上海市初中九年级数学拓展Ⅱ教学参考资料(含练习册答案)讲解学习
沪教版(上海)数学九年级第二学期-27.3 (1) 垂径定理 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯§27.3 （1）垂径定理教学目标：1、经历利用圆的轴对称性对垂径定理的探索和证明过程，掌握垂径定理；并能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题；2、在研究过程中，进一步体验“实验——归纳——猜测——证明”的方法；3、让学生积极投入到圆的轴对称性的研究中，体验到垂径定理是圆的轴对称性质的重要体现。
教学重点：掌握垂径定理，能应用垂径定理进行简单计算或证明。
教学难点：对垂径定理的探索和证明。
教学用具：圆规，三角尺，几何画板课件，圆形纸片教学过程：一、复习引入师：什么是轴对称图形？生：把一个图形沿着某一条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
师：请你判断下列哪些图形是轴对称图形？师：圆是轴对称图形吗？让我们来共同研究一下。
老师拿出事先准备好的圆形纸片，把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折，然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论。
生：圆是轴对称图形。
师：你知道它的对称轴是什么吗？生：经过圆心的直线（它的直径）师：哪位同学说的对呢？生：对称轴是直线，而直径是线段，所以我们应该说圆的对称轴是经过圆心的直线，或者是直径所在直线。
结论：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。
观察并回答：操作：我们在圆形纸片上把刚才的折痕描绘出来，标记为CD。
在此纸片上再任意增加一条直径AB。
师：请问两条直径的位置关系是什么？生：两条直径始终是互相平分的。
师：把直径AB 向下平移，变成非直径的弦，直径CD 是否一定平分弦AB ？ 生：不一定二、新课1、猜想：弦AB 在怎样情况下会被直径CD 平分？2、得出猜想：当CD ⊥AB 时，弦AB 会被直径CD 平分。
师：思考：CD 是以点O 为圆心的直径，过直径上任一点E 作弦AB ⊥CD,将圆O 沿CD 对折，比较图中的线段和弧，你能发现有哪些相等的量？（教师用电脑课件演示图中沿直径CD 对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合。
上海市初中九年级数学拓展Ⅱ教学参考资料(含练习册答案)讲解学习
初中数学拓展Ⅱ课本教学参考材料编者的话《数学课程标准》中安排的初中数学拓展II的内容，是定向拓展内容，提供希望在初中毕业后进入普通高中学习的学生修习。
根据《数学课程标准》编写的“初中数学拓展II”课本（试验本），用于九年级，现正在基地学校进行第一轮教学试验。
为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写人员编写了本册课本的教学参考材料。
这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。
由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。
本《材料》提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好基础。
希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝贵意见和修改建议。
初中数学教材编写组2007年8月第一部分课本概述初中数学拓展II课本（以下简称本册课本），含“一元二次方程与二次函数”、“直线与圆”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。
本册课本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。
初中数学内容的设计，整体上按照六、七年级和八、九年级进行分段，同时在九年级进行必要的分层处理。
在初中阶段，以全体学生必学的数学基本内容为课程内容的核心，着眼于所有学生未来发展的普遍需要，构建共同的数学基础；再以学生定向选学的数学拓展II内容，以及学生按兴趣爱好选学的数学拓展I内容和课外活动材料，适当扩充数学基础，形成具有差别性和层次性的数学，满足不同个性的学生的不同需要。
学生在六年级到九年级所学的数学基本内容中，包括“实数知识基础”、“初等代数知识基础”、“平面几何知识基础与向量代数初步知识”、“初等代数函数的基础与分析初步”、“概率与统计初步知识”。
2022年最新精品解析沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形重点解析试题(名师精选)
九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB 是⊙O 的直径，BD 与⊙O 相切于点B ，点C 是⊙O 上一点，连接AC 并延长，交BD 于点D ，连接OC ，BC ，若∠BOC ＝50°，则∠D 的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．65°D ．75°2、如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，连接CA ，CB ，OA ，OB ．若∠AOB =140°，则∠ACB 为（ ）A ．40°B ．50°C ．70°D ．80°3、如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是边AC 上一动点，连接BD ，以CD 为直径的圆交BD 于点E ．若AB 长为4，则线段AE 长的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D 4、如图，在圆内接五边形ABCDE 中，425C CDE E EAB ∠+∠+∠+∠=︒，则CDA ∠的度数为（ ）A ．75︒B ．65︒C ．55︒D ．45︒5、如图，在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为2，与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，点C（1，c ），D d ），E （e ，1），P （m ，n ）均为AB 上的点（点P 不与点A ，B 重合），若m ＜n ＜，则点P 的位置为（ ）A ．在BC 上B ．在CD 上C ．在DE 上D ．在EA 上 6、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，那么扇形的面积（ ）A ．不变B ．面积扩大为原来的3倍C ．面积扩大为原来的9倍D ．面积缩小为原来的137、如图，菱形ABCD 的顶点B ，C ，D 均在⊙A 上，点E 在弧BD 上，则∠BED 的度数为（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°8、已知O 的半径为5cm ，点P 到圆心O 的距离为4cm ，则点P 和圆的位置关系（ ）A ．点在圆内B ．点在圆外C ．点在圆上D ．无法判断9、如图，ABC 中，50ABC ∠=︒，74ACB ∠=︒，点O 是ABC 的内心．则BOC ∠等于（ ）A ．124°B ．118°C ．112°D ．62°10、某村东西向的废弃小路/两侧分别有一块与l 距离都为20 m 的宋代碑刻A ，B ，在小路l 上有一座亭子P ． A ，P 分别位于B 的西北方向和东北方向，如图所示．该村启动“建设幸福新农村”项目，计划挖一个圆形人工湖，综合考虑景观的人文性、保护文物的要求、经费条件等因素，需将碑刻A ，B 原址保留在湖岸（近似看成圆周）上，且人工湖的面积尽可能小．人工湖建成后，亭子P 到湖岸的最短距离是（ ）A ．20 mB ．mC ．（ - 20）mD ．（m第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的半圆O 上有一动点B ，点()3,0A ，ABC 为等腰直角三角形，A 为直角顶点，且C 在第一象限，则线段OC 长度的最大值为______．290°的最大扇形(阴影部分)，则这个扇形的面积为____，则此扇形的圆心角等于______．3、若一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是6cm4、如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影，则该圆锥的侧面积是________5、斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，问题：现有一斛，其底面的外圆直径．．．．为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差．．．．为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为________尺．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O.求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.作法：如图，①作直径AB；②分别以点A, B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M点；③作直线MO交⊙O于点C，D；④连接AC，BC．所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接MA，MB．∵MA=MB，OA=OB，∴MO是AB的垂直平分线．∴AC= ．∵AB 是直径,∴∠ACB = ( ) (填写推理依据) ．∴△ABC 是等腰直角三角形．2、如图，在平面直角坐标系中，有抛物线23y ax bx =++，已知OA =OC =3OB ，动点P 在过A ，B ，C 三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的圆的半径；（3）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，说明理由；3、如图，以四边形ABCD 的对角线BD 为直径作圆，圆心为O ，点A 、C 在O 上，过点A 作AE CD ⊥的延长线于点E ，已知DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是O 切线；（2）若4AE =，6CD =，求O 的半径和AD 的长．4、如图1，AB 为圆O 直径，点D 为AB 下方圆上一点，点C 为弧ABD 中点，连结CD ，CA ．（1）若70ABD ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）如图2，过点C 作CE AB ⊥于点H ，交AD 于点E ，CAD α∠=，求ACE ∠（用含α的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若5OH =，24AD =，求线段DE 的长．5、如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AD 为⊙O 的直径．连结BD ，若AC BD =．（1）求证：∠1＝∠2．（2）当AD＝BC＝4时，求ABD的面积．-参考答案-一、单选题1、C【分析】首先证明∠ABD＝90°，由∠BOC＝50°，根据圆周角定理求出∠A的度数即可解决问题．【详解】解：∵BD是切线，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∵∠BOC＝50°，∠BOC＝25°，∴∠A＝12∴∠D＝90°﹣∠A＝65°，故选：C．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2、C【分析】根据圆周角的性质求解即可．【详解】解：∵∠AOB =140°，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可得，∠ACB =70°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题关键是明确同弧所对的圆周角是圆心角的一半．3、D【分析】如图，连接,CE 由CD 为直径，证明E 在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AEAO OE 最小，再利用锐角的正弦与勾股定理分别求解,AO OE ，即可得到答案.【详解】解：如图，连接,CE 由CD 为直径，90,CED BECE 在以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径的O 上运动，连接,AO 交O 于点,E 则此时AE AO OE 最小，90ACB ∠=︒，AC BC =，4,AB =45,ABC BAC ∴∠=∠=︒sin 4522,2,AC BC AB OB OC OE2222210,AO10 2.AE故选D 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆外一点与圆的最短距离的理解，锐角的正弦的应用，掌握“圆外一点与圆的最短距离求解线段的最小值”是解本题的关键. 4、B 【分析】先利用多边的内角和得到540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒，可计算出115B ∠=︒，然后根据圆内接四边形的性质求出CDA ∠的度数即可. 【详解】解：∵五边形ABCDE 的内角和为()52180540-⨯︒=︒， ∴540EAB B C CDE E ∠+∠+∠+∠+∠=︒， ∵425EAB C CDE E ∠+∠+∠+∠=︒， ∴540425115B ∠=︒-︒=︒，∵四边形ABCD 为O 的内接四边形， ∴180B CDA ∠+∠=︒， ∴18011565CDA ∠=︒-︒=︒.故选：B. 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的性质是解答本题的关键. 5、B 【分析】先由勾股定理确定出各点坐标，再利用m ＜n 判断即可. 【详解】点C 、D 、E 、P 都在AB 上，∴由勾股定理得：22212c +=，2222d +=，22212e +=，解得c =d =e故C ，D ），E 1），P （m ，n ），m ＜n ，且m 在AB 上，点C 的横坐标满足c c y ，点D 纵坐标满足d d x y =，∴从点D 到点C 的弧上的点满足：x y <<，故点P 在CD 上. 故选：B 【点睛】此题考查勾股定理和圆的基本性质，掌握相应的定理和性质是解答此题的关键. 6、A 【分析】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19n，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．【详解】设原来扇形的半径为r，圆心角为n，∴原来扇形的面积为2 360n rπ，∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的19，∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为19 n，∴变化后的扇形的面积为221(3)9360360n r n rππ=，∴扇形的面积不变．故选：A．【点睛】本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．7、B【分析】连接AC，根据菱形的性质得到△ABC、△ACD是等边三角形，求出∠BCD=120°，再根据圆周角定理即可求解．【详解】如图，连接AC∴AC=AB=AD∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC=AD=CD=AC∴△ABC、△ACD是等边三角形∴∠ACB=∠ACD=60°∴∠BCD=120°∵优弧BD BD∴∠BED=∠BCD=120°故选B．【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知菱形的性质及圆周角定理．8、A【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，∴点P在圆内．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．9、B【分析】根据三角形内心的性质得到∠OBC=12∠ABC=25°，∠OCB=12∠ACB=37°，然后根据三角形内角和计算∠BOC的度数．【详解】解：∵点O是△ABC的内心，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC=12×50°=25°，∠OCB=12∠ACB=12×74°=37°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-37°=118°．故选B．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．10、D【分析】根据人工湖面积尽量小，故圆以AB为直径构造，设圆心为O，当O，P共线时，距离最短，计算即可．【详解】∵人工湖面积尽量小，∴圆以AB为直径构造，设圆心为O，过点B作BC⊥l，垂足为C，∵A，P分别位于B的西北方向和东北方向，∴∠ABC=∠PBC=∠BOC=∠BPC=45°，∴OC=CB=CP=20，∴OP=40，OB∴最小的距离PE=PO-OE m），故选D．【点睛】本题考查了圆的基本性质，方位角的意义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握圆中点圆的最小距离是解题的关键．二、填空题1、1+【分析】过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，根据点A（3，0）可求AD=x-3，根据ABC为等腰直角三角形，得出AB=AC，∠BAC=90°，再证△BAE≌△ACD（AAS），得出BE=AD=x-3,EA=DC，在Rt△EBO中，根据勾股定理OE==得出CD =AE3，根据勾股定理COOD =CD 时OC 最大，OC=此时3x =解方程即可．【详解】解：过点C 作CD ⊥x 轴于D ，过B 作BE ⊥x 轴于E ，连结OB ，设OD =x ， ∵点A （3，0） ∴AD =x -3，∵ABC 为等腰直角三角形， ∴AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠BAE +∠CAD =180°-∠BAC =180°-90°=90°， ∵CD ⊥x 轴， BE ⊥x 轴， ∴∠BEA =∠ADC =90°， ∴∠ACD +∠CAD =90°， ∴∠ACD =∠BAE ， 在△BAE 和△ACD 中，BEA ADC BAE ACD BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAE ≌△ACD （AAS ）， ∴BE =AD =x -3,EA =DC ，在Rt△EBO 中，OB =1，BE = x -3，根据勾股定理OE ==∴EA =OE +OA 3，∴CD =AE 3，∴CO当OD =CD 时OC 最大，OC ，此时3x =，∴()()22313x x -=--，∴()2132x -=，∴32x -=±，∴13x =，23x =-，∴线段OC 31⎛=+=+ ⎝⎭故答案为：1+本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键． 2、π 【分析】如图（见解析），连接BC ，先根据圆周角定理可得BC 是圆形纸片的直径，从而可得BC =用勾股定理可求出AB 的长，然后利用扇形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接BC ，由题意得：,90AB AC BAC =∠=︒，BC ∴是圆形纸片的直径，BC ∴=在Rt ABC 中，BC = 解得2AB =，则这个扇形（阴影部分）的面积为2902360ππ⨯=， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形的面积等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．【分析】 根据=180n rl π变形为n =180l rπ计算即可． 【详解】∵扇形的半径是18cm ，且它的弧长是6cm π，且=180n rl π ∴n =180l rπ=180618ππ⨯⨯=60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查了弧长公式，灵活进行弧长公式的变形计算是解题的关键．4、 【分析】122S l r rl =⋅=ππ即可得出圆锥侧面积为．【详解】∵ABC 是一个圆锥在某平面上的正投影 ∴ABC 为等腰三角形 ∵AD ⊥BC ∴122CD BD BC ===在Rt ADC 中有A C =即AC由圆锥侧面积公式有2S rl ==⨯=ππ．故答案为：。
2021-2022学年沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形重点解析练习题
九年级数学第二学期第二十七章圆与正多边形重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若OA＝2，∠B＝60°，则CD的长为（）A B．C．D．42、直角三角形△PAB一条边为AB，另一顶点P在直线l上，下面是三个学生做直角三角形的过程以及自认为正确的最终结论：甲：过点A作l的垂线，垂足为P1；过点B作l的垂线，垂足为P2；作AP3⊥BP3．故符合题意的点P 有三处；乙：以AB为直径作圆O，⊙O与交l于两点P1、P2，故符合题意的点P有两处；丙：过点A作P1A⊥AB，垂足为A，交l于点P1；过点B作P2B⊥AB，垂足为B，交l于点P2．故符合题意的点P有两处．下列说法正确的是（）A ．甲的作法和结论均正确B ．乙、丙的作法和结论合在一起才正确C ．甲、乙、丙的作法和结论合在一起才正确D ．丙的作法和结论均正确3、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，若∠BAC ＝30°，BC ＝2，则AB 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104、如图，O 的半径为10cm ，AB 是O 的弦，OC AB ⊥于D ，交O 于点C ，且CD =4cm ，弦AB 的长为（ ）A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．8cm5、如图，ABC 内接于⊙O ，110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒，BD 为⊙O 的直径，且BD ＝2，则DC ＝（ ）C DA．1 B．126、如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则下列角中可确定大小的是（）A．∠PCB B．∠PBC C．∠BPC D．∠PBA7、如图，两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过⊙O2的圆心，则∠O1AB的度数为（）A．45°B．30°C．20°D．15°8、如图，小王将一长为4，宽为3的长方形木板放在桌面上按顺时针方向做无滑动的翻滚，当第二次翻滚时被桌面上一小木块挡住，此时木板与桌面成30°角，则点A运动到A2时的路径长为（）A ．10B ．4πC ．72πD ．529、如图，在Rt△ABC 中，90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A ，D ，则阴影部分的面积为（ ）A 3πB 3π- C 23π-D ．23π10、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，30CDB ∠=︒，CD =（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．23π 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，切点为A ，BC 交O 于点D ，点E 是AC 的中点．若O 的半径为2，50B ∠=， 4.8AC =，则阴影部分的面积为________．2、如图，PA ，PB 是O 的切线，切点分别为A ，B ．若30OAB ∠=︒，3PA =，则AB 的长为______．3、如图，点C 是半圆AB 上一动点，以BC 为边作正方形BCDE （使BC 在正方形内），连OE ，若AB ＝4cm ，则OE 的最大值为_____cm ．4、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在AB 上，则∠BPC 的度数为_____．5、在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的圆O 交BC 边于点D ．要使得圆O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 _________ ．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC > 60°；②45° < ∠ABC < 60°；③BD > 12AB ；④12AB < DE ． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，将一个直径AB 等于12厘米的半圆绕着点A 逆时针旋转60°后，点B 落到了点C 的位置，半圆扫过部分的图形如阴影部分所示．（1）阴影部分的周长；（2）阴影部分的面积．（结果保留π） 2、综合与实践“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上，且AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与AC 垂直于点B ，DB 足够长．使用方法如图2所示，若要把MEN ∠三等分，只需适当放置三分角器，使DB 经过MEN ∠的顶点E ，点A 落在边EM 上，半圆O 与另一边EN 恰好相切，切点为F ，则EB ，EO 就把MEN ∠三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．已知：如图2，点A ，B ，O ，C 在同一直线上，EB AC ⊥，垂足为点B ，________，EN 切半圆O 于F ．求证：________________．探究解决：（2）请完成证明过程．应用实践：（3）若半圆O 的直径为12cm ，45MEN ︒∠=，求BE 的长度．3、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是AD 延长线上一点，连接CD ，CF ，且：CF 是⊙O 的切线．（1）求证：∠DCF ＝∠CAD ．（2）探究线段CF ，FD ，FA 的数量关系并说明理由； （3）若cos B 35=，AD ＝2，求FD 的长．4、在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于r （r 为常数），到点O 的距离等于r 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，C D ．求证：AD =C D ．5、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，O 为AC 上一点，以点O 为圆心，OC 为半径的圆恰好与AB 相切，切点为D ，O 与AC 的另一个交点为E ．（1）求证：BO 平分ABC ∠；（2）若30A ∠=︒，1AE =，求BO 的长．-参考答案-一、单选题 1、B 【分析】先证明OCB 是等边三角形，再证明,CE DE =求解sin 603,CE CO 从而可得答案.【详解】解：2,60,OA OB OC B OCB ∴是等边三角形，60,BOC,AB CD ∴⊥3,sin 6023,CE DE CE CO22 3.CD CE故选B 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，证明OCD 是等边三角形是解本题的关键. 2、B 【分析】根据三个学生的作法作出图形即可判断 【详解】解：甲的作图如下，12,ABP ABP 不是直角三角形，故甲的不正确乙：如图，根据直径所对的圆周角是直角可知，乙的作法正确，但不完整， 丙的作法如下，丙的作法也正确，但不完整， 乙、丙的作法和结论合在一起才正确 故选B 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，直径所对的圆周角是直角，根据题意作出图形是解题的关键． 3、A 【分析】根据直径所对的圆角为直角，可得90C ∠=︒ ，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴90C ∠=︒ ，∵∠BAC ＝30°，BC ＝2，∴24AB BC ==．故选：A【点睛】本题主要考查了直径所对的圆角，直角三角形的性质，熟练掌握直径所对的圆角为直角；直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．4、A【分析】如图所示，连接OA ，由垂径定理得到AB =2AD ，先求出6cm OD OC CD =-=，即可利用勾股定理求出8cm AD ，即可得到答案．【详解】解：如图所示，连接OA ，∵半径OC ⊥AB ，∴AB =2AD ，∠ODA =90°，∵4cm CD =，∴6cm OD OC CD =-=，∴8cm AD ==，∴216cm AB AD ==，故选：A ．【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知垂径定理是解题的关键．5、C【分析】根据三角形内角和定理求得A ∠，根据同弧所对的圆周角相等可得30D A ∠=∠=︒，根据直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求得DC 的长【详解】 解：110,40ABC BCA ∠=︒∠=︒30A ∴∠=︒BC BC =∴30D A ∠=∠=︒ BD 为⊙O 的直径，90BCD ∴∠=︒在Rt BCD ，30D ∠=︒， BD ＝2， ∴12BC BD ==1DC ∴故选C【点睛】本题考查了三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，求得30D A ∠=∠=︒是解题的关键．6、C【分析】由题意根据正方形的性质得到BC 弧所对的圆心角为90°，则∠BOC =90°，然后根据圆周角定理进行分析求解．【详解】解：连接OB 、OC ，如图，∵正方形ABCD 内接于⊙O ，∴BC 所对的圆心角为90°，∴∠BOC =90°，∴∠BPC =12∠BOC =45°．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理和正方形的性质，确定BC 弧所对的圆心角为90°是解题的关键．7、B【分析】连接O 1O 2，AO 2，O 1B ，可得△AO 2O 1是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．解：连接O 1O 2，AO 2，O 1B ，∵O 1B = O 1A ∴112112O AB O BA AO O ∠=∠=∠∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO 2O 1是等边三角形，∴∠AO 2O 1=60°，∴∠O 1AB =12∠AO 2O 11602=⨯︒ =30°． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AO 2O 1是等边三角形是解题关键．8、C【分析】根据题意可得：第一次转动的路径是以点B 为圆心，AB 长为半径的弧长，此时圆心角190ABA ∠=︒ ，第二次转动的路径是以点C 为圆心，A 1C 长为半径的弧长，此时圆心角21903060A CA ∠=︒-︒=︒ ，再由弧长公式，即可求解．【详解】根据题意得：15AB A B === ，123AC A C == ， 第一次转动的路径是以点B 为圆心，AB 长为半径的弧长，此时圆心角190ABA ∠=︒ ， ∴190551802AA l ππ⨯== ， 第二次转动的路径是以点C 为圆心，A 1C 长为半径的弧长，此时圆心角21903060A CA ∠=︒-︒=︒ ， ∴21603180A A l ππ⨯== ， ∴点A 运动到A 2时的路径长为1215722AA A A l l πππ+=+= ． 故选：C【点睛】本题主要考查了求弧长，熟练掌握扇形的弧长公式是解题的关键．9、A【分析】连结OC ，根据切线长性质DC =AC ，OC 平分∠ACD ，求出∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，利用在Rt△ABC中，AC =AB tan B =Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，利用三角形面积公式求出12AOC S OA AC ∆=⋅=，12DOC S OD DC ∆=⋅=212011==3603OAD S ππ⨯扇形，利用割补法求即可．解：连结OC ，∵以AB 边上一点O 为圆心作O ，恰与边AC ，BC 分别相切于点A , D ，∴DC =AC ，OC 平分∠ACD ，∵90BAC ∠=︒，30B ∠=︒，∴∠ACD =90°-∠B =60°，∴∠OCD =∠OCA =12ACD ∠=30°，在Rt△ABC 中，AC =AB tan B =在Rt△AOC 中，∠ACO =30°，AO =AC 1=，∴OD =OA =1，DC =AC∴11122AOC S OA AC ∆=⋅=⨯=11122DOC S OD DC ∆=⋅=⨯= ∵∠DOC =360°-∠OAC -∠ACD -∠ODC =360°-90°-90°-60°=120°， ∴212011==3603OAD S ππ⨯扇形，S 阴影=1133AOC DOC OAD S S S ππ∆∆+-扇形． 故选择A ．本题考查切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积，掌握切线长性质，锐角三角形函数，扇形面积，三角形面积，角的和差计算，割补法求阴影面积是解题关键．10、D【分析】根据垂径定理求得CE =ED COE =60°．然后通过解直角三角形求得线段OC ，然后证明△OCE ≌△BDE ，得到=DEB CEO S S △△求出扇形COB 面积，即可得出答案．【详解】解：设AB 与CD 交于点E ，∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，CD∴CE =12CD CEO =∠DEB =90°，∵∠CDB =30°，∴∠COB =2∠CDB =60°，∴∠OCE =30°， ∴12OE OC =， ∴1122BE OE OB OC ===，又∵222OC CE OE =+，即22134OC OC =+ ∴2OC =，在△OCE 和△BDE 中，OCE BDE CEO DEB OE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△OCE ≌△BDE （AAS ），∴=DEB CEO S S △△∴阴影部分的面积S =S 扇形COB =260223603ππ⨯=， 故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB 的面积是解此题的关键．二、填空题1、241059π- 【分析】根据题意先得出△AOE ≌△DOE ,进而计算出∠AOD =2∠B =100°，利用四边形ODEA 的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积．【详解】解：连接EO 、DO ，∵点E 是AC 的中点，O 点为AB 的中点，∴OE ∥BC ，∴∠AOE =∠B ，∠EOD =∠BDO ，∵OB =OD ，∴∠B =∠BDO ，∴∠AOE =∠EOD ，在△AOE 和△DOE 中OA OD AOE DOE OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AOE ≌△DOE ，∵点E 是AC 的中点，∴AE =12AC =2.4，∵∠AOD =2∠B =2×50°=100°， ∴图中阴影部分的面积=2•12×2×2.4-21002360π⋅⋅=241059π-. 故答案为：241059π-. 【点睛】本题考查切线的性质以及圆周角定理和扇形的面积公式和全等三角形判定性质，注意掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 2、3【分析】由切线长定理和30OAB ∠=︒，可得PAB ∆为等边三角形，则AB PA =．【详解】解：连接,OA OP ，如下图：PA ，PB 分别为O 的切线，PA PB ∴=，PAB ∴为等腰三角形，30OAB ∠=︒，60PAB ∴∠=︒，PAB ∴∆为等边三角形，AB PA ∴=，3PA =，3AB ∴=．故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和切线长定理，解题的关键是作出相应辅助线．3、2)【分析】如图，连接OD ，OE ，OC ，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，BM ，通过△OCD ≌△OBE （SAS ），可得OE ＝OD ，通过旋转观察如图可知当DO ⊥AB 时，DO 最长，此时OE 最长，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，先证明△MED ≌△MEB ，得MD ＝BM ．再利用勾股定理计算即可．【详解】解：如图，连接OD ，OE ，OC ，设DO 与⊙O 交于点M ，连接CM ，BM ，∵四边形BCDE 是正方形，∴∠BCD ＝∠CBE ＝90°，CD ＝BC ＝BE ＝DE ，∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠BCD +∠OCB ＝∠CBE +∠OBC ，即∠OCD ＝∠OBE ，∴△OCD ≌△OBE （SAS ），∴OE ＝OD ，根据旋转的性质，观察图形可知当DO ⊥AB 时，DO 最长，即OE 最长，∵∠MCB ＝12∠MOB ＝12×90°＝45°，∴∠DCM ＝∠BCM ＝45°，∵四边形BCDE 是正方形，∴C 、M 、E 共线，∠DEM ＝∠BEM ，在△EMD 和△EMB 中，DE BC MED MEB WE WEE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MED≌△MEB（SAS），∴DM＝BM＝cm），∴OD的最大值＝，即OE的最大值＝+2；故答案为：（）cm．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，解题的关键是OD取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．4、45°度【分析】连接OB、OC，根据正方形的性质得到∠BOC的度数，利用圆周角与圆心角的关系得到答案．【详解】解：连接OB、OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∴∠BPC =1452BOC ∠=︒，故答案为：45°．【点睛】此题考查了圆内接正方形的性质，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，熟记各知识点是解题的关键．5、②④【分析】将所给四个条件逐一判断即可得出结论．【详解】解：在ΔABC 中，AB AC =①当∠BAC > 60°时，若90BAC ∠=︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，故①不满足；②当∠ABC 45≤︒时，点E 与点A 重合，不符合题意，当∠ABC 60>︒时，点E 与点O 不关于AD 对称，当4560ABC ︒<∠≤︒时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，所以，当45° < ∠ABC < 60°时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故②满足条件；③当12AB BD AB ≤<时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故③不满足条件；④当12AB < DE 时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故④满足条件； 所以，要使得O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是45° < ∠ABC < 60°或12AB < DE 故答案为②④【点睛】本题考查了圆周角定理，正确判断出每种情况是解答本题的关键．三、解答题1、（1）16π（2）24π【分析】（1）由阴影部分的周长＝两个半圆弧的长度+弧BC 的长，利用弧长公式可求解；（2）由面积的和差关系可求解．（1） 解：阴影部分的周长＝2×12×2π×6+6012180π⨯＝16π； （2）解：∵阴影部分的面积＝S 半圆+S 扇形BAC ﹣S 半圆＝S 扇形BAC ， ∴阴影部分的面积＝60144360π⨯⨯＝24π． 答：阴影部分的周长为16π，阴影部分的面积为24π．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式和面积公式，如果扇形的圆心角是n °，扇形的半径为r ，则扇形的弧长l 的计算公式为：180n r l π=，扇形的面积公式：2360n r S π=扇．2、（1）AB BO =，EB ，EO 将MEN ∠三等分；（2）见解析；（3）(12+【分析】（1）根据题意即可得；（2）先证明ABE ∆与OBE ∆全等，然后根据全等的性质可得12∠=∠，再由圆的切线的性质可得23∠∠=，可得三个角相等，即可证明结论；（3）连OF ，延长BC 与EN 相交于点H ，由（2）结论可得12315︒∠=∠=∠=，再由切线的性质60︒∠=DHO ，30FOH ︒∠=，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得(6cm =+BH ，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．【详解】解：（1）AB BO =，EB ，EO 将MEN ∠三等分，故答案为：AB BO =；EB ，EO 将MEN ∠三等分，（2）证明：在ABE ∆与OBE ∆中，90AB OB BE BE ABE OBE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ABE OBE SAS ∴∆∆≌，12∠∠∴=．BE OB ⊥，BE ∴是O 的切线． BE 、EN 都是O 的切线，23∴∠=∠，123∴∠=∠=∠，EB ∴，EO 将MEN ∠三等分．（3）如图，连OF ，延长BC 与EN 相交于点H ，由（2），知12315︒∠=∠=∠=． EH 是O 的切线，90HFO ︒∴∠=，60DHO ︒=∴∠，30FOH ︒∠=．∵半径6cm OF =，∴由勾股定理得，在Rt FOH ∆中，FH =，OH =，(6cm BH BO OH ∴=+=+． ∵BHE FHO ∠=∠，90EBH HFO ∠=∠=︒，∴∆∆∽BEH FOH ，BE BH FO FH ∴=，即6BE =(12BE ∴=+．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．3、（1）见解析；（2）2·FC FD FA =，见解析；（3）187【分析】（1）连接OC ，根据直径所对的圆周角为直角及切线的性质和各角之间的等量关系即可证明；（2）根据相似三角形的判定定理可得ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ，依据相似三角形的性质：对应边成比例即可得出；（3）根据同弧所对的圆周角相等可得：B ADC ∠=∠，3cos cos 5ADC B ∠=∠=，在Rt ACD ∆中，利用锐角三角函数可得65CD =，由勾股定理确定85AC =，由此得出34CD AC =，即为（2）中的相似比，设3FD x =，则4FC x =，32AF x =+，将其代入（2）中结论求解即可．【详解】解：（1）连接OC ，如图所示：∵AD 为O 直径，∴90ACD ∠=︒，90CAD ADC ∠+∠=︒，∵CF 为O 的切线，∴90OCF ∠=︒，即90OCD DCF ∠+∠=︒，∵OC OD =，∴OCD ADC ∠=∠，∴DCF CAD ∠=∠；（2）在ΔΔΔΔ与AFC ∆中，∵DCF CAD ∠=∠，F F ∠=∠，∴ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ， ∴FC FD AF FC=，∴2·FC AF FD =；（3）∵B ADC ∠=∠， ∴3cos cos 5ADC B ∠=∠=，在Rt ACD ∆中，2AD =，3cos 5CD ADC AD ∠==， ∴6·cos 5CD AD ADC =∠=，∴85AC ==， ∴34CD AC =， 由（2）结论可得：ΔΔΔΔ~ΔΔΔΔ， ∴34FC FD CD AF FC AC ===， 设3FD x =，则4FC x =，32AF x =+，将其代入结论（2）可得：()()24332x x x =+， 解得：67x =或0x =（舍去）， ∴1837FD x ==． 【点睛】题目主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数解三角形、勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．4、见解析【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．【详解】证明：根据题意作图如下：∵BD 是圆周角ABC 的角平分线，∴∠ABD =∠CBD ，∴AD CD =，∴AD =CD ．【点睛】本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．5、（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接OD ，由O 与AB 相切得90ODB ∠=︒，由HL 定理证明Rt BDO Rt BCO ≅由全等三角形的性质得DBO CBO ∠=∠，即可得证；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===，在Rt ADO 中，得出关系式求出x ，可得出AC 的长，在Rt ACB 中，由正切值求出BC ，在Rt BCO △中，由勾股定理求出BO 即可．【详解】（1）如图，连接OD ，∵O 与AB 相切，∴90ODB ∠=︒，在Rt BDO △与Rt BCO △中，DO CO BO BO =⎧⎨=⎩， ∴()Rt BDO Rt BCO HL ≅，∴DBO CBO ∠=∠，∴BO 平分ABC ∠；（2）设O 的半径为x ，则OD OE OC x ===， 在Rt ADO 中，30A ∠=︒，1AE =，∴21x x =+，解得：1x =，∴1113AC =++=，在Rt ACB 中，tan BC A AC =，即tan 303BC AC =⋅︒==在Rt BCO △中，2BO ===．【点睛】本题考查圆与直线的位置关系，全等三角形的判定与性质、三角函数以及勾股定理，掌握相关知识点的应用是解题的关键．。
2022年精品解析沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十八章统计初步重点解析练习题(含详解)
九年级数学第二学期第二十八章统计初步重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、甲、乙、丙、丁四位同学都参加了5次数学模拟测试，每个人这5次成绩的平均数都是92分，方差分别是20.85S =甲，20.72S =乙，20.63S =丙，20.35S =丁，则这5次测试成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁2、某公司欲招收职员一名，从学历、经验和工作态度三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了初步测试，测试成绩如表：如果将学历、经验和工作态度三项得分依次按30%，30%，40%的比例确定各人的最终得分，那么最终得分最高的是（ ）A．甲B．乙C．丙D．丁3、下列说法中正确的是（）A．对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式B．为了解某市20000名学生的身高情况，从中抽取了1000名学生的身高信息，其中1000名学生是所抽取的一个样本C．为了了解全市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式D．为检验一批电话手表的质量，从中随机抽取了200枚，则样本容量是2004、下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．检测生产的鞋底能承受的弯折次数B．了解某批扫地机器人平均使用时长C．选出短跑最快的学生参加全市比赛D．了解某省初一学生周体育锻炼时长5、下列说法中正确的个数是（）个．①a表示负数；②若|x|＝x，则x为正数；③单项式229xyπ-的系数是29-；④多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab﹣1的次数是4；⑤了解全市中小学生每天的零花钱适合抽样调查；⑥调查七年级（1）班学生的某次数学考试成绩适合抽样调查．A．1 B．2 C．3 D．4 6、下列命题正确的是（）A．数轴上的每一个点都表示一个有理数B ．甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且20.9S =甲，2 1.2S =乙，则乙的成绩更稳定C ．三角形的一个外角大于任意一个内角D ．在平面直角坐标系中，点(4,2)-与点(4,2)关于x 轴对称7、下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）A ．对渝北区初中学生对防护新冠肺炎知识的了解程度的调查B ．对“神州十三号”飞船零部件安全性的检查C ．对某品牌手机电池待机时间的调查D ．对中央电视台2021年春节联欢晚会满意度的调查8、小颖同学参加学校举办的“抗击疫情，你我同行”主题演讲比赛，她的演讲内容、语言表达和形象风度三项得分分别为86分、90分、80分，若这三项依次按照50%，40%，10%的百分比确定成绩，则她的成绩为（ ）A ．84分B ．85分C ．86分D ．87分9、下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）A ．调查一批防疫口罩的质量B ．调查某校九年级学生的视力C ．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检D ．国务院于2020年11月1日开展的第七次全国人口调查10、某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是（ ）A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、从2022年起长沙市学校体育中考增加素质类选测项目：立定跳远和1分钟跳绳．小熙选择了1分钟跳绳项目，她10次跳绳训练的成绩为140，155，142，155，166，167，166，170，180，176，这组数据的中位数是________．2、小明某学期的数学平时成绩80分，期中考试90分，期末考试86分，若计算学期总评成绩的方法如，则小明总评成绩是________分．下：平时:期中:期末2:3:53、若多项式5x2＋17x﹣12可因式分解成（x＋a）（bx＋c），其中a、b、c均为整数，则a，b，c的中位数是_____4、甘肃省白银市广播电视台欲招聘播音员一名，对甲、乙两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表所示：根据需要广播电视台将面试成绩、综合知识测试成绩按3∶2的比例确定两人的最终成绩，那么_______将被录取．5、某同学对全班50名同学感兴趣的课外活动项目进行了调查，绘制下表：（1）全班同学最感兴趣的课外活动项目是______；（2）对音乐感兴趣的人数是____，占全班人数的百分比是_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、为了了解我校学生对英语单词掌握的情况，现对全校学生进行英语百词测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是人，并将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有人达标；（3）若我校学生有1800人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？2、在第二十二届深圳读书月来临之际，为了解某学校八年级学生每天平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校八年级部分同学，对其每天平均课外阅读时间进行统计，并绘制了如图所示的不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（1）该校抽查八年级学生的人数为，图中的a值为；（2）请将条形统计图补充完整；（3）求被抽查的学生每天平均课外阅读时间的众数、中位数和平均数；（4）根据统计的样本数据，估计该校八年级400名学生中，每天平均课外阅读时间为2小时的学生有多少人？3、由重庆市教育委员会主办的中小学生艺术展演活动落下帷幕，重庆某中学学生舞蹈团、管乐团、民乐团、声乐团、话剧团等五大艺术团均荣获艺术表演类节目一等奖，若以下两个统计图统计了舞蹈组各代表队的得分情况：（1）m＝，补全条形统计图；（2）各组得分的中位数是分，众数是分；（3）若舞蹈组获得一等奖的队伍有2组，已知主办方各组的奖项个数是按相同比例设置的，若参加该展演活动的总队伍数共有120组，那么该展演活动共产生了多少个一等奖？4、甲、乙两名队员参加射击训练，将10次成绩分别制成如图所示的两个统计图：（1）根据以上信息，整理分析数据如表：填空：a＝，b＝，c＝；（2）根据以上数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名队员哪位队员的射击成绩更好．5、某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩如表：(单位：分)（1）甲、乙两人“三项测试”的平均成绩分别为______分、_______分．（2）根据实际需要，公司将阅读能力、思维能力和表达能力三项测试成绩按3∶5∶2的比确定每位应聘者的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用高分的一个，谁将被录用?-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则数据的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．解：∵20.85S =甲，20.72S =乙，20.63S =丙，20.35S =丁，∴S 丁2＜S 丙2＜S 乙2＜S 甲2，∴成绩最稳定的是丁．故选：D ．【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．2、A【分析】根据图表数据利用计算加权平均数的方法直接求出甲、乙、丙、丁四名应聘者的加权平均数，两者进行比较即可得出答案．【详解】解：甲的最终得分：8×30%+6×30%+7×40%=7，乙的最终得分：9×30%+4×30%+7×40%=6.7，丙的最终得分：7×30%+8×30%+6×40%=6.9，丁的最终得分：6×30%+8×30%+5×40%=6.2，∴甲＞丙＞乙＞丁，故选A .【点睛】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．3、D根据全面调查、抽样调查、样本和样本容量判断即可.【详解】A、∵为了安全，对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查必须逐个检查.对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，不能采用抽样调查的方式，应该采用普查的方式，故A 错误；B、根据样本的定义可知：为了解某市20000名学生的身高情况，从中抽取了1000名学生的身高信息，其中1000名学生的身高信息是所抽取的一个样本，故B错误；C、∵全市中学生人数太多，为了了解全市中学生的睡眠情况，不应该采用普查的方式，应该采用抽样调查的方式，故C错误；D、根据样本容量的定义可知：“为检验一批电话手表的质量，从中随机抽取了200枚，则样本容量是200”是正确的，故D正确；故选：D【点睛】本题考查简单随机抽样，样本和样本容量等相关概念，掌握相关的概念是解答此题的关键.4、C【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】解：A、检测生产的鞋底能承受的弯折次数，具有破坏性，适合采用抽样调查；B、了解某批扫地机器人平均使用时长，具有破坏性，适合采用抽样调查；C、选出短跑最快的学生参加全市比赛，精确度要求高，适合采用全面调查；D、了解某省初一学生周体育锻炼时长，调查数量较大且调查结果要求准确度不高，适合采用抽样调查；故选：C．【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5、B【分析】直接根据单项式以及多项式的相关概念，正数和负数，抽样调查和全面调查的概念进行判断即可．【详解】解：①a表示一个正数、0或者负数，故原说法不正确；②若|x|＝x，则x为正数或0，故原说法不正确；③单项式﹣229xyπ的系数是﹣29π，故原说法不正确；④多项式﹣3a2b+7a2b2﹣2ab﹣1的次数是4，故原说法正确；⑤了解全市中小学生每天的零花钱适合抽样调查，故原说法正确；⑥调查七年级（1）班学生的某次数学考试成绩适合全面调查，故原说法不正确．正确的个数为2个，故选：B．【点睛】本题考查了多项式、正数和负数、抽样调查和全面调查及绝对值的性质，掌握它们的性质概念是解本题的关键．6、D【分析】根据数轴上的点与实数一一对应即可判断A ；根据平均数相同的情形下，方差越小，成绩越稳定即可判断B ；根据三角形的外角与内角的关系即可判断C ；根据关于x 轴对称的点的坐标特征即可判断D【详解】A. 数轴上的每一个点都表示一个实数，故该选项不正确，不符合题意；B. 甲、乙两人五次考试平均成绩相同，且20.9S =甲，2 1.2S =乙，则甲的成绩更稳定，故该选项不正确，不符合题意；C. 三角形的一个外角不一定大于任意一个内角，故该选项不正确，不符合题意；D. 在平面直角坐标系中，点(4,2)-与点(4,2)关于x 轴对称，故该选项正确，符合题意；故选D【点睛】本题考查了实数与数轴，方差的意义，三角形的外角的性质，关于x 轴对称的点的坐标特征，掌握以上知识是解题的关键．7、B【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．【详解】解：A 、对渝北区初中学生对防护新冠肺炎知识的了解程度的调查，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；B 、对“神州十三号”飞船零部件安全性的检查，适合采用全面调查（普查）方式，故本选项符合题意；C 、对某品牌手机电池待机时间的调查，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；D 、对中央电视台2021年春节联欢晚会满意度的调查，适合采用抽样调查方式，故本选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，熟练掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是解题的关键．一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8、D【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．【详解】解：根据题意得：86×50%+90×40%+80×10%=43+36+8=87（分）．故选：D．【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，本题易出现的错误是求86，90，80这三个数的算术平均数，对平均数的理解不正确．9、A【分析】根据抽样调查和普查的定义进行求解即可．【详解】解：A．调查一批防疫口罩的质量，适合抽样调查，故选项符合题意；B．调查某校九年级学生的视力，适合全面调查，故选项不符合题意；C．对乘坐某班次飞机的乘客进行安检，适合全面调查，故选项不符合题意；D．国务院于2020年11月1日开展的第七次全国人口调查，适合全面调查，故选项不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10、A【分析】根据众数、中位数的定义解答．【详解】解：读书册数的众数是3；第10个数据是3，第11个数据是3，故中位数是3，故选：A．【点睛】此题考查了统计中的众数和中位数的定义，数据定义并应用是解题的关键．二、填空题1、166【分析】把10个数据按从小到大的顺序排列后，取中间两数的平均数即可.【详解】把10个数据按从小到大的顺序排列为：140，142，155， 155，166，166，167，170，176，180，故这组数据的中位数是1661661662+=， 故答案为：166【点睛】 此题考查了中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．2、86【分析】利用加权平均数计算即可．【详解】 总评成绩23580908686101010=⨯+⨯+⨯=（分） 故答案为：86．【点睛】本题考查加权平均数，掌握加权平均数的定义是解答本题的关键．3、4【分析】首先利用十字交乘法将5x 2+17x -12因式分解，继而求得a ，b ，c 的值．【详解】利用十字交乘法将5x 2+17x -12因式分解，可得：5x 2+17x -12=（x +4）（5x -3）=（x ＋a ）（bx ＋c ）．∴4,5,3a b c ===-，∵453-、、的中位数是4∴a，b，c的中位数是4故答案为：4．【点睛】本题考查十字相乘法分解因式以及中位数，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定a、b、c的值是得出正确答案的关键．4、乙【分析】分别求出两人的成绩的加权平均数，即可求解．【详解】解：甲候选人的最终成绩为：329085883232⨯+⨯=++，乙候选人的最终成绩为：329580893232⨯+⨯=++，∵8889<，∴乙将被录取．故答案为：乙【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．5、体育运动 10 20%【分析】（1）从统计表中直接通过比较即可得到．（2）利用统计表，找到对音乐感兴趣的人数，再用对音乐感兴趣的人数除以全班人数，求出对应的百分比．【详解】解：从统计表分析人数可得到结论.由表可得:（1）体育运动小组人数最多，所以全班同学最感兴趣的课外活动项目是体育运动；（2）对音乐感兴趣的人数是10，占全班人数的百分比是10÷50=20%．故答案为：（1）体育运动；（2）10，20%【点睛】本题主要是统计表的相关知识，如何读懂统计表，从统计表获取信息是关键．三、解答题1、（1）120，统计图补充见详解；（2）96；（3）1440人．【分析】（1）用不合格人数24除以占比20%即可求出抽取人数未120人，用1减去优秀占比和不合格占比即可求出一般占比，用120乘以优秀占比50%即可求出优秀人数，再补充两幅统计图即可；（2）用120乘以优秀与一般占比之和，即可求出抽取学生中达标人数；（3）用1800乘以优秀与一般占比之和，即可估算出全校达标学生数．【详解】解：（1）24÷20%=120（人），1-50%-20%=30%，120×50%=60（人），故答案为：120，统计图补充如图：；（2）120×（50%+30%）=96（人），故答案为：96；（3）1800×（50%+30%）=1440（人），答：此次测试中，全校达标的人数约为1440人．【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体等知识，根据两幅统计图提供的公共信息得到样本容量是解题关键．2、（1）100,18；（2）见解析；（3）1.5,1.5,1.32（4）72人【分析】（1）根据每天平均课外阅读时间为1小时的占30%，共30人，即可求得总人数；（2）根据总数减去其他三项即可求得每天平均课外阅读时间为1.5小时的人数进而补充条形统计图；（3）根据条形统计图可知阅读时间为1.5小时的人数最多，故学生每天平均课外阅读时间的众数为1.5，根据第50和51个都落在阅读时间为1.5小时的范围内，即可求得中位数为1.5，根据求平均数的方法，求得100个学生阅读时间的平均数（4）根据扇形统计图可知，每天平均课外阅读时间为2小时的比例为18%，400乘以18%即可求得．【详解】÷=（人）；（1）总人数为：3030%10018⨯=100%18%100故答案为：100,18---=（人）（2）每天平均课外阅读时间为1.5小时的人数为：10012301840补充条形统计图如下：（3）根据条形统计图可知抽查的学生每天平均课外阅读时间的众数为1.5中位数为1.5，平均数为()10.512130 1.540182 1.32100⨯⨯+⨯+⨯+⨯=； （4）40018%72⨯=（人）∴估计该校八年级400名学生中，每天平均课外阅读时间为2小时的学生有72人【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求众数、中位数和平均数，样本估算总体，从统计图中获取信息是解题的关键．3、（1）25，图见详解；（2）6.5；6；（3）12【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图中的数据，即可得到总的组数，进而得出各分数对应的组数，然后根据题意画出统计图；（2）根据中位数以及众数的定义进行判断，即可得到中位数以及众数的值；（3）依据舞蹈组获得一等奖的队伍的比例，即可估计该展演活动共产生一等奖的组数．【详解】解：（1）1050%20÷=（组），2023105---=（组），=⨯=5%100%25%20m ，统计图如下：（2）∵8分这一组的组数为5， ∴各组得分的中位数是()176 6.52⨯+=，分数为6分的组数最多，故众数为6；故答案为：6.5，6；（3）由题可得，21201220⨯=（组)， ∴该展演活动共产生了12个一等奖．【点睛】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系，从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．4、（1）7，7.5，1.2；（2）答案见解析.【分析】（1）分别根据平均数，方差，中位数的定义求解即可；（2）从众数与中位数的角度分析，乙的射击成绩都比甲要高，从而可得结论.【详解】解：（1）由频数直方图可得：甲的成绩如下：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,其中7环出现了4次，所以众数是7a =环，7x =甲环()()()()()222221572674772879710c ⎡⎤∴=-+⨯-+⨯-+⨯-+-⎣⎦ 1=12=1.2.10⨯ 由折线统计图可得：按从小到大排序为：3,4,6,7,7,8,8,8,9,10,所以中位数为：7+8=7.52b =. 故答案为：7，7.5，1.2；（2）从众数与中位数来看，乙的众数与中位数都比甲高，所以乙的射击成绩比甲的射击成绩要好一些.【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义，根据平均数，众数，中位数，方差下结论，掌握以上基础概念是解本题的关键.5、（1）84；85；（2）甲将被录用．【分析】(1)由题意根据平均数的计算公式分别进行计算即可；(2)由题意根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可．【详解】解：(1)甲的平均成绩为(93+86+73)÷3=84(分),乙的平均成绩为(95+81+79)÷3=85(分)．(2)依题意,得:甲的成绩为:93386573285.5352⨯+⨯+⨯=++(分), 乙的成绩为:95381579284.8352⨯+⨯+⨯=++(分), ∵85.5>84.8,∴甲将被录用．【点睛】本题考查加权平均数和算术平均数的知识，注意掌握利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．。
2023上海16区九年级二模数学函数应用及答案
第1页共16页如果函数12y x m =+的图像经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是（）(A)0m >；(B)0m ≥；(C)0m <；(D)0m ≤．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）（A）0a b +<；（B）0b a -<；（C）22a b ->-；（D）a b >．第3题图一次函数b kx y +=（k ≠0）的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是()（A）1+=x y ；（B）1y x =-；（C）1y x =-+；（D）1y x =--．下列函数图像中，可能是反比例函数xy 6=的图像的是()（A）（B）（C）（D）已知正比例函数(3)y a x =-的图像经过第二、四象限，那么a 的取值范围是（）A．3a >；B．3a <；C．3a >-；D．3a <-.一次函数23y x =-+的图像不经过．．．（）（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限．页已知函数kxy=（0≠k，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是()．（A）（0.5，1）；（B）（2，1）；（C）（2-，4）；（D）（2-，2-）．如果点1(2,)y-、2(1,)y-、3(2,)y在反比例函数(0)ky kx=<的图像上，那么（）（A）123y y y>>；（B）213y y y>>；（C）312y y y>>；（D）321y y y>>.下列函数中，y的值随自变量x的值增大而增大的是()（A）2xy=；（B）2xy=-；（C）2yx=；（D）2yx=-．某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x元，那么下列方程正确的是()（A）75250.6x x=-；（B）75250.6x x=-；（C）75250.6x x=+；（D）75250.6x x=+．在研究反比例函数的图像时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图像上，那么这个点是（）x (2)1212...y...-14-2-1...（A）(-2,-1)；（B）（-12，4）；（C）(1,-2)；（D）(2,-1).在平面直角坐标系中，如果把抛物线22=xy向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是()（A）开口方向相同；（B）对称轴相同；第2页共16（C）顶点的横坐标相同；（D）顶点的纵坐标相同．“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数3y x=-，其图像经过（）（A）第一、二象限；（B）第三、四象限；（C）第一、三象限；（D）第二、四象限．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点（﹣2，2）；乙：函数图像经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是()（A）y x=-（B）4y x=+（C）212y x=（D）4yx=-已知抛物线)0(2≠++=acbxaxy经过点),2(tA，),3(tB，)2,4(C，那么cba++的值是（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）t．冬季某日中午12时的气温是3℃，经过10小时后气温下降8℃，那么该时刻的气温是℃．根据电影发行方的数据，电影《满江红》截至2023年3月17日，以4535000000元的票房高居春节档前列，数据4535000000用科学记数法表示为________．已知1纳米000000001.0=米，那么5.2纳米用科学记数法表示为米．如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与221y x x=-+-的图像重合，那么这个二次函数的解析式是．已知抛物线2y x bx c=++的对称轴为直线4x=，点A（1，y1）、B（3，y2）都在该抛物线上，那么y1y2．（填“”或“”或“”）．如图2，已知点A（-1，2），联结OA，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，如果点B在反比例函数(0)ky xx=>的图像上，那么k的值是．第3页共16页第4页共16页图2AO Byx如果正比例函数kx y =（k 是常数，k ≠0）的图像经过点（4，-1），那么y的值随x的增大而．（填“增大”或“减小”）近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y关于镜片焦距x的函数解析式是．如果反比例函数xa y 1-=的图像经过点），（21-，那么这个反比例函数的解析式为．点A （2-，5）在反比例函数kyx=的图像上，那么k=．如果抛物线32-=axy的顶点是它的最高点，那么a的取值范围是．在平面直角坐标系中，如果点),3(xx A-在第二象限，那么x的取值范围是.抛物线22y x =-在y 轴的左侧部分，y 的值随着x的值增大而．（填“增大”或“减小”）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”其意思就是：100个和尚分100个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．那么大和尚有人．如果函数k x y +=2的图像向左平移2个单位后经过原点，那么=k ．页抛物线1212+-=xy在y轴的右侧呈趋势（填“上升”或者“下降”）．已知一个反比例函数图像经过点P(2,3)-，则该反比例函数的图像在各自的象限内，函数值y随自变量x的值逐渐增大而．（填“增大”或“减小”）已知某反比例函数的图像在其所在的每个象限内，y的值随x 的值增大而增大，那么这个反比例函数可以是．（只需写出一个）已知点),(11yxA和点),(22yxB在反比例函数1yx=的图像上，那么当210xx<<时，1y2y．（填“>”、“=”、“<”）将抛物线2=y x向左平移1个单位，所得新抛物线的表达式为．已知一次函数的图像经过点（1，3），且与直线26y x=+平行，那么这个一次函数的解析式是．已知一次函数3y=x+m的图像经过点（-1,1），那么m=.已知点(1,2)M-和点N都在抛物线22y x x c=-+上，如果MN//x轴，那么点N的坐标为．已知点),4(mA-在反比例函数xky=的图像上，点A关于y轴的对称点1A恰好在直线xy21=上，那么k的值为．某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票.行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其像如图1所示，那么旅客最多可免费携带行李千克.第5页共16页某企业今年第一季度各月份产值占这个季度总产值的百分比如图3所示，已知二月份产值是36万元，那么该企业第一季度月产值的平均数是万元．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆.”说明了大数之间的关系：111=´亿万万，1兆=111创万万亿，那么2兆=．（用科学记数法表示）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为．小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离1y（米）、2y（米）与时间x（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是分钟．第6页共16第7页共16页（第15题图）如图1，图中反映轿车剩余油量q (升)与行驶路径s (千米)的函数关系，那么q 与s 的函数解析式为．某公司产品的销售收入1y 元与销售量x 吨的函数关系记为1()y f x =，销售成本2y 与销售量x 的函数关系记为2()y g x =，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x 为吨．在直角坐标平面内，已知点A (1，-3)，B (4，-1),将线段AB 平移得到线段11A B (点A 的对应点是点1A ，点B 的对应点是点1B ），如果点1A 坐标是(-2，0),那么点1B 的坐标是．一辆客车从甲地驶往乙地，同时一辆私家车从乙地驶往甲地．两车之间的距离s （千米）与行驶的时间x （小时）之间的函数关系如图3所示.已知私家车的速度是90千米/时，客车的速度是60千米/时，那么点A 的坐标是．第8页共16页CD Bs （千米）AOx（小时）（图3）600如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线y =2x 上，点A的横坐标为1，点P 是x 轴正半轴上一点，点B 在反比例函数(0)ky x x=>图像上，联结AP、PB和OB ．如果四边形OAPB 是矩形，那么k 的值是．如图4，某电信公司提供了A、B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （元）之间的关系．如果通讯费用为60元，那么A方案与B 方案的通话时间相差分钟．中国古代数学著作《四元玉鉴》记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆），这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽有x株，那么可列出的方程是．“新定义：函数图像上任意一点),(yxP，xy-称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”．一次函数)12(32≤≤-+=xxy的“特征值”是．如图，抛物线C1：223y x x=+-与抛物线C2：2y ax bx c=++组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为C、D．如果BD=CD，那么抛物线C2的表达式是．在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示．（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；（2）该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量．第9页共16页页已知一次函数y kx b=+的图像与反比例函数4yx=的图像相交于点A（1，m），B（n，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）过点A作直线AC，交y轴于点D，交第三象限内的反比例函数图像于点C，联结BC，如果CD=2AD，求线段BC的长．O xy12-3-412345-1-2-3-1-2-4第21题图3第10页共16页某商店以20元/千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图7中线段AB所示．（1）求y关于x的函数解析式（不需要写定义域）；（2）要使每天的销售利润达到800元，销售单价应定为每千克多少元?如图6，在平面直角坐标系xOy中，直线l上有一点A（3，2），将点A先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到点B，点B恰好在直线l上．（1）写出点B的坐标，并求出直线l的表达式；（2）如果点C在y轴上，且∠ABC=∠ACB，求点C的坐标．O xy11图6A（3，2）第11页共16页小丽与妈妈去商场购物，商场正在进行打折促销，规则如下：优惠活动一：任选两件商品，第二件半价（两件商品价格不同时，低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）（1）如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子，那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；（2）如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子，当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时，小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？BA、两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米．（1）如果列车提速前速度是每小时80千米，提速后从A城到B城的行驶时间减少t小时，求t的值；（2）如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，又这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由．第12页共16页已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，小明家与超市相距1200米．小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟．如图反映了这个过程中小明离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题：（1）小明从家到街心公园的速度为（米/分）；（2）小明从街心公园到超市的速度为（米/分）；（3）小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离y（米）与离开家的时间x（分钟）的函数解析式，并写出x的取值范围．900x/分钟O201200404555y/米第22题图第13页共16页某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表：（1）如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？（2）居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图7所示，求第二阶梯（线段AB）的表达式；（3）如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？By（元）Ax（立方米）O（图7）2203001355第14页共16页小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A处，花洒AD的长度为20厘米.（1）已知花洒与墙面所成的角∠BAD=︒120，求当花洒喷射出的水流CD与花洒AD成︒90的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离.（结果保留根号）（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？第22题图1第22题图2第15页共16页已知点),2(mA-在双曲线xy4-=上，将点A向右平移5个单位得到点B.（1）当点B在直线bxy+-=2上时，求直线bxy+-=2的表达式；（2）当线段AB被直线bxy+-=2分成两部分，且这两部分长度的比为2:3时，求b的值.第16页共16第1页共26页如果函数12y x m =+的图像经过第一、三、四象限，那么m 的取值范围是（）(A)0m >；(B)0m ≥；(C)0m <；(D)0m ≤．C如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）（A）0a b +<；（B）0b a -<；（C）22a b ->-；（D）a b >．第3题图C一次函数b kx y +=（k ≠0）的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是()（A）1+=x y ；（B）1y x =-；（C）1y x =-+；（D）1y x =--．A下列函数图像中，可能是反比例函数xy 6=的图像的是()（A）（B）（C）（D）C已知正比例函数(3)y a x =-的图像经过第二、四象限，那么a 的取值范围是（）第2页共26页A．3a >；B．3a <；C．3a >-；D．3a <-.B一次函数23y x =-+的图像不经过．．．（）（A）第一象限；（B）第二象限；（C）第三象限；（D）第四象限．C已知函数kx y =（0≠k ，k 为常数）的函数值y 随x 值的增大而减小，那么这个函数图像可能经过的点是()．（A）（0.5，1）；（B）（2，1）；（C）（2-，4）；（D）（2-，2-）．函数(0,y kx k k =≠为常数)的函数值y 工x 值的增大而减小,0k ∴<,∴正比例函数(0,y kx k k =≠为常数)的图象经过第二、四象限，∴这个函数图象可能经过的点是()2,4-.故选:C.如果点1(2,)y -、2(1,)y -、3(2,)y 在反比例函数(0)ky k x=<的图像上，那么（）（A）123y y y >>；（B）213y y y >>；（C）312y y y >>；（D）321y y y >>.B0k <∴ 反比例函数(0)ky k x=<的图象在二、四象限,在每个象限内y 随x 的增大而增大,∴点()()122,1,y y --、在第二象限,()2130;2,y y y >>在第四象限32130.y y y y ∴><>下列函数中，y 的值随自变量x 的值增大而增大的是()（A）2xy =；（B）2x y =-；（C）2y x=；（D）2y x=-．A第3页共26页在函数2xy =中,y 随x 的增大而增大,故选项A 符合题意;在函数2xy =-中,y 随x 的增大而减小,故选项B 不符合题意；在函数2y x =中,在每个象限内,y 随x 的增大而减小，故选项C 不符合题意;在函数2y x=-中,在每个象限内,y 随x 的增大而增大,故选项B 不符合题意;故选:A.某种型号油电混合动力汽车计划从甲地开往乙地，如果纯用电行驶，则电费为25元，如果纯燃油行驶，则燃油费为75元．已知每行驶1千米，纯燃油费用比纯用电费用多0.6元．如果设每行驶1千米纯用电的费用为x 元，那么下列方程正确的是()（A）75250.6x x =-；（B）75250.6x x =-；（C）75250.6x x =+；（D）75250.6x x=+．D在研究反比例函数的图像时，小明想通过列表、描点的方法画出反比例函数的图像，但是在作图时，小明发现计算有错误，四个点中有一个不在该函数图像上，那么这个点是（）x ...-2-1212...y...-14-2-1...（A）(-2,-1)；（B）（-12，4）；（C）(1,-2)；（D）(2,-1).A()()()()()121412212,1.2-⨯-≠-⨯=⨯-=⨯-∴-- 这个点是∴这个点是()2,1--.故选:A .页在平面直角坐标系中，如果把抛物线22=xy向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是()（A）开口方向相同；（B）对称轴相同；（C）顶点的横坐标相同；（D）顶点的纵坐标相同．D把抛物线22y x=向下平移3个单位得到新的二次函数解析式为223y x=-,∴这两条抛物线的开口方向都是向上,对称轴都为直线0x=,顶点的横坐标都为0,顶点的纵坐标一个为0,一个为-3;“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数3y x=-，其图像经过（）（A）第一、二象限；（B）第三、四象限；（C）第一、三象限；（D）第二、四象限．D当0x<时,0y>;此时点在二象限；当0x>时,0y<;此时点在四象限;故选:D.关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点（﹣2，2）；乙：函数图像经过第四象限；丙：当x＞0时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是()（A）y x=-（B）4y x=+（C）212y x=（D）4yx=-D把点()1,1-分别代入四个选项中的函数表达式，可得，选项B不符合题意;又函数过第四象限,而2y x=只经过第一、二象限，故选项C不符合题意;对于函数y x=-,当0x>时,y随x的增大而减小,与丙给出的特征不符合,故选项C不符合题意.故选:D.第4页共26页已知抛物线)0(2≠++=acbxaxy经过点),2(tA，),3(tB，)2,4(C，那么cba++的值是（）.（A）2；（B）3；（C）4；（D）t．A抛物线)0(2≠++=acbxaxy过点),2(tA，),3(tB，)2,4(C，()235=524225242,b b a a ac c aaa b c a a a A+∴-==-⨯+∴=+∴++=-++=即，将点C代入得216+4故选冬季某日中午12时的气温是3℃，经过10小时后气温下降8℃，那么该时刻的气温是℃．-5根据电影发行方的数据，电影《满江红》截至2023年3月17日，以4535000000元的票房高居春节档前列，数据4535000000用科学记数法表示为________．910535.4⨯已知1纳米000000001.0=米，那么5.2纳米用科学记数法表示为米．9105.2-⨯如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与221y x x=-+-的图像重合，那么这个二次函数的解析式是．22y x=-设二次函数的解析式为2y ax=，因为平移后能与221y x x=-+-的图像重合，所以2a=-，所以解析式为22y x=-.故答案为22y x=-已知抛物线2y x bx c=++的对称轴为直线4x=，点A（1，y1）、B（3，y2）都在该抛物线上，那么y1y2．（填“”或“”或“”）．第5页共26第6页共26页>因为10a =>，所以开口向上，又因为对称轴为直线4x =，所以当4x <时，y随x 的增大而减小，因为1<3,所以y1<y2,.故答案为>如图2，已知点A （-1，2），联结OA ，将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，如果点B 在反比例函数(0)ky x x=>的图像上，那么k 的值是．图2AOBy x2如图,过点A 作AC x ⊥轴于点C ,过点B 作BD x ⊥轴于点D ,则9018090ACO ODB OAC AOC ACO ∠=∠=∴∠+∠=-∠= 由旋转的性质得,90OB AO AOB =∠= ,18090BOD AOC AOB BOD OAC∴∠+∠=-∠=∴∠=∠ 在BOD ∆和OAC ∆中,(),,ODB ACO BOD OAC BOD OAC AAS OD AC BD OC OB AO ∠=∠⎧⎪∠=∠∴∆≅∆∴==⎨⎪=⎩,()()1,22,1A B -∴ 点B 在反比例函数ky x=的图象上,122k ∴=⨯=.故答案为:2.如果正比例函数kx y =（k 是常数，k ≠0）的图像经过点（4，-1），那么y 的值随x 的增大而．（填“增大”或“减小”）减小第7页共26页函数kx y =经过点（4，-1），所以11404k k -==-<即，所以y 随x 的增大而减小，故答案减小近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度的近视眼镜镜片的焦距为0.25米，那么眼镜度数y 关于镜片焦距x 的函数解析式是．100y x=设ky x=,400 度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ,0.25400100k ∴=⨯=,100y x ∴=.故答案为:100y x=如果反比例函数xa y 1-=的图像经过点），（21-，那么这个反比例函数的解析式为．xy 2-=把()1,2-代入1a y x-=得()1122a -=⨯-=-,∴这个反比例函数的解析式为2y x =-.故答案为:2y x=-.点A （2-，5）在反比例函数ky x=的图像上，那么k =．10- 点()2,5-在反比例函数k y x =的图象上,52k∴=-,解得10k =-如果抛物线32-=ax y 的顶点是它的最高点，那么a 的取值范围是．a< 顶点是抛物线23y ax =-的最高点，0a ∴<在平面直角坐标系中，如果点),3(x x A -在第二象限，那么x的取值范围是.第8页共26页30<<x 在平面直角坐标系中，第二象限内点坐标符号：横坐标为负，纵坐标为正，则30x x -<>⎧⎨⎩，解得03x <<，故答安为:03x <<.抛物线22y x =-在y 轴的左侧部分，y 的值随着x 的值增大而．（填“增大”或“减小”）减小第一季度的总产值是()()36145%25%120,÷--=万元则该企业第一季度月产值的平均值是()1120403⨯=万元。
沪教版九年级数学第二学期27.1圆的确定练习题(含答案)
沪教版九年级数学第二学期27.1圆的确定一、单选题1．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1CD 12．木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列说法中，不正确的是（ ）A ．圆既是轴对称图形又是旋转对称图形B ．一个圆的直径的长是它半径的2倍C ．圆的每一条直径都是它的对称轴D ．直径是圆的弦，但半径不是弦4．如图，△ABC 为直角三角形，∠C=90°，AC=6，BC=8，以点C 为圆心，以CA 为半径作⊙C ，则△ABC 斜边的中点D 与⊙C 的位置关系是（ ）A ．点D 在⊙C 上B ．点D 在⊙C 内 C ．点D 在⊙C 外 D ．不能确定5．如图，一块直径为a ＋b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个圆，则剩余阴影部分面积为( )A ．2abB ．()24a b π- C ．2abπ D ．4abπ6．半径为R 、r 的两个同心圆如图所示，已知半径为r 的圆周长为a ，且1R r -=，则半径为R 的圆周长为（ ）A ．1a +B ．2a +C ．a π+D ．2a π+7．如右图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 边上一点，以AB 为直径在正方形内作半圆O ，将△DCE 沿DE 翻折，点C 刚好落在半圆O 的点F 处，则CE 的长为( )A ．23B ．35C ．34D ．478．如图，正方形OABC 的一个顶点O 是平面直角坐标系的原点，顶点A ，C 分别在y 轴和x 轴上，P 为边OC 上的一个动点，且PQ ⊥BP ，PQ=BP ，当点P 从点C 运动到点O 时，可知点Q 始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）A．线段B．圆弧C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分二、填空题9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，P 是边AB 上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B＇CP，连接B＇A，B＇A 长度的最小值是m，B＇A 长度的最大值是n，则m+n 的值等于______．10．如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为_____．11．已知正三角形的边长为2，那么该三角形的半径长为_____．12．如图，P是⊙O的直径BA延长线上一点，PD交⊙O于点C，且PC=OD，如果∠P=24°，则∠DOB=________.13．圆的半径扩大到原来的3倍，周长扩大到原来的____倍．面积扩大到原来的_______倍．14．在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则其外接圆的半径为__________．15．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，以B 为圆心，BC 长为半径的圆弧交AB 于点D ．若B 、C 、D 三点中只有一点以A 为圆心的A e 内，则A e 的半径r 的取值范围是____．16．平面直角坐标系内，A (-1,0)，B (1,0)，C (4，﹣3)，P 在以 C 为圆心 1 为 半径的圆上运动，连接 P A ，PB ，则22 PA PB +的最小值是_______ .三、解答题17．附加题：如图，AC 是Rt OAB V 斜边上的高，到点O 的距离等于OA 的所有点组成的图形记为G ，图形G 与OB 交于点D ，连接AD ．（1）依题意补全图形，并求证：AD 平分BAC ∠；（2）如果6AC =，3tan 4B =，求BD 的长．18．如图， OA=OB ，AB 交⊙O 于点C 、D ，AC 与BD 是否相等．为什么．19．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，S △ABC ＝32，BC ＝8．（1）求出⊙O 的半径r ．（2）求S △ABO ．20．如图，CD 是O e 的直径，O 是圆心，E 是圆上一点，且81EOD ∠=o ，A 是 DC 延长线上一点，AE 与圆交于另一点B ，且AB OC =．（1）求证：2E EAD ∠=∠；（2）求EAD ∠的度数．21．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，BC=4，∠A=30°，求⊙O 的直径．22．如图，在平面内。
九下上海数学书拓展二总结
九下上海数学书拓展二总结
《九年级上海数学书拓展二》是一本适用于九年级学生的数学拓展教材。
本教材内容丰富，包含了多个不同的数学领域，如代数、几何、概率与统计等，帮助学生进一步提高数学综合能力。
首先，本书在代数方面进行了深入的拓展。
学生将进一步学习到多项式的运算、因式分解、整式的乘法和除法等内容。
同时，本书也涉及了一些常见的代数应用问题，如线性方程组和二元一次方程等。
这些内容能够帮助学生更好地理解代数知识，并能够应用于实际问题中。
其次，在几何方面，本书进一步探讨了三角形的性质和计算方法。
学生将学习到三角形的面积、角平分线和垂直平分线等概念，并且能够应用这些概念解决实际问题。
此外，本书还介绍了几何图形的相似性和全等性，帮助学生进一步理解几何学的基本原理。
此外，本书还包含了概率与统计的内容。
学生将学习到事件的概率计算方法和统计数据的分析方法。
通过学习概率和统计的基本知识，学生将能够更好地理解和应用统计数据。
总的来说，《九年级上海数学书拓展二》是一本非常有价值的数学教材。
通过学习本书，学生能够进一步提高数学综合能力，扩大数学知识面，更好地应对数学学习和应用问题。
上海初三辅导资料12014-2-21有答案
初三辅导资料： 圆的专题一、圆的知识框架⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩点和圆的位置关系（这是重点）圆的定义不在同一直线上的三点确定一个圆轴对称性—垂径定理（这是重点）[A]圆的有关性质圆心角、弧、弦、弦心距间的关系圆的有关性质旋转不变性圆心角定理圆内接四边形（这是重点）二、例题精进1、 已知梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ，⊙O 的半径为4，AB ＝6，CD ＝2，求梯形ABCD 的面积。
2、如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于点、，过作⊙的切线交于，若＝，，求的长。
F D D O FC E AF 7cosB CE =353、在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （6，0），点B （0，6），动点C 在以半径为3的⊙O 上，连接OC ，过O 点作OD ⊥OC ，OD 与⊙O 相交于点 D （其中点C 、O 、D 按逆时针方向排列），连接AB ． （1）当OC ∥AB 时，∠BOC 的度数为 ； （2）连接AC ，BC ，当点C 在⊙O 上运动到什么位置时， △ABC 的面积最大？并求出△ABC 的面积的最大值． （3）连接AD ，当OC ∥AD 时， ①求出点C 的坐标；②直线BC 是否为⊙O 的切线？ 请作出判断，并说明理由．⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩相离相交[B]直线和圆的位置关系切线的性质（这是重点）相切切线的判定（这是重点）和圆有关的比例线段⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩外离内含相交[C]圆和圆的位置关系内切（这是重点）相切外切（这是重点）⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩正多边形定义正多边形和圆[D]正多边形和圆正多边形的判定及性质正多边形的有关计算（这是重点）基础练习1.如图1,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C ,若∠AOB=120°,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足………………………( )(A)R = (B)3R r = (C)2R r =(D)R = 2.如图2,⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ,若AB =6m,则⊙O 的半径为…… ( ) (A) 2 (B)2 2 (C)22 (D)623.如图3,直线P A,PB 是⊙O 的两条切线,APB=120°,OP=10 厘米,则弦AB的长为…… ( ) (A)厘米 (B) 5厘米 (C) (D)2厘米 4.如图4,两个同心圆,大圆的弦AB 与小圆相切于点P,大圆的弦CD 经过点P,且CD=13,PC=4,则两圆组成的圆环的面积是………( )(A)16π (B)36π (C)52π (D)81π 6.下列命题中正确的有………………………( )(1)平分弦的直径垂直于弦 (2)经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 (3)在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 (4)平面内三点确定一个圆 (5)三角形的外心到各个顶点的距离相等(A) 1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个7.如图5,在⊙O 中,弦AB 等于⊙O 的半径,OC ⊥AB 交⊙O 于点C,则∠AOC= . 8.如图6,AB 、AC 与⊙O 相切于点B 、C,∠A=50゜,P 为⊙O 上异于B 、C 的一个动点,则∠BPC 的度数为 .9.如图7,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点D.若AC=8cm,DE=2cm,则OD 的长为 cm.10.如图8,AB 是半圆直径,半径OC ⊥AB 于点O ,AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ,连结CD 、OD ,给出以下四个结论:①AC ∥OD ;②OE CE =;③△ODE ∽△ADO ;④AB CE CD ⋅=22.其中正确结论的序号是 .图8图2图1图4 图5 图6 图711.已知⊙O的半径为2,点P为⊙O外一点,OP长为3,那么以P为圆心且与⊙O相切的圆的半径为.12.如图,以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E,点M是的中点,OM交AC于点D,∠BOE=60°,cosC=,BC=2.（1）求∠A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．13.如图18,AB为⊙O的直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H.（1）如果⊙O的半径为4,,求∠BAC的度数;（2）若点E为的中点,连接OE,CE.求证:CE平分∠OCD;（3）在（1）的条件下,圆周上到直线AC距离为3的点有多少个?并说明理由.14.正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上,E是⊙O上的一点.（1）如图①,若点E在上,F是DE上的一点,DF=BE.求证:△ADF≌△ABE;（2）在（1）的条件下,小明还发现线段DE、BE、AE之间满足等量关系:DE﹣BE=AE.请你说明理由;（3）如图②,若点E在上.写出线段DE、BE、AE之间的等量关系.（不必证明）15. 在梯形ABCD 中，∠ABC=90，AD ∥BC ，AB=8cm ，BC=18cm ，54sin =∠BCD ，点P 从点B 开始沿BC 边向终点C 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从点D 开始沿DA 边向终点A 以每秒2cm 的速度移动，设运动时间为t 秒. （1）如图6（1）：若四边形ABPQ 是矩形，求t 的值； （2）若题设中的“BC=18cm ”改变为“BC=k cm ”，其它条件都不变，要使四边形PCDQ 是等腰梯形，求t 与k 的函数关系式，并写出k 的取值范围； （3）如图6（2）：如果⊙P 的半径为6cm ，⊙Q 的半径为4cm ，在移动的过程中，试探索：t 为何值时⊙P 与⊙Q 外离、外切、相交？附加：半径为2cm 的与⊙O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点F ，DC 在l 上．（1）过点B 作的一条切线BE ，E 为切点． ①填空：如图1，当点A 在⊙O 上时，∠EBA 的度数是 ； ②如图2，当E ，A ，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；（2）以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC 与OF 重合时结束移动，M ，N 分别是边BC ，AD 与⊙O 的公共点，求扇形MON 的面积的范围．图6（1）部分题的答案OA=6，OA=6，AB=3，CE=OC+CE=3+3AB=）=9∴=，即=，=点坐标为（﹣）OF=，12、（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°．（2）证明：在△ABC中，∵cosC=，∴∠C=60°．又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC．∴BC是⊙O的切线．（3）解：∵点M是的中点，∴OM⊥AE．在Rt△ABC中，∵BC=2，∴AB=BC•tan60°=2×=6．∴OA==3，∴OD=OA=，∴MD=．13、（1）解：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH=CD=2，∴∠COH=60°，在Rt△COH中，sin∠COH==，∵OA=OC，弧BC=弧BC，∴∠BAC=∠COH=30°；（2）证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB，∴OE∥CD，∴∠ECD=∠OEC，又∵∠OEC=∠OCE ，∴∠OCE=∠DCE ，∴CE 平分∠OCD ； （3）解：圆周上到直线AC 的距离为3的点有2个．因为圆弧上的点到直线AC 的最大距离为2，上的点到直线AC 的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC 距离为3的点有2个． 14、解：（1）在正方形ABCD 中，AB=AD ，∵DF=BE ，∠1=∠2，∴△ADF ≌△ABE ． （2）由（1）有△ADF ≌△ABE ，∴AF=AE ，∠3=∠4．在正方形ABCD 中，∠BAD=90°． ∴∠BAF+∠3=90°．∴∠BAF+∠4=90°．∴∠EAF=90°．∴△EAF 是等腰直角三角形．∴EF 2=AE 2+AF 2．∴EF 2=2AE 2．∴EF=AE ． 即DE ﹣DF=AE ．∴DE ﹣BE=AE ． （3）BE ﹣DE=AE ．理由如下：在BE 上取点F ，使BF=DE ，连接AF ．易证△ADE ≌△ABF ， ∴AF=AE ，∠DAE=∠BAF ．在正方形ABCD 中，∠BAD=90°． ∴∠BAF+∠DAF=90°．∴∠DAE+∠DAF=90°． ∴∠EAF=90°．∴△EAF 是等腰直角三角形．∴EF 2=AE 2+AF 2．∴EF 2=2AE 2． ∴EF=AE ．即BE ﹣BF=AE ． ∴BE ﹣DE=AE ．15.解：（1）过点D 作DH ⊥BC ，垂足为点H 由题意可知：AB=DH=8，AD=BH在DHC Rt ∆中，DCDHBCD sin =∠ ∵54BCD sin =∠ ∴DC=10∴CH=6DH DC 22=-……………………1分 ∴AD=BH=CH BC - ∵BC=18∴AD=BH=12…………………………………1分 若四边形ABPQ 是矩形，则AQ=BP ∵AQ=t 212-，BP=t 3∴t 3t 212=-…………………………………1分 ∴512t =（秒）………………………………1分 （2）由（1）得CH=6再过点Q 作QG ⊥BC ，垂足为点G同理：PG=6…………………………………1分 易知：QD=GH=t 2 又BP+PG+GH+HC=BC∴k 6t 26t 3=+++……………………………1分∴512k t -=……………………………………1分 ∴k 的取值范围为：12>k ……………………1分（3）当⊙P 与⊙Q 外切时有两种情况： ∴PQ=DC=10①如图：由（2）可知：186t 26t 3=+++ ∴56t =……………………………………1分 ②如图：可以知道：四边形PCDQ 是平行四边形，∴QD=PC=t 2又BP=t 3，BP+PC=BC ∴18t 2t 3=+ ∴518t =………………………………1分 所以当56t 0<≤和6t 518≤<时，⊙P 与⊙Q 外离； (2)当56t =和518t =时，⊙P 与⊙Q 外切；当518t 56<<时，⊙P 与⊙Q 相交.……………2分∴=±﹣EOA==，EOB==∴=±﹣±﹣×nNOK=，。
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第12讲 解直角三角形(解析版)
解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形．难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题．1、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 解直角三角形内容分析知识结构知识精讲模块一：解直角三角形的基本类型步同级年九2 / 20【例1】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，37B ∠=︒，c = 8，求这个直角三角形的其他边和角（sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，cot370.25︒≈）． 【答案】53A ∠=︒， 4.8b =， 6.4a =．【解析】解：90903753A B ∠=︒-∠=︒-︒=︒；在Rt ABC △中，sin b B c =，则0.68b=，解得： 4.8b =；在Rt ABC △中，cos a B c =，则0.88a=，解得： 6.4a =． 【总结】已知斜边和一锐角度数时，求直角边时，用锐角的正弦或余弦．【例2】 在ABC ∆中，90C ∠=︒，43A ∠=︒，b = 9，解这个直角三角形（sin430.68︒≈，cos430.73︒≈，tan430.93︒≈，cot 43 1.07︒≈）．【答案】47B ∠=︒，8.37a =，12.33c =．【解析】解：90904347B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒； 在Rt ABC △中，tan a A b =，则0.939a=，解得：8.37a =；在Rt ABC △中，9cos A c=，则0.88a=，解得：12.33c =．【总结】已知直角边和一锐角度数时，求直角边时用锐角的正切或余切，求斜边时用锐角的正弦或余弦．【例3】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，c = 8，a = 6，求这个直角三角形的其他边和角（利用计算器计算）．【答案】27b =，48A ∠=︒，42B ∠=︒．【解析】解：22228627b c a =-=-=．在Rt ABC △中，sin a A c =，则3sin 4A =．利用计算器解得：48A ∠=︒，90904842B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例4】 在ABC ∆中，已知90C ∠=︒，a = 7，b = 9，解这个直角三角形（利用计算器计算）．【答案】130c =，38A ∠=︒，52B ∠=︒．例题解析【解析】解：222279130c a b =+=+=， 在Rt ABC △中，tan a A b =，则7tan 9A =，利用计算器可得：38A ∠=︒，∴90903852B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒．【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例5】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 4，AC = 22，BC = ______，A ∠= ______． 【答案】22BC =，45A ∠=︒．【解析】解：()222242222BC AB AC =-=-=．在Rt ABC △中，cos AC A AB =，则2cos 2A =，∴45A ∠=︒． 【总结】已知直角三角形的两条边，利用勾股定理求另一条边，利用锐角三角比确定锐角的度数．【例6】 在ABC ∆中，::1:3:2AC BC AB =，则A ∠= ______． 【答案】60°．【解析】解：设AC x =，3BC x =，2AB x =，∵222AC BC AB +=，∴ABC ∆为直角三角形． 师生总结解直角三角形的基本类型有哪些？并简述解法．步同级年九4 / 20在Rt ABC △中，cos AC A AB =，则1cos 2A =，∴60A ∠=︒． 【总结】当已知直角三角形的三边比为32时，则这个直角三角形中的最小角为30°．【例7】 Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，60B ∠=︒，AC + BC = 2，则AB 的长是______． 【答案】32．【解析】解：在Rt ABC △中，cos BC B AB =，又60B ∠=︒，则1cos 2B =． 设BC x =，则2AB x =，223AC AB BC x =-．∵AC + BC = 2， 32x x +=．解得：31x =， ∴2232AB x ==．【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为32．【例8】 在直角三角形中，90C ∠=︒，30A B ∠-∠=︒，a –b =2，a 、b 、c 是A ∠、B ∠、C ∠所对的边，解这个直角三角形．【答案】60A ∠=︒，30B ∠=︒，33a =+31b =，232c =． 【解析】∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒， ∴+90A B ∠∠=︒； 又∵30A B ∠-∠=︒， ∴60A ∠=︒，30B ∠=︒； 在Rt ABC △中，tan b B a =3ba=，即3a b =； ∵a –b =2， 32b b -=， ∴31b =．∴333a b ==2232c b ==．【总结】当直角三角形中含有30°的锐角时，则三边比为32．【例9】 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，AC = 4，以B 为圆心，4为半径作圆弧交AC 边于点F ，交AB 于点E ，连接CE ，求ACE ∠的正切值．【答案】316．【解析】解：过点E 作EG ⊥AC ，交AC 于点G ．∵GE BC ∥，∴AE AG GEAB AC BC ==，∴1543AG GE==，∴45AG =，35GE =，A BCDE∴416455CG AC AG =-=-=．在Rt CEG △中，335tan 16165GE ACE CG ∠===． 【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．【例10】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，tan B =12，AE = 7，求DE 的长． 【答案】73． 【解析】解：在Rt BED ∆中，1tan 2ED B BE ==， 设DE x =，则2BE x =，()222225BD DE BE x x x =+=+=． ∵D 是BC 中点，∴5DC x =． 在Rt ABC ∆中，1tan 2AC B BC ==， 则1225AC x=，解得：5AC x =． 在Rt ABC ∆中，222AB AC BC =+， 则()()()22227525x x x +=+，解得：73x =．即DE 的长为73．【总结】当同一个锐角在不同的直角三角形中时，可多次运用此锐角的三角比，得到不同的线段的比值．【例11】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，解下列直角三角形：（1）60B ∠=︒，232AC BC -=-； 模块二：解直角三角形的运用例题解析（2）10BC =，ABC S ∆=【答案】（1）30A ∠=︒，2BC =，AC =4AB =；（2）60A ∠=︒，30B ∠=︒，ACAB = 【解析】解：（1）9030A B ∠=︒-∠=︒．在Rt ABC ∆中，tan ACB BC ==BC x =，则AC ；∵2AC BC -=2x -=，∴2x =． ∴2BC =，AC ==24AB x ==． （2）∵ABC S ∆=12BC AC ⋅⋅，∴1102AC ⋅⋅=AC =在Rt ABC ∆中，3cot 10AC A AB ===，则60A ∠=︒． ∴906030B ∠=︒-︒=︒，2AB AC = 【总结】利用特殊角30°以及60°的特殊角的锐角三角比的值解直角三角形．【例12】 如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，EC = 1，cos B =513，则这个菱形的面积是______．【答案】3916． 【解析】解：在Rt ABE ∆中，cos B =513BE AB =，设5BE x =，则13AB x =． AB CDEABCD'D ∴()()222213512AE AB EB x x x =-=-，∴1358EC x x x =-=．∵EC = 1，∴81x =，解得：18x =．∴39121316ABCD S AE BC x x =⋅=⋅=四边形． 【总结】本题主要考查锐角三角比的直接运用．【例13】 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D落在CB 的延长线上的'D 处，则tan 'BAD ∠等于（）A ．1B 2C 2D ．22【答案】B【解析】解：∵线段BD 绕着点B 旋转后， 点D 落在CB 的延长线上的'D 处． ∴'22BD BD ==在'Rt ABD △中，'22tan '=2D B BAD AB ∠==． 【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，另一方面考查图形旋转的性质．【例14】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是BC 边上的中线．（1）求证：tan =2tan ADC ABC ∠∠； （2）若2BD =30B ∠=︒，求AD 的长．【答案】（1）证明略；（2）423． 【解析】（1）证明：在Rt ABC ∆中，tan CAABC BC∠=； 在Rt ADC ∆中，tan CAADC DC∠=． ∵AD 是BC 边上的中线，∴2BC CD =， ∴2CA CABC CD⨯=． ∴tan =2tan ADC ABC ∠∠．（2）∵2BD =，AD 是BC 边上的中线， ∴222BC BD ==步同级年九8 / 20ABCD在Rt ABC ∆中，tan30AC BC ︒=322=，解得：263AC =在Rt ADC ∆中，()2222242263AD CD CA ⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 【总结】本题一方面考查锐角三角比的意义，一方面考查特殊角的锐角三角比的值．【例15】 ABC ∆中，=90C ∠︒，85AC =角平分线16153AD =解这个直角三角形． 【答案】30B ∠=︒，60CAB ∠=︒，165AB =815BC = 【解析】解：在Rt ADC ∆中，853cos 16153AC CAD AD ∠===，∴30CAD ∠=︒，∵AD 平分CAB ∠， ∴60CAB ∠=︒．∴9030B CAB ∠=︒-∠=︒，2165AB AC == 在Rt ABC ∆中，tan AC B BC =385=，∴815BC =【总结】通过直角三角形中边之间的关系得到角度．【例16】 如图，四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90C ∠=︒，75ABD ∠=︒，30DBC ∠=︒，AB = 2a ，求BC 的长． 2a ．【解析】解：过B 作BE AD ⊥，垂足为E ． ∵45A ∠=︒，∴45ABE ∠=︒．∵75ABD ∠=︒，∴30EBD ∠=︒． 在Rt ABE ∆中，sin EB A AB =22EBa=，∴2EB a ；在Rt DBE ∆中，cos EB DBE DB ∠=32a=，∴263DB a =．在Rt DCB ∆中，cos CB DBC DB∠=3263CB a =，∴2CB a =． 【总结】将题目中的特殊角构造到直角三角形中．【例17】 如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AC = 2，AB = 4，ACD B ∠=∠，求cos DCB ∠． 【答案】45．【解析】解：过点D 作DE BC ⊥，交BC 边于点E ． 在Rt ABC ∆中，22222425BC AC AB =++ ∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴ACD ABC △∽△．∴AC AD DCAB AC BC ==，即24225AD ==∴1AD =，5CD =．∵B B ∠=∠，BED BAC ∠=∠，∴BED BAC △∽△． ∴BE BD AB BC =，即425BE ，∴655BE =．∴64255555EC BC BE =-=在Rt DCE △中，4545cos 55CE DCB CD ∠===．【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角 形求锐角三角比．【例18】 如图，在ABC ∆中，AB = AC ，BD ⊥AC ，D 为垂足，且2sin 7DBC ∠=，求BC AC的值．【答案】47．【解析】解：过点A 作AE BC ⊥，交BC 边于点E ． ∵90C DBC ∠+∠=︒，90C EAC ∠+∠=︒， ∴DBC EAC ∠=∠．∴2sin sin 7DBC EAC ∠=∠=， 在Rt ACE △中，sin EC EAC AC ∠=，∴27EC AC =．∵AB AC =，AE BC ⊥， ∴2BC EC =．∴224277BC CE AC AC ==⨯=． 【总结】善于发现题目中的条件得到相等的角，然后运用角度相等的锐角三角比值也相等的思路去解题．【例19】 在ABC ∆中，已知D 为AB 中点，135ACB ∠=︒，AC ⊥CD ，求sin A 的值．步同级年九10 / 205． 【解析】解：过点D 作DE CD ⊥，交BC 边于点E ． ∵135ACB ∠=︒，∴45DCE ∠=︒． ∵DE CD ⊥，AC ⊥CD ， ∴AC DE ∥， ∴DB EDAB AC=． ∵D 为AB 中点，∴12ED AC =． 设ED x =，则CD x =，2AC x =．在Rt ACD △中，225AD AC CD x =+，∴5sin 5CD A AD x=== 【总结】1、本题还有一种辅助线的方法，如图．2、添辅助线的原则是：①将特殊角构造到直角三角形中； ②添加辅助线之后要能包含基本图形．【例20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = BC ，AD 是BC 上的中线，求cos BAD ∠与sin BAD ∠的值．3101010． 【解析】解：过点D 作DE AB ⊥，交AB 于点E ． 设2DB x =，则2CD x =，4AC x =． 在Rt ABC △中，2242AB AC BC x =+=， 在Rt ADC △中，2225AD AC DC x =+，在Rt BDE △中，sin DE B BD =22DEx =，∴2DE x =， 在Rt BDE △中，cos BE B BD =22BEx=，∴2BE x =，∴42222AE AB BE x x x =-==在Rt ADE △中，323cos 101025AE x BAD AD x ∠==，210sin 25DE x BAD AD x ∠=== 【总结】当所求锐角三角比的锐角不在直角三角形中时，要构造包含该锐角的直角三角形求锐角三角比．【例21】 若等腰三角形两腰上的高的和等于底边上的高，求底角的余切值． 15． 【解析】已知：如图，等腰ABC △中，AB AC =，CD AB ⊥，BE AC ⊥，AF BC ⊥．且满足CD BE AF +=，求cot ABC ∠的值．解：∵A A ∠=∠，AB AC =，ADC AEB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△． ∴DC BE =． ∵CD BE AF +=， ∴2CD AF =． ∵1122BC AF AB CD ⋅⋅=⋅⋅， ∴2BA BC =． 设2BC x =，则4AB x =，BF x =在Rt ABF △中，()2222415AF AB BF x x x -=-，15cot 15BF ABC AF x ∠== 【总结】本题是一道文字题，要根据题意先画出图形，然后再根据条件进行求解． 【例22】 在ABC ∆中，BC = 6，63AC =30A ∠=︒，求AB 的长．【答案】6或12．【解析】解：过点C 作CD AB ⊥，交AB 于点D ．在Rt ACD △中，sin CDA AC =，∴1263=，∴33CD =cos ADA AC=363=，∴6AD =． 在Rt BCD △中，()22226333BD CB CD =--，∴11936AB AD B D =-=-=，229312AB AD B D =+=+=．【总结】本题主要考查对题意的理解，要注意两种情况的讨论．【例23】 在四边形ABCD 中，AB = 8，BC = 1，30BAD ∠=︒，60ABC ∠=︒，四边形ABCD 的面积为53AD 的长． 【答案】3【解析】解：延长AD 和BC 相交于点E ．步同级年九12 / 20∵30BAD ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴90E ∠=︒．在Rt AEB △中，sin BE A AB =，∴128BE=，∴4BE =，3EC BE BC =-=；∵cos AE A AB =，∴328AE=，∴43AE =． ∵四边形ABCD 的面积为53，∴1144335322AEB EDC ABCD S S S DE =-=⋅⋅-⋅⋅=△△四边形，∴23DE =．∴432323AD AE DE =-=-=．【总结】当看到30°和60°这些特殊角时，要想办法把它们构造到一个直角三角形中．【例24】 如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒，AD = 2，13AB =+，求CD 的长度．【答案】2．【解析】解：延长AD 和BC 交于点E ． ∵120BCD ∠=︒，∴60DCE ∠=．∵90ADC ∠=︒，∴30E ∠=， ∴60BAE ∠=． 在Rt ABE △中，cos AB A AE =，∴1132AE +=．∴223AE =+． ∴223223DE AE AD =-=+-=．在Rt CDE △中，tan DE DCE CD ∠=，∴233CD=，∴2CD =． 【总结】若题目中含有120°或者150°这些角时，要想到它们的邻补角也是特殊角．【习题1】在t R ABC ∆中，90C ∠=︒，下列条件中不能解直角三角形的是（ ）随堂检测AB CDCBAA ．已知c 和bB ．已知a 和A ∠C ．已知A ∠和B ∠D ．已知a 和b【答案】C【解析】两角只能确定三角形的形状，不能确定三角形的大小．【习题2】等腰三角形底边长为10厘米，周长为36厘米，则底角的余弦等于（ ）A ．513B ．1213C ．1013D ．512【答案】A【解析】等腰△ABC 中，AB AC =，10BC =，△ABC 的周长为36，求cos B ． ∵AB AC =，10BC =，△ABC 的周长为36， ∴13AB AC ==．过A 作AD BC ⊥，则5BD =，在Rt ABD △中，5cos 12BE B AB ==． 【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和锐角三角比的意义．【习题3】如图，在ABC ∆中，高CH 是边AB 的一半，且=75B ∠︒，求A ∠的度数（tan 75︒）．【答案】30°．【解析】在Rt BCH △中，tan 2CHB HB== 设HB x =，则(2CH x =+．∵高CH 是边AB 的一半，∴(4AB x =+．∴((43AH AB HB x x x =-=+-=+，在Rt ACH △中，2tan x CH A HA ===30A ∠=︒． 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值． 【习题4】等腰三角形ABC 的周长为4+AB = AC ，30B ∠=︒，求三角形的三边长．【答案】2AB AC ==，BC =【解析】过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ．设AD x =，则2AB x =，BD =．步同级年九14 / 20ABCD FG∵等腰三角形ABC 的周长为423+ ∴2223423x x x ++=+，解得：1x =．∴2AB AC ==，23BC =【总结】本题主要考查等腰三角形的性质和特殊角的锐角三角比的值．【习题5】如图，90C ∠=︒，30A ∠=︒，AC = 6，点G 是的重心，GF // BC ，求GF的长． 233【解析】在Rt ABC △中， ∵30A ∠=︒， ∴3tan CB A AC ==∵AC = 6，∴33CB =∵点G 是的重心，GF // BC ， ∴13GF DG BC DB ==，∴12333GF BC = 【总结】本题一方面考查了重心定理，一方面考查了特殊角的锐角三角比的值．【习题6】如图，在ABC ∆中，6AB =45B ∠=︒，60C ∠=︒，求AC 、BC 的长．【答案】2，13【解析】解：过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ．在Rt ABD △中，sin ADB AB =26=，∴3AD =， ∴3BD AD == 在Rt ACD △中，sin AD C AC =33=2AC =．∴()2222231CD AC AD =-=-， ∴13BC CD BD =+=A CD EDCBA【总结】本题主要是考查通过做高，将特殊角放到直角三角形中，再利用特殊角的锐角 三角比进行求值．【习题7】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，tan A =12，DE 是AB 的垂直平分线， BC = 2，求： （1）sin AED ∠的值；（2）CE 的长．【答案】（1；（2）32．【解析】（1）在Rt ABC ∆中，tan BC A AC =，∴122AC=， ∴4AC =，∴AB =∴sin AC B AB === ∵90A AED ∠+∠=︒，90A B ∠+∠=︒，∴B AED ∠=∠．∴sin sin AED B ∠=（2）∵D 为AB 的中点，∴AD = 在Rt AED ∆中，tan EDA AD=，∴12=∴DE =，∴52AE ==， ∴53422AC AB AE =-=-=． 【总结】当两个锐角相等时，它们的锐角三角比的值也相等．【习题8】 在ABC ∆中，BC = 15，AB : AC =7 : 8，1cos2C =，求BC 边上的高．【答案】．【解析】过点A 作AD BC ⊥，交BC 边于点D ． 设7AB x =，则8AC x =．在Rt ACD △中，cos CD C AC =， ∴128CDx =．∴4CD x =，∴154BD x =-．∵2222AB DB AC DC -=-，∴()()()()2222715484x x x x --=-．解得：13x =，25x =（舍去）．步同级年九16 / 20∴()()228443123AD x x x =-==．【总结】本题通过添高将已知的锐角放入直角三角形中，利用锐角三角比的值求解．【作业1】 已知等边三角形一边上的中线长为a ，则此三角形的边长为______．【答案】233a ．【解析】解：△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，AD =a ，求AB 的长． ∵AB =AC ， ∴AD ⊥BC ，在Rt ABD △中，sin AD B AB =， ∴32aAB=，∴233AB a =． 【总结】本题是一道基础题，主要考查60°角的正弦．【作业2】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，a 、b 、c 分别是A ∠、B ∠、C ∠的对边，解下列直角三角形： （1）23BC =，3sin 2A =； （2）a = 5，53b =；（3）斜边上中线23CD =，AC = 6．【答案】（1）60A ∠=︒，30B ∠=︒，4AB =，2AC =； （2）30A ∠=︒，60B ∠=︒，10AB =；（3）30A ∠=︒，60B ∠=︒，43AB =，23BC =．【解析】解：（1）∵3sin 2A =，∴60A ∠=︒，∴906030B ∠=︒-︒=︒． 在Rt ABC △中，cot ACA BC=， ∴3323AC = ． ∴2AC =． ∴24AB AC ==．（2）在Rt ABC △中，53cot 35b A a ===， ∴30A ∠=︒，课后作业∴903060B ∠=︒-︒=︒， ∴210c a ==．（3）∵斜边上中线CD =∴2AB CD ==在Rt ABC △中，cos AC A AB === ∴30A ∠=︒．∴903060B ∠=︒-︒=︒，12BC AB == 【总结】本题主要考查特殊角的锐角三角比的值以及运用．【作业3】 在ABC ∆中，AB = AC ，BC 边上的高为8，三角形的周长为32，则sin C的值是______． 【答案】45．【解析】过A 作AD ⊥BC ，则AD =8． ∵AB = AC ，三角形的周长为32， ∴232AB BC +=．∵AB = AC ，AD ⊥BC ， ∴2BC BD =，∴16AB BD +=，∴16DB BA =-．∵在Rt ABD △中，222AB AD DB =+， ∴()222816AB AB =+-． ∴10AB =，6BD =． ∴在Rt ABD △中，84sin 105AD B AB ===，∴4sin sin 5C B ==． 【总结】本题比较基础，解题时注意运用等腰三角形的性质．【作业4】 在ABC ∆中，=30A ∠︒，60C B ∠-∠=︒，若BC = a ，求AB 的长．． 【解析】过点C 作CD ⊥AB ． ∵180A B C ∠+∠+∠=︒，=30A ∠︒，∴150B C ∠+∠=︒， ∵60C B ∠-∠=︒， ∴105C ∠=︒，45B ∠=︒．在Rt CBD △中，sin CD B CB =CD a =，∴CD =，∴BD CD ==．在Rt CAD △中，tan CD A AD =，2AD=，∴AD =，∴AB AD BD =+． 【总结】当已知的特殊角不在直角三角形中时，要构造包含该特殊角的直角三角形．步同级年九18 / 20【作业5】已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = 15，CD = 13，AD = 8，B ∠是锐角，4sin 5B =，求BC 的长．【答案】12或22．【解析】过点A 、点D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， 垂足分别为E 、F ． 在Rt ABE △中，sin AEB AB=， ∴4515AE =，∴12AE =， ∴222215129BE AB AE =-=-． ∵四边形ADFE 是矩形，∴12DF AE ==．∴在Rt DCF △中，222213125CF CD DF -=-，∴117512BC BF CF =-=-=或217522BC BF CF =+=+=．【总结】本题有两种情况，要注意分类讨论．【作业6】已知在ABC ∆中，AB =23，AC = 2，BC 3BC 的长．【答案】4或2．【解析】解：如图，过A 作AD ⊥BC ，则3AD 在Rt ABD △中， ()()22222333BD AB AD =--=，在Rt ACD △中，()2222231CD AC AD =-=-，∴1312BC BD CD =-=-=或314BC BD CD =+=+=．【总结】当已知三角形两条边的长和第三边的高时，通常都有两种情况，锐角三角形和钝角三角形．【作业7】如图，在ABC ∆中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD = DC = 4，tan B =43．求： （1）ABC ∆的面积；（2）sin BAC ∠的值．【答案】(1)14；（27210【解析】解：（1）在Rt ABD △中，tan ADB DB=，∴443BD=，∴3BD =， ∴11741422ABC S BC AD =⋅⋅=⨯⨯=△． （2）过点C 作CE ⊥AB ，垂足为点E ． 在Rt ABD △中，2222435AB AD BD =++． ∵12ABC AB CE S ⋅⋅=△， ∴15142CE ⨯⨯=， ∴285CE =．在Rt ACD △中， 22224442AC AD CD =+=+=在Rt AEC △中， 2875sin 21042EC BAC AC ∠==．【总结】本题主要考查锐角三角比的意义．【作业8】如图，在四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，6AB =53BC =，CD = 6，求AD ．【答案】219【解析】解：过点A 作AH ∥BC 交CD 于H ，过点B 、C 分别作BE ⊥AH ，CF ⊥AH ，垂足分别为点E 、F ，过点A 作AG ⊥DC ，交DC 延长线交于点G ． ∵135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AH ∥BC ， ∴45BAE ∠=︒，60CHF ∠=︒．在Rt ABE △中，2sin 2BE BAE AB ∠==，又6AB = ∴3BE =，∴3AE BE =．∵四边形BEFC 为矩形， ∴3CF BE ==．在Rt CFH △中，tan 3CHF ∠，∴1FH =，∴22CH FH ==， ∴35316AH AE EF FH =++==，在Rt AGH △中，3sin AG AHG AH ∠=∴33AG =132GH AH ==．∴321CG GH CH =-=-=，∴7DG CG CD =+=．在Rt AGD △中，AD =．【总结】本题的综合性比较强，做题时注意辅助线的添加，依据还是构造包含特殊角的直角三角形．。
沪教版(上海)九年级综合拓展卷(二)
沪教版（上海）九年级综合拓展卷（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B C D2．点(x1,y1),(x2,y2)均在抛物线y=x2−1上，下列说法正确的是（）A．若y1=y2，则x1=x2B．若x1=−x2，则y1=−y2C．若0<x1<x2，则y1>y2D．若x1<x2<0，则y1>y23．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（）A．1：2 B 2 C．1D：1 4．已知锐角α满足tan（α+20°）=1，则锐角α的度数为（）A．10°B．25°C．40°D．45°5．某商店一周内每天卖出的衬衫数量分别是15件、17件、18件、14件、21件、16件、18件，为了反映这一周内每天销售量的变化情况，可以制作的统计图是（）A．条形统计图B．折线统计图C．扇形统计图D．以上统计图6．下列说法中，正确的是（）A．如果三条直线被两条直线所截得的线段对应成比例，那么这三条直线一定平行B．不同向量的单位向量的长度都相等，方向也都相同C．相似三角形的中线的比等于相似比D．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个二、填空题x 时，y随x的增大而减小：______.7．写一个二次函数满足，当28．为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”.由此，估计该校九年级全体学生中约有_______名学生“骑共享单车上学”．9．一个直角三角形的两边长分别为3，4，则此三角形的外接圆半径是_____．10．若一次函数y kx b =+经过一、二、四象限并与坐标轴构成等腰三角形，则k =______. 11．如图，ABC ∆中，12AE EC =，13BF BC =，则CEF ∆与四边形AEFB 的面积比为______.12．菱形ABCD 的对角线10AC =，面积为30，则cot 2A =______. 13．抛物线2y x bx c =++，经过()3,0A ，()0,3B 两点，则抛物线的顶点坐标为______.14．若二次三项式243x kx -+是一个完全平方式，则k 的值是______.15．如图所示,有一圆形展厅,在其圆形边缘上的点A 处安装了一台监视器,它的监控角度是70°,为了监控整个展厅，最少还需在圆形边缘上安装这样的监视器______台.16．在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a ＊b ＝a 2－b 2，根据这个规则，方程（x ＋2）＊3＝0的解为17．如图，ABC ∆中，30B ∠=︒，M 为BC 上的一点，且::MC MB a b =，MN AB ⊥于N ，联结CN ，则cot CNA ∠=______.18．把一根长为50cm 的铁丝完成一个长方形，如果设这个长方形的一条边长为()x cm ，它的面积是()2y cm，则y 关于x 的函数解析式是______，函数定义域为______.三、解答题19．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，利用黄金三角形求sin18︒的准确值.20．一条抛物线的顶点和形状都与抛物线22x y =相同，但开口方向相反，求此抛物线解析式，并画出它的图像.21．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，50a =，c =，解这个三角形.22．已知O 的半径为5，AB 、CD 为O 中两条平行的弦，6AB =，8CD =，求AB 和CD 间的距离.23．如图，已知梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC 与BD 交于O 点，2AB cm =，4CD cm =，AOB S ∆=21cm ，求梯形ABCD 的面积.24．已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：△BCG ≌△DCE ；（2）将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形，并说明理由．25．今年3月12日，某校九年级部分学生参加植树节活动，参加植树生植树情况的部分统计结果如图所示.请根据统计图形所提供的有关信息，完成下问题：（1）求参加植树的学生人数；（2）求参加学生植树棵树的平均数；（精确到1）（3）请将该条形统计图补充完整.参考答案1．A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【详解】解：A.==，故此选项不符合题意；2=故选：A【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．D【解析】【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有A．若y1=y2，则x1=±x2，原说法错误；B．若x1=−x2，则y1=y2，原说法错误；C．若0<x1<x2，则y1<y2，原说法错误；D．若x1<x2<0，则y1>y2，原说法正确．故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．3．C【分析】坡度是坡角的正切值．【详解】，即坡度为1．因为tan30°=3故选C．考点：坡度角4．B【解析】试题分析：根据特殊角的三角函数值求得α+20°的值，继而可求得α的值．解：∵tan45°=1，∴a+20°=45°，则a=25°．故选B．考点：特殊角的三角函数值．5．B【分析】由扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目；直方图能够清楚地表示出每组的具体数目，分组的时候，数据是连续的；可分析得出答案．【详解】解：根据统计图的特点，知折线统计图表示的是事物的变化情况，能反映这一周销售衬衣的变化情况，故选：B．【点睛】此题根据扇形统计图、折线统计图、条形统计图、直方图各自的特点来判断．6．D【分析】根据相关定理进行判断：如果三条直线被两条直线所截得的线段对应成比例，那么这三条直线不一定平行；不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同；相似三角形的对应中线的比等于相似比；一般来说，一条线段的黄金分割点有两个．【详解】解：A 、如果三条直线被两条直线所截得的线段对应成比例，那么这三条直线不一定平行，三条交于一点的直线被两条平行线所截得的线段也是对应成比例的，故本选项错误． B 、不同向量的单位向量的长度不一定相等，方向也不一定相同，故本选项错误． C 、相似三角形的对应中线的比等于相似比，故本选项错误；D 、一般来说，一条线段的黄金分割点有两个，正确．故选：D ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解黄金分割点，相似比，向量等知识．7．()22y x =-等（答案不唯一）【分析】根据“当x ＜2时，y 随着x 的增大而减小，可假设x=2是抛物线的对称轴，a ＞0，即可确定符合题意得解析式．【详解】解：∵当x ＜2时，y 随着x 的增大而减小，∴可假设x=2是抛物线的对称轴，a ＞0，∴y=（x-2）2，故答案为：y=（x-2）2．（答案不唯一）【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，根据已知假设出二次函数的对称轴即可得出解析式． 8．25【解析】由题意可得，该校九年级全体学生中约有300×560=25名学生“骑共享单车上学”． 9．2或52【解析】【分析】直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①4为斜边长；②3和4为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．由勾股定理可知：①当直角三角形的斜边长为4，这个三角形的外接圆半径为2；②当两条直角边长分别为16和12＝5，因此这个三角形的外接圆半径为52．故答案为：2或52．【点睛】本题考查直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．10．1-【分析】由一次函数经过一、二、四象限可知k＜0,b＞0,然后根据图像与坐标轴构成等腰三角形可得bbk=-，从而求解.【详解】解：由题意可知：k＜0,b＞0,又∵当x=0时，y=b当y=0时，bxk=-且一次函数y kx b=+与坐标轴构成等腰三角形∴b bk =-解得：k=-1故答案为：-1【点睛】本题考查一次函数的图像性质及与坐标轴的交点，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.11．4:5【分析】利用SAS判定△CEF∽△CAB，然后利用相似三角形的性质求两个三角形的面积比，从而使问题得解.解：∵12AE EC =，13BF BC = ∴23CE CF CA CB == 又∵∠C=∠C∴△CEF∽△CAB ∴24()9CEF CAB S CE S CA == ∴CEF ∆与四边形AEFB 的面积比为4:5故答案为：4:5 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是本题的解题关键.12．53 【分析】 根据菱形的面积公式可得BD=6，再由菱形的性质可得AO=CO=12AC=5，BO=DO=12BD=3，然后根据余切定义可得答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC=10，面积为30，∴BD=6，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AO=CO=12AC=5，BO=DO=12BD=3， ∴5cot 23A AO DO ==，故答案为：53．此题主要考查了菱形的性质，以及三角函数定义，关键是掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．13．()2,1-【分析】将()3,0A ，()0,3B 代入解析式，求得抛物线解析式，然后利用配方法将一般式化为顶点式，从而求解.【详解】解：将()3,0A ，()0,3B 代入解析式，得9303b c c ++=⎧⎨=⎩解得：43b c =-⎧⎨=⎩∴22243441(2)1y x x x x x =-+=-+-=--∴抛物线的顶点坐标为：（2，-1）故答案为：（2，-1）【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及将一般是化为顶点式，掌握解题步骤准确计算是本题的解题关键.14．±【分析】利用完全平方公式进行求解.【详解】解：∵关于x 的二次三项式243x kx -+是一个完全平方式，∴22243(2)(x kx x kx -+=±-+∴2kx -=±⨯∴k =±故答案为：±【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．15．2【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是140°，则共需安装360°÷140°≈3．【详解】解：∵∠A=70°，∴该圆周角所对的弧所对的圆心角是140°，∴共需安装360°÷140°≈3．则还要3-1=2台故答案为：2.16．1或-5【解析】直接根据定义的这种运算的规则求解．解：∵a﹡b=a2-b2，∴（x+2）﹡3=（x+2）2-32，解方程（x+2）2-32=0，（x+2+3）（x+2-3）=0，∴x1=1，x2=-5．17【分析】过点C作CG⊥AB于点G，设MC=a，MB=b，根据∠B=30°分别求出BN、BG的长度，然后求出NGCG的值即可．【详解】解：过点C作CG⊥AB于点G，设MC=a ，MB=b ，∵∠B=30°，∴MN=2b ， 由勾股定理可知：， ∵BC=a+b ，∴CG=2a b +， ∴由勾股定理定理：， ∴NG=BG-BN=2， ∴cot ∠CNA=22NG a b CG ==+【点睛】 本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，锐角三角函数，直角三角形的性质．18．225y x x =-+ 025x <<【分析】50cm 为长方形的周长，设这个长方形的一条边长为()x cm ，则另一边长为（25-x ）cm ；根据长方形面积公式，即可得到函数解析式，根据边长都大于0即可得到函数自变量的取值范围．【详解】解：由题意，50cm为长方形的周长，设这个长方形的一条边长为()x cm∴另一边长为（25-x）cm，面积y=x（25-x）=-x2+25x，∵边长都大于0，∴x＞0，25-x＞0，解得0＜x＜25．故答案为：y=-x2+25x；0＜x＜25．【点睛】本题考查列函数关系是，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．应注意根据实际意义求得自变量的取值范围．19【分析】根据黄金三角形的顶角为36°，利用等腰三角形的性质求证∠GBC=∠B AC，∠C=∠C，从而得到△BGC∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求其底与一腰之比即12BCAB=，作出黄金三角形顶角的平分线，解得等腰三角形三线合一的性质即可得出sin18°的值【详解】解：如图所示：做MN垂直平分AB交AC于点G，作∠BAC的平分线AD，∵△ABC是黄金三角形，∴∠BAC=36°，AB=AC，∴AG=BG，∠GBA=∠BAG=36°，∠ABC=∠C=72°∴∠GBC=36°，∠BGC=72°设BC=x，AB=AC=y，∴AG=BG=BC=x ．∵∠GBC=∠B AC ，∠C=∠C ，∴△BGC ∽△ABC ， ∴BC GC AC BC= ，即x y x y x -=， 整理，得x 2+xy-y 2=0，解得12x y -±= 因为x 、y均为正数，所以x y =即BC AB = ， 作∠BAC 的平分线AD ，则∠BAD=∠CAD=12∠BAC=18°，AD ⊥BC ，BD=CD=12BC ， 在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，∴sin18°=sin ∠BAD=1122BC BD AB AB ===． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义及性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义；运用黄金三角形进行证明是解决问题的关键．20．22x y =-，图见解析. 【分析】根据二次函数2y ax =的图像性质直接求解即可.【详解】 解：所求抛物线的顶点和形状与抛物线22x y =相同，但开口方向相反， ∴a 为12的相反数，解析式为22x y =-【点睛】本题考查2y ax =的图像性质，利用数形结合思想解题是本题的解题关键.21．50b =， 45A B ∠=∠=︒.【分析】先用勾股定理求出b 边的长，然后由a 与b 的关系确定角的度数．【详解】解：50==∴a=b ，∴∠A=∠B=45°．∴b=50，∠A=∠B=45°．【点睛】本题考查的是解直角三角形，题目中告诉的是一条直角边和斜边，用勾股定理可以求出另一条直角边．得到是一等腰直角三角形，然后确定两个直角的度数．22．AB 和CD 间的距离为7或 1.【分析】根据题意画出图形，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC ，先根据勾股定理得出OE 与OF 的长，再分AB 、CD 是⊙O 的同侧与异侧两种情况进行解答．【详解】解：如图所示，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，交CD 于点F ，连接OA ，OC ，∵AB=6，CD=8，∴AE=12AB=3，CF=12CD=4， ∴4=，3= ，∴当如图1所示时，EF=OE+OF=4+3=7；当如图2所示时，EF=OE-OF=4-3=1．∴AB 和CD 间的距离为7或 1.【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 23．梯形ABCD 的面积为29cm【分析】 利用平行判定△ABO∽△CDO,然后利用相似三角形的性质求得12AO BO AB CO DO CD ===,然后利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得△COD 的面积，利用等高三角形面积比等于底边之比求得△AOD 和△BOC 的面积，从而使问题求解.【详解】解：∵AB CD ∥∴△ABO∽△CDO ∴2142AO BO AB CO DO CD ==== ∴21()4AOB COD S AB S CD ==，12AOB AOD S BO S DO ==,12AOB BOC S AO S CO ==∵AOB S ∆=21cm∴4COD S =,2AOD S =,2BOC S =∴梯形ABCD 的面积为AOB S ∆+COD S △+AOD S+1422BOC S =+++=29cm【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，等高三角形面积比等于底边之比，掌握相关性质定理是本题的解题关键.24．（1）答案见解析；（2）平行四边形，理由见解析【分析】（1）由正方形ABCD ，得BC=CD ，∠BCD=∠DCE=90°，又CG=CE ，所以△BCG ≌△DCE （SAS ）．（2）由（1）得BG=DE ，又由旋转的性质知AE′=CE=CG ，所以BE′=DG ，从而证得四边形E′BGD 为平行四边形．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD ，∠BCD=90°．∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠BCD=∠DCE=90°．又∵CG=CE ，∴△BCG ≌△DCE ．（2）解：四边形E′BGD 是平行四边形．理由如下：∵△DCE 绕D 顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′．∵CE=CG ，∴CG=AE′．∵四边形ABCD 是正方形，∴BE′∥DG ，AB=CD ．∴AB ﹣AE′=CD ﹣CG ．即BE′=DG ．∴四边形E′BGD 是平行四边形．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定等知识的综合应用，以及考生观察、分析图形的能力．25．（1）50人；（2）3棵；（3）答案见解析.【分析】（1）植2株的有16人，所占百分比为32%，则可求出其总人数；（2）用学生植树总数÷植树学生数求得学生植树棵数的平均数；（3）用总数减去植1、2、5、6棵树的人数，即可得到植4棵树的学生人数，并补全统计图．【详解】解：（1）依据题意得165032%=（人）.答：参加植树的学生有50人.（2）由5010168412----=（人）得植树4棵的学生有12人.学生植树平均数1011621248546350x⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（棵）.答：学生植树平均数为3棵（3）50-10-16-8-4=12如图所示.【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．。
九年级上册数学配套练习册答案沪教版
三一文库（）/初中三年级〔九年级上册数学配套练习册答案沪教版〕基础知识1、2、3、4、5、CABBA6、7；37、7/4或5/48、±39、310、1；-311、7或312、0能力提升（2）1/3或-114、根据题意得x#+x#=-5/2，x#x#=-1/2（1）3（2）-29/215、由Δ=（4k+1）#-4×2×（2k#-1）=16k#+8k+1-16k#+8=8k+9即（1）当k＞-9/8时，Δ＞0，即方程有两个不相等的实数根（2）当k=-9/8时，Δ=0，即方程有两个相等的实数根（3）当k＜-9/8时，Δ＜0，即方程没有实数根。
16、∵a#-10a+21=0，∴（a-3）（a-7）=0，∴a#=3，a#=7，∵三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长为acm，而3+3＜7，∴a=7，∴此三角形的周长=7+7+3=17（cm）探索研究17、（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，依题意列方程得x#+（5﹣x）#=17，整理得：x#-5x+4=0，（x﹣4）（x﹣1）=0，解方程得x#=1，x#=4，1×4=4cm，20﹣4=16cm或4×4=16cm，20﹣16=4cm因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm。
（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm#。
理由：设两个正方形的面积和为y，∵y=12＞0，∴当x=5/2时，y的最小值=12.5＞12，∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm#；（另解：由（1）可知x#+（5﹣x）2=12，化简后得2x#﹣10x+13=0，∵△=（﹣10）#﹣4×2×13=﹣4＜0，∴方程无实数解；所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm#）。
难点详解沪教版(上海)九年级数学第二学期第二十八章统计初步重点解析试题(含答案及详细解析)
九年级数学第二学期第二十八章统计初步重点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、八（3）班七个兴趣小组人数分别为4、4、5、x、6、6、7，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（）A．6 B．5 C．4 D．32、下列调查中，适合采用全面调查的是（）A．了解一批电灯泡的使用寿命B．调查榆林市中学生的视力情况C．了解榆林市居民节约用水的情况D．调查“天问一号”火星探测器零部件的的质量3、某校九年级（3）班全体学生2021年中考体育模拟考试的成绩统计如表：根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（）A．该班一共有40名同学B．该班学生这次考试成绩的众数是48分C．该班学生这次考试成绩的中位数是47分D．该班学生这次考试成绩的平均数是46分4、小强每天坚持做引体向上的锻炼，下表是他记录的某一周每天做引体向上的个数．对于小强做引体向上的个数，下列说法错误的是（）A．平均数是12 B．众数是13C．中位数是12.5 D．方差是8 75、下列调查中，适合用全面调查的方式收集数据的是（）A．对某市中小学生每天完成作业时间的调查B．对全国中学生节水意识的调查C．对某班全体学生新冠疫苗接种情况的调查D．对某批次灯泡使用寿命的调查6、一组数据：1，3，3，3，5，若去掉一个数据3，则下列统计量中发生变化的是（）A．众数B．中位数C．平均数D．方差7、如图，有100名学生参加两次科技知识测试，条形图显示两次测试的分数分布情况．根据条形图提供的信息可知，两次测试最低分在第______ 次测试中，第____次测试较容易（）A．一，二B．二，一C．一，一D．二，二8、下列调查中，最适合采用普查方式的是（）A．调查一批电脑的使用寿命B．调查某航班的乘客是否都持有“绿色健康码”C．了解我市初中生的视力情况D．调查河南卫视“中秋奇妙游”节目的收视率9、下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）A．对兰州市初中生每天阅读时间的调查B．对市场上大米质量情况的调查C．对华为某批次手机防水功能的调查D．对某班学生肺活量情况的调查10、如图为成都市部分区县森林覆盖率统计图．其中，森林覆盖率低于30%的区县有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、对于两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的______，方差则反映一组数据在平均数左右的______，因此从平均数看或从方差看，各有长处．2、八年级（1）、（2）两班人数相同，在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：22S S x===18,80,24则成绩较为稳定的班级是___．甲乙3、某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会_____（填“变大”、“变小”、“不变”或“不能确定”）．4、已知有50个数据分别落在五个小组内，落在第一、二、三、五小组内的数据个数分别为2，8，15，15，则落在第四小组内的频率是_____．5、已知一组数据：18，17，13，15，17，16，14，17，则这组数据的中位数与众数分别是__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、甲、乙两名队员参加射击训练，将10次成绩分别制成如图所示的两个统计图：（1）根据以上信息，整理分析数据如表：填空：a＝，b＝，c＝；（2）根据以上数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名队员哪位队员的射击成绩更好．2、2021年央视春晩，数十个节目给千家万户送上了丰富的“年夜大餐”．某校随机对八年级部分学生进行了一次调查，对最喜欢相声《年三十的歌》（记为A）、歌曲《牛起来》（记为B）、武术表演《天地英雄》（记为C）、小品《开往春天的幸福》记为D）的同学进行了统计（每位同学只选择一个最喜欢的节目），绘制了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答问题：（1）求本次接受调查的学生人数．（2）求扇形统计图中D所在扇形的圆心角度数．（3）将条形统计图补充完整．3、在“迎新年，庆元旦”期间，某商场推出A、B、C、D四种不同类型礼盒共1000盒进行销售，在图1中是各类型礼盒所占数的百分比，已知四类礼盒一共已经销售了50%，各类礼盒的销售数量如图2所示：（1）请将条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，C部分所对应的圆心角等于度；（3）你觉得哪一类礼盒销售最快，请说明理由．4、为促进学生健康成长，帮助家长解决按时接送学生困难的问题，认真落实全国教育大会精神，某校结合自身情况，在开展中学生课后服务工作方面做了全面规划，并且落到实处．在不加重学生课业负担的前提下，学校在托管时间内组织学生进行自主阅读、体育、艺术、及其他一些有益身心健康的活动，学生根据自己的喜好，自主选择．学校随机抽取了部分学生进行调查（抽取的学生都选择了一种自己喜爱的活动），下面是根据调查情况，得到的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：（1）求出本次调查中，随机抽取的学生人数；（2）补全条形统计图，并求出“其他”所对应的圆心角的度数；（3）若该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有多少人？5、中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，眉山市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图（均不完整），请根据统计图提供的信息解答下列问题．（1）本次模拟考试该班学生有_____人；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角的度数为______；（4）该校共有800名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数．-参考答案-一、单选题1、B【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．解：∵某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，∴x＝5×7−4−4−5−6−6−7＝3，∴这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，∴这组数据的中位数是：5．故选：B．【点睛】本题考查的是中位数和平均数的定义，熟知中位数的定义是解答此题的关键．2、D【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，再逐一分析即可．【详解】解：A．了解一批电灯泡的使用寿命，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意；B．调查榆林市中学生的视力情况，适合抽样调查，不符合题意；C．了解榆林市居民节约用水的情况，适合抽样调查，不符合题意；D．调查“天问一号”火星探测器零部件的的质量，必需采用全面调查，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．3、D由题意直接根据总数，众数，中位数的定义逐一判断即可得出答案.【详解】解：该班一共有：2+5+6+7+8+7+5=40（人），得48分的人数最多，众数是48分，第20和21名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为4648472+=（分）， 平均数是362405436467484(8507545)4046.⨯+⨯+⨯++÷=⨯⨯+⨯+⨯（分），故A 、B 、C 正确，D 错误，故选：D ．【点睛】本题主要考查众数和中位数、平均数，解题的关键是掌握众数和中位数、平均数的概念．4、C【分析】根据平均数的定义：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，叫做这组数据的算术平均数，简称平均数；众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据；中位数的定义：一组数据中，处在最中间或处在最中间的两个数的平均数；方差的定义：一组数据中各个数据与它们平均数的差的平方的和的平均数，进行求解即可．【详解】解：由题意得它们的平均数为：11121013131312127x ++++++==，故选项A 不符合题意； ∵13出现的次数最多，∴众数是13，故B 选项不符合题意；把这组数据从小到大排列为：10、11、12、12、13、13、13，处在最中间的数是12，∴中位数为12，故C 选项符合题意； 方差：()()()()222221810121112212123131277s ⎡⎤=-+-+⨯-+⨯-=⎣⎦，故D 选项不符合题意； 故选C ．【点睛】本题主要考查了平均数，中位数，众数和方差，解题的关键在于能够熟知相关定义．5、C【分析】由题意根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可．【详解】解：A. 对某市中小学生每天完成作业时间的调查，适合抽样调查，故此选项不符合题意；B. 对全国中学生节水意识的调查，适合抽样调查，故此选项不符合题意；C. 对某班全体学生新冠疫苗接种情况的调查，适合全面调查，故此选项符合题意；D. 对某批次灯泡使用寿命的调查，适合抽样调查，故此选项不符合题意.故选：C.【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，注意掌握选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6、D【分析】根据题意得出原中位数、平均数、众数及方差，然后得出再去掉一个数据3后的中位数、众数、平均数及方差，进而问题可求解【详解】解：由题意得：原中位数为3，原众数为3，原平均数为3，原方差为1.8；去掉一个数据3后的中位数为3，众数为3，平均数为3，方差为2；∴统计量发生变化的是方差；故选D【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解题的关键．7、A【分析】根据条形统计图，发现最低分显然在第一次测验中；因为第二次测验的高分人数较多，所以第二次测验较容易．【详解】解：根据条形统计图，发现最低分在第一次测验中；因为第二次测验的高分人数较多，所以第二次测验较容易．故选A．【点睛】条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，能够根据条形统计图读懂两者分别表示的意义是关键．8、B【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A．调查一批电脑的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；B．调查某航班的乘客是否都持有“绿色健康码”，适合采用普查的方式，故本选项符合题意；C．了解我市初中生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；D．调查央视“五一晚会”的收视率，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．9、D【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【详解】解：A、对兰州市初中生每天阅读时间的调查，工作量大，不易普查；B、对市场上大米质量情况的调查，调查具有破坏性，不易普查；C、对华为某批次手机防水功能的调查，调查具有破坏性，不易普查；D、对某班学生肺活量情况的调查，人数较少，适合普查；故选：D．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10、B【分析】根据直方图即可求解．【详解】由图可得森林覆盖率低于30%的区县有新津县、青白江，共2个故选B ．【点睛】此题主要考查统计图的判断，解题的关键是根据直方图找到森林覆盖率低于30%的区县，进而求解．二、填空题1、一般水平 波动大小【分析】根据平均数和方差的意义进行回答即可．【详解】解：平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，故答案为：一般水平；波动大小【点睛】本题考查了平均数和方差的区别，熟练掌握平均数和方差的意义是解答本题的关键．2、甲班【分析】根据平均数相同，方差反应一组数据与平均数的离散程度越小说明比较稳定即可得出结论．【详解】解：∵两班的平均成绩相同，221880S S ==甲乙＜，根据方差反应一组数据与平均数的离散程度越小说明比较稳定，∴成绩较为稳定的班级是甲班，故答案为甲班．【点睛】本题考查平均数与方差，掌握平均数的求法与方差的求法，熟练方差反应一组数据与平均数的离散程度，方差越大离散的程度越大，方差越小离散程度越小，越稳定，与整齐等是解题关键．3、变小【分析】求出去掉一个最高分和一个最低分后的数据的方差，通过方差大小比较，即可得出答案．【详解】去掉一个最高分和一个最低分后为88，90，92， 平均数为889099023++= 方差为()()()22218889090909290 2.6733⎡⎤-+-+-=≈⎣⎦ ∵5.2＞2.67，∴去掉一个最高分和一个最低分后，方差变小了，故答案为：变小．【点睛】本题考查了方差、算数平均数的知识；解题的关键是熟练掌握方差的性质，从而完成求解． 4、0.4【分析】先求出第四小组的频数，再根据频率=频数÷样本容量计算即可；【详解】由题可知：第四小组的频数()502815520=-+++=，频率=频数÷样本容量20500.4=÷=；故答案是0.4．【点睛】本题主要考查了频率和频数的计算，准确分析计算是解题的关键．5、16.5，17【分析】根据众数和中位数的定义求解即可，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．【详解】将18，17，13，15，17，16，14，17从小到大排列为：13，14，15，16，17，17，17，18其中17出现的次数最多，则众数为17，中位数为：161716.52+=．故答案为：16.5；17【点睛】本题考查了求众数和中位数，理解众数和中位数的定义是解题的关键．三、解答题1、（1）7，7.5，1.2；（2）答案见解析.【分析】（1）分别根据平均数，方差，中位数的定义求解即可；（2）从众数与中位数的角度分析，乙的射击成绩都比甲要高，从而可得结论. 【详解】解：（1）由频数直方图可得：甲的成绩如下：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,其中7环出现了4次，所以众数是7a =环，7x =甲环()()()()()222221572674772879710c ⎡⎤∴=-+⨯-+⨯-+⨯-+-⎣⎦ 1=12=1.2.10⨯ 由折线统计图可得：按从小到大排序为：3,4,6,7,7,8,8,8,9,10,所以中位数为：7+8=7.52b =. 故答案为：7，7.5，1.2；（2）从众数与中位数来看，乙的众数与中位数都比甲高，所以乙的射击成绩比甲的射击成绩要好一些.【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义，根据平均数，众数，中位数，方差下结论，掌握以上基础概念是解本题的关键.2、（1）50人；（2）36°；（3）见解析【分析】（1）根据B 的人数除以所占的百分比得到接受调查的学生人数；（2）先求出D 所占百分比，然后用360°×它所占百分比即可；（3）先求出C 所占百分比，再求出C 的人数，进而得出C 中男生人数；用总人数乘A 占的百分比得出A 的人数进而得出A 中女生人数，然后补全条形统计图即可；【详解】解：（1）根据题意得：()12840%50+÷=（人）答：本次接受调查的人数是50人；（2）D占的百分比32100%10% 50+⨯=，D所在的扇形圆心角的度数为36010%36︒⨯=︒；（3）C占的百分比为1-（20%+40%+10%）=30%，C的人数为50×30%=15（人），即C中男生为15-8=7（人）；A的人数为50×20%=10（人），A中女生人数为10-6=4（人），补全条形统计图，如图所示：【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．3、（1）见解析；（2）72；（3）A类礼盒销售最快，理由见解析【分析】（1）求出销售的C类礼盒的数量，即可补全条形统计图；（2）C类礼盒相应圆心角的度数为360°乘以所占的百分比即可；（3）比较四类礼盒销售的数量即可得出答案．【详解】解：（1）1000×50%-168-80-150=102（盒），补全条形统计图如图所示：（2）360°×(1-35%-25%-20%)=72°，故答案为：72；（3）在相同的时间内，A类礼盒共销售168盒，B类礼盒共销售80盒，C类礼盒共销售102盒，A类礼盒共销售150盒，因此，A类礼盒销售最快．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键．4、（1）120人；（2）见解析，36°；（3）126人【分析】（1）从条形图选择体育的人数÷从扇形图中体育所占百分比计算即可；（2）从调查总人数减去阅读，体育和其它得出艺术人数，补画条形图，再求出其它12人除以120得出所占百分比，再乘以360°即可；（3）先计算样本中选择阅读所占样本的百分比，再用样本中所含百分比乘以总数估计总体中的含量即可．【详解】解：（1）本次调查中从条形图得出选择体育有54人，从扇形统计图中体育所占百分比为45%，÷=（人）；本次调查人数为：5445%120---=（人），（2）∵艺术：12018541236∴补全的条形统计图如下图所示：“其他”所对应的圆心角度数为1236036 120⨯︒=︒；（3）样本中选择阅读的人数为18人，占样本的百分比为18100%=15% 120⨯，该校学生总人数为840人，估计选择阅读的学生有：84015%126⨯=（人），∴选择“阅读”的学生大约有126人．【点睛】本题考查从条形图和扇形统计图获取信息和处理信息能力，样本容量，补画条形图，扇形圆心角，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握以上知识是解题关键．5、（1）40；（2）补图见解析；（3）117°；（4）40人．【分析】（1）根据B等级的人数和所占的百分比即可得出答案；（2）先求出C等级的人数，再补全统计图即可；（3）用360°乘以D等级所占的比例即可；（4）用该校的总人数乘以A等级的学生所占的比例即可．【详解】解：（1）本次模拟考试该班学生有：512.5%40÷＝（人），故答案为：40；（2）C等级的人数有：402513812----=（人），补全统计图如下：（3）扇形统计图中D等级对应扇形的圆心角的度数为：1336011740︒⨯=︒，故答案为：117°；（4）估计该校A等级的学生人数有：28004040⨯=（人）．【点睛】题目主要考查条形统计图和扇形统计图，包括画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，用样本估计总体符合条件的人数等，理解题意，熟练将两个统计图结合获取信息是解题关键．。
2023上海16区九年级二模数学几何题及答案
1下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）（A）等边三角形；（B）菱形；（C）等腰梯形；（D）圆．如果一个三角形的两边长分别为5cm、10cm，那么这个三角形的第三边的长可以是（）（A）3cm；（B）5cm；（C）10cm；（D）16cm.如图，已知⊙O 及其所在平面内的4个点.如果⊙O 半径为5，那么到圆心O 距离为7的点可能是（）.（A）P 点；（B）Q 点；（C）M 点；（D）N点．下列命题中，假命题．．．的是（）.（A）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（B）对角线互相垂直的梯形是等腰梯形；（C）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；（D）对角线平分一组对角的矩形是正方形．下列命题是真命题的是()（A）平行四边形的邻边相等；（B）平行四边形的对角线互相平分；（C）平行四边形内角都相等；（D）平行四边形是轴对称图形．2如图2，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果8BC ，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（）（A）4；（B）8；（C）83；（D）163.顺次联结四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是（）（A）菱形；（B）对角线相等的四边形；（C）对角线互相垂直的四边形；（D）对角线互相垂直且平分的四边形．已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（）（A）OA=OC；（B）OA=OB；（C）∠ABD=∠CBD；（D）∠ABD=∠CAB．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()．（A）等边三角形；（B）等腰梯形；（C）矩形；（D）正五边形．正方形具有而菱形不一定具有的性质是()（A）对角线相等；（B）对角线互相垂直；（C）对角线平分一组对角；（D）对角线互相平分．在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．笛卡尔心形图斐波那契螺旋线赵爽弦图科克曲线3下列命题是真命题的是（）(A)四边都相等的四边形是正方形；(B)一组邻边相等的矩形是正方形；(C)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；(D)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．下列图形中，是中心对称图形且旋转240°后能与自身重合的图形是()．（A）等边三角形；（B）正方形；（C）正八边形；（D）正十二边形．下列命题正确的是（）（A）三点确定一个圆；（B）圆的任意一条直径都是它的对称轴；（C）等弧所对的圆心角相等；（D）平分弦的直径垂直于这条弦.已知两圆相交，圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是()（A）1；（B）3；（C）5；（D）7．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．分别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．142r<<；B．562r<<；C．2592r<<；D．913r<<．如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是()（A）矩形；（B）正方形；（C）等腰梯形；（D）直角梯形．4如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（）（A）内切；（B）外切；（C）相交；（D）外离．第6题图如图1，已知点ED、分别在△ABC的边ACAB、上，DE∥BC，3:1:=DBAD，那么DBCDECSS△△:等于()．（A）2:1；（B）3:1；（C）3:2；（D）4:1．:1:3,:1:4,AD DB AD AB=∴=如图1，△ABC中，60BAC∠=︒，BO、CO分别平分ABC∠、ACB∠，2AO=，下面结论中不一定正确的是()（A）120BOC∠=︒；（B）30BAO∠=︒；（C）3OB=；（D）点O到直线BC的距离是1．ACOB图15已知点A、B、C在圆O上，那么下列命题为真命题．．．的是（）.（A）如果半径OB平分弦AC，那么四边形OABC是平行四边形；（B）如果弦AC平分半径OB，那么四边形OABC是平行四边形；（C）如果四边形OABC是平行四边形，那么∠AOC=120°；（D）如果∠AOC=120°,那么四边形OABC是平行四边形.如图1，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（）（A）12；（B）13；（C）14；（D）25.下列命题中，正确的是()（A）对角线相等的四边形是平行四边形；（B）对角线互相垂直的四边形是菱形；（C）对角线相等的平行四边形是矩形；（D）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．如图1，矩形ABCD中，AB=1，∠ABD=60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是()图1AB CD（A）0＜r≤1；（B）1＜r≤3；（C）1＜r≤2；（D）3＜r≤2．已知在ABC△中，5AB AC==，6BC=，如果以A为圆心r为半径的⊙A和以BC为直径的⊙D相交，那么r的取值范围（）(A)14r<<；(B)410r<<；(C)17r<<；(D)710r<<．6把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=8，那么球的半径长是()．（A）4；（B）5；（C）6；（D）8.（第6题图）如图,在△ABC中，∠ACB=90°．用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线CP,那么下列作法一定正确的是()（A）（B）（C）（D）要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（）（A）任选两个角，测量它们的角度；（B）测量四条边的长度；（C）测量两条对角线的长度；（D）测量两条对角线的交点到四个顶点的距离．某个多边形的每个外角都是72 ，这个多边形是边形.已知一个三角形的两边长分别是2和3，如果第三条边长是奇数，那么这个三角形的周长是．若一个正多边形的每一个外角都是36度，则这个正多边形的中心角是度.如果正六边形的半径长为2，那么它的面积为．7如果一个正多边形的中心角是︒36，那么这个正多边形的边数是．已知半径分别是2和6的两圆的圆心距为6，那么这两个圆有个公共点．如果两圆的半径分别为5和2，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是．如图2，在正五边形ABCDE中，F是边BC延长线上一点，联结AC，那么∠ACF的度数为.正八边形的每一个外角为度．已知相交两圆的半径长分别为R和r，如果两圆的圆心距为6，且2R r=，试写出一个符合条件的r的值：．如图4，在Rt△ABC中，︒=∠90C，13=AB，135sin=A，以点C为圆心，R为半径作圆，使A、B两点一点在圆内，一点在圆外，那么R的取值范围是．8如图，已知⊙O的内接正方形ABCD，点F是CD的中点，AF与边DC交于点E，那么EFAE=．水平放置的圆柱形油槽的圆形截面如图2所示，如果该截面油的最大深度为2分米，油面宽度为8分米，那么该圆柱形油槽的内半径为分米．如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱形”．有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为2，这两条边的夹角是90°，那么这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知16=BD，34tan=∠OCD，如果点E是边AB的中点，那么=OE ．9如图3，已知点E在矩形ABCD的边AD上，且BC=EC=8，∠ABE=15°，那么AB的长等于.七巧板是中国传统智力玩具，现用以下方法制作一副七巧板：如图2所示，取一张边长为20厘米的正方形纸板，联结对角线BD；分别取BC、CD中点E、F，联结EF；过点A作EF垂线，分别交BD、EF于G、H两点；分别取BG、DG中点M、N，联结MH、NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形GHFN的面积是平方厘米．如图4，已知△ABC中，∠BAC=30°，∠B=70°，如果将△ABC 绕点C顺时针旋转到△A’B’C，使点B的对应点B’落在边AC上，那么∠AA’B’的度数是.10如图，△ABC和△AMN都是等边三角形，点M是△ABC的重心，那么ADEABCSS=△△．如图，已知AD、BE是ABC∆的中线，AD和BE交于点G，当ADCAEG∠=∠时，那么ADAC的值等于．（第17题图）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕着点B旋转后，点C落在AC边上的点E处，点A落在点D处，DE与AB相交于点F，如果BE=BF，那么∠DBC的大小是．第17题图CABDFE11如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=80°，如果将菱形ABCD 绕着点D逆时针旋转后，点A恰好落在菱形ABCD的初始边AB上的点E处，那么点E到直线BD的距离为．已知□ABCD中，AB=4，ABC∠与DCB∠的角平分线分别交边AD于点E、F，且EF=3，那么边AD的长为．在矩形ABCD中，5AB=，8AD=，点E在边AD上，3AE=，以点E为圆心、AE为半径作⊙E（如图5），点F在边BC上，以点F为圆心、CF为半径作⊙F.如果⊙F与⊙E外切，那么CF的长是.12如图，已知正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，那么弧BF的长为．（结果保留p）第17题图ABCDEF如图3，在平面直角坐标系xOy内，已知点(3,1)G-，(1,3)A-，(4,0)B-，如果⊙C是以线段AB为直径的圆，那么点G到⊙C上所有点的距离中，最小距离为．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，已知︒=∠45CEA，7=DE，23=OE，那么ABD∠cot的值为．13如图5，将矩形ABCD纸片沿对角线AC折叠，点B落在点E处，EC与边AD相交于点F．如果2AD AB，那么∠DCF的正弦值等于．AABBDDCC（图5）如图4，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AD=1，CD=2．（1）如果BC=3，求cot B的值；（2）如果AB=BC,求四边形ABCD的面积．（图4）DABC如图，已知CE、CF分别是平行四边形ABCD的边AB、AD上的高，对角线AC、BD相交于点O，且CE=CF．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）当AB:BE=3:2，CE=5时，求∠CAE的余切值．A B EFCDO第21题图D如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，点D为AB 的中点，过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点E．（1）求线段CD的长；（2）求CDDE的值．（第21题图）EABC如图5，在△ABC中，已知BC=12，1tan2B=，∠C=45°．（1）求边AB的长；（2）已知点D在AB边上，且13ADBD=，联结CD，试说明∠BCD与∠B相等.图5CAB1415如图，已知在△ABC中，AC=，6BC=，⊙O经过△ABC 的顶点A、C，交AB边于点D，AD=，点C是 AD的中点．（1）求⊙O的半径长；（2）联结DC，求sin BCD∠的值．如图6，在△ABC中，ABAC=，53sin=A，圆O经过BA、两点，圆心O在线段AC上，点C在圆O内，且3=OC．（1）求圆O的半径长；（2）求BC的长．图616已知：如图6，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分△ABC的外角∠DAC，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别是点M、N，且OM=ON．（1）求∠OAE的度数；（2）如果BC=6，3cos5B=，求⊙O的半径长．（图6）OAB CEM ND（图6）OAB CEM NDH如图，已知在ABC∆中，6==ACAB，BC=4，点E、F分别是AB、AC的中点，过点C作CD//AB交EF的延长线于点D，联结AD．（1）求∠B的正弦值；（2）求线段AD的长．17已知，如图3，⊙O的半径为2，半径OP被弦AB垂直平分，交点为Q，点C在圆上，且»»BC BP=.（1）求弦AB的长；（2）求图中阴影部分面积（结果保留π）.如图8，在△ABC中，AB=5，AC=tan∠BAC=2．小明根据下列步骤作图：①以点C为圆心，AC的长为半径作弧，交AC的延长线于点D；②以点A为圆心，取定长a为半径作弧分别交∠BAC的两边于点M、N；③以点D为圆心，a为半径作弧，交CD于点P；④以点P为圆心，MN的长为半径作弧，交前弧于点Q，联结DQ并延长交BC的延长线于点E．（1）填空：由作图步骤①可得CD=AC；由作图步骤②③④可得=；又因为∠ACB=∠DCE；所以△ABC≌△DEC，理由是．（2）联结AE，求tan∠EAD的值．18如图7，在△ABC中，AD BC⊥，垂足为点D，DE//AC，4cos5C=，10AC=，2BE AE=．（1）求BD的长；（2）求△BDE的面积．ADECB图7第1页共36页下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（）（A）等边三角形；（B）菱形；（C）等腰梯形；（D）圆．D如果一个三角形的两边长分别为5cm、10cm，那么这个三角形的第三边的长可以是（）（A）3cm；（B）5cm；（C）10cm；（D）16cm.C如图，已知⊙O 及其所在平面内的4个点.如果⊙O 半径为5，那么到圆心O 距离为7的点可能是（）.（A）P 点；（B）Q 点；（C）M 点；（D）N点．C下列命题中，假命题．．．的是（）.（A）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（B）对角线互相垂直的梯形是等腰梯形；（C）对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；（D）对角线平分一组对角的矩形是正方形．BA 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,是真命题，不符合题意;B 、对角线相等的梯形是等腰梯形,故本选项说法是假命题，符合题意;C 、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意;D 、对角线平分一组对角的矩形是正方形,是真命题,不符合题意;故选:B.下列命题是真命题的是()（A）平行四边形的邻边相等；（B）平行四边形的对角线互相平分；（C）平行四边形内角都相等；（D）平行四边形是轴对称图形．B由平行四边形的性质可知：平行四边形的两组对边相等;平行四边形的对角线互相平分;平行四边形的对角相等;平行四边形是中心对称图形;故选：B.如图2，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果8BC=，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（）（A）4；（B）8；（C）83；（D）163.A过点A作AH BC⊥于点H,交FG于点K,如图, 四边形DEFG为正方形, ,//FG GD FG BC∴=,AH BC AK GF⊥∴⊥,∴四边形GDHK为矩形,GD KH∴=,GF KH∴=. //AK FGFG BC AGF ABCAH BC∴∴∴=18,323282BC ABC BC AH AH=∴⋅=∴=的面积为8,488x xFG KH x x-==∴=∴=∴设这个正方形的边长为4，故选A顺次联结四边形ABCD各边中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD一定是（）（A）菱形；（B）对角线相等的四边形；第2页共36页第3页共36页（C）对角线互相垂直的四边形；（D）对角线互相垂直且平分的四边形．C如图，四边形EFGH 是矩形,且E F G H 、、、分别是AB BC CD 、、、AD 的中点,由于E F G H 、、、分别是AB BC CD 、、、AD 的中点，根据三角形中位线定理得:////,//EH FG BD EF //AC HG ∵四边形EFGH 是矩形,即EF FG ⊥,AC BD ∴⊥,即四边形ABCD -定是对角线互相垂直的四边形.故选:C.已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（）（A）OA =OC ；（B）OA =OB ；（C）∠ABD =∠CBD ；（D）∠ABD =∠CAB．C对角线相互垂直的平行四边形是菱形，所以A、B 不正确；邻边相等的平行四边形时菱形，所以C 正确；∵∠ABD =∠C AB∴AC=AB，不能说明它是菱形，所以D 不正确；故选C下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()．（A）等边三角形；（B）等腰梯形；（C）矩形；（D）正五边形．A 是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不正确；B 是轴对称图形，也是中心对称图形，故B 正确；C 是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 不正确；D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D正确；故选B.正方形具有而菱形不一定具有的性质是()（A）对角线相等；（B）对角线互相垂直；（C）对角线平分一组对角；（D）对角线互相平分．A正方形的对角线相等、互相平分且垂直；菱形的对角线互相平分且垂直，故选A.在下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．DA不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不正确；B是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不正确；C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不正确；D是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确；故选D.下列命题是真命题的是（）(A)四边都相等的四边形是正方形；(B)一组邻边相等的矩形是正方形；(C)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；(D)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．BA、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；D.对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；笛卡尔心形图斐波那契螺旋线赵爽弦图科克曲线第4页共36页故选:B.下列图形中，是中心对称图形且旋转240°后能与自身重合的图形是()．（A）等边三角形；（B）正方形；（C）正八边形；（D）正十二边形．DA.等边三角形不是中心对称图形，故A不正确；B.正方形是中心对称图形，绕对角线的交点旋转90 或180 或270 与自身重合,故B不正确题意；C.正八边形是心对称图形，绕对称中心旋转45 或90 或135 或180 或225 或270 或315 与自身重合，故C不正确;D.正十二边形是中心对称图形，绕对称中心旋转30 或30 的倍数与自身重合,故D正确;故选:D.下列命题正确的是（）（A）三点确定一个圆；（B）圆的任意一条直径都是它的对称轴；（C）等弧所对的圆心角相等；（D）平分弦的直径垂直于这条弦.CA、不在同一直线上的三点确定一个圆,故原命题错误，不符合题意;B、圆的任意一条直径都是它的对称轴,故原命题错误，不符合题意;C、等弧所对的圆心角相等,正确,符合题意;D、平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,故原命题错误,不符合题意.故选:C.已知两圆相交，圆心距为3，一个圆的半径是2，那么另一个圆的半径长可以是()（A）1；（B）3；（C）5；（D）7．B因为两圆相交，圆心距P满足:R r P R r-<<+,即37P<<,满足条件的圆心距只有B,故选：B.如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，BC=12．分第5页共36页别以点O、D为圆心画圆，如果⊙O与直线AD相交、与直线CD相离，且⊙D与⊙O内切，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．142r<<；B．562r<<；C．2592r<<；D．913r<<．C解答,,OM AD M ON DC N⊥⊥作于于四边形ABCD是矩形，BO OD OA OC∴===,MA MD∴=,OM∴是DAB∆的中位线,115 2.522OM AB∴==⨯=同理:1112622ON BC==⨯=,设O的半径是r',O与直线AD相交、与直线CD相离, 2.56r∴'<<,由题意知r r>',不然D和O不能内切,113 6.5,2BD OD BD===∴==∴两圆的圆心距 6.5d OD==,, 6.5, 2.5 6.56 6.5,912.5.d r r r r r r∴=-∴=+∴+<<+<'∴'<故选:C.如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是()（A）矩形；（B）正方形；（C）等腰梯形；（D）直角梯形．D因为矩形、正方形、等腰梯形的对角线相等，所以选D如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（）第6页共36页第7页共36页（A）内切；（B）外切；（C）相交；（D）外离．第6题图D分别取AB DC 、中点M 和N ,连接MN ,MN ∴是梯形ABCD 的中位线,()()1139622MN AD BC ∴=+=⨯+= 分别以AB CD 、为直径的圆的圆心是M 和N ,M ∴ 和N 的圆心距6d MN ==,M 的半径1163,22R AB N==⨯= 的半径114222r CD ==⨯=,d R r ∴>+∴这两圆的位置关系是外离.故选:D.如图1，已知点E D 、分别在△ABC 的边AC AB 、上，DE ∥BC ，3:1:=DB AD ，那么DBC DEC S S △△:等于()．（A）2:1；（B）3:1；（C）3:2；（D）4:1．:1:3,:1:4,AD DB AD AB =∴= 1//,,4,4DE AD DE BC ADE ABC BC DE BC AB ∴∆∆∴==∴= 设点C 到DE 的距离为1h ,点D 到BC 的距离为2h第8页共36页11221•12//,,:1:4.14•2DEC DEC DBC DBCDE h S DE DE BC h h S S S BC BC h ∆∆∆∆∴=∴==== 即故选:D.如图1，△ABC 中，60BAC ∠=︒，BO 、CO 分别平分ABC ∠、ACB ∠，2AO =，下面结论中不一定正确的是()（A）120BOC ∠=︒；（B）30BAO ∠=︒；（C）3OB =；（D）点O 到直线BC 的距离是1．ACOB图1C△ABC 中，6018060120BAC ABC ACB ∠=︒∴∠+∠=-︒=BO 、CO 分别平分ABC ∠、11,22ACB ABO CBO ABC ACO BCO ACB∠∴∠=∠=∠∠=∠=∠1111206018060120222CBO BCO ABC ACB BOC ∴∠+∠=+∠=⨯︒=︒∴∠=-︒=故A 正确；∵BO、CO 是角平分线，∴AO 平分11603022BAC BAO BAC ∠∴∠=∠=︒=︒，,故B 正确；角平分线上的点到角两边的距离相等，点O 到直线BC 的距离等于点O 到直线AB 的距离，为11=2=122OA ⋅⨯，所以D 正确；C 项无条件可证明；故选C.已知点A 、B 、C 在圆O 上，那么下列命题为真命题．．．的是（）.（A）如果半径OB 平分弦AC ，那么四边形OABC 是平行四边形；（B）如果弦AC 平分半径OB ，那么四边形OABC 是平行四边形；第9页共36页（C）如果四边形OABC 是平行四边形，那么∠AOC =120°；（D）如果∠AOC =120°,那么四边形OABC是平行四边形.CA ,当半径OB 平分弦AC ,但弦AC 平平分OB 时,四边形ABC 不是平行四边形,故本选项说法是假命题;B ,当弦AC 平分半径OB ,但弦AC 不垂直半径OB 时，四氻形OABC 不是平行四边形，故本选项说法是假命;C ，如图，在优弧 AC 上取点D ,连接AD CD 、四边形OABC 是平行四边形,ABC AOC ∴∠=∠,由圆周角定理得:12D AOC ∠=∠,12D ABC ∴∠=∠, 四边形OABC 为圆O 的内接四边形，180D ABC ∴∠+∠= ,120ABC ∴∠= ,120AOC ∴∠= ，故本选项说法是直命题,符合题意;D ,当120AOC ∠= ,四边形OABC 不一定是平行四边形;,故本选项说法是假命题;故选:C.如图1，点G 是△ABC 的重心，四边形AEGD 与△ABC 面积的比值是（）（A）12；（B）13；（C）14；（D）25.B如图,连接DE , 点G 是ABC ∆的重心，D ∴是AC 的中点,E 是AB的中点,1//,2DE BC DE BC ∴=,AED ABC ∴∆∆∽,214ADE ABC S ED S BC ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,14ADE ABC S S ∆∆∴=,第10页共36页AE BE = ,1,,:1:3,4BDE ABC S S G ABC DG BD ∆∆∴=∆∴= 点是的重心11,312DEG BDE ABC S S S ∆∆∆∴==1114123AED DGE ABC ABC ABCAEGD S S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=+=四边形1.3AEGD ABC ∴∆=四边形与面积的比值故选:B.下列命题中，正确的是()（A）对角线相等的四边形是平行四边形；（B）对角线互相垂直的四边形是菱形；（C）对角线相等的平行四边形是矩形；（D）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．CA 、对角线互相平分的四边形是平行四边形,原命题是假命题，不符合题意；B 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,原命题是假命题，不符合题意;C 、对角线相等的平行四边形是矩形,是真命题，符合题意;D 、对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；故选:C.如图1，矩形ABCD 中，AB =1，∠ABD=60°，点O 在对角线BD 上，圆O 经过点C ．如果矩形ABCD 有2个顶点在圆O 内，那么圆O 的半径长r 的取值范围是()图1ABCD（A）0＜r ≤1；（B）1＜r ≤3；（C）1＜r≤2；（D）3＜r ≤2．B当圆心处于BD 中点时，为临界状态，此时四点共圆，当圆心往B 点运动时，半径变大，且AB点到圆心的距离小于半径，D 点到圆心的距离大于半径；所以圆半径的取值范围为1＜r≤3；已知在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，如果以A 为圆心r 为半径的⊙A 和以BC 为直径的⊙D 相交，那么r 的取值范围（）(A)14r <<；(B)410r <<；(C)17r <<；(D)710r <<．第11页共36页C由题意得：3BD DC ==,5AB AC ==,由勾股定理得:4AD =,设A 的半径为r ,根据两圆相交得：343,17,r r r -<<+<<故选:C.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=8，那么球的半径长是()．（A）4；（B）5；（C）6；（D）8.（第6题图）过点O 昨OM EF ⊥于点M ,连接OE 。
沪教版(上海)九年级数学综合拓展卷(二)
沪教版（上海）九年级综合拓展卷（二）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．2 . 在“测量旗杆的高度”数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为，则旗杆的高度为（）A．B．C．D．3 . 抛物线y=2x2﹣3的对称轴是（）D．直线x=﹣3A．y轴B．直线x=2C．直线4 . 甲、乙两超市今年上半年盈利情况统计图如图，下面结论不正确的是（）A．甲超市利润逐月减少B．乙超市利润在月至月间逐月增加C．月份两家超市利润相同D．乙超市在月份的利润必超过甲超市5 . 直线、、在同一平面内，在下述四种说法中，正确的个数为（）如果，，那么；如果，，，那么；如果，，那么；如果与相交，与相交，那么与相交．A．1个B．2个C．3个D．4个6 . 在中，、均为锐角，且，则是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形二、填空题7 . 代数式是关于、的一个完全平方式，则=_________.8 . 二次函数经过点，则这个函数的解析式为________．9 . 如图，是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于__________.10 . 方程的解是____________________．11 . 若直线经过点(-5,-2)，则的值为______.12 . 如图，在△ABC中，DE分别与AB、AC相交于点D、E，且DE∥BC，如果，那么=_____．13 . 如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且E为BC的中点，则cos∠BFE的值是_________．14 . 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AECD重叠部分的面积是_______．15 . 如果抛物线L：y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，且a≠0）与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线的顶点P在直线l上，那么称该直线l是抛物线L的“梦想直线”如果直线l：y=nx+1（n是常数）是抛物线L：y=x2﹣2x+m（m是常数）的“梦想直线”，那么m+n的值是_____．16 . 如图，抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、C，连结AB，以AB为边向右做平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则平行四边形的面积为_____．17 . 在开展“课外阅读”活动中，某校为了解全校1200名学生课外阅读的情况，随机调查了60名学生一周的课外阅读时间，并绘制成如图所示的条形统计图．根据图中数据，估计该校1200名学生一周的课外阅读时间不少于7小时的人数是_______．18 . 两直角边是5和12的直角三角形中，其内心和外心之间的距离是_______．三、解答题19 . 2017年3月27日是全国中小学生安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整致，满分为10分）进行统计，绘制了图中两幅不完整的统计图．（1）a=_____，n=_____；（2）补全频数直方图；（3）该校共有2000名学生．若成绩在70分以下（含70分）的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？20 . 已知，如图(a)，抛物线经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为A．以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N．∠ONE=30°，．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．21 . 已知，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，AC是⊙O的直径．（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数；（2）如图2，延长PB、AC相交于点D．若AP＝AC，求cosD的值．22 . 如图，一航船在A处测到北偏东60°的方向有一灯塔B，航船向东以每小时20海里的速度航行1.5小时到达C处，又测到灯塔B在北偏东15°的方向上，求此时航船与灯塔相距多少海里？（结果保留根号）23 . 如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12.求线段EF的长.24 . 如图，在直角三角形ABC中，ÐACB=90°，AC=BC=10，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转90°得到△A1BC1.（1）线段A1C1的长度是，∠CBA1的度数是.（2）连结CC1，求证：四边形CBA1C1是平行四边形.25 . 已知函数是关于的二次函数．求的值．当为何值时，该函数图象的开口向下？当为何值时，该函数有最小值？试说明函数图象的增减性．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、三、解答题1、3、4、5、6、7、。
2019版沪教版(上海)九年级数学综合拓展卷(一)(I)卷
2019版沪教版（上海）九年级综合拓展卷（一）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题1 . 如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，则EF的长是（）A．4B．5C．D．2 . 抛物线y=﹣（x+1）2+3的顶点坐标（）A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（﹣1，﹣3）D．（﹣1，3）3 . 已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．4 . 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的三倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，以下说法不正确的是（）A．方程x2﹣4x+3=0是3倍根方程B．若关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程，则m+n=0C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程（x﹣3）（mx+n）=0是3倍根方程D．若3m+n=0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn=0是3倍根方程5 . 如图，由点，，，确定的的面积是，则的值是（）．A．B．C．D．或6 . 图是一个“庆祝国庆60周年”的图标，图标中两圆的位置关系不存在的是A．外离B．相交C．外切D．内含二、填空题7 . 如图，正方形ABCD中，AB=2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是______．8 . 计算：sin260°+cos260°﹣tan45°=________．9 . 如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A，已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是____米；10 . 如图，为等腰的外接圆，直径，P为弧上任意一点（不与B，C重合），直线CP 交AB延长线于点Q，在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①若，则弧BP的长为；②若，则AP平分；③若，则；④无论点P在弧BC上的位置如何变化，为定值．11 . 如图，在中，垂直弦于点，交于点，若，半径，则的长是________．12 . 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D和点A．若CE=2，则AB的长是_____.13 . 若∠是锐角，且，则∠的度数为__________．14 . 已知是任一向量，，，用表示，其结果是______．15 . 我县某天的最高气温为5℃，最低气温为零下2℃，则温差______．16 . 已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是_____．17 . 如图，抛物线y=x2–7x+与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1向左平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是__________．18 . 在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为．三、解答题19 . 用直接开平方法解方程：(1) (x－3)2－9＝0;(2) (2t－1)2＝16.20 . 已知关于的二次函数，当取何值时，它的图像开口向下？当取何值时，它的图像开口向上？21 . 计算：22 . 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，联结，若，则的长是______.23 . 如图，在中，，，是的平分线．（1）和相似吗？为什么？（2）、、之间有什么关系？为什么？24 . 已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D, 交⊙O于点C，且AB =8，求CD的长.25 . 青山村种的水稻2015年平均每公顷产，2017年平均每公顷产．求该村种的水稻每公顷产量的年平均增长率．参考答案一、单选题1、2、3、4、5、6、二、填空题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、三、解答题1、2、3、4、5、6、7、。
最新上海市初中九年级数学拓展Ⅱ教学参考资料(含练习册答案)
初中数学拓展Ⅱ课本教学参考材料编者的话《数学课程标准》中安排的初中数学拓展II的内容，是定向拓展内容，提供希望在初中毕业后进入普通高中学习的学生修习。
根据《数学课程标准》编写的“初中数学拓展II”课本（试验本），用于九年级，现正在基地学校进行第一轮教学试验。
为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写人员编写了本册课本的教学参考材料。
这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。
由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。
本《材料》提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好基础。
希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝贵意见和修改建议。
初中数学教材编写组2007年8月第一部分课本概述初中数学拓展II课本（以下简称本册课本），含“一元二次方程与二次函数”、“直线与圆”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。
本册课本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。
初中数学内容的设计，整体上按照六、七年级和八、九年级进行分段，同时在九年级进行必要的分层处理。
在初中阶段，以全体学生必学的数学基本内容为课程内容的核心，着眼于所有学生未来发展的普遍需要，构建共同的数学基础；再以学生定向选学的数学拓展II内容，以及学生按兴趣爱好选学的数学拓展I内容和课外活动材料，适当扩充数学基础，形成具有差别性和层次性的数学，满足不同个性的学生的不同需要。
学生在六年级到九年级所学的数学基本内容中，包括“实数知识基础”、“初等代数知识基础”、“平面几何知识基础与向量代数初步知识”、“初等代数函数的基础与分析初步”、“概率与统计初步知识”。
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初中数学拓展Ⅱ课本教学参考材料编者的话《数学课程标准》中安排的初中数学拓展II的内容，是定向拓展内容，提供希望在初中毕业后进入普通高中学习的学生修习。
根据《数学课程标准》编写的“初中数学拓展II”课本（试验本），用于九年级，现正在基地学校进行第一轮教学试验。
为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写人员编写了本册课本的教学参考材料。
这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。
由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。
本《材料》提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好基础。
希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝贵意见和修改建议。
初中数学教材编写组2007年8月第一部分课本概述初中数学拓展II课本（以下简称本册课本），含“一元二次方程与二次函数”、“直线与圆”两章内容，还有配合各章内容的练习部分。
本册课本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在“二二分段，九年级分层”的框架下进行的。
初中数学内容的设计，整体上按照六、七年级和八、九年级进行分段，同时在九年级进行必要的分层处理。
在初中阶段，以全体学生必学的数学基本内容为课程内容的核心，着眼于所有学生未来发展的普遍需要，构建共同的数学基础；再以学生定向选学的数学拓展II内容，以及学生按兴趣爱好选学的数学拓展I内容和课外活动材料，适当扩充数学基础，形成具有差别性和层次性的数学，满足不同个性的学生的不同需要。
学生在六年级到九年级所学的数学基本内容中，包括“实数知识基础”、“初等代数知识基础”、“平面几何知识基础与向量代数初步知识”、“初等代数函数的基础与分析初步”、“概率与统计初步知识”。
这些知识内容，是学生进一步学习和参与社会生活必备的数学基础；但是，对于将要进入普通高中学习的学生，其数学知识基础的准备还存在不足。
例如在高中数学中，关于一元二次不等式解法的探讨，需要运用二次函数的图像与x轴的位置关系特征；关于函数解析性质的研究和理解，需要借助于二次函数的直观性质；关于集合与命题的讨论、正弦定理以及在直角坐标平面上深入进行关于圆的研究等，还需要更多的有关圆的知识。
因此，安排拓展II的内容并采用自主选择的方式，组织希望在初中毕业后进入普通高中的学生修习，有助于这些学生充实数学基础知识，改善初、高中数学的衔接。
本册课本的编写，注重于初中数学基础知识的充实和内容结构的完善，关注学生进入普通高中学习数学基本内容的需要。
同时，重视与初中数学必学课本中有关内容建立紧密的联系，体现内容的整体性；注意保持初中数学必学课本的编写特点，注意把握有关内容的基础性要求，注意改善内容呈现的方式和体现数学学习的过程。
本册课本第一章是“一元一次方程与二次函数”。
在必学课本中讨论一元二次方程与二次函数的基础上，本章着重研究一元二次方程的根与系数的关系、二次函数的图像相对于x轴的位置与一元二次方程的根的判别式之间的关系、二次函数解析式的确定、求二次函数的图像与x轴的交点坐标，以及它们的简单运用。
同时，通过建立二次函数与一元二次方程之间的联系，促进学生多角度地理解这两部分知识内容和形成整体性的认知结构，领悟数学的思想和方法。
本章对一元二次方程的根与系数关系进行探究，既有理论意义（一元n次方程的根与系数关系定理是方程基本理论中的重要内容），又有运用价值（可直接用于研究和解决相关问题）；而观察、发现、证明一元二次方程的根与系数关系定理的过程，也是对学生探究学习的引导。
建立二次函数与一元二次方程的联系，让学生运用函数的思想理解方程，运用一元二次方程的知识研究二次函数的图像，不仅有助于提升学生的数学观点，同时使学生对二次函数的图像与x轴的位置关系获得理性的认识。
关于二次函数解析式的确定，在必学内容中只涉及已知条件是函数的三组对应值（即图像上的三点坐标）的情况，这里扩展为已知条件与函数图像特征或性质有关，既突出了待定系数法的运用，又有利于学生对有关基本内容的理解。
第二章“直线与圆”是在必学课本中讨论直线、圆的基本知识以及直线与圆的位置关系的基础上编写的。
本章着重研究圆的切线的判定定理和性质定理，切线长定理；两圆的公切线及公切线的长；圆周角和圆周角定理，弦切角和弦切角定理；相交弦定理，割线定理，切割线定理；还有四点共圆等。
这些内容，把直线与圆的位置关系从数量关系特征讨论转到定性研究，从一条直线与圆的位置关系讨论扩展到两条直线与圆的位置关系研究；还把“不共线的三点确定一个圆”引到“四点共圆”的研究。
本章确立了一系列关于直线与圆的关系定理，学生通过本章的学习，可以获得关于圆的基础知识的必要补充，同时进一步得到演绎推理、分类讨论、化归等思想方法的演练。
本章内容的处理，特别强调基础性和教育性；有关定理的运用，一般限为直接用于解决问题，对综合运用的难度有严格控制。
本册内容的呈现，主要采用“过程模式”，通过“问题——活动”的安排，引导学生探索求知。
课本中保持有“问题”、“思考”、“操作”、“想一想”、“议一议”等栏目，有边款点拨、方框解说等版式，以指导学生开展数学活动，帮助学生把握重点和释疑解难，促进学生生动、活泼、主动地学习，深入地思考。
在两章的末尾，分别配备了“探究活动”和“阅读材料”。
关于“公路隧道设计的可行性分析”活动，旨在加强数学应用活动和引导学生探究学习；关于“圆的幂和两圆的等幂轴”的材料，是对课本中“圆幂定理”的解说和扩展。
数学练习部分中的习题安排，重视基本训练，也有层次性。
“试一试”栏目下的题目，一般有较高的难度，这样的题目不要求所有学生都去做，主要提供给有学习兴趣的学生进行研究和讨论，进一步培养学生的探究意识和钻研精神，满足不同学生的学习需要。
数学拓展II的教学课时，含在《上海市中小学课程方案（试行本）》所规定的九年级数学课时中，一般控制为每周2节。
本册课本内容设计的教学课时数为29节，具体的教学计划和进度，由教师根据学校和学生的实际情况进行制定。
各章教学的课时数建议如下：第一章一元二次方程与二次函数13课时（11+2）第二章直线与圆16课时（14+2）第二部分各章说明第一章一元二次方程和二次函数一、 全章综述1．教学目标 ⑴经历对于一元二次方程的根与系数关系的观察、分析和发现过程，理解一元二次方程的根与系数是紧密联系的．掌握一元二次方程的根与系数关系的证明以及它的基本运用． ⑵经历确定二次函数解析式所需独立条件个数的探索过程．知道二次函数解析式的三种基本形式,会用待定系数法求二次函数解析式. 掌握待定系数法的基本运用.⑶建立起二次函数与一元二次方程之间的联系，能以函数的观点来理解一元二次方程，能根据相应的一元二次方程的根的判别式分析二次函数的图像特征.⑷通过二次函数解决简单实际问题的举例，体会二次函数的基本应用.2．课时安排本章教学共13课时，建议分配如下：1．1 一元二次方程的根与系数的关系 3课时1．2 二次函数与一元二次方程 3课时1．3 二次函数解析式的确定 5课时复习小结 2课时3．设计说明本章内容是在学生已学一元二次方程与二次函数基本内容的基础上，对一元二次方程与二次函数的基础知识进行必要的扩充，并把一元二次方程与二次函数相互联系起来.本章首先是对一元二次方程根与系数的关系进行探究，得到一元二次方程的根与系数关系的定理；在知道了这一知识的直接应用后，又介绍了利用整体代入方法求代数式的值，以及利用一元二次方程根与系数的关系建立新方程或者求已知两数和与积的两个未知数的值.其次是建立了一元二次方程与二次函数之间的联系，由图像上发现：如果二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴有公共点，那么公共点的纵坐标为0.由y =0，得到相应的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，则这个方程的实数根就是函数图像与x 轴的公共点的横坐标. 在学生能够利用这一知识直接求二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴的公共点坐标的基础上，进一步发现抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴公共点的个数与一元二次方程根的判别式之间的联系，从而不需画出二次函数的图像就能利用相应的一元二次方程根的判别式的符号来判断这抛物线与x 轴公共点的个数.最后介绍了确定二次函数解析式的三种方法.在九年级第一学期数学课本中，已讲述了由已知二次函数图像经过直角坐标平面上三点的条件确定其解析式的方法。
现在，先将这一方法进行复习巩固，再讲述由已知二次函数图像的顶点坐标或图像与x 轴两交点坐标加上其他一个条件，确定其解析式的方法。
这样，关于确定二次函数解析式的方法就比较多样了，可按已知条件中含“三点”或“顶点”、“两根”，选取二次函数解析式的适当形式，运用待定系数法来确定这个解析式.课本中关于二次函数的应用主要体现在两个方面，一是与几何知识的综合应用，二是在实际生活中的初步应用，从而帮助学生加深理解二次函数的基础知识，把握知识之间的联系，扩展知识的基本应用；帮助学生学习将实际问题转化为数学问题，体验数学建模，在解决实际问题的过程中，感受数学知识“源于实践，又用于实践”.本章内容是中学数学中数形结合教学重要载体之一，应充分发挥其功能.根与系数的关系定理（韦达定理）是方程理论中的重要内容之一，在高中数学中也有较多的应用.关于二次函数及其性质，进入高中后还要从解析的角度进一步研究；初中阶段所学的二次函数内容，是高中阶段继续学习函数内容的不可或缺的基础.因此，课程标准特别指出，本章内容是希望进入普通高中的学生所必须修习的.在本章的学习中，重点是掌握一元二次方程与二次函数之间的联系；难点是如何发现一元二次方程与二次函数之间的联系.教学中要充分展示知识发生的过程，让学生从形、数两方面真正理解一元二次方程与二次函数之间的内在联系，融会贯通有关知识.4．教学建议⑴重视学生的探索学习过程.要在激发学生产生探究一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程与二次函数之间的联系等新知识的欲望方面多下功夫，让学生积极参与探索活动和进行数学思考，真正感受知识发生的过程.⑵注意运用类比、数形结合和化归的数学思想. 在新知识的教学过程中，可以利用图形的直观性，帮助学生建立新旧知识之间的联系，促进已学知识向新知识的过渡和发展. 如课本中指出：“二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像与x 轴有公共点，那么公共点的纵坐标为0.由y =0，得相应的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，则这个方程的实数根就是函数图像与x 轴的公共点的横坐标”；“抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴的公共点的个数，由相应的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式ac b 42-=∆确定；反过来，由抛物线与x 轴的公共点的个数，也可以确定判别式的值的符号”。