3.示范教案(1.1.2 余弦定理)(经典)

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《1.1.2 余弦定理》教学设计

附件 1-4第二届湘西州中小学青年教师教学竞赛教学设计表学段：高中科目：数学编号：（组委会填写）（一）复习回顾，提出问题1.复习回顾问题1：前面我们学习了正弦定理，它的形式是什么？问题2：利用正弦定理，我们已经解决解三角形的哪些类型的问题？设置意图：通过回顾正弦定理的形式和能用其解三角形的类型，让学生认识到正弦定理是解三角形的工具，是定量研究三角形边角关系的重要定理。

2.提出问题问题3：对于解三角形的问题,我们还有哪些类型的问题没有解决呢？设计意图：借此引发学生的认知冲突，引导学生提出问题，完善解三角形体系，确定边角边和边边边是两类可解的解三角形问题，使学生产生进一步探索解决问题的动机。

（二）分析问题，合作探究探究一：已知两边及其夹角解三角形问题：怎样确定解决问题的方案？设计意图：通过学生的独立思考，畅所欲言，确定思路，让更多的学生有的放矢，明确解决问题的方向。

学生活动：小组合作，相互讨论，展示结果。

过程说明：通过确定方案，放手让学生自己探究发现证明余弦涉及边长和夹角，三角形是三条线段首尾相接所组成的封闭图形，可以用向量的等式来表示吗？两点之间的距离，能用坐标法求解吗？设计意图：将原有的知识与现有的推理相联系，从多个角度联想去发现和解决问题，自主探究获得定理的证明。

使其在探究中对问题本质的思考逐步深入，思维水平不断提高。

（三）发现定理，分析内涵不同方法探索并证明余弦定理之后，通过观察余弦定理结构特征，层层深入，去分析余弦定理的内涵。

思考：观察的结构特征，谈一谈你对等式的理解。

设计意图：分析等式的外延和内涵，自然的得到余弦定理及其推论。

（四）解决问题，理解定理得到了余弦定理，继续完成已知边角边求解角的过程，和已知三边解三角形的过程。

探究二：已知三边解三角形设计意图：通过解三角形的过程，不但发现余弦定理，还能在求解中进一步理解和应用余弦定理。

（五）强化理解，简单应用例1：在ABC∆中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知==Ac解三角形。

高中数学新人教版B版精品教案《1.1.2 余弦定理》

余弦定理教学设计一、教学内容分析人民教育出版社B 版《普通高中课程标准实验教科书·必修5》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征时，能够激发学生热爱数学的情感；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

三、教学目标认知目标：在复习已经学习的正弦定理和创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：引导学生通过观察，推导，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题；情感目标：通过学生之间、师生之间的交流探究，调动学生的主动性和积极性，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。

四、教学重难点重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。

难点：1向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2余弦定理在解三角形时的应用思路探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。

学生在初中已经具备了勾股定理的知识，即Rt ABC ∆中，当90C ︒∠=时，有222c a b =+ 。

在一般的ABC ∆中（即90C ︒∠≠时）三角形的三边满足什么关系呢？学生最容易想到的思路：构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；用向量的数量积证明余弦定理更是学生想不到的，学生很难将向量的知识与解三角形的知识相结合。

1.1.2余弦定理教学设计新部编版

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校1.1.2 余弦定理第一课时一、教材分析“余弦定理”是高中课程实验教科书（必修5）第一章“解三角形”的主要内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。

本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。

“余弦定理”是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，也因此成为是高考的必考内容之一。

分数所占比例在15%左右，主要以选择题和一个解答题形式出现。

因此，余弦定理的知识非常重要。

本节课是“余弦定理”教学的第一节课，其主要任务是引入并证明余弦定理。

这堂课，我并不准备将余弦定理全盘托出呈现给学生，而是采用创设情境式教学，通过具体的情景激发学生探索新知识的欲望，引导学生一步步探究并发现余弦定理。

二、学情分析１．有利因素学生刚刚学习了正弦定理的推导证明及应用，已经掌握了研究斜三角形的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。

２．不利因素本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。

三、教学目标知识与能力1、理解并掌握余弦定理和余弦定理的推论。

2、掌握余弦定理的推导、证明过程。

3、初步理解余弦定理的用途，并能应用定理解决一些简单的解三角形问题。

过程和方法1、通过从实际问题中抽象出数学问题，培养学生知识的迁移能力。

高中数学1.1.2余弦定理教案doc

1．1．2 余弦定理三维目标1．知识与技能理解并掌握余弦定理的内容，会用向量法证明余弦定理，能用余弦定理解决一些简单的三角度量问题．2．过程与方法通过实例，体会余弦定理的内容，经历并体验使用余弦定理求解三角形的过程与方法，开展用数学工具解答现实生活问题的能力．3．情感、态度与价值观探索利用直观图形理解抽象概念，体会“数形结合〞的思想．通过余弦定理的应用，感受余弦定理在解决现实生活问题中的意义．重点难点重点：余弦定理的发现过程及定理的应用；难点：用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理的灵活应用.教学工具多媒体教学教学方式互动式教学过程一、知识回忆〔学生完成〕1：正弦定理2sin sin sin a b c R A B C=== 2：变形：〔1〕2sin b 2sin ,2sin a R AR B c R C ===，〔2〕b sin sin ,sin 222a c A B C R R R===，〔3〕::sin :sin :sin a b c A B C =〔4〕sin sin sin sin a b c a A B C A++=++ 〔5〕1sin 2S ab C ∆=1sin 2bc A =1sin 2ac B = 二、新知互动探究：.b c A a (1)已知、、，求.a b c A (2)已知、、，求余弦定理讲解：++=0a b c =-(+)a b c ⇒22()a b c ⇒=+2222a b c b c ⇒=++⋅2222cos()a b c b c A π⇒=++⋅-2222cos a b c bc A ⇒=+-余弦定理：2222cos a b c bc A =+- 2b =222cos c a ca B +- 2c =222cos a b ab C +-余弦定理适用于：2SAS SSS S 、、余弦定理推论：222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2c a b B ca +-= 222cos 2a b c C ab+-= 三、例题互动知识点1：余弦定理应用例1：在三角形ABC 中，根据以下条件解三角形，(1)a ＝2，b ＝22，C ＝15°；(2)a ＝3，b ＝2，B ＝45°.【思路探究】 (1)中角C 是边a 、b 的夹角，可以直接用余弦定理求边c 吗？其他元素如何求？(2)中角B 是边b 的对角，可以用正弦定理求解吗？解的情况唯一吗？用余弦定理行吗？解： (1)法一 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝sin(45°－30°)＝6－24.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.又b >a ，∴B >A ，∴角A 为锐角．由正弦定理，得sin A ＝a c sin C ＝26－2×6－24＝12. ∴A ＝30°，∴B ＝180°－A －C ＝180°－30°－15°＝135°.法二 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c ＝6－ 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A <180°，∴A ＝30°，∵0°<A <180°，∴A ＝60°，∴C ＝75°.当c ＝6－22时，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2＋(6－22)2－32×2×6－22＝－12.∴A ＝120°，C ＝15°.法二由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝3sin 45°2＝32. ∵a ＝3>2＝b ，∴A 有两解．∴A ＝60°或120°.当A ＝60°时，C ＝75°，这时 c ＝a sin C sin A ＝3×6＋2432＝6＋22. 当A ＝120°时，C ＝15°，这时c ＝a sin C sin A ＝3×6－2432＝6－22. 规律方法1．此题的两小题均为两边及一角解三角形．但(1)中角为夹角；(2)中角为边的对角，故解法不同．对于(1)可以直接应用余弦定理，而对于(2)既可以直接应用余弦定理，也可以先使用正弦定理，要注意体会解法．2．两边及其中一边的对角解三角形的方法：(1)先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三角，再用正弦定理求出第三边．要注意判断解的情况．(2)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．这样可免去取舍解的麻烦．互动探究在三角形ABC 中，b ＝3，c ＝33，B ＝30°，试解此三角形．【解】法一由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos 30°，∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6.当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理sin A ＝a sin B b ＝6×123＝1. ∵0<A <180°，∴A ＝90°，C ＝60°.法二由b <c ，B ＝30°，b >c sin 30°＝33×12＝332知此题有两解．由正弦定理sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，则a ＝3.故a ＝3或6.2知识点：余弦定理推论应用例2：在△ABC 中，a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sin C .【思路探究】 (1)如何判断哪个角是最大角？(2)求sin C 能否应用余弦定理？【自主解答】 ∵a >c >b ，∴A 为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12， ∴A ＝120°，∴sin A ＝sin 120°＝32.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得：sin C ＝c sin A a ＝5×327＝5314，∴最大角A 为120°，sin C ＝5314.规律方法1．此题的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键．2．三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角．互动探究在△ABC 中， a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，求其最大内角．【解】由于a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，不妨设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)．因此c 边是最大边，其所对角C 为最大内角．由余弦定理推论得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 22·3k ·5k ＝－12，∴C ＝120°，即最大内角为120°.四、课堂小结1．余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例．2．用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)三边解三角形．(2)两边及一角解三角形．3．两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍．五、当堂练习1．三角形的两边AB 、AC 的长分别为5和3，它们的夹角的余弦值为－35，则三角形的第三边长为( )A ．52B ．213C ．16D ．42．在△ABC 中，假设a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( )A.1213 B.513C．0 D.2 33．在△ABC中，假设a2－c2＋b2＝ab，则cos C＝________.4．在△ABC中，b cos A＝a cos B，试判断△ABC的形状．答案：1.B 2.C 3.124.等腰三角形六、作业：点金练习册《1.1.2余弦定理》。

教学设计4：1.1.2 余弦定理

1.1.2 余弦定理教学目标：1．通过对余弦定理的探究与证明，掌握余弦定理的另一种形式及其应用；了解余弦定理与勾股定理之间的联系；知道解三角形问题的几种情形．2．加深对数学思想的认识，本节的主要数学思想是量化的数学思想、分类讨论思想以及数形结合思想；这些数学思想是对于数学知识的理性的、本质的、高度抽象的、概括的认识，具有普遍的指导意义，它是我们学习数学的重要组成部分，有利于加深学生对具体数学知识的理解和掌握．重点难点掌握余弦定理；理解余弦定理的推导及其另一种形式，并能应用它们解三角形．教学过程导入新课思路1.(类比导入)在探究正弦定理的证明过程中，从直角三角形的特殊情形入手，发现了正弦定理．现在我们仍然从直角三角形的这种特殊情形入手，然后将锐角三角形转化为直角三角形，再适当运用勾股定理进行探索，这种导入比较自然流畅，易于学生接受．思路2.(问题导入)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判断方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形，能否把这个边角关系准确量化出来呢？也就是从已知的两边和它们的夹角能否计算出三角形的另一边和另两个角呢？根据我们掌握的数学方法，比如说向量法，坐标法，三角法，几何法等，类比正弦定理的证明，你能推导出余弦定理吗？推进新课新知探究提出问题1.通过对任意三角形中大边对大角，小边对小角的边角量化，我们发现了正弦定理，解决了两类解三角形的问题.那么如果已知一个三角形的两条边及这两边所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.怎样已知三角形的两边及这两边夹角的条件下解三角形呢？2.能否用平面几何方法或向量方法或坐标方法等探究出计算第三边长的关系式或计算公式呢？3.余弦定理的内容是什么？你能用文字语言叙述它吗？余弦定理与以前学过的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？4.余弦定理的另一种表达形式是什么？5.余弦定理可以解决哪些类型的解三角形问题？怎样求解？6.正弦定理与余弦定理在应用上有哪些联系和区别？活动：根据学生的认知特点，结合课件“余弦定理猜想与验证”，教师引导学生仍从特殊情形入手，通过观察、猜想、证明而推广到一般．如下图，在直角三角形中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢？下面，我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题．如下图，在△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，试根据b、c、∠A来表示a.教师引导学生进行探究．由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形．在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于点D，那么在Rt△BDC中，边a可利用勾股定理通过CD、DB表示，而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示，DB可利用AB，AD表示，进而在Rt△ADC内求解．探究过程如下：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则在Rt△CDB中，根据勾股定理，得a2＝CD2＋BD2.∵在Rt△ADC中，CD2＝b2－AD2，又∵BD2＝(c－AD)2＝c2－2c·AD＋AD2，∴a2＝b2－AD2＋c2－2c·AD＋AD2＝b2＋c2－2c·AD.又∵在Rt△ADC中，AD＝b·cos A，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.类似地可以证明b2＝c2＋a2－2ca cos B.c2＝a2＋b2－2ab cos C.另外，当A为钝角时也可证得上述结论，当A为直角时，a2＋b2＝c2也符合上述结论．这就是解三角形中的另一个重要定理——余弦定理．下面类比正弦定理的证明，用向量的方法探究余弦定理，进一步体会向量知识的工具性作用．教师与学生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式出现的，又涉及边长问题，学生很容易想到向量的数量积的定义式：a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ为a ，b 的夹角．用向量法探究余弦定理的具体过程如下：如下图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，那么c ＝a －b ，|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b )＝a ·a ＋b ·b －2a ·b＝a 2＋b 2－2ab cos C .所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .这个定理用坐标法证明也比较容易，为了拓展学生的思路，教师可引导学生用坐标法证明，过程如下：如下图，以C 为原点，边CB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设点B 的坐标为(a ,0)，点A 的坐标为(b cos C ，b sin C )，根据两点间距离公式AB ＝(b cos C －a )2＋(bsin C －0)2，∴c 2＝b 2cos 2C －2ab cos C ＋a 2＋b 2sin 2 C ，整理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .同理可以证明：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B .余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos Ab 2＝c 2＋a 2－2ac cos B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，就可以求得第四个量．从而由三角形的三边可确定三角形的三个角，得到余弦定理的另一种形式： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bccos B ＝c 2＋a 2－b 22cacos C ＝a 2＋b 2－c 22ab教师引导学生进一步观察、分析余弦定理的结构特征，发现余弦定理与以前的关于三角形的勾股定理在形式上非常接近，让学生比较并讨论它们之间的关系．学生容易看出，若△ABC 中，C ＝90°，则cos C ＝0，这时余弦定理变为c 2＝a 2＋b 2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推广；勾股定理是余弦定理的特例．另外，从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从以上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．应用余弦定理，可以解决以下两类有关解三角形的问题：①已知三角形的三边解三角形，这类问题是三边确定，故三角也确定，有唯一解；②已知两边和它们的夹角解三角形，这类问题是第三边确定，因而其他两个角也唯一确定，故解唯一．不会产生利用正弦定理解三角形所产生的判断解的取舍的问题．把正弦定理和余弦定理结合起来应用，能很好地解决解三角形的问题．教师引导学生观察两个定理可解决的问题类型会发现：如果已知的是三角形的三边和一个角的情况，而求另两角中的某个角时，既可以用余弦定理也可以用正弦定理，那么这两种方法哪个会更好些呢？教师与学生一起探究得到：若用余弦定理的另一种形式，可以根据余弦值直接判断角是锐角还是钝角，但计算比较复杂．用正弦定理计算相对比较简单，但仍要根据已知条件中边的大小来确定角的大小，所以一般应该选择用正弦定理去计算比较小的边所对的角．教师要点拨学生注意总结这种优化解题的技巧．讨论结果：(1)、(2)、(3)、(6)见活动．(4)余弦定理的另一种表达形式是： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bccos B ＝c 2＋a 2－b 22cacos C ＝a 2＋b 2－c 22ab(5)利用余弦定理可解决两类解三角形问题：一类是已知三角形三边，另一类是已知三角形两边及其夹角．应用示例例1：如图，在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝4，∠C ＝120°，求c .解：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°，因此c ＝52＋42－2×5×4×(－12)＝61. 例2：如图，在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝2，c ＝19，求此三角形各个角的大小及其面积．(精确到0.1)解：由余弦定理，得cos ∠BCA ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋22－(19)22×3×2＝9＋4－1912＝－12，因此∠BCA ＝120°，再由正弦定理，得sin A ＝a sin ∠BCA c ＝3×3219＝33219≈0.596 0，因此∠A ≈36.6°或∠A ≈143.4°(不合题意，舍去)．因此∠B ＝180°－∠A －∠BCA ≈23.4°.设BC 边上的高为AD ，则AD ＝c sin B ＝19sin23.4°≈1.73.所以△ABC 的面积≈12×3×1.73≈2.6. 点评：在既可应用正弦定理又可应用余弦定理时，体会两种方法存在的差异．当所求的角是钝角时，用余弦定理可以立即判定所求的角，但用正弦定理则不能直接判定．变式训练在△ABC 中，已知a ＝14，b ＝20，c ＝12，求A 、B 和C .(精确到1°)解：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝202＋122－1422×20×12＝0.725 0， ∴A ≈44°.∵cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝142＋202－1222×14×20＝113140≈0.807 1， ∴C ≈36°.∴B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(44°＋36°)＝100°.例3：如图，△ABC 的顶点为A (6,5)，B (－2,8)和C (4,1)，求∠A .(精确到0.1°)解：根据两点间距离公式，得AB ＝[6－(－2)]2＋(5－8)2＝73，BC ＝(－2－4)2＋(8－1)2＝85，AC ＝(6－4)2＋(5－1)2＝2 5.在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝2365≈0.104 7，因此∠A ≈84.0°.点评：三角形三边的长作为中间过程，不必算出精确数值．变式训练用向量的数量积运算重做本例．解：如图，AB →＝(－8,3)，AC →＝(－2，－4)，∴|AB →|＝73，|AC →|＝20.∴cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－8×(－2)＋3×(－4)73×20＝2365≈0.104 7. 因此∠A ≈84.0°.例4：在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c 及S △ABC .解法一：由正弦定理，得8sin A ＝7sin60°， ∴A 1＝81.8°，A 2＝98.2°.∴C 1＝38.2°，C 2＝21.8°.由7sin60°＝c sin C ，得c 1＝3，c 2＝5， ∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝63或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3. 解法二：由余弦定理，得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，∴72＝c 2＋82－2×8×c cos 60°.整理，得c 2－8c ＋15＝0，解之，得c 1＝3，c 2＝5.∴S △ABC ＝12ac 1sin B ＝63或S △ABC ＝12ac 2sin B ＝10 3. 点评：在解法一的思路里，应注意用正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决，故解法二应引起学生的注意．综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围；已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边及一角解三角形可用余弦定理解之．变式训练在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c .已知c ＝2，C ＝60°.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin B ＝2sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理及已知条件，得a 2＋b 2－2ab cos 60°＝c 2，即a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由正弦定理及已知条件，得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233. 知能训练：1．在△ABC 中，已知C ＝120°，两边a 与b 是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则c 的值为( )A. 3 B ．7 C ．3 D. 7【答案】D【解析】由题意，知a ＋b ＝3，ab ＝2.在△ABC 中，由余弦定理，知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab＝(a ＋b )2－ab＝7，∴c ＝7.2．已知三角形的三边长分别为x 2＋x ＋1，x 2－1,2x ＋1(x ＞1)，求三角形的最大角．解：比较得知，x 2＋x ＋1为三角形的最大边，设其对角为A .由余弦定理，得cos A ＝(x 2－1)2＋(2x ＋1)2－(x 2＋x ＋1)22(x 2－1)(2x ＋1)＝－12. ∵0＜A ＜180°，∴A ＝120°，即三角形的最大角为120°.课堂小结1．教师先让学生回顾本节课的探究过程，然后再让学生用文字语言叙述余弦定理，准确理解其实质，并由学生回顾可用余弦定理解决哪些解三角形的问题．2．教师指出：从方程的观点来分析，余弦定理的每一个等式都包含了四个不同的量，知道其中三个量，便可求得第四个量．要通过课下作业，从方程的角度进行各种变形，达到辨明余弦定理作用的目的．3．思考本节学到的探究方法，定性发现→定量探讨→得到定理．作业课本习题.。

高中数学新人教版B版精品教案《1.1.2 余弦定理》

课题：1.1.2余弦定理教材：（人教版）普通高中课程标准实验教科书必修5一、课标要求通过对任意三角形边长和角度的探索，掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

能够运用余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二、教材分析人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（5）》第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》第一课时。

“余弦定理”是“解三角形”中的重要定理，在高考中属于“掌握”层次。

在教材中，利用向量的数量积推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决三角形中“边、角、边”和“边、边、边”问题，体会向量法的应用及方程思想，引起学生认知冲突和激发学生探究数学的潜能。

解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法。

三、学情分析1、认知特征学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的“边”和“角”的互化也有了进一步的认识。

能熟练运用正弦定理解决“任意两角与一边”和“已知两边和其中一边的对角”的三角形问题。

2、思维特征学生应用数学知识的意识不强，知识的系统性不完善，使学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，教师对此需作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联系、归纳从而能解决问题。

3、心理特征高中生思维活跃，参与意识强烈，为探究式学习提供了空间，但学生的合作意识不强，应培养他们的合作学习能力。

四、教学目标1、知识与技能能推导余弦定理及其推论，并会用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2、过程与方法培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

3、情感、态度与价值观让学生主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的逻辑性和严谨性，形成学习数学知识的积极态度。

五、课型新授概念课六、课时两个课时七、教学重难点1、重点：余弦定理的发现和证明过程及其定理的简单应用。

《余弦定理》优秀教案

【例题】【例1】：在ABC ∆中，已知5,4,120a b C ==∠=，求.c【例2】：在ABC ∆中，已知3,2,a b c ===C ∠及ABC ∆的面积【练习题】一．选择题1、已知ABC ∆中45,5A c b ===，则a 等于-------------------------------------.A 5 .B .C .D 102、在ABC ∆中，已知222a b bc c =++，则A 等于---------------------------------------- .A 3π .B 6π .C 23π .D 3π或23π 3、若三角形三边之比为3:5:7，则其最大内角为-------------------------------------------.A 60 .B 120 .C 135 .D 1504、在ABC ∆中，已知2b ac = 且 2c a =，则cos B 等于------------------------.A 14 .B 34 .C 4.D 3 5、ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，设向量(,),p a c b =+(,)q b a c a =--，若//p q ，则C 的大小为---------------------------------------------.A 6π .B 3π .C 2π .D 23π6、在ABC ∆中，260,B b ac ==，则ABC ∆一定是----------------------------------------.A 直角三角形 .B 等边三角形 .C 钝角三角形 .D 等腰三角形7、已知在ABC ∆中，cos cos a A b B =，则ABC ∆的形状为----------------------.A 等边三角形 .B 等腰三角形.C 直角三角形 .D 等腰三角形或直角三角形8、在ABC ∆中，2cos a b C =，则这个三角形一定是---------------------------------------.A 等腰三角形 .B 直角三角形 .C 等腰直角三角形 .D 等腰或直角三角形二．填空题9、在ABC ∆中，5,3,120a b C ==∠=，则sin __________.A =10、在ABC ∆中60,1,ABC A b S ∆∠===sin sin sin a b c A B C++++=_____________ 三．简答题11．在ABC ∆中，tan C =1求cos C 的值； 2若52CB CA ⋅=，且9a b +=，求c 的大小。

高中数学《1.1.2 余弦定理》教案新人教A版必修5

课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。

职业高中1.1.2余弦定理教案

1.2.1余弦定理教学过程设计2、勾股定理：在ΔABC 中，当∠A=90°时, .=AC 222a b c =+=AC CcBAb a1、向量相关知识：（1）向量加法的三角形法则：（2）向量减法的三角形法则：（3）向量的模：一，复习引入CABBC AB +BA -BC =a 2a3、向量的数量积：a •b==|a|•|b|•cos α二、引入新课师：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2．若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么关系呢？请同学们思考．我们可以看出∠C为锐角时，△ABC的三边a，b，c具有c2=a2+b2－2abcosC 的关系．给出余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,有从以上分析过程，我们对∠C是锐角的情况有了清楚认识．我们不仅要认识到，∠C为锐角时有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的．这种未知向已知的转化在数学中经常碰到．三、证明余弦定理师：在引入过程中，我们不仅找到了斜三角形的边角关系，而且还给出了证明，这个证明是依据分类讨论的方法，把斜三角形化归为两个直角三角形的和或差，再利用勾股定理和锐角三角函数证明的．这是证明余弦定理的一个好方法，但比较麻烦．现在我们已学完了三角函数，无论∠α是锐角、直角或钝角，我们都有统一的定义，借用三角函数和两定点间的距离来证明余弦定理，我们就可避开分类讨论．我们仍就以∠C为主进行证明．证明：设AB=c,BC=a,AC=b 得a =b-c |a|²= a •a= (b-c)•(b-c) = b •b -2bc +c •c=|b|²-2|b|•|c|cosA+|c|²=b²+c²-2b •c •cosA 同理可证②③ABbcCa师：余弦定理的另一种证法，启发学生回答很，A ，B 两点间的距离如何求？生：|AB|2=(acosC －b)2+(asinC －0)2 =a 2cos2C －2abcosC+b 2+a 2sin2C =a 2+b 2－2abcosC ，即c 2=a 2+b 2－2abcosC ．师：大家请看，我们这里也导出了余弦定理，这个证明方法是解析法．这种方法以后还要详细学习．余弦定理用语言可以这样叙述，三角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与夹角余弦的乘积的2倍．即：a 2=b 2+c 2－2bccosA ． c 2=a 2+b 2－2abcosC ． b 2=a 2+c 2－2accosB ．若用三边表示角，余弦定理可以写为四、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系在△ABC中，c2=a2+b2－2abcosC．若∠C=90°，则cosC=0，于是c2=a2+b2－2ab·0=a2+b2．说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．这与Rt△ABC中，∠C=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是余弦定理的特例．五、余弦定理的作用(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边．六、应用举例例题1在△A B C 中，已知a =6,b =3,∠C =120°,求△A B C 的其他元素。

1.1.2余弦定理教学设计

人教版数学必修 5 § 1.1.2 余弦定理的教学设计一、教学目标解析1、使学生掌握余弦定理及推论，并会初步运用余弦定理及推论解三角形。

2、通过对三角形边角关系的探究，能证明余弦定理，了解从三角方法、解析方法、向量方法和正弦定理等途径证明余弦定理。

3、在发现和证明余弦定理中，通过联想、类比、转化等思想方法比较证明余弦定理的不同方法，从而培养学生的发散思维。

4、能用余弦定理解决生活中的实际问题，可以培养学生学习数学的兴趣，使学生进一步认识到数学是有用的。

二、教学问题诊断分析1、通过前一节正弦定理的学习，学生已能解决这样两类解三角形的问题：①已知三角形的任意两个角与边，求其他两边和另一角；②已知三角形的任意两个角与其中一边的对角，计算另一边的对角，进而计算出其他的边和角。

而在已知三角形两边和它们的夹角，计算出另一边和另两个角的问题上，学生产生了认知冲突，这就迫切需要他们掌握三角形边角关系的另一种定量关系。

所以，教学的重点应放在余弦定理的发现和证明上。

2、在以往的教学中存在学生认知比较单一，对余弦定理的证明方法思考也比较单一，而本节的教学难点就在于余弦定理的证明。

如何启发、引导学生经过联想、类比、转化多角度地对余弦定理进行证明，从而突破这一难点。

3、学习了正弦定理和余弦定理，学生在解三角形中，如何适当地选择定理以达到更有效地解题，也是本节内容应该关注的问题，特别是求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理时，教学中应注意让学生能理解两种方法的利弊之处，从而更有效地解题。

三、教学支持条件分析为了将学生从繁琐的计算中解脱出来，将精力放在对定理的证明和运用上，所以本节中复杂的计算借助计算器来完成。

当使用计算器时，约定当计算器所得的三角函数值是准确数时用等号，当取其近似值时，相应的运算采用约等号。

但一般的代数运算结果按通常的运算规则，是近似值时用约等号。

四、教学过程设计1、教学基本流程:① 从一道生活中的实际问题的解决引入问题，如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边。

高中数学(1.1.2余弦定理)示范教案新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理从容说课课本在引入余弦定理内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够形成良好的知识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知识给予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教科书就是用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注意余弦定理的各种变形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达到求解、求证目的.启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;2.余弦定理在解三角形时的应用思路;3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．教具准备投影仪、幻灯片两张第一张:课题引入图片(记作1.1.2A)如图(1),在Rt△ABC中,有A2+B2C2问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a?第二张:余弦定理(记作1.1.2B)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.形式一: a2b2+c2-2bcco s A，b2c2+a2-2caco s B,c2a2+b2-2abco s C,形式二:co s Abc ac b22 22-+,co s Bca ba c22 22-+,co s Cab cb a22 22-+.三维目标一、知识与技能1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;3.能利用计算器进行运算.二、过程与方法1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.三、情感态度与价值观1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．教学过程导入新课师上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在三角形已知两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在△ABC中,设BCA,ACB,ABC,试根据B、C、A来表示A.师由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系表示,DB可利用AB-AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得A2CD2+BD2.∵在Rt△ADC中,CD2B2-AD2,又∵BD2(C-AD)2C2-2C·AD+AD2,∴A2B2-AD2+C2-2C·AD+AD2B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,ADB·CO s A,∴a2b2+c2-2ab c os A.类似地可以证明b2c2+a2-2caco s B.c2a2+b2-2ab c os C.另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a2+b2c2也符合上述结论,这也正是我们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具体内容.(给出幻灯片1.1.2B)推进新课1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:形式一:a2b2+c2-2bcco s A,b 2c +a 2-2caco s B ,c 2a 2+b 2-2abco s C .形式二:bca cb A 2cos 222-+=, cab ac B 2cos 222-+=, abc b a C 2cos 222-+=. 师在余弦定理中,令C 90°时,这时co s C 0,所以c 2a 2+b 2,由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进一步体会向量知识的工具性作用.[合作探究]2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析师联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边C ．由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?生向量数量积的定义式a ·b |a ||b |co sθ,其中θ为A 、B 的夹角.师在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、余弦形式的转换,也就少去添加辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向量加法的三角形法则,而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C ,则构造CA CB •这一数量积以使出现CO s C .同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程:如图，在△ABC 中,设AB 、BC 、CA 的长分别是c 、a 、b .由向量加法的三角形法则，可得BC AB AC +=,∴,cos 2)180cos(22)()(222222a B ac c BC B BC AB AB BC BC AB AB BC AB BC AB AC AC +-=+-︒+=+•+=+•+=•即B 2C 2+A 2-2AC CO s B .由向量减法的三角形法则，可得AB AC BC-=,∴222222cos 2cos 22)()(c A bc b ABA AB AC AC AB AB AC AC AB AC AB AC BC BC +-=+•-=+•-=-•-=•即a 2b 2+c 2-2bcco s A .由向量加法的三角形法则,可得BC AC CB AC AB -=+=,∴,cos 2cos 22)()(222222a C ba b BCC BC AC AC BC BC AC AC BC AC BC AC AB AB +-=+•-=+•-=-•-=•即c 2a 2+b 2-2abco s C .[方法引导](1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同起点向量,则夹角为A ;AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B ;AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C .[合作探究]师思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：bac a b C ac b c a B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=. 师思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC 中，C 90°，则co s C 0，这时c 2a 2+b 2.由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．师从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变成可定量计算的公式了．师在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B )通过幻灯片中余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角.这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P 8例4属这类情况.(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定,因而其他两个角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍等问题.接下来,我们通过例题来进一步体会一下.［例题剖析］【例1】在△ABC 中，已知B 60 c m ，C 34 c m ，A 41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1 c m ）.解：根据余弦定理，a 2b 2+c 2-2bcco s A 602+342-2·60·34co s41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A ≈41 c m.由正弦定理得sin C 4141sin 34sin ︒⨯=a A c ≈41656.034⨯≈0.544 0, 因为C 不是三角形中最大的边，所以C 是锐角.利用计数器可得C ≈33°,B 180°-A -C 180°-41°-33°106°.【例2】在△ABC 中，已知a 134.6 c m ，b 87.8 c m ，c 161.7 c m ，解三角形.解：由余弦定理的推论,得co s A 7.1618.8726.1347.1618.872222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.554 3,A ≈56°20′; co s B 7.1616.13428.877.1616.1342222222⨯⨯-+=-+ca b a c ≈0.839 8,B ≈32°53′; C 180°-(A +B )180°-(56°20′+32°53′)90°47′.[知识拓展]补充例题：【例1】在△ABC 中,已知a 7,b 10,c 6,求A 、B 和C .(精确到1°)分析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：∵725.0610276102cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A , ∴A ≈44°.∵c os C 140113107261072222222=⨯⨯-+=-+ab c b a ≈0.807 1, ∴C ≈36°.∴B 180°-(A +C )180°-(44°+36°)100°.[教师精讲](1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.【例2】在△ABC 中,已知a 2.730,b 3.696,c 82°28′,解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到1′).分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过余弦定理形式一先求出第三边,在第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角,二是利用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据 1.1.1斜三角形求解经验,若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.解：由c 2a 2+b 2-2abco s C 2.7302+3.6962-2×2.730×3.696×co s82°28′,得c ≈4.297.∵c os A 297.4696.32730.2297.4696.32222222⨯⨯-+=-+bc a c b ≈0.776 7, ∴A ≈39°2′.∴B 180°-(A +C )180°-(39°2′+82°28′)58°30′.[教师精讲]通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边用两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.【例3】在△ABC 中,已知A 8,B 7,B 60°,求C 及S △ABC .分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A ,再结合三角形内角和定理求出角C ,再利用正弦定理求出边C ,而三角形面积由公式S △ABC 21ac sin B 可以求出. 若用余弦定理求C ,表面上缺少C ,但可利用余弦定理b 2c 2+a 2-2caco s B 建立关于C 的方程,亦能达到求C 的目的.下面给出两种解法.解法一:由正弦定理得︒=60sin 7sin 8A , ∴A 181.8°,A 298.2°,∴C 138.2°,C 221.8°.由Cc sin 60sin 7=︒,得c 13,c 25, ∴S △ABC 36sin 211=B ac 或S △ABC 310sin 212=B ac . 解法二:由余弦定理得b 2c +a 2-2caco s B ,∴72c +82-2×8×cco s60°,整理得c 2-8c +150,解之,得c 13,c 25.∴S △ABC 36sin 211=B ac 或S △ABC 310sin 212=B ac . [教师精讲]在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程的观点去解决,故解法二应引起学生的注意.综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围;已知三边求角或已知两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.课堂练习1.在△ABC 中:(1)已知c 8,b 3,b 60°,求A ;(2)已知a 20,b B 29,c 21，求B ;(3)已知a 33,c 2,b 150°,求B ; (4)已知a 2,b 2，c 3+1,求A .解： (1)由a 2b 2+c 2-2bcco s A ，得a 282+32-2×8×3co s60°49.∴A 7.(2)由ca b a c B 2cos 222-+=,得021202292120cos 222=⨯⨯-+=B .∴B 90°. (3)由b 2c 2+a 2-2caco s B ,得b 2(33)2+22-2×33×2co s150°49.∴b 7. (4)由bc a c b A 2cos 222-+=,得22)13(222)13()2(cos 222=+-++=A .∴A 45°. 评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式,要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).(1)a 31,b 42,c 27;(2)a 9,b 10,c 15.解：(1)由bc a c b A 2cos 222-+=,得27422312742cos 222⨯⨯-+=A ≈0.675 5,∴A ≈48°. 由273124227312cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈-0.044 2,∴B ≈93°. ∴C 180°-(A +B )180°-(48°+93°)≈39°.(2)由,2222bc a c b -+得1510291510cos 222⨯⨯-+=A ≈0.813 3, ∴A ≈36°.由1592109152cos 222222⨯⨯-+=-+=ca b a c B ≈0.763 0, ∴B ≈40°.∴C 180°-(A +B )180°-(36°+40°)≈104°.评述:此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时,增强解斜三角形的能力.课堂小结通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进一步了解了向量的工具性作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．布置作业课本第8页练习第1（1）、2（1）题.板书设计余弦定理1.余弦定理2.证明方法:3.余弦定理所能解决的两类问题:(1)平面几何法; (1)已知三边求任意角;(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形4.学生练习——————————————————————注意事项————————————————————以上高中数学必修教学课程教案均为word文字可编辑版，如果刚好符合你要求，欢迎下载使用。

1.1.2 余弦定理(二)(优秀经典教案).

1.1.2 余弦定理（二）学科：数学【必修5】年级：高二备课教师:一、教学目标：1、掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法。

2、通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。

3、通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。

二、教学重点：1、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2、三角形各种类型的判定方法。

三、教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。

四、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生在掌握了正弦定理和余弦定理之后，进一步分清何时采用这两个定理，并且进一步学习何时能够有二解或无解的情形。

3、教具选择：多媒体三角板五、教学方法：指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，小组讨论，引导学生理解掌握，讲练结合等。

六、教学过程【自主导学】1．正弦定理及其变形 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R 。

(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C 。

(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. (4)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c 。

2．余弦定理及其推论(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A 。

(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 。

(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2 >a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角。

3．在△ABC 中，边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，则有：(1)A ＋B ＋C ＝π，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)sin(A ＋B )＝sin_C ，cos(A ＋B )＝－cos_C ，tan(A ＋B )＝－tan_C 。

高二人教A版必修5系列教案：1.1.2余弦定理

1.2余弦定理（教学设计）教学目标 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。

教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

学法学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。

从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学过程：一、创设情景 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)二、新课讲解：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a ba b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

3.示范教案(1.1.2 余弦定理)(经典)

《1.1.2 余弦定理》教学设计

高中数学新人教版B版精品教案《1.1.2 余弦定理》

1.1.2余弦定理教学设计新部编版

高中数学1.1.2余弦定理教案doc

教学设计4：1.1.2 余弦定理

高中数学新人教版B版精品教案《1.1.2 余弦定理》

《余弦定理》优秀教案

高中数学《1.1.2 余弦定理》教案 新人教A版必修5

职业高中1.1.2余弦定理教案

1.1.2余弦定理教学设计

高中数学(1.1.2余弦定理)示范教案新人教A版必修5

1.1.2 余弦定理(二)(优秀经典教案).

高二人教A版必修5系列教案：1.1.2余弦定理

高中数学《1.1.2 余弦定理》教案新人教A版必修5