高斯定理习题课
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板内：
S d
S 2 x 2 ES 0
x E内 0
x
S
Ex
O
x
d
习题二 两平行的无限大平面均匀带电，面密度分别为 1和 2
1.求空间三个区的场强； 2.当 1 2 和 1 2 结果怎样？
解： 则：
E 2 0
E 1
1
2 i 2 0
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面内外的电场，球面半径为R,带电为q
。解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面. 1）r R时， E ds E ds E 4r 2
s
s
q
0
0
E 0
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+
+
+ + + +
E
P
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得
E 2r l
1
0
l
E 2 0 r
习题 无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为R，体 密度为 。 解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径 向 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为l,半径为r (1) r <R
用高斯定理求场强小结： 1 . 电荷对称性分析
点电荷 球对称性 均匀带电球面 均匀带电球壳 球体 电荷分布对称性→场强分布对称性 无限带电直线 轴对称性 无限带电圆柱 柱对称 无限圆柱面 无限同轴圆柱面 面对称性
无限大平面 无限大平板 若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。 ②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。 ③高斯面应取规则形状
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场，已知 。 解： 电场分布也应有面对称性，方向沿法向。
E1
E
p E2 E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
e E dS E dS E dS E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
0
E 0
(2) r >R
s
e E dS
上底
Fra Baidu bibliotek
E dS
下底
E dS
侧面
E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
2Rl
2Rl
r l
E 2rl
0
R E 0r
例 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+ 求 距直线r 处一点P 的电场强度
解 电场分布具有轴对称性
dS
过P点作一个以带电直线为轴， 以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作 为高斯面
r
E
l
dS e E dS S 侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
o
E 1 dq 0 o V
E 0
E为均匀电场。
30
1 4 3 2 E ds E 4r 0 3 r
E r 3 0
E l 3 0
E E E (r l ) a 3 0 3 0
Ⅰ Ⅱ o
2
Ⅲ x
1 E 1 i 2 0 3 E1 i 2 0
同理：
2 E 2 i 2 0 2 E 2 i 2 0
E 2
2 i 2 0 Ⅰ
1
Ⅱ o
2
Ⅲ x
则：
1 2 E1 E1 E 2 i 2 0 1 2 E 2 E 1 E 2 i 2 0 1 2 E 3 E1 E 2 i 2 0
高斯定理
高斯定理: 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的 电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真 空介电常数。
1 e E dS qi
S
0 S内
点电荷系
1 e E dS V d V 0 S
连续分布带电体
高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。
E dS
下底
E dS
侧面
E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
R l
2
r l
R 2l E 2rl 0
R E er 2 0 r
2
q
+ +
高斯定理的应用
2 E 4 r E d s E ds
s
2）r R时，
s
0 q E e 2 r 4 0 r
q
q
0
+ R + + + + +
+
+ +
+
q
E q 40 R 2
0
Er 关系曲线
+ +
+ + + +
r
r
R
2
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面 1）r R时， E ds E ds E 4r 2
s
r
R
s
q
0
4r 3 3
qr E 4 0 R 3
高斯面
q 4r 3 3 4R 3 3
高斯定理的应用
2）r R时，
2 E 4 r E d s E ds
s
0 q E e 2 r 4 0 r
q
s
q
0
r
R
E
q 4 0 R
2
Er 关系曲线
高斯面
r
R
2
O
r
习题. 一半径为R、电荷密度为的均匀带电球内挖去 有一半径为r的空腔，证明空腔内的电场为均匀电场. 解： 取以r'为半径，o'为心的高斯球面 用高斯定理： r R 2 E d S EdS E 4 r E o'
S1 S2 S侧
ES1 ES2 0 2ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
E 2 0
σ
习题 已知无限大板电荷体密度为，厚度为d 求 电场场强分布 解 选取如图的圆柱面为高斯面
Sd 板外： 2 ES 0 d E外 2 0
例4 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，面 密度为 。 解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径 向 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为l,半径为r (1) r <R
r
l
E dS
下底
e E dS
s
上底
E dS
侧面
E dS
r
l
E dS
下底
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上底
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侧面
E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
r l
2
r E 2 0
(2) r >R
s
e E dS
上底
球对称：同心球面 轴对称：同轴柱面 面对称：与平面垂直的圆柱面
3小结高斯定例解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)， 即取在E相等的曲面上。 （3）E相等的面不构成闭合面时， 另选法线 nE 的面，使其成为闭合面。 E E dS （4）分别求出 ，从而求得E。 E 1 qi o S内
S d
S 2 x 2 ES 0
x E内 0
x
S
Ex
O
x
d
习题二 两平行的无限大平面均匀带电，面密度分别为 1和 2
1.求空间三个区的场强； 2.当 1 2 和 1 2 结果怎样？
解： 则：
E 2 0
E 1
1
2 i 2 0
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面内外的电场，球面半径为R,带电为q
。解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面. 1）r R时， E ds E ds E 4r 2
s
s
q
0
0
E 0
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+
+
+ + + +
E
P
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得
E 2r l
1
0
l
E 2 0 r
习题 无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为R，体 密度为 。 解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径 向 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为l,半径为r (1) r <R
用高斯定理求场强小结： 1 . 电荷对称性分析
点电荷 球对称性 均匀带电球面 均匀带电球壳 球体 电荷分布对称性→场强分布对称性 无限带电直线 轴对称性 无限带电圆柱 柱对称 无限圆柱面 无限同轴圆柱面 面对称性
无限大平面 无限大平板 若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。 ②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。 ③高斯面应取规则形状
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场，已知 。 解： 电场分布也应有面对称性，方向沿法向。
E1
E
p E2 E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
e E dS E dS E dS E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
0
E 0
(2) r >R
s
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上底
Fra Baidu bibliotek
E dS
下底
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0 0 E 2rl E 2rl
q
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0
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例 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+ 求 距直线r 处一点P 的电场强度
解 电场分布具有轴对称性
dS
过P点作一个以带电直线为轴， 以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作 为高斯面
r
E
l
dS e E dS S 侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
o
E 1 dq 0 o V
E 0
E为均匀电场。
30
1 4 3 2 E ds E 4r 0 3 r
E r 3 0
E l 3 0
E E E (r l ) a 3 0 3 0
Ⅰ Ⅱ o
2
Ⅲ x
1 E 1 i 2 0 3 E1 i 2 0
同理：
2 E 2 i 2 0 2 E 2 i 2 0
E 2
2 i 2 0 Ⅰ
1
Ⅱ o
2
Ⅲ x
则：
1 2 E1 E1 E 2 i 2 0 1 2 E 2 E 1 E 2 i 2 0 1 2 E 3 E1 E 2 i 2 0
高斯定理
高斯定理: 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的 电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真 空介电常数。
1 e E dS qi
S
0 S内
点电荷系
1 e E dS V d V 0 S
连续分布带电体
高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。
E dS
下底
E dS
侧面
E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
R l
2
r l
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2
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高斯定理的应用
2 E 4 r E d s E ds
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2）r R时，
s
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q
q
0
+ R + + + + +
+
+ +
+
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0
Er 关系曲线
+ +
+ + + +
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r
R
2
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面 1）r R时， E ds E ds E 4r 2
s
r
R
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q
0
4r 3 3
qr E 4 0 R 3
高斯面
q 4r 3 3 4R 3 3
高斯定理的应用
2）r R时，
2 E 4 r E d s E ds
s
0 q E e 2 r 4 0 r
q
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q
0
r
R
E
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2
Er 关系曲线
高斯面
r
R
2
O
r
习题. 一半径为R、电荷密度为的均匀带电球内挖去 有一半径为r的空腔，证明空腔内的电场为均匀电场. 解： 取以r'为半径，o'为心的高斯球面 用高斯定理： r R 2 E d S EdS E 4 r E o'
S1 S2 S侧
ES1 ES2 0 2ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
E 2 0
σ
习题 已知无限大板电荷体密度为，厚度为d 求 电场场强分布 解 选取如图的圆柱面为高斯面
Sd 板外： 2 ES 0 d E外 2 0
例4 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，面 密度为 。 解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径 向 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为l,半径为r (1) r <R
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下底
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侧面
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2
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上底
球对称：同心球面 轴对称：同轴柱面 面对称：与平面垂直的圆柱面
3小结高斯定例解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)， 即取在E相等的曲面上。 （3）E相等的面不构成闭合面时， 另选法线 nE 的面，使其成为闭合面。 E E dS （4）分别求出 ，从而求得E。 E 1 qi o S内