二叉树的权值。
图7-17-带权二叉树
树
7.2.1 根树的概念
定义7.6 一个有向图D,如果略去有向边的方向所得的无
向图为一棵无向树,则称D为有向树。换句话说,若有向图的
基图是无向树,那么这个有向图为有向树。入度为0的顶点称
为树根(Root),入度为1且出度为0的顶点称为树叶;入度为1且
出度大于0的顶点称为内点。内点和树根统称为分支点。
有一种特殊结构的有向树叫根树。
图7-2 无向图
树
树
例7.2 设T 是一棵树,它有三个2度结点,两个3度结点,一
个4度结点,求T 的树叶数。
树
7.1.2 生成树的概念与性质
1.生成树的概念
定义7.2 设G=<V,E>是无向连通图,T 是G 的生成子图,并
且T 是树,则称T 是G的生成树(SpanningTree),记为TG 。
树
定理7.1 设G=<V,E>是n 阶无向图,G 中有m 条边,则下面
关于G 是树的命题是等价的:
(1)G 连通而不含回路;
(2)G 的每对顶点之间具有唯一的一条路径;
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式
最小生成树的模型数学公式是：
给定无向连通图G(V,E)，其中V为图的顶点集合，E为图的边集合。
每条边e∈E都带有一个非负权重w(e)。
找到一个包含图中所有顶点的子图T(V,E')，使得E' ⊆ E，并且E'构成一颗树（即连通且无环），使得所有的边的权重之和最小。
拓展：
最小生成树的应用十分广泛，可以用于解决多种问题。
以下是最小生成树的一些常见拓展场景：
1.带有约束条件的最小生成树：
在某些情况下，除了最小化权重之和外，还需要满足一些特定的约束条件。
例如，可以要求最小生成树的边数限制在特定的范围内，或者要求选择特定类型的边。
这时可以在最小生成树的模型中引入额外的约束条件，从而得到满足要求的最小生成树。
2.多目标最小生成树：
有时候，最小生成树问题不仅需要最小化权重之和，还需要考虑其他目标。
例如，可以同时考虑最小化权重之和和最大化生成树中的最长边权重。
这样的问题可以转化为多目标优化问题，并通过权衡不同目标之间的关系来求解。
3.带有边权重动态变化的最小生成树：
在某些场景中，图的边权重可能会根据一些规则进行动态变化。
例如，网络中的通信链路可能会根据网络拓扑和负载情况进行变化。
这时可以通过动态更新最小生成树来快速适应环境变化，从而保持最小生成树的有效性。
总之，最小生成树的模型可以通过引入不同的约束条件和目标函数进行拓展，以适应不同的应用场景。
无向树及生成树
一、无向树及其性质
1、 无向树 定义 5-17:不包括回路的无向连通图称为无向树， 简称树,记为 T . （1）两棵以上的图称为森林。 （2）设 T 是树，则 T 的边称为树枝。 （3）树中度数为 1 的结点，称为树叶。 （4）树中度数大于等于 2 的结点称为分支点。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 1 设 v1 , v 2 是 T 的两个不同结点， 则连接 v1 , v 2 有 且仅有一条通路，而且这条通路是初级通路。 性质 2 设 v1 , v 2 是 T 的两个结点， 如果 v1 , v 2 不邻接， 则在 T 中添加边 v1 , v 2 后所得的图有且仅有一条回 路，而且这条回路是初级回路。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 3 树中任意删除一条边后所得的图是不连通 的。 性质 4 设 T 是 (n, m) 树，则 m n 1。 性质 5 设树 T 的结点数为 n(n 2) ，则至少两片树 叶。
一、无向树及其性质
2、 树的性质
例 5-7：设树 T 中有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余 都是 4 度结点，问: T 中有几个 4 度结点？ 例 5-8．设树 T 中有 1 个 3 度结点，2 个 2 度结点， 其余结点都是树叶，问 T 中有几片树叶？ 例 5-9 画出所有 6 个顶点非同构的无向树。
e1 , e2 ,, em ，它们带的权分别为 a1 , a2 ,, am ，不妨
设 a1 a2 am （1） 一开始取权最小的边 e1 ， 且 w(e1 ) a1 ， 取
e1 在 T 中。
三、求最小生成权的克鲁斯科尔算法
（ 2）若 e2 不与 e1 构成回路，将 e2 添加在 T 中，否 则放弃 e2 ，再查 e 3 ，继续这一过程，直到得到的子 图就是所求的一棵最小生成树 T 为止。
求无向图的最小生成树算法——Prim与Kruskal
1.算法思想
对于图G=(V,E)，用Prim算法求最小生成树T=(S,TE)的流程如下
① 初始化：设S、TE为空集，任选节点K加入S。
② 选取一条权值最小的边（X,Y），其中X∈S，且not (Y∈S） 即，选取一条权值最小的、连接着S中一点与S外一点的边。
以上操作重复|V|-1次结束。由于每次加入S的点i都在当时取到了符合流程②的边min{lowcost}，而lowcost[i]=w(i,closest[i])，所以此时的最小生成树的各边就是(i,closest[i])，i∈V且not (i=x)【需要注意的是出发点x的closest[x]还是x，所以应忽略，实际取到x-1条边】。把i从1取到|V|，便得到最小生成树T的每条边。
为了比较快速地选边，我们用两个数组lowcost、closest动态地维护每一个点到S的最短距离。在某一状态下，lowcost[i]表示所有与i相连且另一端点在S中的边中的权值最小值，closest[i]表示在S中且与i相连的点中与i之间距离最小的点。显然，lowcost[i]=w(i,closest[i])。需要注意的是两个数组记录的都是边而不是路径。若i没有边直接连向S，则lowcost[i]=∞。另外，若i已在S中，则lowcost[i]=0。
lowcost[j] = w[k][j];
closest[j] = k;
} //由新加入S中的k点使某些点到S的距离缩短，所以更新各点的lowcost和close= 1; i <= n; i++)
if(i != closest[i]){
设出发点为x。初始时对于任意k∈V，closest[k]=x，lowcost[k]=w（k,x）【w（i，j）表示i、j间的距离。初始化时，若两点间没有边则w（i，j）赋为一个足够大的整数（如maxint），并且所有点到自身的距离赋为0，即w（i，i）=0】
7-7 树与生成树
实例
例 设G为n（n≥5）阶简单图，证明 或G的补图中必含 为 （ ）阶简单图，证明G或 的补图中必含 圈。 设简单图G和其补图的边数分别为 和其补图的边数分别为m和 ， 证 设简单图 和其补图的边数分别为 和m’，则 m+m’= n(n-1)/2 根据鸽巢原理， 与其补图必有一个边数 与其补图必有一个边数≥ 根据鸽巢原理，G与其补图必有一个边数 n(n-1)/4 ， 不妨设G的边数 下面证G中必含有圈 中必含有圈。 不妨设 的边数m≥ n(n-1)/4 ，下面证 中必含有圈。 的边数 假设G中没有圈， 个连通分支， 假设 中没有圈，设G有w个连通分支，则每个连通分支 中没有圈 有 个连通分支 都是树， 分别为第i个连通分支 都是树，mi=ni-1，i=1,…,w，mi,ni分别为第 个连通分支 ， ， 的边数与阶数， 的边数与阶数，所以有
实例
下面两个正整数序列中， 例 下面两个正整数序列中，哪个能充当无向树的度 数序列？若能画出2棵非同构的无向树 棵非同构的无向树。 数序列？若能画出 棵非同构的无向树。 （1）1,1,1,1,2,3,3,4 ） （2）1,1,1,1,2,2,3,3 ） 解 （1）不可以，因为所有度数之和等于 ，而结点 ）不可以，因为所有度数之和等于16， 数为8，假设可以构成树，则度数之和应为14， 数为 ，假设可以构成树，则度数之和应为 ，所 以不可以。 以不可以。 （2）可以。 ）可以。
Go
(1)⇒(2)的证明 ⇒ 的证明
如果T是无回路的连通图， 中无回路且e=v− ， 如果 是无回路的连通图，则G中无回路且 −1，其 中无回路且 是边数， 中e是边数，v是结点数 是边数 是结点数 归纳法。 证明 归纳法。 当v=2时，因为 连通无回路， 连通无回路， 时 因为T连通无回路 所以只有e=1，故e=v-1成立。 ， 成立。 所以只有 成立 假设v=k-1时命题成立，当v=k时， 时命题成立， 假设 时命题成立 时 是无回路且连通， 的结点u， 因T是无回路且连通，则至少有一个度为 的结点 ， 是无回路且连通 则至少有一个度为1的结点 设与其关联的边为(u,w)，删去u，得到一个 个结点 ，删去 ，得到一个k-1个结点 设与其关联的边为 的连通无向图T’， 的连通无向图 ，
《数据结构与算法》考研真题精选-2
《数据结构与算法》考研真题精选一、选择题1．图中有关路径的定义是（）。
A．由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列B．由不同顶点所形成的序列C．由不同边所形成的序列D．上述定义都不是2．设无向图的顶点个数为n，则该图最多有（）条边。
A．n-1 B．n(n-1)/2 C．n(n+1)/2 D．0 E．n23．一个n个顶点的连通无向图，其边的个数至少为（）。
A．n-1 B．n C．n+1 D．nlogn；4．要连通具有n个顶点的有向图，至少需要（）条边。
A．n-l B．n C．n+l D．2n5．n个结点的完全有向图含有边的数目（）。
A．n*n Ｂ．n（n＋１）C．n／2 D．n*（n－l）6．一个有n个结点的图，最少有（）个连通分量，最多有（）个连通分量。
A．0 B．1 C．n-1 D．n7．在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数（）倍，在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点出度之和的（）倍。
A．1/2 B．2 C．1 D．48．用有向无环图描述表达式(A+B)*（（A+B）/A），至少需要顶点的数目为( )。
A．5 B．6 C．8 D．99．用DFS遍历一个无环有向图，并在DFS算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的顶点序列是( )。
A．逆拓扑有序B．拓扑有序C．无序的10．下面结构中最适于表示稀疏无向图的是（），适于表示稀疏有向图的是（）。
A．邻接矩阵B．逆邻接表C．邻接多重表D．十字链表E．邻接表11．下列哪一种图的邻接矩阵是对称矩阵？（）A．有向图B．无向图C．AOV网D．AOE网14．用相邻矩阵A表示图，判定任意两个顶点Vi和Vj之间是否有长度为m 的路径相连，则只要检查（）的第i行第j列的元素是否为零即可。
A．mA B．A C．A m D．Am-115. 下列说法不正确的是（）。
A．图的遍历是从给定的源点出发每一个顶点仅被访问一次C．图的深度遍历不适用于有向图B．遍历的基本算法有两种：深度遍历和广度遍历D．图的深度遍历是一个递归过程16．无向图G=(V,E),其中：V={a,b,c,d,e,f},E={(a,b),(a,e),(a,c),(b,e),(c,f),(f,d),(e,d)}，对该图进行深度优先遍历，得到的顶点序列正确的是（）。
无向连通图的生成树
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#define M 20#define MAX 20typedef struct{int begin;int end;int weight;}edge;typedef struct{int adj;int weight;}AdjMatrix[MAX][MAX];typedef struct{AdjMatrix arc;int vexnum, arcnum;}MGraph;void CreatGraph(MGraph *);//函数申明void sort(edge* ,MGraph *);void MiniSpanTree(MGraph *);int Find(int *, int );void Swapn(edge *, int, int);void CreatGraph(MGraph *G)//构件图{int i, j,n, m;printf("请输入边数和顶点数:");scanf("%d %d",&G->arcnum,&G->vexnum);for (i = 1; i <= G->vexnum; i++)//初始化图{for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++){G->arc[i][j].adj = G->arc[j][i].adj = 0;}for ( i = 1; i <= G->arcnum; i++)//输入边和权值{printf("\n请输入有边的2个顶点");scanf("%d %d",&n,&m);while(n < 0 || n > G->vexnum || m < 0 || n > G->vexnum) {printf("输入的数字不符合要求请重新输入:");scanf("%d%d",&n,&m);}G->arc[n][m].adj = G->arc[m][n].adj = 1;getchar();printf("\n请输入%d与%d之间的权值:", n, m);scanf("%d",&G->arc[n][m].weight);}printf("邻接矩阵为:\n");for ( i = 1; i <= G->vexnum; i++){for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++){printf("%d ",G->arc[i][j].adj);}printf("\n");}}void sort(edge edges[],MGraph *G)//对权值进行排序{int i, j;for ( i = 1; i < G->arcnum; i++){for ( j = i + 1; j <= G->arcnum; j++){if (edges[i].weight > edges[j].weight){Swapn(edges, i, j);}}}printf("权排序之后的为:\n");for (i = 1; i < G->arcnum; i++){printf("<< %d, %d >> %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight); }}void Swapn(edge *edges,int i, int j)//交换权值以及头和尾{int temp;temp = edges[i].begin;edges[i].begin = edges[j].begin;edges[j].begin = temp;temp = edges[i].end;edges[i].end = edges[j].end;edges[j].end = temp;temp = edges[i].weight;edges[i].weight = edges[j].weight;edges[j].weight = temp;}void MiniSpanTree(MGraph *G)//生成最小生成树{int i, j, n, m;int k = 1;int parent[M];edge edges[M];for ( i = 1; i < G->vexnum; i++){for (j = i + 1; j <= G->vexnum; j++){if (G->arc[i][j].adj == 1){edges[k].begin = i;edges[k].end = j;edges[k].weight = G->arc[i][j].weight;k++;}}}sort(edges, G);for (i = 1; i <= G->arcnum; i++){parent[i] = 0;}printf("最小生成树为:\n");for (i = 1; i <= G->arcnum; i++)//核心部分{n = Find(parent, edges[i].begin);m = Find(parent, edges[i].end);if (n != m){parent[n] = m;printf("<< %d, %d >> %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight); }}}int Find(int *parent, int f)//找尾{while ( parent[f] > 0){f = parent[f];}return f;}int main(void)//主函数{MGraph *G;G = (MGraph*)malloc(sizeof(MGraph));if (G == NULL){printf("memory allcation failed,goodbye");exit(1);}CreatGraph(G);MiniSpanTree(G);system("pause"); return 0;}。
无向树及生成树
2m=2(n1)=51+21+31+4(n7)
解出n=8, 4度顶点为1个.
T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4
有3棵非同构的无向树
生成树
生成树的存在性
定理任何无向连通图都有生成树.
证用破圈法.若图中无圈,则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边,这不破坏连通性,重复进行
直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树.
推论1设n阶无向连通图有m条边,则mn1.
推论2设n阶无向连通图有m条边,则它的生成树的余树
有mn+1条边.
基本回路与基本回路系统
定义设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成
树，设e1, e2, … , emn+1为T的弦.设Cr为T添加弦er
（1）G是树(连通无回路);
（2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径;
（3）G中无回路且m=n1;
（4）G是连通的且m=n1;
（5）G是连通的且G中任何边均为桥;
（6）G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.
下次课预习要点：
有向树
根树、树根、树叶、内点、分支点
设G=<V,E,W>,将非环边按权从小到大排序：e1, e2, …, em.
(1)取e1在T中
(2)检查e2,若e2与e1不构成回路,则将e2加入T中,否则弃去e2.
(3)检查e3,…,重复进行直至得到生成树为止.
实例
例求图的一棵最小生成树
复习思考题、作业题：
设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：
最小生成树算法流程描述
最小生成树算法流程描述
最小生成树算法是一种用于求解带权无向连通图的最小生成树
的方法。
其基本思想是从图中任选一个顶点作为起点，然后按照一定的规则往外扩展，选取与当前集合相邻的最小边，将其加入到当前生成树中，并将该边的另一个端点加入到当前集合中。
不断重复该过程，直到所有顶点都被加入到生成树中为止。
具体实现流程如下：
1. 选取一个起始点，将其加入到当前生成树中。
2. 在图中寻找与当前集合相邻的最小边，将其加入到当前生成树中，并将该边的另一个端点加入到当前集合中。
3. 重复步骤2，直到所有顶点都被加入到生成树中。
4. 得到最小生成树。
需要注意的是，在第2步中，如果加入某条边会形成环路，则应该放弃该边，而选择下一条边。
在实现中，可以使用并查集等数据结构来判断是否形成环路。
最小生成树算法有多种实现方式，包括Prim算法和Kruskal算法等。
它们的流程基本类似，但具体的实现细节略有不同。
在实际应用中，应根据具体情况选择合适的算法。
- 1 -。
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
详解图的应用(最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径)
详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。
1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。
图论中的生成树计数算法
图论中的生成树计数算法在图论中，生成树是指一个无向连通图的一个子图，它包含图中的所有顶点，并且是一个树。
生成树计数算法是指计算一个无向连通图中生成树的数量的方法。
本文将介绍图论中的一些常见生成树计数算法。
1. Cayley公式Cayley公式是最简单的生成树计数算法之一，它适用于完全图。
完全图是指图中的任意两个不同顶点之间都有一条边相连。
假设完全图有n个顶点，那么生成树的数量为n^(n-2)个。
Cayley公式的证明可以利用普鲁夫树（Prüfer Tree）的概念，这里不再详述。
2. Kirchhoff矩阵树定理Kirchhoff矩阵树定理是另一种生成树计数算法，它适用于任意连通图。
矩阵树定理的原理是利用图的拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的性质。
图的拉普拉斯矩阵定义为：对于一个n个顶点的图，其拉普拉斯矩阵L的定义为：L=D-A，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素是该顶点的度数，A是图的邻接矩阵。
根据Kirchhoff矩阵树定理，一个图的所有生成树的数量等于该图的任意一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。
主子式是指原矩阵去掉若干行和列后形成的子矩阵。
基于这个定理，我们可以通过计算图的拉普拉斯矩阵的主子式来得到生成树的数量。
3. Prufer编码Prufer编码是一种用序列表示带标号图中生成树的方法。
给定一个有n个顶点的生成树T，Prufer编码可以将T转化为一个长度为n-2的序列，该序列的元素由图中的顶点标号组成。
具体的编码方法如下：- 第一步：选择标号最小的叶子节点，并将与之相邻的节点记录下来。
- 第二步：删除该叶子节点，并将该叶子节点的标号记录下来。
- 重复以上两步，直到所有顶点都被删除为止。
通过Prufer编码，我们可以将生成树的计数问题转化为序列的计数问题。
在给定n个顶点的情况下，长度为n-2的Prufer序列的数量为n^(n-2)。
除了上述介绍的几种生成树计数算法外，还有其他更复杂的算法，如Chow定理、Matrix-Tree定理等。
最小生成树算法实验报告_2
作业1最小生成树的生成算法1.1算法应用背景在实际生活中, 图的最小花费生成树问题有着广泛的应用。
例如, 用图的顶点代表城市, 顶点与顶点之间的边代表城市之间的道路或通信线路, 用边的权代表道路的长度或通信线路的费用, 则最小花费生成树问题, 就表示为城市之间最短的道路或费用最小的通信线路问题。
其中普里姆算法是使用贪婪法策略设计的典型算法。
1.2算法原理在一给定的无向图G = (V, E) 中, (u, v) 代表连接顶点u 与顶点v 的边（即）, 而w(u, v) 代表此边的权重, 若存在T 为E 的子集（即）且为无循环图, 使得的w(T) 最小, 则此T 为G 的最小生成树。
许多应用问题都是一个求无向连通图的最小生成树问题。
例如：要在n个城市之间铺设光缆, 主要目标是要使这n 个城市的任意两个之间都可以通信, 但铺设光缆的费用很高, 且各个城市之间铺设光缆的费用不同；另一个目标是要使铺设光缆的总费用最低。
这就需要找到带权的最小生成树。
1.3算法描述1)最小生成树之普里姆算法描述:令G=(V,E,W), 为简单期间, 令顶点集为V={0,1,2…, n-1}。
假定与顶点i, j相关联的边为ei, j, ei, j的权用c[i][j]表示, T是最小花费生成树的边集。
这个算法维护两个顶点集合S 和N, 开始时: 令T=Ф,S={0},N=V-S。
然后, 进行贪婪选择, 选取i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j；并使S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}.重复上述步骤, 直到N为空, 或找到n-1条边为止。
此时, T中的边集, 就是所要求取的G中的最小花费生成树。
由此, 可描述普里姆算法的步骤如下:（1）T=Ф, S={0},N=V-S。
（2）如果N为空, 算法结束；否则, 转步骤（3）。
（3）寻找使i∈S, j∈N, 并且c[i][j]最小的i和j。
（4）S=S∪S{j},N=N-{j},T=T∪{ei, j}；转步骤（2）。
第二十七讲--无向树
图 8.6―3
4
二、生成树
下面研究图G关于给定生成树T的基本回路系统与基本割集系统 之间的关系。
二、生成树
定理7：设 D={e1,e2,e3,…,ek}是一个基本割集,其 中 e1 是树枝 ,e2,e3,…,ek是生成树的弦。则 e1包 含在对应于ei(i=2,3,…,k)的基本回路中,而不包 含在任何其它的基本回路中。 举一例,以加深对定理的理解。如图8.6―4 所示,生成树是{a,b,e,h,i},其中一枝为e,包含e的 割集为{e,d,f},则由弦d决定的基本回路{a,b,e,d} 和由弦f决定的基本回路{e,h,i,f}都含有e,而其余 两个基本回路都不含e。
5. 设G=<V,E>是无向图, 若存在边子集 E`⊂E ，使得图G删除E`后所得子图 二、生成树 G-E`的连通分支数W(G- E`)>W(G)； 而删除E`的任一真子集E“后所得子图G-E”的连通分支数W(GE“)=W(G), 则称E`为G的一个边割集。 若G的一个边割集中只含有一条边，则称该边为割边。
第二十七讲
讲授内容：
树
第二十七讲
树
1.无向树
无向树，森林 树的等价定义 基本结论
2.生成树
生成树 基本回路 基本割集 基本回路与基本割集的关系
讲授重点：树基本概念，等价定义，最小生成树 讲授难点：基本回路与基本割集的关系
3.最小生成树及其求解算法
取小法 去大法
一、无向树
1.无向树：连通而无简单回路的无向图称为无向树,简称树(tree)
图 8.6―1 例如图8.6―1(a)、(b)所示的都是树,(c)所示的是森林。
一、无向树
证明：轮转法
一、无向树 证明： 1) 树的定义 连通而无简单回路
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求无向连通图的生成树————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:求无向连通图的生成树一、实验目的⑴掌握图的逻辑结构⑵掌握图的邻接矩阵存储结构⑶验证图的邻接矩阵存储及其遍历操作的实现二、实验内容（1)建立无向图的邻接矩阵存储(2)对建立的无向图,进行深度优先遍历(3)对建立的无向图进行广度优先遍历三、设计与编码(1)本实验用到的理论知识（2)算法设计(３)编码／/ 图抽象类型及其实现．cpｐ : Defｉnes ｔhe enｔry poiｎt for the coｎｓｏle aｐplication./／#include"ｓtdafｘ.ｈ"#ｉｎclude"Graｐh.h"#incluｄe"ｉｏｓtream．h＂int Grａｐｈ：:Ｆinｄ(int keｙ,int &ｋ){ﻩiｎt flａg＝0;ﻩfoｒ(iｎt i=0;i＜VｅrtexLｅn;ｉ++)ﻩif(Ａ[ｉ].ｄata.kｅy＝=ｋeｙ){k=ｉ;flaｇ=1;bｒeａk;};ｒetuｒn fｌag;};int Graｐh::CｒeａteGraph(inｔ vertexnuｍ,Edgｅ *E,inｔ edgeｎum)｛／/由边的集合E(E[0]~Ｅ［VｅrtｅｘNum-1]）,生成该图的邻接表表示if(veｒtｅxnum<１）reｔurｎ(－１）;//参数vｅrtｅxnum非法ｉnt i,frｏｎt，reａr,k；ﻩEｎode *ｑ;ﻩ//先生成不带边表的顶点表--即顶点为孤立顶点集ﻩA=newＶnode［verｔexnuｍ］;if(!A)return（0）;//堆耗尽ﻩfｏｒ(i=０;i<vertｅｘnuｍ；i＋+)ﻩ{ﻩﻩA[i].datａ．keｙ＝i;ﻩＡ[i].ｔag=０;ﻩﻩA[ｉ].datａ.ＩnDegｒee=A［i]．dａta．OutDｅｇｒee＝A［ｉ］.tag ＝0；ﻩ A[i].fｉrsｔ=0;}；VｅrtｅxＬeｎ＝vertｅｘnｕm;ﻩ/／在生成边表if(eｄgenuｍ<0）rｅｔｕrｎ(1);//无边的图ﻩfｏr(ｉ=０;i＜edｇeｎum；i++）{front=E[i]．Head；rear=E［i].Taｉｌ;if（!Find(reａr，k) || ！Finｄ（fronｔ,ｋ))return(-2);//参数E非法ﻩﻩq=new Enodｅ；if（!q)rｅturn(0);ﻩｑ－>keｙ=fronｔ;q->Weiｇht=E[i].weigｈｔ;ﻩﻩq->next=A[rear］.fｉrｓｔ;ﻩA[rear]．ｆｉrsｔ=ｑ;ﻩＡ[ｒeａr］.data.OutDegrｅe++;A[frｏnt].data.IｎDegrｅe++;ﻩiｆ(Tｙpe>2)｛ﻩﻩq＝ｎew Enoｄｅ;ﻩｉf(!q)reｔuｒn(０）;q-＞kｅｙ=ｒear；ﻩﻩﻩq－>ｎext=A[front].firｓt;ﻩＡ[fｒｏnt].firsｔ=q；ﻩq－＞Wｅight=E[i].wｅight;ﻩﻩ};｝；ﻩretuｒn(1);｝;voidＧraph::Dfs（iｎt key,int &fｌag){ﻩ//staｔic ｒuｎ=1;ﻩEｎode *ｗ;ﻩA［ｋey］.tａg=ｆlag;if(Type>2)ｃout<＜"连通分量="<＜flａg<<＇\t';cout＜＜"顶点键值="<＜kｅy<<ｅndl；ﻩfor(w=A[kｅy].fiｒsｔ;w ;ｗ＝w-＞ｎｅxt)ﻩﻩiｆ(!A［w->ｋey].tag)Ｄfs（ｗ->ｋey，flaｇ);｝；intＧｒaｐｈ:：DｆsDrａverｓ(ｉntｖ０) /／从指定顶点深度遍历{inｔｉ，k,ｃｏmｐｏnentnum=1；//if(Tｙpe<3）return（-1);/／不考虑由向图//cｏut<<＂ｂｅｇaiｎ..．．\n";if(!(Finｄ(v0,k))){cｏut＜<"fｉnd=＝＂＜<ｋ<＜endl;return （0);};//初始结点v0不存在ｉf(Type>2)cout＜<＂---连通分量＂<＜componeｎtｎum<<＂－--"<<ｅnｄl;ﻩＤfs(k,ｃomponentnuｍ);ｃomｐoｎｅｎtnum++;ﻩfｏｒ（i=０;ｉ<VerｔeｘLen;ｉ＋+)｛ﻩﻩｉf（！A[i].tag）{ﻩｉf(Tyｐe＞２)coｕt<＜"---连通分量"<<ｃoｍｐoｎentnum<＜"---"＜<enｄl；ﻩＤfｓ(i，compｏneｎｔｎuｍ)；compｏnentｎuｍ+＋；ﻩﻩ};}；ﻩreｔurn(componeｎtnum－１）；｝;int Graｐh:：Bfs(）{int i,comp=1; ﻩﻩﻩ／/ｃomp=连通分量的标记,、、...stｒucｔ queue{inｔｋey;qｕeuｅ * nｅxt;};Enode *ｐe;ﻩquｅue *f,*ｒ，*q,*ｐ=new queuｅ;ﻩiｆ(！p）retuｒｎ(-1); ﻩﻩﻩﻩ/／堆耗尽ﻩｐ－>ｎｅxt＝０;ｆ=r=p；ﻩﻩﻩ／/生成空队列fｏr(ｉ＝0;i<ＶerteｘLeｎ;ｉ++)A[ｉ］.tag=0;／/初始化已访问标志ﻩfｏr(i＝０;ｉ<ＶｅrtｅｘLeｎ;i+＋){ﻩﻩif(A[i].tag==０)ﻩ｛ﻩ A[i]．tag=comp;／／入队该顶点的keｙp＝newｑueue；ﻩﻩif(!ｐ)return(-1)；ﻩ p－>kｅｙ=A［i]．ｄata．ｋｅy;ﻩ p->next=0;ﻩﻩf-＞ｎext=ｐ;r=ｐ；ﻩﻩwhｉle(ｆ->next)//当队非空时{//出队一顶点ﻩﻩﻩq=f->ｎexｔ;ﻩﻩﻩif（Tｙpe>2)cｏｕｔ<<"连通分量"<<comp＜<'\t'；ﻩﻩﻩcｏut<<＂顶点键值="<<q->ｋｅy＜<ｅndl;ﻩﻩf-＞neｘt=ｑ-＞neｘt;ﻩﻩﻩｉｆ(q==ｒ)r=f；ﻩﻩﻩ//与q连接的未访问的顶点入队ﻩpｅ=A[ｑ->kｅy］.ｆirst;ﻩﻩwhｉlｅ（pｅ)ﻩﻩ{ﻩﻩﻩﻩif（Ａ[ｐｅ-＞keｙ]．taｇ==0)ﻩﻩ{／/入队ﻩif(!(p=new queue）)rｅtuｒn(-1）;ﻩ A[pｅ－＞key].ｔag=ｃomp;ﻩp->ｋｅy=pe－>ｋey;ﻩﻩﻩp-＞neｘt＝0；ﻩﻩﻩﻩiｆ(f==r)f->next=p；ﻩﻩﻩr->nｅxt=p;r＝p;};ﻩｐe=pｅ－＞nｅｘt；}；／/end of (pe)dｅlete q;ﻩﻩ};／/enｄｏｆ (f->neｘｔ)ﻩcｏmｐ++; ﻩﻩ};//enf oｆ ifﻩ};//释放队列while(f)｛p=f-＞next；dｅletｅf；f＝p;｝;ﻩreturnｃｏｍp－1; /／返回连通分量数};/*int Grａｐh::TopoSoｒｔ(int＊ｑｕe,iｎt &ｎum）{ ／/ｑuｅ顺序队列保存了拓扑排序的结果，f和r为que的头尾指示;loop用于判有无环intｉ,f＝０,r=0，indｅx,lｏoｐ=１;ﻩＥnoｄｅ *pe;ｎｕｍ＝0;fｏｒ(i=0;i＜VerｔｅxLen；ｉ++）A[i]．tａｇ=A［i］.data.InDegr ｅe; //初始化入度到ｔaｇ域ﻩfor(i=０;i<VｅｒｔeｘLen;i＋＋)if（A[i].ｔag==0){ｑue［r++]=i;A[i].ｔaｇ＝－1;loｏｐ=０;｝;if（loｏｐ)ｒeturn（０);ﻩwhile(f<r）{／/栈未处理完ﻩﻩindｅx=ｑue[f＋+];ﻩfor(pe=A[iｎdｅｘ］.ｆｉrst;pe;ｐe=ｐe-＞nexｔ)ﻩ {ﻩﻩA［pｅ->kｅｙ].tａｇ－－;ﻩﻩｉf(Ａ[pe->key].ｔag==0){que[ｒ＋+］=pe－>key;A[pe-＞ｋey].tａg=-1;};};ﻩﻩ};ﻩnum=r;if(r<VertexLen)retuｒｎ(０);//存在环retuｒn 1;};int maiｎ(intａrｇc，char* aｒgｖ［］){ Graph g１(１);int num=5,temｐ=1；int *ｓtaｃｋ=new int[5];ﻩEdｇｅｂ[１2];ﻩｂ[０］.Heａd=1；b[0]．Tail＝0;b[0].weiｇｈｔ=1;b[1]．Heａd=3;ｂ［１]．Tａil=1;b[１].weighｔ=1;ﻩb[2].Ｈead＝0;b[2].Ｔail=2;b[2］.weｉghｔ=１;b［3].Head=1;b[3］．Taｉl=４;b[3]．weigｈt=1；b[4]．Hｅad＝4;b［4].Ｔａiｌ=2;b[4]．weight=1;ｂ［5].Heａd=４;b［5］.Tail=3；b[5].ｗeｉght=1;／/b[6].Heaｄ=0;b［6].Tail＝1;b[6］．ｗｅighｔ=１；ﻩｂ[7].Hｅad=1;b[7].Tａil＝3;b[7].wｅigｈｔ＝1;b[8].Hｅad＝2;b[８].Tail＝0;ｂ[8］.weight=1;ﻩb［9].Heaｄ=4;b[９]．Taｉl=1;b［9].wｅight=1;ﻩb[１0].Ｈead=2；b[10].Taiｌ=4；b[10].weｉｇｈｔ＝1;b[11]．Heａd=3;b[11]．Taｉl=2;b[１１]．weigｈt=1;／/b=={{１,０,１},｛３,１,1},{０，2,1},(１,４,1},{４,2,1}，{2,3，１}};g1.CreａtｅGｒapｈ(ｎum,b,６）;if(g１．GetTypｅ()＞2）ｃout＜<"连通分量数="＜<g1.DfsDravｅrs(2）<＜ｅndl;ﻩcoｕt<＜"－－－---------－-"<<endl;iｆ(ｇ１.GetTｙpe()＞2）coｕt<＜＂连通分量数="<<ｇ１.Bfs()<<ｅndl;ｉf（g1.GetＴyｐｅ()<3){ﻩif(ｇ1.TopoSｏｒt(stａｃｋ,tｅｍp))couｔ<＜"拓扑排序成功！\n";ﻩelseｃout<<"该图有环！\n";ﻩﻩcout＜<"部分或全部的拓扑序列为:(顶点总数="＜<g1.ＧetＬｅn(）<<")＼n"；ﻩfｏｒ(int i=０；i＜ｔemp;i++)ｃout<<sｔack[i］＜<'\t';ｃout ＜＜"已排序顶点数目=＂<<ｔemｐ<<enｄｌ;};ﻩdelete[5］sｔack;ﻩ／/prｉntf("Helｌｏ Wｏｒlｄ!\n")；ﻩreturｎ０;}四、运行与调试运行结果为:该图有环！部分或全部拓扑序列为:<顶点总数=5>20 已排序顶点数目=2Pｒeｓs aｎy key to ｃontinue五、总结与心得。