§1 矢量的基本知识和运算法则
矢量的运算法则和公式
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
第01章 矢量分析
矢量，标量与矢量相乘。
标量，标量三重积。
矢量，矢量三重积。
A (B C )
a. 标量三重积 法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。
（ 定义：B C） A | A || B || C | sin cos
•矢量与矢量的乘积
a
•标量积（数量积、内积、点积）
a b | a | | b | co s
b
a
两矢量点积的含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘 积，其结果是一标量。 推论1：满足交换 律 推论2：满足分配律
a b b a a (b c ) a b a c
( x, y, z )
5 ( x 1) ( y 2 ) z
2 2 2
标量场
如温度场、电位场、势场…
2 2 F ( x , y , z ) 2 xy e x x z e y xy z e z
矢量场
如速度场、电场、磁场…
1.1.3、矢量的运算法则
（1）加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形法则。
Ay A B By
Az Ax ex Bz Bx
Ax Az ey Bx Bz
Ay ez By
设( A B ) C xe x ye y ze z
x
Ax Bx
Az Bz
cx
Ax Bx
Ay By
cy
见课本P6
例： 设
r1 2 e x e y e z , r2 e x 3 e y 2 e z r3 2 e x e y 3 e z , r4 3 e x 2 e y 5 e z
矢量的加减运算法则
矢量的加减运算法则
摘要：
一、矢量加减法简介
1.矢量加减法的基本概念
2.矢量加减法在物理中的应用
二、矢量加法法则
1.平行四边形法则
2.三角形法则
3.叉乘法
三、矢量减法法则
1.矢量减法的定义
2.矢量减法的几何意义
四、矢量加减法的应用实例
1.力的合成与分解
2.运动轨迹的计算
3.速度与加速度的计算
正文：
矢量加减法是物理学中矢量运算的基本方法，它涉及到矢量加法和矢量减法两个方面。
矢量加减法广泛应用于物理学的各个领域，如力学、电磁学等。
矢量加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的过程。
矢量加法有三种基本法则：平行四边形法则、三角形法则和叉乘法。
其中，平行四边形法则是
矢量加法的基本法则，它是指将两个矢量的起点连接起来，形成一个平行四边形，新矢量的长度和方向分别等于平行四边形的对角线长度和方向。
三角形法则是将两个矢量的起点连接起来，形成一个三角形，新矢量的大小和方向分别等于三角形的第三边长度和方向。
叉乘法是将两个矢量进行向量积运算，得到一个垂直于原来两个矢量所在平面的新的矢量。
矢量减法是指将一个矢量从另一个矢量中减去得到一个新的矢量的过程。
矢量减法的定义是：将减法中的被减矢量取相反数，然后与减矢量相加。
矢量减法的几何意义是将减矢量沿着被减矢量的方向平移，使得两者相接。
矢量加减法在物理学的应用非常广泛。
例如，力的合成与分解中，我们可以通过矢量加法将多个力的矢量相加得到总力，也可以将总力分解为多个分力的矢量之和。
在运动轨迹的计算中，我们可以通过矢量加法计算物体在某一时间段内的位移和速度。
工学第1章矢量分析课件
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
工学第1章矢量分析
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为 电力工业开辟了道路。
Ay
y
所以： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
工学第1章矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
工学第1章矢量分析
• 5. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了 第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的 道路。
• 6. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。
• 7. 1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯 特的发现上升为理论。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
工学第1章矢量分析
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
6 aˆ x
矢量的定义和加减法运算法则
A=AaA=Ad y yy z zz
矢量表示为：冒=4A + Ayay + "
在直角坐标系下的矢量表示:
矢量：冒=4,+4句+AZ（：I z
+模的计算：1冒1= M+A； + A；
令单位矢量:
a=
A Ax .
4八 &八
a* + 0,
+
a
Z
Ml Ml Ml J Ml
=cos a a + cos pay + cosEz
第1章电磁学的数学基= 础
矢量分析
—,矢量的定义和表示
矢量的基_=|— 本运算'- 法则
h
F
—
三,矢量微分元：线11 = 元，面元，体元
111 标量场的梯度
五,矢量场的散度 六■矢量场的旋度
—■矢量的定义和表示
1. 标量：只有大小，没有方向的物理量。 如：温度T、长度L等
2. 矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
例: 已知^点和因点对于原点的位置矢量为刁和方,
求：通过4点和3点的直线方程。 解:
在通过力点和3点的直线上，任取
一 点G对于原点的位置矢量为c, 则：
c — a = k (b — 1)
c = (1 — k)a + kb 其中：k为任意实数。
小结:
、矢量的定义和表示 、矢量的加减法运算法则
如：重力电场强度E、磁场强度可 等
3-矢量表示
—个矢量可以表示成矢量的模与单位矢量的乘积。 矢量 表示为： A=\A\a
其中：| A |为矢量的模，表示该矢量的大小。 a为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
矢量代数的基本知识
M1
数量积的坐标表达式
A Ax i Ay j Az k ,
B B x i B y j Bz k A B ( Ax i Ay j Az k ) ( B x i B y j Bz k ) Ax Bx Ay B y Az Bz
7
矢量的加法满足下面的运算规律：
A Ax i Ay j Az k B B x i B y j Bz k A B C C xi C y j Czk A B ( Ax B x )i ( Ay B y ) j ( Az Bz )k
矢量加法在直角坐标系中的正交分解式
C x Ax B x C y A y B y C z Az Bz
2、矢量的减法运算 矢量的减法运算是加法运算的逆运算，实际上与加 法运算是一回事。 8
矢量的乘法运算 3、数量乘矢量： 实数与矢量a的乘积是一个矢量，记 做 a ,它的
矢量积的坐标表达式
k
j
i
23
a b ( a x i a y j a z k ) ( bx i by j bz k ) k a x bx (i i ) a x b y ( i j ) a x bz ( i k ) j k a y b x ( j i ) a y b y ( j j ) a y bz ( j k ) i a z bx (k i ) a z b y (k j ) a z bz ( k k )
a
a
4
1 ei e j ij
矢量的运算
这时 r 是矢量的模，括号中的量是单位矢量。 cosα，cosβ,cosγ也称为该矢量的方向余弦。
矢量与数量相乘时，各分量也相应扩大同样的倍数。
如
F ma maxi may j mazk
9
矢量的乘法
物矢理量学的中 点用 乘到 ：的F矢• 量S的 乘FS法c还os有点乘和叉F乘。
sin
j)
其中r是该矢量的模，而括号中的 项是r方向上的单位
矢量。
r0
cos
i sin
j
在已知x及y的情况下
r x2 y2
tg y
x
例1、设矢量
r
(6i
8
j )m
写出该矢量的模和单位矢量，并用图表示该矢量。
6
Y
y r2
y2 y1
0 x2
利用矢量的解析表示法，设两矢量
dt t0
t
当上述极限存在时 r 的导数存在。对直角坐标系来说:
dr
dx
i
dy
j
dz
k
dt dt dt dt
15
如果
r rr0
问这时
d r dt
?
单位矢量表示方向，是可以随时间变化的，所以求导
时要考虑单位矢量的导数。这时：
dr dt
dr dt
r0
试证明矢量合成的平行四边形法则，即两矢量的
合矢量r的大小为：
r
r12 r22 2r1r2 cos
解： r r1 r2
两边对自身点乘
r • r (r1 r2 ) • (r1 r2 )
矢量的运算法则
矢量的运算法则矢量是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
矢量的运算法则是研究矢量之间的运算规律的一种数学方法，它包括矢量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
首先，我们来看一下矢量的加法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C是A和B的和矢量。
在几何上，矢量的加法可以用平行四边形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从起点到终点的线段就是它们的和矢量。
接下来是矢量的减法。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的减法运算可以表示为A B = D，其中D是A减去B得到的差矢量。
在几何上，矢量的减法可以用三角形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从第二个矢量的终点到第一个矢量的终点的线段就是它们的差矢量。
除了加法和减法，矢量还有数量积和向量积两种运算。
数量积又称点积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值得到一个标量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的数量积可以表示为A·B= |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角。
数量积的几何意义是A在B方向上的投影乘以B的模长。
最后是向量积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的正弦值得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的向量积可以表示为A×B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
向量积的几何意义是A和B所在平面上的一个新的垂直矢量。
矢量的运算法则在物理学和工程学中有着广泛的应用。
比如在力学中，矢量的加法和减法可以用来求解物体的位移和速度；在电磁学中，矢量的数量积和向量积可以用来求解电场和磁场的分布。
矢量运算法则
03
矢量减法
矢量减法的几何意义
• 矢量减法的几何意义 • 矢量减法表示两个矢量的头和尾相连，然后去掉第一个矢量的 尾巴 • 矢量减法的模等于两个矢量模的差 • 矢量减法的方向等于两个矢量方向的差
矢量减法的计算方法与性质
矢量减法的计算方法
• 矢量减法可以通过对应分量的相减得到 • 矢量减法的计算公式为：A - B = (A1 - B1, A2 - B2, ..., An - Bn)
矢量的方向
• 矢量的方向可以用矢量的单位向量表示 • 矢量的单位向量是矢量除以其模的结果
02
矢量加法
矢量加法的几何意义
• 矢量加法的几何意义 • 矢量加法表示两个矢量的头和尾相连 • 矢量加法的模等于两个矢量模的和 • 矢量加法的方向等于两个矢量方向的合成
矢量加法的计算方法与性质
矢量加法的计算方法
矢量减法的性质
• 矢量减法满足交换律：A - B = B - A • 矢量减法满足结合律：(A - B) - C = A - (B + C)
矢量减法的应用实例 • 矢 量 减 法 的 应 用 实 例 • 计算两个力的差力：F = F1 - F2 • 计算两个速度的差速度：v = v1 - v2
04
矢量运算在计算机图形学中的 应用
• 矢量运算在计算机图形学中的应用 • 计算物体的运动轨迹：s = v0t + 0.5at^2 • 计算光照和阴影：L = I * (N · L) / (N · V) • 计算物体的表面法向量：N = (A × B) / |A × B|
CREATE TOGETHER
矢量叉积的几何意义
• 矢量叉积表示两个矢量的模和角度的乘积 • 矢量叉积的结果等于两个矢量模的乘积乘以它们夹角的 余弦
矢量的定义和加减法运算法则
第1章电磁学的数学基础——矢量分析一、矢量的定义和表示二、矢量的基本运算法则三、矢量微分元：线元，面元，体元四、标量场的梯度五、矢量场的散度六、矢量场的旋度一、矢量的定义和表示1.标量：只有大小，没有方向的物理量。
如：温度T、长度L 等2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如：重力、电场强度、磁场强度等G E H矢量表示为：一个矢量可以表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
其中：为矢量的模，表示该矢量的大小。
为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
||Aˆaˆ||A A a3. 矢量表示例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为6 的矢量如何表示？图示法：GNF fF ˆ6x axy例2：力的图示法：ˆ||A A a=ˆ6x a =矢量的图示方法1、矢量的加法运算法则加法:矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。
a.满足交换律：A B B A+=+b.满足结合律：C A B=+BAC⇒BAC()()()()A B C D A C B D +++=+++二、矢量的基本运算法则zoyx AxA yA zA 三个方向的单位矢量表示：ˆˆˆ,,x y z aa a 根据矢量加法运算：x y zA A A A =++在直角坐标系下的矢量表示:ˆx x x A A a =其中：ˆy y y A A a=ˆz z z A A a=矢量表示为：ˆˆˆx x y y z z A A aA a A a =++矢量：ˆˆˆx x y y z z A A aA a A a =++⇩模的计算：222||xyzA A A A=++⇩单位矢量：ˆˆˆˆ||||||||y x z x y z A A A Aa a a a A A A A ==++⇩方向角与方向余弦：γβα,,||cos ,||cos ,||cos A A A A A A z y x===γβαˆˆˆcos cos cos x y z aa a αβγ=++αβγzoyxAxA yA zA 在直角坐标系下的矢量表示:矢量加法运算：ˆˆˆ()()()x x x x y y y y z z z z A B C A B C aA B C a A B C a ++=++++++++zoyxA在直角坐标系下的矢量的加法运算:BCˆˆˆx x y y z z A A aA a A a =++ˆˆˆx x y y z zB B aB a B a =++ˆˆˆx x y y z zC C aC a C a =++减法：换成加法运算()D A B A B =-=+-A B C ++BAB-逆矢量：和的模相等，方向相反，互为逆矢量。
矢量运算法则
例2： 设
r1 2aˆx aˆy aˆz , r2 aˆx 3aˆy 2aˆz r3 2aˆx aˆy 3aˆz , r4 3aˆx 2aˆy 5aˆz
求： r4 ar1 br2 cr3 中的标量 a、b、c。
解： 3aˆx 2aˆy 5aˆz a(2aˆx aˆy aˆz ) b(aˆx 3aˆy 2aˆz ) c(2aˆx aˆy 3aˆz ) (2a b 2c)aˆx (a 3b c)aˆy (a 2b 3c)aˆz
(，R其,中,)均为 ,
h1 1, h2 R, h3 R sin
正交曲线坐标系：
在正交曲线坐标系中，其坐标变量
不一(定u1都, u是2 ,长u度3 )，其线元必然
有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数
，就
可正确写出其线元、面元和体元。
h1, h2 , h3
R
aˆR
R
aˆ
R sin
aˆ
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
aˆu1
h2u2
aˆu 2
h3u3
aˆu3
五、矢量场的散度
1. 矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线
方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线称
+
-
为矢线。
2. 通量：
h BC
A C
B
在直角坐标系中：
aˆx aˆy aˆz
A (B C) ( Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) Bx By Bz
矢量运算
z
y
x
分别为矢量
和x,y,z轴的夹角，其中两个是独立的。
三. 矢量的和与差
1. 和
1) 图形法 三角形法则： 平行四边形法则： 2) 解析法
2. 差：
1）图形法
2）解析法
四. 矢量的标积（点乘）
1. 矢量的点乘是标量 （ 为两矢量的夹角） 2. 解析表示
3. 性质：
五. 矢量的矢积（叉乘）
二. 矢量的表示
1. 文字表示： 印刷体：加粗的字符 书写：顶部加箭头 2. 图形表示：
带有箭头的有向线段。箭头表示矢量方向, 线段的长短表示 矢量大小。
3. 单位矢量表示：
A
的大小，即
方向同 大小为1的矢量，即单位矢量。
4. 直角坐标系中的解析表示：
矢量表示： ----三坐标轴正向单位矢量。 大小： 方向余弦：
1. 矢量的叉乘是矢量
大小： 方向：右手螺旋 2. 矢矢量的导数
1. 一般表示法：
2. 解析表示法：
七. 矢量的积分
若：
则：
矢量及其运算
一. 标量和矢量 二. 矢量的表示 三. 矢量的和与差 四. 矢量的标积（点乘） 五. 矢量的矢积（叉乘） 六. 矢量的导数 七. 矢量的积分
一. 标量和矢量
1. 标量： 定义：只有大小没有方向的物理量。 例如：长度、质量、时间、能量、温度、压强等。 2. 矢量：
定义：既有大小又有方向的物理量。 例如：速度、加速度、力、动量等。
矢量的运算法则
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
v Ay
y
v 所以： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
矢量运算法则
v
矢量： A Axaˆx Ayaˆy Azaˆz
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
矢量运算法则
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
•在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即 aˆx aˆy 0, aˆx aˆz 0, aˆy aˆz 0 aˆx aˆx 1, aˆy aˆy 1, aˆz aˆz 1
有两矢量点积：
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
矢量运算法则
在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下： z
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
o y
x
(AyBz AzBy )aˆx (AzBx AxBz )aˆy (AxBy AyBx )aˆz
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
ห้องสมุดไป่ตู้
其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有
矢量的运算法则
dSR R2 sin d daR dS R sin dRda
dS RdRd a
体元：
dV R2 sin dRd d
工程电磁场
在不同旳坐标系中，梯度旳计算公式：
在直角坐标系中：
x
aˆx
y
aˆ y
z
aˆz
在柱坐标系中：
r
aˆr
r
工程电磁场
主要旳场论公式
1. 两个零恒等式
(1) () 0 任何标量场梯度旳旋度恒为零。
(2) ( F ) 0
任何矢量场旳旋度旳散度恒为零。
工程电磁场
2. 拉普拉斯算子 2 ()
在直角坐标系中：
2
2
x 2
2
y 2
2
z 2
在圆柱坐标系中：
2
1 r
(r )
r r
( )
( A) A A
(A) A A
(A B) (A)B (B )A A( B) B( A)
(A B) B A A B (A B) A B B A (B )A (A)B
球坐标系中：
F
1 R2
(R2FR ) R
1
R sin
(F sin )
1
R sin
F
正交曲线坐标系中：
F
1
Fu1h 2 h 3
( Fu2
h1h3
)
(Fu3 h1h2
)
h1h2h3 u1
u2
u3
工程电磁场
旋度公式：
F
Fz y
Fy z
aˆx
Fx z
Fz x
aˆ y
矢量知识
矢量的微分
dA A lim dt t 0 t
既然矢量的变化包括其大小和方向两方面的变化， 矢量的变化也分为由它的大小变化和方向变化所引起 的两部分： A=AA0
dA dA 0 dA0 A A dt dt dt
(1-24)
下面，我们分两种特殊情况讨论这两个部分的矢量变 化率：
(1)A的方向不变，则上式第二项为零，A的变化率
[只需证明等号两边一个（i）分量上的值相等即可。] 左边=b1(a2c2+a3c3)-c1(a2 b2+a3b3), 右边=b1(a1c1+a2b2+a3c3)-c1(a1b1+a2 b2+a3 b3)= b1(a2c2+a3c3)-c1(a2b2+a3b3)
6. 矢量的混合积
（A B) C (C A) B (B C) A (B A) C
几何意义：以 A 、 B 和 C 为棱边的平行六面体的体积。 7. 注意 * 矢量的非法运算包括：
1 A
, ln B, C , e D
* 矢量与标量不能相等！
* 书写时别忘记加上矢量号（帽子）。
三、正交坐标系 1. 正交坐标系的基失 一个坐标系需要由基矢量组成的基，基矢量相互正交的坐标系 称为 正 交 坐标系。直角坐标系是正交坐标系，它的基 为： （i , j , k ) 。
加法满足： 交换律： 结合律：
A B B A
A (B C) ( A B) C
A 0 A
零矢量的定义：
2. 矢量的数乘
大小 A C 方向
结合律： 分配律：
CA 同向 0 C与 A 0 C与 A反向
§1矢量的基本知识和运算法则
§ 1矢量的基本知识和运算法则其大小等于A矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示， （线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5— 1所示。
两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。
如图 5— 2所示。
两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于180°的角。
在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。
2.矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。
3 .矢量A 与数量K 相乘时，图5 — 4其结果仍是一个矢量。
所得矢量的大小等于原矢量大小乘以， 所得矢量的方向：当K > 0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反如动量 mV 、冲量F ：t 都是矢量，其方向分别与矢量 V 和F 矢量相同。
动 量的变化量 m 「：V 也是矢量，其方向与V 相同。
矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量—,如加速度a1,Km m4方向与F 相同。
II4 .矢量A 与矢量B 相乘4 4一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积） ，用A B 表示，乘得的积是标量，大1.矢量和标量的不同点在于:矢量除了有大小之外, 还有方向, 矢量A 记做位移S 的数量积，是标量。
W = F ・S = FScos-另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B 表示，矢量积A B=C还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。
矢量C 的方向垂直于矢量 A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定, 如图5- 5 （甲）或（乙）所示。
注意：A B = B A , A B 与B A 大小相等，方向相反。
如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M*，大小为M =Frsinr 。
带电粒 子所受的磁场力（即洛 仑兹力） F 二qV B ，大小为F = q vBsinr （若是负电荷受力方向与此相反）例5- 1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运 动过程中合外力是否做功？解：因为速度和加速度都是矢量， 在图5 - 6所示的 圆周上任意取两点 A 、B ，虽然v A二v B , a A 二a B ，但方 向不同，由矢量相等的条件可知：VA=V B ,f A=a B, 因此匀速园周运动既不是匀速运动， 也不是匀变速运动。
《矢量分析与场论》 第1讲矢量基础
M r F
旋转线速度
F
O
r
O
dr V r dt
r
V
5.矢量的复杂运算
1) 矢量混合积： A ( B C) ，是一个标量。 A C B 矢量混合积满足旋转法则
A ( B C) B (C A) C ( A B)
1.矢量的概念 2)矢量（Vector) 一个有大小和方向的物理量 电场、磁场、力、速度、加速度等
矢量场
也称向量：由现实世界的三维空间抽象出来； 空间任何一点P，均可用有序独立的3个数（P1， P2，P3）来确定（O为起点），记为：
r1 OP (P 1, P 2, P 3)
5.矢量的复杂运算 矢量混合积的常用公式
A ( B C) B (C A) C ( A B)
A ( B C) B( A C) C( A B)
( A B) (C D) ( A C)(B D) ( A D)(B C) A[ B (C D)] ( B D)( A C) ( B C)( A D) 2 ( A B) [(B C) (C A)] [ A ( B C)]
0
O
B
A
A A 0
两矢量的叉积不可交换，具有反对称性。
性质：两个非零矢量叉积为 0 的充要条件是
矢量相互平行。
4.矢量的叉积 3) 单位矢量的叉积
i i 0 j i k k i j
电磁场与电磁波之矢量运算法则
vv A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz •结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
vv v v
B
A B | A | | B | sin aˆc
两矢量的叉积又可表示为：
v v aˆx aˆy aˆz A B Ax Ay Az
Bx By Bz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
（3）三重积：
三个矢量相乘有以下几种形式：
v vv (A B)C
矢量，标量与矢量相乘。
vvv A (B C)
标量，标量三重积。
v vv A (B C)
矢量，矢量三重积。
(
v A
v B)
v (C
v D)
v (A
v C)
v (B
v D)
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
在直角坐标系下的矢量表示: 三个方向的单位矢量用 aˆx , aˆy , aˆz 表示。
z
v Az
v A
根据矢量加法运算：
vv v v A Ax Ay Az
vo
Ax
x
其中：
v
v
v
Ax Axaˆx , Ay Ayaˆy , Az Azaˆz
其结果是一标量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
推论1：满足交换律
vv vv A B B A
推论2：满足分配律
v v v vv vv A(B C) A B AC
推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。
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§1 矢量的基本知识和运算法则
1．矢量和标量的不同点在于：矢量除了有大小之外，还有方向，矢量A 记做A ，其大小等于A
矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示，（线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5－1所示。
两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。
如图5－2所示。
两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于1800的角。
在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。
2．矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。
对三个以上的矢量相加，通常使用多边形法则。
10N
F
图5－1
A
/A
/A
A /A
A /A A =
/A A ≠
/A A =-
图5－ 2
C A B A B C +=
B - C
A B ()A B A B C -=+-= C
A
B A B
C += A B C A B C -= 图5－ 3 A B C
D E A B C D E +++= A
B C D E B D A C E +++=
图5－4
3．矢量A 与数量K 相乘时，其结果仍是一个矢量。
所得矢量的大小等于原矢量大小乘以，所得矢量的方向：当K ＞0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反
如动量()
mV 、冲量()
F t ⋅∆都是矢量，其方向分别与矢量V 和F 矢量相同。
动量的变化量()
m V ∆也是矢量，其方向与V ∆相同。
矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量
1
K
，如加速度1F a F m m =
=⋅，方向与F 相同。
4．矢量A 与矢量B 相乘
一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积），用A B ⋅表示，乘得的积是标量，大小等于两矢量的大小与两矢量夹角余弦的积。
即：cos A B AB θ⋅=。
如：功是力F 与位移S 的数量积，是标量。
cos W F S FS θ=⋅=
另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B ⨯表示，矢量积A B C ⨯=还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。
sin C A B θ=⋅，即矢量C 的大小等于两矢量A 和B 为邻边的平行四边形的面积，
矢量C 的方向垂直于矢量A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定，如图5－5（甲）或（乙）所示。
注意：A B B A ⨯≠⨯，A B ⨯与B A ⨯大小相等，方向相反。
如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M r F =⨯，大小为
sin M Fr θ=。
带电粒子所受的磁场力（即洛仑兹力）F q V B =⨯，大小为
sin F q vB θ=⋅（若是负电荷受力方向与此相反）
例5－1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运动过程中合外力是否做功？
解：因为速度和加速度都是矢量，在图5－6所示的
圆周上任意取两点A 、B ，虽然,A B A B v v a a ==，但方向不同，由矢量相等的条件可知：A B v v ≠，A B a a ≠，因此匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动。
由功的定义得：cos W F S FS θ=⋅=，因为作用于匀速园周运动的物体上的合外力F 始终沿着半径指向圆心，与位移S 的方向垂直。
故cos
02
W FS π
==，所
以物体在做匀速园周运动的过程中，合外力（即向心力不做功）
例5－2判断图5－7所示的带电粒子受力的方向。
解：根据F qv B =⨯，用右手螺旋法则得出带电粒子的受力方向竖直向上（如图5－8）
例5－3空间某处O ，有互相垂直的两个水平磁场1B 和2B ，
55121.7310, 1.0010B T B T --=⨯=⨯，现在该处有一段载流直导线，问导线应如何放
置，才能使两磁场作用在它上面的合力为零。
解：以O 为坐标原点，建立直角坐标系oxyz ，令2B 沿x 轴方向，1B 沿y 轴方向（如图5－9）
根据安培定律：F Il B =⨯
磁场作用于载流导线上的力F 垂直于l 和B 所决定的平面，并依右手螺旋定则规
A
V A
a A
F A V B
F B
a A B O
图5-6
定其方向。
为使两磁场作用于载流导线的合力为零，则导线l 必须置于oxy 平面内，设它与y 轴的夹角为θ，则有：
11sin F B Il θ=方向沿z 轴向上。
()0222sin 90cos F B Il B Il θθ=-=，方向
沿z 轴向下。
平衡时：12sin cos 0B Il B Il θθ-=
01
2
cot 1.73,30B B θθ=
=∴= 即导线与1B 所成的角度为300，与2B 所成的角度为600。
例5－4图5－10是一张斜碰的闪光照片。
大球的质量m 1=201.1g 小球的质量m 2=85.4g 。
两球都是从下向上运动，碰撞后左、右分开，闪光的快慢是每秒30次，照片和实物的线度比例大约是1：10，试作出它们的动量分析图，并求出两球的动量的改变量12P P ∆∆和，由此可得出什么结论？
解：由照片所示的两球位置和线段的比例，分别量出两球碰撞前后。
在1
30
秒内所通过的距离。
大球：/1110 6.0 6.010 5.0 5.0S mm cm S mm cm =⨯==⨯= 小球：/22107.07.0,109.09.0S mm cm S mm cm =⨯==⨯=
由此计算出两球碰撞前后的速度： 大球：
()()
21/2
1
6.030 1.810(/) 1.8(/)5.0 1.5/ 1.5/v cm s m s v cm s m s =⨯=⨯==⨯=
小球：
()()()()
22/2
2
730 2.110/ 2.1/930 2.710/ 2.7/v cm s m s v cm s m s =⨯=⨯==⨯=⨯=
根据动量P mv =算出两球碰撞前后的动量：
大球：碰撞前：1110.2011 1.80.36(/)P m v kg m s ==⨯=⋅，方向与V 1相同。
碰撞后：//1110.2011 1.50.30(/)P m v kg m s ==⨯=⋅，方向与/1V 相同。
小球：碰撞前：2
2228.54 2.1100.18(/)P m v kg m s -==⨯⨯=⋅，方向与2V 相同。
碰撞后：//2
2228.54 2.7100.23(/)P m v kg m s -==⨯⨯=⋅，方向与/2V 相同。
两球碰撞前后动量的变化量： 大球：()
/
/
11111P P P P P ∆=-=+- 小球：()
/
/
22222P P P P P ∆=-=+-
选取比例线段，根据平行四边形法则，作动量分析图（图5－11），从图中可以量得：10.13(/)P kg m s ∆=⋅ 20.13(/)P kg m s ∆=⋅两者方向相反。
所以：12P P ∆=-∆
即两球碰撞前后动量的改变量是大小相等，方向相反的。