一次函数与方程不等式及综合应用
一次函数和不等式的解题技巧
一次函数和不等式的解题技巧一次函数和不等式是数学中非常基础的概念，也是我们日常生活中经常会遇到的问题。
在学习和解决这些问题时，我们需要掌握一些解题技巧，以便更好地理解和应用这些概念。
本文将介绍一些解决一次函数和不等式问题的技巧和方法。
一、一次函数一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k和b是常数。
在解决一次函数问题时，我们需要掌握以下几点：1. 确定函数的斜率和截距一次函数的斜率k表示函数在直线上的倾斜程度，截距b表示函数与y轴的交点。
根据这些信息，我们可以画出函数的图像并更好地理解函数的性质。
2. 确定函数的定义域和值域一次函数的定义域是指函数可取的x值的范围，值域是指函数可取的y值的范围。
在解决问题时，我们需要根据实际情况确定函数的定义域和值域，并注意函数的限制条件。
3. 利用函数的性质解决问题一次函数具有很多性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
在解决问题时，我们可以利用这些性质来简化问题，例如确定函数的最值、解决方程等。
二、不等式不等式是指形如ax + b < c或ax + b > c的式子，其中a、b、c是常数。
在解决不等式问题时，我们需要掌握以下几点：1. 确定不等式的解集不等式的解集是指满足不等式的x值的范围。
在解决问题时，我们需要根据不等式的符号和常数确定解集，并注意解集的限制条件。
2. 利用不等式的性质解决问题不等式具有很多性质，如可加性、可减性、可乘性等。
在解决问题时，我们可以利用这些性质来简化问题，例如确定不等式的最值、解决方程等。
3. 联立不等式解决问题有时候，我们需要联立多个不等式来解决问题。
在联立不等式时，我们需要注意不等式的符号和常数，并根据实际情况确定解集。
三、综合应用在解决实际问题时，我们需要综合运用一次函数和不等式的知识和技巧。
例如，当我们需要求解一条直线与坐标轴围成的三角形的面积时，我们可以利用一次函数的性质确定直线的斜率和截距，并利用不等式的性质确定三角形的顶点坐标和面积。
一次函数与方程、不等式详细教案
一次函数与方程、不等式详细教案第一章：一次函数的概念与性质1.1 一次函数的定义介绍一次函数的定义：形式为y = kx + b（k、b为常数，k≠0）的函数。
强调一次函数的图像为直线。
1.2 一次函数的斜率与截距解释斜率k的意义：直线的倾斜程度。
解释截距b的意义：直线与y轴的交点。
1.3 一次函数的图像特点描述一次函数图像的形状、方向和位置。
第二章：一次函数的图像与解析式2.1 一次函数图像的绘制利用斜率和截距绘制一次函数的图像。
2.2 一次函数解析式的求解介绍求解一次函数解析式的方法：观察图像或给定的点。
2.3 一次函数图像与解析式的关系解释图像与解析式之间的联系。
第三章：一次函数的应用3.1 线性方程的解法介绍解线性方程的方法：代入法、消元法等。
3.2 实际问题中的一元一次方程举例说明一元一次方程在实际问题中的应用。
3.3 一次函数与不等式介绍一次函数与不等式的关系：图像与解集。
第四章：一元一次不等式的解法4.1 不等式的基本性质介绍不等式的加减乘除性质。
4.2 一元一次不等式的解法介绍解一元一次不等式的方法：同解变形、图像法等。
4.3 不等式的应用举例说明一元一次不等式在实际问题中的应用。
第五章：一次函数与方程的综合应用5.1 实际问题中的一次函数与方程组举例说明一次函数与方程组在实际问题中的应用。
5.2 一次函数与方程的综合解法介绍一次函数与方程的综合解法：代入法、图像法等。
5.3 一次函数与方程的拓展应用探讨一次函数与方程在其他领域的应用。
第六章：一次函数的图像与几何性质6.1 一次函数图像的交点介绍如何求出两条一次函数图像的交点。
强调交点在解析几何中的应用。
6.2 一次函数图像与坐标轴的交点解释一次函数与x轴、y轴的交点求解方法。
6.3 一次函数图像的距离和角度介绍如何利用一次函数图像求解两点间的距离和角度。
第七章：一次函数图像的变换7.1 一次函数图像的平移介绍如何对一次函数图像进行上下、左右平移。
一次函数与方程、不等式(市级优质课)
当$k > 0$时，函数为增函数；当$k < 0$时，函数为减函数。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程
1 2
一次函数与一元一次方程的联立
通过联立一次函数和一元一次方程，可以求解出 未知数的值。
解法示例
以$y = x + 1$和$x + y = 2$为例，联立后得到 $x = 1, y = 0$。
应用场景
03
在实际问题中，如抛物线、球体等，可以通过一次函数和一元
二次方程来求解。
一次函数与分式方程
一次函数与分式方程的联立
通过联立一次函和分式方程，可以求解出未知数的值。
解法示例
以$y = x + 1$和$frac{x}{2} + frac{y}{3} = 1$为例，联立 后得到$x = frac{4}{5}, y = frac{9}{5}$。
题能力。
02
一次函数在数学建模中的应用
数学建模是数学竞赛中的重要部分，一次函数可以用来建立实际问题与
数学模型之间的关系。
03
一次函数在几何学中的应用
在几何学中，一次函数可以用来描述直线、平面等几何图形的关系。
一次函数在物理中的应用
一次函数在力学中的应用
在力学中，一次函数可以用来描述物体的运动状态，如速度、加 速度和位移之间的关系。
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应用场景
在实际问题中，如化学反应、工程问题等，可以通过一次 函数和分式方程来求解。
03 一次函数与不等式
一次函数与一元一次不等式
一次函数与一元一次不等式之间的关系
一次函数是线性函数的一种，而一元一次不等式是数学中常见的不等式类型。两者之间存 在密切的联系，可以通过函数的图像和性质来解不等式。
中考方程(组)不等式(组)一次函数求最值的综合应用
专题8 一次函数的应用（即方程（组）不等式（组）和一次函数的综合应用）一次函数求最值，不同于二次函数求最值，它一般分三步：1．根据题目中的等式条件，建立一次函数关系式，确定其增减性；2．根据题目中的不等式条件，列不等式（组），求出自变量的取值范围；3．根据一次函数的增减性，恰当选取自变量的值，求函数的最值。
1.某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如下表，设其中甲种商品购进x件（1）若该商场购进这200件商品恰好用去17900元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这200件商品的总利润为y元．①求y与x的函数关系式；②该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．2.某销售商准备采购A、B两种型号的空气净化器，经调查，采购2台A型净化器和3台B型净化器共需花费11500元，且采购5台A型净化器和购进4台B型净化器所需的费用相等.（1）求每台A型、B型净化器的进价各是多少？（2）若销售商购进A型、B型净化器共50台，其中A型的台数不大于B型的台数，且不少于15台，设购进A型净化器a台.①求a的的取值范围；②已知A型的售价是2600元/台，B型的售价是3200元/台，设销售商售完50台净化器获得的利润为w，求w的最大值.3.某商场筹集资金12.8万元，一次性购进空调、彩电共30台，已知购买3台空调和2台彩电花费2.32万元，购买2台空调和4台彩电需花费2.48万元。
（1）求每台空调与彩电的进价分别是多少元？（2）已知每台空调的售价为6100元，每台彩电的售价为3900元，设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元，试求出y与x的函数关系式；（3）根据市场需要，这些空调、彩电很快全部售出，商场计划再次筹集资金12.8万元，一次性购买空调、彩电共30台，且可全部售出，在（2）的条件下，商场如何进货可获得最大利润，最大利润是多少元？4.某超市计划购进甲、乙两种玩具若干件，已知5件甲种玩具与3件乙种玩具的进价之和为231元，2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价之和为141元.（1）求每件甲种玩具和每件乙种玩具的进价分别是多少？（2）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x>0，且x为整数）件甲种玩具需花费y元，请求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数量超过20件，超市应选择购进哪种玩具最省钱.5.学校打算购进一批甲、乙两种办公桌若干张，若学校购进15张甲办公桌和10张乙办公桌共花费15500元，购进8张甲种办公桌的费用与购买5张乙办公桌的费用相等.（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？（2）若学校购进甲、乙两种办公桌共30张，且甲种办公桌不多于乙种办公桌数量的2倍，请你设计一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用.6.某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资=底薪+计件工资）（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？7.某地新建的一个企业，每月产生1960吨污水，为保护环境，该企业计划购置污水处理器，并在如下两个型号中选择：已知商家售出的2台A型污水处理器和3台B型污水处理器的总价为44万元，售出的1台A型污水处理器和4台B型污水处理器的总价为42万元.（1）求每台A型污水处理器和B型污水处理器的价格分别是多少万元？（2）为确保将每月产生的污水全部处理完，该企业决定购买上述的两种污水处理器共10台，请你设计出最省钱的购买方案，请求出最低费用.答案自我诊断1.考点:一次函数的应用．分析:（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由总价=甲单价×甲商品数量+乙单价×乙商品数量，可得出关于x的一元一次方程，解出方程即可得出结论；（2）①根据利润=甲商品单件利润×数量+乙商品单件利润×数量，即可得出y关于x的函数解析式；②根据总价=甲单价×甲数量+乙单价×乙数量，列出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据y关于x函数的增减性即可解决最值问题；（3）根据利润=甲单件利润×数量+乙单件利润×数量，可得出y关于x的函数解析式，分x的系数大于0、小于0以及等于0三种情况考虑即可得出结论．解：（1）甲种商品购进x件，乙种商品购进了200﹣x件，由已知得：80x+100（200﹣x）=17900，解得：x=105，200﹣x=200﹣105=95（件）．答：购进甲种商品105件，乙种商品95件．（2）①由已知可得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x）=﹣60x+28000（0≤x≤200）．②由已知得：80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∵y=﹣60x+28000，在x取值范围内单调递减，∴当x=100时，y有最大值，最大值为﹣60×100+28000=22000．故该商场获得的最大利润为22000元．（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x），即y=（a﹣60）x+28000，其中100≤x≤120．①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，即商场应购进甲、乙两种商品各100件，获利最大．②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲种商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利都一样．③当60＜x＜70时，a﹣60＞0，y岁x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大值，即商场应购进甲种商品120件，乙种商品80件获利最大．点评:本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（3）根据一次函数的系数分类讨论．本题属于中档题，难度不大，但过程比较繁琐，因此再解决该题是一定要细心．4.考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答．解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．由题意得：，解得：答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800，∴W=﹣8a+3200，又∵a≥，解得：a≥50，∵﹣8＜0，∴W随着a的增大则减小，∴当a=50时，W有最大值2800．∵2800＜3000，∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．。
一次函数与方程和不等式讲义(经典)
一次函数与方程和不等式讲义(经典)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1一次函数与方程和不等式讲义函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
1、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
2、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
3、正比例函数及性质一般地，形如y =kx (k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y =kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k >0时，直线y =kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k <0时，•直线y =kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y =kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k >0时，图像经过一、三象限；k <0时，•图像经过二、四象限 (4) 增减性：k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k |越大，越接近y 轴；|k |越小，越接近x 轴 4、一次函数及性质一般地，形如y =kx ＋b (k ,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b =0时，y =kx ＋b 即y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y =kx +b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y =kx +b 的图象是经过（0，b ）和（－kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y =kx +b ,它可以看作由直线y =kx 平移|b |个单位长度得到.（当b >0时，向上平移；当b <0时，向下平移）（1）解析式：y =kx +b (k 、b 是常数，k ≠0 （2）必过点：（0，b ）和（－kb，0）（3）走向： k >0，图象经过第一、三象限；k <0，图象经过第二、四象限 b >0，图象经过第一、二象限；b <0，图象经过第三、四象限 ⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k >0，y 随x 的增大而增大；k <0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k | 越大，图象越接近于y 轴；|k | 越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b >0时，将直线y =kx 的图象向上平移b 个单位； （上加下减，左加右减） 当b <0时，将直线y =kx 的图象向下平移b 个单位.当b <0时，向下平移）.5、直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2的位置关系（1）两直线平行：k 1=k 2且b 1 ≠b 2 （2）两直线相交：k 1≠k 2 （3）两直线重合：k 1=k 2且b 1=b 2 （4）两直线垂直：k 1·k 2= –1 6、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 7、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax +b =0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y =ax +b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.8、一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k ,b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例，这就是说，在y=kx+b 中，当y=0时，即为一元一次方程. 9、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）任何二元一次方程ax+by=c (a ,b ,c 为常数，且a≠0,b≠0)都可以化为y=-a b x+ cb的形式，所以每个二元一次方程都对应着一个一次函数；（2）从“数”的角度看，解方程组相当考虑求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条相应直线的交点坐标.10、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积一次函数y =kx ＋b 的图象与两条坐标轴的交点：与y 轴的交点（0，b ），与x轴的交点（kb-，0）.直线（b ≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为s =k b b k b 2212=⨯⨯ 例题讲解：探究类型之一 一次函数与一元一次方程综合【例1】 已知直线(32)2y m x =++和36y x =-+交于x 轴上同一点，m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1-D ．0【例2】 已知一次函数y x a =-+与y x b =+的图象相交于点()8m ，，则a b +=______．【例3】 已知一次函数y kx b =+的图象经过点()20，，()13，，则不求k b ，的值，可直接得到方程3kx b +=的解是x =______．类似性问题1、把直线y=-x+3向上平移m 个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则m 的取值范围是（ ） <m<7 <m<4 >1 <4探究类型之二 一次函数与一元一次不等式【例4】 已知一次函数25y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当32x =时，y 的值；（3）求出当3y =-时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，0y >，0y =，0y <【例5】 当自变量x 满足什么条件时，函数41y x =-+的图象在：（1）x 轴上方；（2）y 轴左侧； （3）第一象限．（2）已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例6】 已知一次函数23y x =-+（1）当x 取何值时，函数y 的值在1-与2之间变化（2）当x 从2-到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少类似性问题1、 如图，函数1y =｜x ｜，2y =13x+43，当1y ＞2y 时，x 的取值范围是（ ）A. x ＜-1B. -1＜x ＜2C. x ＜-1或x ＞2D. x ＞22、 如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （-3，0），B （0，5）两点，则不等式-kx -b ＜0的解集为（ ） A. x ＞-3 B. x ＜-3 C. x ＞3 D. x ＜33、如图，直线y 1=kx+b 过点A （0，2），且与直线y 2=mx 交于点 P （1，m ),则不等式组mx ＞kx+b ＞mx -2的解集是________.探究类型之三 一次函数、方程（组）、不等式（组）与几何等知识的综合例3、已知一次函数y=kx+b 的图象经过点（-1，-5），且与函数y=12x+1的图象相交于点A （83，a ）．（1）求a 的值；（2）求不等式组0＜kx+b ＜12x+1的正整数解；（3）若函数y=kx+b图象与x轴的交点是B，函数y＝12x+1的图象与y轴的交点是C，求四边形ABOC的面积．例4、如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y 轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y=-x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求直线l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．类似性问题1．某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国营出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x（cm），应付给个体车主的月费用为y1元，•应付给汽车出租公司的月费用为y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图像（两条射线）如图所示，观察图像回答下列问题：（1）每月行驶的路程在什么范围内，租出租公司的车合算（2）每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300km，那么这个单位租哪家车合算2．某学校计划购买若干台电脑，•现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收费，其余每台优惠25%，那么甲商场的收费y1（元）与所买电脑台数x之间的关系式是________．乙商场的优惠条件是：每台优惠20%，那么乙商场的收费y2（元）与所买电脑台数x之间的关系式是_________．（1）什么情况下到甲商场购买更优惠（2）什么情况下到乙商场购买更优惠（3）什么情况下两家商场的收费相同探究应用拓展性训练1．（与现实生活联系的应用题）某单位要制作一批宣传材料．甲公司提出：每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费．问：让哪家公司制作这批宣传比较合算2．（学科内综合题）下图表示学校浴室淋浴器水箱中的水量y（L）•与进水时间x（min）的函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）进水多少分钟后，水箱中的水量超过100L3．小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元．（1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式．（2）小明的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱，•表示从现在起每个月存18元，争取超过小明．请你在同一平面直角坐标系中分别画出小明和小丽存款数和月份数的函数关系的图像．半年以后小丽的存款数是多少能否超过小明•至少几个月后小丽的存款数超过小明4．（探究题）某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车，•使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为1．2元，•乙汽车出租公司的条件是每月须支付司机800元的工资，另外每千米的租车费为1元，设在这一个月中汽车行驶x（km），租用甲公司的费用为y1（元），租用乙公司的费用为y2（元）．（1）试分别写出y 1，y 2与x 之间的函数关系式．（2）当汽车行驶路程为多少千米时，租用乙公司的汽车合算一次函数与方程和不等式 课后练习1：一次函数y =kx +b 的图象如图所示，则方程kx +b =0的解为( )A ．x =2B ．y =2C ．x =1-D ．y =1-2：一次函数y =ax +b 的图象如图所示，则不等式ax +b ＞0的解集是( ) A ．x ＜2 B ．x ＞2 C ．x ＜1 D ．x ＞13：已知一次函数y =ax +b 的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点(2，0)，则关于x 的不等式a (x 1)b ＞0的解集为( ) A ．x ＜1 B ．x ＞1 C ．x ＞1 D ．x ＜14：如图，已知函数y =ax +b 和y =kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax by kx=+=⎧⎨⎩的解是 ．5：如图，以两条直线l 1，l 2的交点坐标为解的方程组是( )A ．121x y x y -=-=⎧⎨⎩B ．121x y x y -=--=-⎧⎨⎩C ．121x y x y -=--=⎧⎨⎩D ．121x y x y -=-=-⎧⎨⎩6：(1)已知关于x 的方程mx +n =0的解是x =-2，那么，直线y =mx +n 与x 轴的交点坐标是 ．(2)如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y =kx +b 与直线OA ：y =mx 相交于点A (1，2)，则关于x 的不等式kx +b ＜mx 的解是 ．(3)如图，直线l 1和l 2的交点坐标为( ) A ．(4，2) B ．(2，-4) C ．(-4，2) D ．(3，1)7：(1)已知方程2x +1=-x +4的解是x =1，那么，直线y =2x +1与直线y =-x +4的交点坐标是 __ __ ．(2)在平面直角坐标系中，直线y =kx +1关于直线x =1对称的直线l 刚好经过点(3，2)，则不等式3x ＞kx +1的解集是__ __ ． (3)如图，直线l 1、l 2交于点A ，试求点A 的坐标．8：已知一次函数y1=kx+b和正比例函数y2＝1x的图象交于点A(2，m)，又一2次函数y1=kx+b的图象过点B(1，4)．(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象写出y1＞y2的取值范围．9：如图，已知一次函数的图象经过点A(1，0)、B(0，2)．(1)求一次函数的关系式；(2)设线段AB的垂直平分线交x轴于点C，求点C的坐标．10：如图，已知直线y=kx+b经过点A(1，4)，B(0，2)，与x轴交于点C，经过点D(1，0)的直线DE平行于OA，并与直线AB交于点E．(1)求直线AB的解析式；(2)求直线DE的解析式；(3)求△EDC的面积．11：随着人们节能环保意识的增强，绿色交通工具越来越受到人们的青睐，电动摩托成为人们首选的交通工具，某商场计划用不超过140000元购进A、B两种不同品牌的电动摩托40辆，预计这批电动摩托全部销售后可获得不少于品牌价格A品牌电动摩托B品牌电动摩托进价(元/辆)40003000售价(元/辆)50003500设该商场计划进A品牌电动摩托x辆，两种品牌电动摩托全部销售后可获利润y元．(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)该商场购进A品牌电动摩托多少辆时获利最大，最大利润是多少。
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。
19.2.3一次函数与方程、不等式
思考
下面三个不等式有什么共同特点？你能从函 数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的 结论推广到一般情形吗？ （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1． 用函数图象的角度看： 3 不等式ax+b＞c的解集就是 2 使直线y =ax+b 在直线y=c上方时 对应的自变量的取值范围； 1 不等式ax+b＜c的解集就是 使直线y =ax+b 在直线y=c下方时-2 -1 O -1 对应的自变量的取值范围.
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？
h1
h2
气球1 海拔高度：y =x+5
气球2 海拔高度：y =0.5x+15
想一想
（1）在什么时候，1 号气球比2 号气球高？ （2）在什么时候，2 号气球比1 号气球高？ y
30 25 20 15 10 5 O
分析问题
一次函数 用方程观点看 y =0.5x+15
用函数观点看
二元一次方程 y -0.5x =15
二元一次方程 y =0.5x+15
从式子（数）角度看：
一次函数
二元一次方程
分析问题
从形的角度看，二元一次方程与一次函数有什么关
系？ 在坐标系中画出以方程 y =0.5x+15 的解为坐标的 点组成的图形就是一次函 数y =0.5x+15 的图象. y y =0.5x+15
ax+b 与x轴的交点的横坐标的值”
b 2、当x a
时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0？
一元一次方程问题
一次函数与方程、不等式、方程组关系PPT课件
05
CHAPTER
总结与展望
总结一次函数与方程、不等式、方程组的关系
一次函数与方程的关系
一次函数与方程组的关系
一次函数是线性方程的几何表示，通 过将方程中的x替换为函数表达式，可 以得到相应的方程。
一次函数可以用于解决线性方程组问 题，通过消元法或代入法将方程组转 化为一次函数的交点问题。
一次函数与不等式的关系
斜率
一次函数图像的倾斜程度 由斜率k决定，k>0时，图 像为增函数；k<0时，图 像为减函数。
截距
b为y轴上的截距，表示函 数与y轴交点的纵坐标。
一次函数的图像
绘制方法
通过代入一组x值计算对应的y值 ，得到一系列点，将这些点连接 成线即可得到一次函数的图像。
图像特点
一次函数图像是一条直线，斜率为 k，截距为b。
一次函数与方程、不等式、方 程组关系ppt课件
目录
CONTENTS
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程的关系 • 一次函数与不等式的关系 • 一次函数的应用 • 总结与展望
01
CHAPTER
一次函数的基本概念
一次函数的定义
01
02
03
一次函数
形如y=kx+b（k≠0）的 函数，其中x是自变量，y 是因变量。
一次函数与一元一次不等式组
一元一次不等式组
由两个或两个以上一元一次不等式组成的集合。
关系
对于一元一次不等式组，可以通过将其转化为一次函数的形式，利用函数的交点来求解。例如，解不等式组 $begin{cases} x + 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，可以将其转化为两个一次函数的形式，然后找到两个函数的 交点，即解集。
一次函数与一元一次方程、不等式
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
1 知识小结
任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常 数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某 个一次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图 象上看，相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴的交点 的横坐标．即“形”题用“数”解，“数”题用“形”解， 充分体现了数形结合的思想．
1 【2016·桂林】如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2) 和点B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是( D ) A．x＝2 B．x＝0 C．x＝－1 D．x＝－3
2 【中考·合肥】已知方程 1 x＋b＝0的解是x＝
2 －2，下列可能为直线y＝
1 2
x＋b的图象的是
( C)
3 如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点
因为任何一个以x为未知数的一 元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
一次函数与一元一次方程的联系： 任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变
形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一 元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映 在图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
不等式在实际问题中的应用
方案优选问题 在多种方案中选择最优方案，可以通过建立和解决不等式来比较各种方案的优劣。 最大值最小值问题 在生产、生活中，经常需要求某个量的最大值或最小值，可以通过建立不等式来解决。 经济问题 在经济学中，价格、成本、利润等变量之间存在不等关系，可以通过建立和解决不等式来分析经济问题。
建立实际问题与数学模型的联系
实际问题的数学建模与解决
通过分析实际问题，将问题转化为数学模型，如线性方程、不等式或函数表达式。
利用数学知识和方法求解数学模型，得出实际问题的解决方案。
实际问题的数学解决方案
将数学解决方案应用到实际问题中，验证其可行性和有效性。
实际问题的应用与验证
综合应用题的解题思路与技巧
方程组在实际问题中的应用
在经济学中，方程组被用来描述和解决各种问题，如供需关系、成本和收益等。
经济问题
在解决物理问题时，经常需要建立和解决方程组，例如在力学、电磁学和热力学等领域。
物理问题
在航天工程中，需要建立复杂的方程组来描述和解决飞行器的轨道、速度和加速度等问题。
航天工程
PART THREE
初二数学-一次函数、方程(组)及不等式的综合应用
答辩学生：XXX 指导老师：XXX
Contents
目 录
目录
绪论
研究 方法
PART ONE
一次函数的应用
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
一次函数的定义与性质
一次函数是形如$y=kx+b$的函数，其中$k$和$b$是常数，且$k neq 0$。 一次函数的图像是一条直线，其斜率为$k$，截距为$b$。 一次函数的性质包括单调性、奇偶性等，这些性质在解决实际问题中具有重要意义。
八上 一次函数与方程组、不等式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)
例1 从2014年起，中国的鞋号已“变脸”，新的国家标准要求鞋号用毫米数标注．据了解大多数市民还不了解此新标准，小明对新旧鞋号的标注变化进行了对比研究，发现新标准鞋子毫米数y与旧鞋号x之间存在着一次函数关系，并得到相关数据如下：旧鞋号 x 36 38 40新标准毫米数y230 240 250（1）请你帮助小明根据上述数据归纳出新标准毫米数与旧鞋号标注之间的换算关系式，并用一句简明的数学语言来表示；（2）如果小明的爸爸穿的一双42号凉鞋坏了，准备买一双同样尺寸的新凉鞋，那么应买一双多少毫米数的新凉鞋？例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，•油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数解析式．（2）一箱油可供拖位机工作几小时？知识点2 图像法解决实际问题注：读图时一定要明确横纵坐标表示的量所代表的意义。
例3 某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费，如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：（1）求yl 与y2的函数表达式；（2）解释图中表示的两种方案是如何付推销费的；（3）如果你是推销员，应如何选择付费方案．二、典型例题题型1 运用一次函数的关系解决生活中的实际问题例 1 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数表达式；（2）若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度；（3）若桌面上有若干个饭碗，整齐叠放成一摞，已测得它的高度为37.5cm，你能求出此时有多少个饭碗吗？题型2利用图表信息解决实际问题例2 某厂家生产两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，设每天生产A种购物袋x个，每天共获利y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少元？题型3 建立一次函数模型解决实际问题例3 某下岗职工购进一批苹果到农贸市场零售，已知买出的苹果数量x（kg）与收入y（元）的关系如下表：在平面直角坐标系中描点，观察点的分布情况，探求收入y（元）与买出数量x（kg）之间的函数关系式。
一次函数与一元一次方程、不等式
2
易错小结
－1＜x＜2
易错点：利用函数图象解不等式时，对函数值和点的坐 标的关系不理解导致出错(数形结合思想).
例1
利用函数图象解出x：3x－2＝x＋4.
先将方程化为ax＋b＝0的形式， 再在坐标系中画出函数y＝ax＋ b的图象，然后观察出直线y＝ ax＋b与x轴的交点坐标，从而 取定所求x的值．
导引：
由3x－2＝x＋4得2x－6＝0画函 数y＝2x－6的图象，如图所示， 由图可知，直线y＝2x－6与x轴的交点为(3，0)， 所以x＝3.
3
C
已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是( ) A．x＝1 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－1
4
C
【2017·湘潭】一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则不等式ax＋b≥0的解集是( ) A．x≥2 B．x≤2 C．x≥4 D．x≤4
5
B
【2017·菏泽】如图，函数y1＝－2x与y2＝ax＋3的图象相交于点A(m，2)，则关于x的不等式－2x＞ax＋3的解集是( ) A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
D
【中考·合肥】已知方程 x＋b＝0的解是x＝ －2，下列可能为直线y＝ x＋b的图象的是 ( )
2
C
如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点A(0，3)，则不等式－2x＋b＞0的解集为( ) A．x＞ B．x＞3 C．x＜ D．x＜3
2
已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1 200米， 从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法： ①公交车的速度为400米/分钟； ②小刚从家出发5分钟时乘上公交车； ③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟； ④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的有( ) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式说课稿
人教版数学八年级下册19.2.3《一次函数与方程、不等式说课稿一. 教材分析《一次函数与方程、不等式》是人教版数学八年级下册第19章第2节的一部分。
这部分内容是在学生已经掌握了函数、方程、不等式的基本概念和性质的基础上进行讲解的。
通过这部分的学习，使学生能够掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题，培养学生解决实际问题的能力。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的解法与应用。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于函数、方程、不等式的概念和性质有一定的了解。
但是，对于一次函数与方程、不等式的关系，以及如何运用一次函数解决实际问题，还需要进一步的学习和引导。
因此，在教学过程中，需要注重学生的参与和实践，通过引导学生自主探索和合作交流，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，提高学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系，能够运用一次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自尊心，使学生感受到数学的实际应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与方程、不等式的关系，一次函数解决实际问题的方法。
2.教学难点：一次函数与方程、不等式的关系的理解，一次函数解决实际问题的方法的运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作交流法等，引导学生自主探索和合作交流，培养学生的解决问题的能力。
2.教学手段：使用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具，帮助学生理解和掌握一次函数与方程、不等式的关系。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对一次函数与方程、不等式的关系的思考，激发学生的学习兴趣。
2.讲解：通过讲解一次函数与方程、不等式的关系，引导学生理解一次函数解决实际问题的方法。
19.2.3一次函数与方程、不等式(教案)方案
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与一元一次方程、不等式的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的表达式，它描述了两个变量之间的线性关系。一元一次方程和不等式则是解决实际问题时常用的数学工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何通过一次函数图像来求解一元一次方程和不等式，以及它如何帮助我们解决实际问题。
举例解释：
-对于难点一，教师可以通过具体的图像和方程例子，如y=3x-4与方程3x-4=0，引导学生观察图像上与x轴交点的坐标，从而理解该点即为方程的解。
-对于难点二，教师可以设计一些具有实际背景的题目，如“小明买苹果，每千克x元，买y千克需要花费多少钱？”并指导学生如何从中提取数学信息，建立一次函数模型。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数、方程和不等式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
在新课讲授中，我注意到学生们对于案例分析部分较为感兴趣，能够积极参与讨论。但在重点难点解析部分，部分学生仍存在理解困难，尤其是在将实际问题抽象为数学模型方面。为此，我调整了教学方法，通过更多具体的例子和引导性问题，帮助学生逐步建立起一次函数、方程和不等式之间的联系。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程较为顺利，但成果展示时，部分小组的表达能力较弱，需要我在以后的教学中加强对学生表达能力的培养。同时，我也发现有些小组在讨论过程中过于依赖我，缺乏独立思考的能力，这一点我将在以后的教学中加以引导和改进。
不等式组、一次函数、分式方程综合应用题
不等式组、一次函数、分式方程、二元一次方程组综合应用题1．跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价－进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．【关键词】不等式组的简单应用2．某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．3．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）该校准备再次．．．．．购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？4.响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．．132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．（1）至少购进乙种电冰箱多少台？（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？5．某公司计划生产甲、乙两种产品共20件，其总产值w（万元）满足：1150＜w＜1200，相关数据如下表．为此，公司应怎样设计这两种产品的生产方案．产品名称每件产品的产值（万元）甲45乙756．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所彖的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共l00个，设做竖式纸盒2个．①根据题意，完成以下表格：竖式纸盒(个) 横式纸盒(个)x正方形纸板(张) 2(100-x)长方形纸板(张) 4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板口张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290<a<306．则a的值是．(写出一个即可)7.为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？8.星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完．（1）有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？（2）每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？9．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？10.据统计，2008年底义乌市共有耕地267000亩，户籍人口724000人，2004年底至2008年底户籍人口平均每两年．．．约增加2%，假设今后几年继续保持这样的增长速度。
人教版八年级数学下册《一次函数与方程、不等式》教学设计
对思考题的讲解：
思考：请结合函数图象填空并解下列关于x的一元一次方程：
（1） ；（2） ；（3） .
探究并归纳小结出用函数值和函数图象两个角度看求一元一次方程 的解；
对思考题的探索与讲解为下面探究一次函
教学环节
主要教学活动
设置意图
数与不等式时找临界值做好准备.
2.探究一次函数与一元一次不等式之间的关系.Fra bibliotek教学重点：
探究并掌握一次函数与方程（组）、不等式之间的关系.
教学难点：
综合应用一次函数与方程（组）、不等式之间的关系解决问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
1.探究一次函数与一元一次方程之间的关系.
对问题1的思考与讲解：
问题1.下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
（1）请用解析式分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数关系.
（2）在某个时刻两个气球能否位于同一高度，如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
探究并归纳小结出用函数值和函数图象两个角度看求由两个含有未知数x、y的二元一次方程组成的二元一次方程组.
4.例题精讲.
一次函数二元一次方程（组）之间的关系：
任何一个含有未知数x、y的二元一次方程都可以改写为 （k、b是常数， ）的形式，解由两个含有未知数x、y的二元一次方程组成的二元一次方程组相当于求自变量x为何值时，两个函数的函数值相等，即确定两条相应直线的交点坐标.
让学生掌握一次函数与方程（组）、不等式之间的关系.
人教版八年级数学下册《一次函数与方程、不等式》教学设计
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式PPT
通过观察函数值的正负变化，可以确定不等式解的范围。当函数值从负数变为正数时， 对应的x值范围即为不等式的解集。
函数图像与不等式解的关系
函数图像与不等式解的交点
一次函数图像与不等式的交点即为满足不等式条件的x值。在图像上表现为直线上的某些点。
函数图像与不等式解的个数
函数图像与不等式的交点个数即为满足不等式条件的x值的个数。若只有一个交点，则不等式有一个 解；若有多个交点，则不等式有多个解。
详细描述
一元一次方程的标准形式是 ax + b = 0， 其中 a 和 b 是常数，且 a ≠ 0。这个方 程只有一个未知数 x，且 x 的最高次数 为1。
一元一次方程的解法
总结词
求解一元一次方程通常涉及移项、合并同类项和系数化为1等 步骤。
详细描述
解一元一次方程时，首先将方程中的未知数项移到等式的一侧， 常数项移到另一侧。然后合并同类项，最后将方程两边的系数 化为1，即可得到未知数的解。
一次函数与一元一次方程、一元一 次不等式
目录
• 一次函数 • 一元一次方程 • 一元一次不等式 • 一次函数与一元一次方程、一元一次不等
式的关系 • 综合应用
01 一次函数
一次函数的定义
一次函数的一般形式为 $y = kx + b$，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，
且 $k neq 0$。
$k$ 称为函数的斜率，$b$ 称为 函数的截距。
一元一次方程与一元一次不等式的综合应用
一元一次方程与一元一次不等式在形式上具有相似性，可 以通过对方程或不等式进行变形，转化为对方的形式，从 而利用对方的形式进行求解。
例如，对于方程 $y = kx + b$ 和不等式 $y < kx + b$，可 以通过将方程变形为 $y - kx - b = 0$，将不等式变形为 $y - kx - b < 0$，从而利用对方的形式进行求解。
一次函数与方程(或不等式)结合的问题
一次函数与方程（或不等式）结合的问题一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。
两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。
下面举例说明。
例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所用的时间分别是_________；（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；（3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。
（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。
由图1可知，函数的图象过点（2，0），（0，30），所以，解得所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。
（3）由题意得，解得。
所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。
观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。
说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。
例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。
（1）请你写出此车间每天所获利润y（元）与x（人）之间的函数关系式；（2）若要使车间每天所获利润不低于24000元，你认为至少要派多少人去制造乙种零件才合适析解：（1）（2）由题意，有，解得，此时人为制造乙种零件的工人人数。
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
1
整理方程
通过移项和合并同类项，将一次方程转化为形如ax = b的方程。
2பைடு நூலகம்
用除法解方程
通过将方程两边都除以系数a，得到x = b/a的解。
3
检验解
将求得的解代入原方程，验证方程两边是否相等。
一次方程的应用
经济学
一次方程可用于计算成本、利润和收入等经济指标。
工程学
在工程学中，一次方程可用于计算电路中的电流、电压和电阻。
平行线
具有相同斜率但不同截距的一次 函数将得到平行线。它们在平面 上永远不会相交。
相交线
具有不同斜率的一次函数将交叉 并在某个点相交。这个点是两条 直线的唯一交点。
一次方程的定义
一次方程是一个等式，其中包含至多一个未知数的一次项和常数项。例如， 2x + 3 = 7是一个一次方程。
一次方程的解法
物理学
一次方程可用于描述速度、加速度和力等物理量的关系。
一次不等式的定义和解法
一次不等式是一个包含未知数的一次项和常数项的不等式。例如，3x + 2 > 5是一个一次不等式。
一次函数与方程、不等式
一次函数与方程、不等式是数学中基础而重要的概念之一。通过本次演讲， 我们将深入探讨一次函数、方程和不等式的定义、性质和应用，使您对这些 概念有更深入的理解。
一次函数的表达式
标准形式
一次函数的标准形式为y = ax + b，其中a和b为常数。它描述了 直线的斜率和截距。
斜率截距形式
一次函数的斜率截距形式为y = mx + c，其中m是斜率，c是y轴 截距。这种形式更容易理解直 线的特征。
点斜式
一次函数的点斜式为y − y₁ = m(x − x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的已 知点，m是斜率。这种形式方 便从已知点和斜率直接获得函 数。
一次函数与一次方程,一次不等式的关系
一次函数与一次方程,一次不等式的关系知识点：一、一次函数与一元一次方程的关系直线y=kx+b （k ≠0）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b=0（k ≠0）的解。
求直线y=kx+b 与x 轴交点时，可令y=0，得到方程kx+b=0，解方程得x=-b/k 。
直线y=kx+b 交x 轴于（-b/k ，0），-b/k 就是直线y=kx+b 与x 轴交点的横坐标。
二、一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为ax=b>0或ax=b<0 (b a 、为常数，a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。
三、一次函数与二元一次方程（组）的关系一次函数的解析式y=kx+b （k ≠0）本身就是一个二元一次方程，直线y=kx+b （k ≠0）上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y=kx+b （k ≠0），因此二元一次方程的解也就有无数个。
例题解析一、一次函数与一元一次方程综合已知直线y=(3m-2)x+2和y=-3x-2交于x 轴上同一点，m 的值为______已知一次函数y=-x+a 与y=x-b 的图象相交于点(m,8)，则b-a=______．二、一次函数与一元一次不等式综合1.已知一次函数y=-2x+525y x =-+．（1）画出它的图象；（2）求出当x=3/2时，y 的值；（3）求出当y=-3时，x 的值；（4）观察图象，求出当x 为何值时，y>0，y<0,y=02.当自变量x 满足什么条件时，函数y=-4x+1的图象在：（1）x 轴上方； （2）y 轴左侧； （3）第一象限．3.已知直线A 为y=x+5，直线B 为y=-2x-6．当A>B 时，x 的取值范围是_____4.已知一次函数y=-2x+3（1）当x 取何值时，函数y 的值在-1与2之间变化?（2）当x 从-2到3变化时，函数y 的最小值和最大值各是多少?5.直线A:y=Mx+b 与直线B:y=Nx 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式Nx>Mx+b 的解集为______．6.当x_________时直线y=x+2上的点在直线y=3x-2上相应点的上方．7.如图，直线y=kx+b （k ≠0）经过A(5,1)，B(-2,-3)两点，则不等式0.5x> kx+b>-3的解集为______．5题图 7题图8已知一次函数经过点（1，-2）和点（-1，3），求这个一次函数的解析式，并求：（1）当x=2时，y 的值；（2）x 为何值时，y<0？（3）当-2<x<1时，x 的值范围；（4）当-2<y<1时，y 的值范围．。
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一次函数与方程不等式及综合应用
知识专题一：一次函数与方程不等式
1．一次函数1
13
y x =-
+的图象与x 轴的交点坐标是______，
与y 轴的交点坐标是______． 2．两直线1y x =-与3y x =-+的交点坐标 ．
3、已知一次函数y=kx-k+4的图象与y 轴的交点坐标是(0，-2)，那么这个一次函数的表达式是______________。
4．如图，已知函数y=ax+b 和y=kx 的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组
的解是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．（3分）如图，函数y=2x 和y=ax+4的图象相交于点A （m ，3），则不等式2x ≥ax+4的解集为（ ） A ． x ≥
B ．x ≤3
C ．x ≤
D ．x ≥3
6．（3分）（2008•咸宁）直线l 1：y=k 1x+b 与直线l 2：y=k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 2x ＞k 1x+b 的解集为 ．
第4题 第5题 第6题
知识专题二：一次函数与图形面积
1．已知直线6+=x y 与x 轴,y 轴围成一个三角形,则这个三角形面积为 2．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（ ） （A ） 4 （B ）6 （C ）8 （D ）16
3、已知一次函数图象经过点(3 , 5) , (–4，–9)两点.
（1）求一次函数解析式. （2）求图象和坐标轴交点坐标.
（3）求图象和坐标轴围成三角形面积. （4）点(a , 2)在图象上，求a 的值.
4、已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(-1， -5)，且与正比例函数y= 1
2 x 的图象相交于点
(2，a)，求(1)a 的值(2)k ，b 的值
(3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形的面积。
5.已知，直线y =2x +3与直线y =-2x -1.
（1） 求两直线与y 轴交点A ，B 的坐标; （2） 求两直线交点C 的坐标; （3） 求△ABC 的面积.
x
y
A
B
C
6、如图测，已知直线L 1经过点A （-1，0）与点B （2，3），另一条直线L 2经过点 B ，且与x 轴相交于点P （m ，0）． （1）求直线L 1的解析式．
（2）若△APB 的面积为3，求m 的值．（提示：分两种情形，即点P 在A 的左侧和右侧）
7．如图，直线的解析式为，且与轴交于点，直线经过点A 、B ，直线、交于点． （1）求点的坐标； （2）求直线的解析表达式； （3）求的面积；
（4）在直线上存在异于点的另一点，使得与
的面积相等，请直接．．
写出点的坐标．
1l 33y x =-+1l x D 2l 1l 2l C D 2l ADC △2l C P ADP △ADC △P l 1
l 2
x
y
D O
3
B C
A
（4，0）
8、如图，直线6y kx =+与x 轴y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；
（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为27
8，并说明理由。
知识专题三：一次函数与方程不等式综合应用
1．某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍，设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元． ①求y 关于x 的函数关系式；
②该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？。