高斯定理习题课
大学物理-磁学习题课和答案解析
2． 均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为r的圆面．今
4． 如图，在面电流线密度为 j 的均匀载流无限大平板附近， 有一载流为 I 半径为 R的半圆形刚性线圈，其线圈平面与载流 大平板垂直．线圈所受磁力矩为 ，受力 0 0 为 ．
μ
5、（本题3分） 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体 中有等值反向均匀电流I通过，其间充满磁导率为μ的均匀磁介 质．介质中离中心轴距离为r的某点处的磁场强度的大小H I =________________ ，磁感强度的大小B =__________ ． I 2 r 2 r
B (A) B (B) √ R B x (D) O 圆筒 电流 O x
B
0 I (r R) 2r
(r R)
O B
R
x O (C) x O
B
(E)
B0
O
R
R
x
R
x
2、（本题3分）一匀强磁场，其磁感强度方向垂直于纸面(指 向如图)，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则 (A) 两粒子的电荷必然同号． (B) 粒子的电荷可以同号也可以异号． (C) 两粒子的动量大小必然不同． (D) 两粒子的运动周期必然不同．
（C） B dl B dl , BP BP 1 2
（D） B dl B dl , BP1 BP2
L1 L2
L1
L2
L1
L2
[ ]
5．有一矩形线圈 AOCD ，通以如图示方向的电流 I，将它置 于均匀磁场 B 中，B 的方向与X轴正方向一致，线圈平面与X 轴之间的夹角为 , 90 ．若AO边在OY轴上，且线圈可 绕OY轴自由转动，则线圈 （A）作使 角减小的转动． （B）作使 角增大的转动． （C）不会发生转动． （D）如何转动尚不能判定．
第7章 (稳恒磁场)习题课
二．载流导线和运动电荷所受磁场力
1． 洛伦兹力: 特征:方向垂直于v和B所构成的平 面；不作功，不改变电荷的速率和动能．
方向沿x方向 （若F为正值，则合力的方向与x轴正向一致）。
例5 半径分别为R1和R2的两个半圆弧与直径的两小段
构成的通电线圈abcda (如图所示)，放在磁感强度
为B的均匀磁场中，平行线圈所在平面．则 线圈的磁矩大小为
1 2 I ( R2 R12 ) 2 ___________ ，
R2 a b
2r
0
2
R o r
dr
B
0
2
dr
0
R
0R
2
dr
例4. 均匀带电细直线AB, 电荷线密度为λ, 绕垂直于 直线通过O 点的轴以角速度ω 匀速转动( 线形状不 变, O 点在A B 延长线上) , 求: r dr (1 ) O点的磁感应强度B; O B a A (2 ) 磁矩m ; b （1）解 ：在带电细线离O点r处取线元dr，其带 电量 dq dr，旋转时相当于一圆电流
2 r 2 R2 I 1 H 2 2 2r R R 3 2
1.解: 圆电流在O点产生的磁场 0 I 2 B1 方向× 2R 长直导线电流在O点产生的磁场 0 I 2 方向× B2 2R 导体管在O点产生的磁场由安培环路定理求得，
B3
0 I1
2 (d R)
方向×
圆心O点处的磁感应强度
第11章(高斯定理及安培环路定理)习题答案
ò ×
S
ò
S
= 0． ”这个推理正确吗? [ B 不一定要等于零 ] 答：不正确， B d S 各自有不同的方向，B 不一定要等于零 116 如图，在一圆形电流 I 所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路 L，则由安培 环路定理可知 (A) (B) I L O 思考题 116 图
q 1 1 ( - ) ] 4 pe 0 r R
解；
U 1 =
q 4 peo r
+
Q 4 peo R
U 2 =
q + Q 4 peo R
U1-U2 =
q 1 1 ( - ) 4 pe 0 r R
117 [
已 知 某 静 电 场 的 电 势 分 布 为 U ＝ 8x ＋ 12x2 y － 20y2 (SI) ， 求 场 强 分 布 E .
B r r U C = U C - U B = ò E × d l = C
ò 4 pe r
o
2
115 两块面积均为 S 的金属平板 A 和 B 彼此平行放置，板间距离为 d（d 远小于板的 线度） ， 设 A 板带有电荷 q1， B 板带有电荷 q2， 求 AB 两板间的电势差 UAB. [
（1）dq =
q dl 2 L
U = ò dU = ò
dq q q x + L = ò dl = ln 4pe o ( x - l ) 4pe o 2 L ( x - l ) 8pL e o x - L
（2）E= -
¶u q 1 1 1 q r = ( ) = i 2 ¶x 8p L e o x - L x + L 4 pe 0 x 2 - L
第一章(5)习题课
∴
E
0，
( r R)
E的方向垂直轴线沿径向， > 0则背离轴线；
R ˆ， ( r R ) r 0r
< 0则指向轴线。
11、无限大的均匀带电平面，电荷面密度为，P点与 平面的垂直距离为d，若取平面的电势为零，则P点的 电势 V p d / 2 0 ，若在P点由静止释放一个电子(其 质量为m，电量绝对值为e)则电子到达平面的速率为：
3、一均匀静电场，场强 E (400i 600 j )V m 1 , 则点a（3、2）和点b（1、0）之间的电势差为 Vab 2000V
解 : E 400i 600 j
b b a a
dl dxi dyj
Vab E dl (400i 600 j ) (dxi dyj )
侧 面 EdS E 侧 面 dS 2πrhE
(1) r < R时,
qi 0 ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
即 2πrhE 0, 得 E 0 (2) r > R时, q i 2πRhσ ,
qi 由高斯定理 Φ ε0
σR 即 2πrhE 2πRhσ / ε0 , 得 E ε0 r
2
10.( 第一章习题二 .9) 无限长均匀带电圆柱面，电荷 面密度为，半径为R，求圆柱面内外的场强分布。
解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面
R r
E
为高斯面, 根据对称性分析，圆柱面 侧面上任一点的场强大小相等， 方向
h E
S
ˆ r
沿矢径方向。 Φ S E dS 上底 E dS 下底 E dS 侧面 E dS
2020年高中物理竞赛(电磁学)静电场和稳恒电场(含真题练习题)：高斯定理的应用(共16张PPT)
s
上底
下底
侧面
0 0 E2rl E2rl
l
高 斯 面
r E
qi 0
E0
(2) r >R
e E dS E dS E dS E dS
s
上底
下底
侧面
高
E2rl
斯 面
qi 2Rl
R
E
r 0
令 2R
r
l
E
E
2 0r
课堂讨论
●q ●q
• q2
1．立方体边长 a，求
rR
电通量
e E1 dS
E1 dS E1 4r 2
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
++ E
+ + +R
r
+ +q +
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
E2
q
4 0r 2
S1 ER2
S1 ( ER2 ) 0
2. 当场源分布具有高度对称性时求场强分布 步骤：
1.对称性分析，确定 E的大小及方向分布特征
2.作高斯面，计算电通量及 qi
3.利用高斯定理求解
例1.（2018东京物理学奥林匹克初赛）
均解匀:带对电称球性面分的析电场E。具已有知球R、对称q>0 作高斯面——球面
1-3章习题课
S
−q
12
(1271)如图所示，在电量为q的点电荷的静 如图所示，在电量为 的点电荷的静 如图所示 电场中， 电场中，与点电荷相距分别为 ra 和rb 的 a,b两点之间的电势差 U a－U b ＝ 两点之间的电势差 _________ q 1 1 ( − ) 4πε0 ra rb
ra
q
a
r a
解：选坐标原点在带电平面所在处，x轴垂直于平面。 选坐标原点在带电平面所在处， 轴垂直于平面。 轴垂直于平面 由高斯定理可得场强分布为： 由高斯定理可得场强分布为：
E = ±σ (2ε0 )
（式中“＋”对x>0区域，“－”对x<0区域）。平面外 区域， 区域）。 式中“ 区域 区域）。平面外 任意点x处电势 处电势： 任意点 处电势： 在 x ≤ 0 区域 0 0 −σ σx U = ∫ E dx = ∫ dx = x x 2ε 2ε 0 0 在 x ≥ 0 区域 0 0 σ −σ x U = ∫ Edx = ∫ dx = x x 2ε 2ε 0 0 17
(1407) 一半径为 的均匀带电圆盘，电荷面 一半径为R的均匀带电圆盘 的均匀带电圆盘， 设无穷远处为电势零点， 密度为 σ ，设无穷远处为电势零点，则圆 盘中心O点的电势 盘中心 点的电势 U 0 ＝_____.
σ
P
x
r → r + dr 处圆环在 点产生的电势为： 处圆环在P点产生的电势为 点产生的电势为：
(B)
r
p
9
（1567）一半径为 的“无限长”均匀带电圆 ）一半径为R的 无限长” 柱面， 该圆柱面内、 柱面，其电荷面密度为σ．该圆柱面内、外场 强分布为( 表示在垂直于圆柱面的平面上， 表示在垂直于圆柱面的平面上， 强分布为 r 从轴线处引出的矢径)： 从轴线处引出的矢径 ： 0 E(r ) ＝______________________(r<R )，
02.静电场中的高斯定理答案
《大学物理》练习题 No .2 静电场中的高斯定理班级 ___________ 学号 ___________ 姓名 ___________ 成绩 ________说明：字母为黑体者表示矢量一、 选择题1.关于电场线，以下说法正确的是[ B ] (A) 电场线上各点的电场强度大小相等；(B) 电场线是一条曲线，曲线上的每一点的切线方向都与该点的电场强度方向平行；(C) 开始时处于静止的电荷在电场力的作用下运动的轨迹必与一条电场线重合； (D) 在无电荷的电场空间，电场线可以相交.2.如图2.1，一半球面的底面圆所在的平面与均强电场E 的夹角为30° ，球面的半径为R ，球面的法线向外，则通过此半球面的电通量为[ A ] (A) π R 2E/2 . (B) -π R 2E/2. (C) π R 2E . (D) -π R 2E .3.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是[ D ] (A) 如高斯面上E 处处为零,则该面内必无电荷；(B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E 处处为零； (C) 如高斯面上E 处处不为零,则高斯面内必有电荷；(D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零； (E) 高斯定理仅适用于具有高度对称的电场4. 两个同心均匀带电球面，半径分别为a R 和b R (b a R R <) , 所带电量分别为a Q 和b Q ，设某点与球心相距r , 当b a R r R <<时， 该点的电场强度的大小为：[ D ] (A)2b a 041r Q Q +⋅πε (B) 2ba 041r Q Q -⋅πε (C))(412bb 2a 0R Q r Q +⋅πε (D) 2a 041r Q ⋅πε5. 如图2.2所示，两个“无限长”的、半径分别为R 1和R 2的共轴圆柱面均匀带电，轴线方向单位长度上的带电量分别为1λ 和2λ， 则在内圆柱面里面、距离轴线为r 处的P 点的电场强度大小[ D ] (A) r0212πελλ+(B) 20210122R R πελπελ+(C)1014R πελ(D) 0二、 填空题1.点电荷q 1 、q 2、q 3和q 4在真空中的分布如图2.3所示,图中S 为闭合曲面,则通过该闭合曲面的电通量S E d ⋅⎰S=42εq q +,式中的E 是哪些点电荷在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和？答：是 43,2,1q q q q .2.如图2.4所示,真空中两个正点电荷,带电量都为Q ,相距2R ,若以其中一点电荷所在处O 点为中心,以R 为半径作高斯球面S ,则通过该球面的电场强度通量Φ=εQ;若以r 0表示高斯面外法线方向的单位矢量,则高斯面上a 、b 两点的电场强度的矢量式分别为020185r R Qπε，00r .三、计算题1. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为⎩⎨⎧><=)(0)(R r R r Arρ , 其中A 为一常数，试求球体内、外的场强分布。
大学物理 —— 第四章2 电通量 电场中的高斯定理
E • ds
s
0 r
qi
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定
E
的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 qi
３.利用高斯定理求解
例1．均匀带电球面
已知R、 q>0 求均匀带电球面的场强分布
解: 对称性分析
E
具有球对称
❖ 作高斯面 过P点的球面
R
r
P
通量
rR
e
E1 • ds E1
ds E14 r 2
rR r
通量
e
E2 • ds E2
P
ds E24 r2
s
s1
电量
qi 0
s
电量
s2
qi q
用高斯定理求解
E1 4r 2 0
E2 4r 2
q
0
E1 0
E2
q
4 0r 2
课 球体
堂
练 计算均匀带电球体内外的场强分布，已知q,R
电通量 电场中的高斯定理
一．电场线（电场的图示法）
方向 ：切线
E 大小：E dN =电场线密度
Ea
Eb
b
dS Ec
c
E
a
dS
E
性质： 静电场中，
不闭合；不相交 起于正电荷、 止于负电荷。
E
点电荷的电场线
负电荷
正电荷
+
一对等量异号电荷的电场线 +
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对异号不等量点电荷的电场线
)
等于这个闭合
曲面所包围的电荷的代数和除以 0 ，与闭合曲面外 的电荷无关。
电通量 高斯定理例题
qi 0
E1 0
s1
用高斯定理求解
+ R r + + + + + +
+
+ +
+ q + + + + +
E
E1 4r 0
2
rR
e E2 dS E2 dS E2 4r 2
s2
qi q
E2
E 2 4r q 0
例：在均匀电场中，
E (240 N c )i (160 N c ) j (390 N c ) k 2 2 2 通过平面 S ( 1.1m )i ( 4.2m ) j ( 2.4m )k 的电通量是多少？S 在垂直于 的平面上
的投影是多少?
s
0
q
i
例：设均匀电场 E 和半径R为的半球面的轴平行，
计算通过半球面的电通量。
q i 0 e E dS 0
S
S1 S2 0
S 2 ER 2
S1 ( ER ) 0
2
S1 ER 2
当场源分布具有高度对称性时求场强分布
课堂练习： 求均匀带电圆柱体的场强分布，已知R，
rR
rR
l E 2rl 0
r 2 0 R 2
2 E 2rl r l 2 0 R
rR
E
2 0 r
rR
步骤： 1.对称性分析，确定 E 的大小及方向分布特征 2.作高斯面，计算电通量及 qi
3.利用高斯定理求解
例5-7（1）. 均匀带电球面的电场。已知R、 q>0
4静电场习题课
1 mv 2 电子在P点和平面上的动能分别为0和 2
1 2 ed 静电场是保守场，能量守恒 mv 2 2 0
ed 电子到达平面时的速率为 v m 0
P.22.7、真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量 为q，(1)试求在直杆延长线上距杆的一端距离为a的p 点的电场强度和电势。(2)从电势的表示式，由电势 梯度算出p点的场强。 解：(1)先求场强： 电荷线密度 q / L 选坐标如图 dx x o dE P x a L 任取一小段 x ~ x + dx, dq dx dq dx dE , dE 方向如图 (设q > 0) 2 2 4 0 x 4 0 x 1 a L dx 1 a L ( ) E P a dE a 2 4 0 x 4 0 a a L
E h
上底
r
S
下底
侧面
sE ds 上底 E ds 下底 E ds 侧面 E ds E 侧面 E ds E 侧面 ds 2rhE
由高斯定理 2 rhE
( S内 )
q
0
i
R r' 上底 hh S
q 4 0a(a L) 4 0a(a L)
L
E P 的方向向右
E
再求电势：选坐标如图 o
dU
x dx r
L
dq 4 0 r
a
P
x
dx
4 0 ( L a x ) L L dx 0 U P 0 dU 0 L a x 4 ln( L a x ) L 4 0 0
解：利用均匀带电球壳产 生电势的结果和电势叠加 原理来计算 作一半径为r，厚度为dr 的球壳 其电量为 dq 4 r 2 dr (1) ∵ r1 > R2 r R2
(整理)浙江农林大学静电场的高斯定理习题
四、计算题1、 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1σ和2σ，试求空间各处场两面间 , 1σ面外 , 2σ面外 . （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）A 、n E )(21210σσε-=B 、1201()E n σσε=+C 、n E)(21210σσε+-= D 、n E)(21210σσε+= 答案：A ，C ，D解: 如图所示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1σ与2σ，两面间， n E)(21210σσε-=1σ面外， n E)(21210σσε+-= 2σ面外， n E)(21210σσε+=n：垂直于两平面由1σ面指为2σ面．2、一无限长带电直线,电荷线密度为λ,傍边有长为a , 宽为b 的一矩形平面, 矩形平面中心线形平面电通量的大小.. （填写A 、B 、C 或D A 、()0arctan 22a b c λπε⎡⎤⎣⎦ B 、()0arctan 2a b c λπε⎡⎤⎣⎦ C 、()0arctan 24a b c λπε⎡⎤⎣⎦D 、()02arctan 2a b c λπε⎡⎤⎣⎦ 答案：B λ解：取窄条面元adx ds =,该处电场强度为rE 02πελ=过面元的电通量为()220022cos xc acdxadx r s d E d e +=⨯=⋅=Φπελπεθλ ()⎰⎰-+=Φ=Φ2/2/2202b b e e xc acdxd πελ2/2/0arctan 12b b cxc ac -⋅=πελ()[]02arctan πελc b a =3、 如图所示，在x －y 平面内有与y 轴平行、位于x＝a / 2和x ＝-a / 2处的两条“无限长”平行的均匀带电细线，电荷线密度分别为＋λ和－λ．求z 轴上任一点的电场强度．. . （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）A 、()2204a i a z λπε-+B 、()22024a i a z λπε-+ C 、()22024a i a z λπε-+ D 、()22044a i a z λπε-+ 答案：C解：过z 轴上任一点(0 , 0 , z )分别以两条带电细线为轴作单位长度的圆柱形高斯面，如图所示．按高斯定理求出两带电直线分别在该处产生的场强大小为 ()r E 02/ελπ=± 场强方向如图所示． 按场强叠加原理，该处合场强的大小为r a r E E 2/c o s 20⋅π==+ελθ ()22042z a a +π=ελ方向如图所示． 或用矢量表示 ()iz a a E 22042+π-=ελ4、均匀带电球壳内半径6cm ，外半径10cm ，电荷体密度为2×510-C·m -3求距球心5cm 的场强 ，8cm 的场强 ,12cm 的场强 . （填写A 、B 、C 或D ，从下面的选项中选取）．A 、43.4810⨯1C N -⋅， 方向沿半径向外 B 、44.1010⨯1C N -⋅ ,沿半径向外C 、44.1010⨯1C N -⋅,方向沿半径向外D 、 0 答案： D, A ，B解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅qS E s,02π4ε∑=q r E当5=r cm 时，0=∑q ,0=E8=r cm 时，∑q 3π4p=3(r )3内r - ∴ ()2023π43π4rr r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅， 方向沿半径向外． 12=r cm 时,3π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()420331010.4π43π4⨯≈-=rr r E ερ内外 1C N -⋅ 沿半径向外.5、有两个半径分别为1R 、2R 的同心球壳，带电分别为1Q 、2Q ，试求空间电场分布。
高斯定理习题课
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场，已知 。 解： 电场分布也应有面对称性，方向沿法向。
E1
E
p E2 E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
e E dS E dS E dS E dS
q
+ +
高斯定理的应用
2 E 4 r E d s E ds
s
2）r R时，
s
0 q E e 2 r 4 0 r
q
q
0
+ R + + + + +
+
+ +
+
q
E q 40 R 2
0
Er 关系曲线
+ +
+ + + +
r
r
高斯定理
高斯定理: 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的 电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真 空介电常数。
1 e E dS qi
S
0 S内
点电荷系
1 e E dS V d V 0 S
连续分布带电体
高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。
S1 S2 S侧
ES1 ES2 0 2ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
E 2 0
σ
习题 已知无限大板电荷体密度为，厚度为d 求 电场场强分布 解 选取如图的圆柱面为高斯面
静电场的高斯定理复习题
－ 选择题1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：()A 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷；()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；()C 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷；()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。
〔 〕答案：()D2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为()A 0/q ε； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。
〔 〕答案：()D3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ，2φ，3φ，则()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==；()C 22123Eac Ec a b Ebc φφφ=-=-+=-；()D 22123Eac Ec a bEbc φφφ==+=。
〔 〕答案：()B4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0iq=∑，则可肯定：()A 高斯面上各点场强均为零。
()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。
()C 穿过整个高斯面的电通量为零。
()D 以上说法都不对。
〔 〕 答案：()C5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。
在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。
设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=；()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。
〔 〕 答案：()D6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。
静电场的高斯定理复习题
－ 选择题1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：()A 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷；()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；()C 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷；()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。
〔 〕 答案：()D2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为()A 0/q ； ()B 0/2q ； ()C 0/4q ； ()D 0/6q 。
〔 〕答案：()D3.在电场强度为E Ej v v的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1 ，2 ，3 ，则()A 1230Ebc Ebc ； ()B 1230Eac Eac ；()C 22123Eac Ec a b Ebc ；()D 22123Eac Ec a b Ebc 。
〔 〕答案：()B4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0iq，则可肯定：()A 高斯面上各点场强均为零。
()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。
()C 穿过整个高斯面的电通量为零。
()D 以上说法都不对。
〔 〕答案：()C5.有两个点电荷电量都是q ，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。
在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。
设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1 和2 ，通过整个球面的电场强度通量为 ，则 ()A 120,/q ；()B 120,2/q ； ()C 120,/q ；()D 120,/q 。
〔 〕 答案：()D6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。
下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。
静电场的高斯定理复习题
－ 选择题1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：()A 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷；()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零；()C 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷；()D 如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零。
〔 〕 答案：()D2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为()A 0/q ε ；()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。
〔 〕 答案：()D3.在电场强度为E Ej =的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ，2φ，3φ，则 ()A 1230Ebc Ebc φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C123Eac Ebc φφφ=-=-=-；()D123Eac Ebc φφφ===。
〔 〕答案：()B4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和0i q =∑()A()B()C()D〔 〕 答案：()C5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。
在球面上取两块相等的小面积1S 和2S ，其位置如图所示。
设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=；()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。
〔 〕 答案：()D6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。
下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化：()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。
2009-2010第12次课 磁场高斯定理 安培环路定理
b
d c
∫ B ⋅ dl = 0
...............
a
b
Q 螺线管外B =0； 螺线 ∴ ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl
a b
B
d
c
= B ab = µ0 ∑ I = µ0nabI
B = µ0nI
31
例3：一环形载流 ： 螺线管， 螺线管，匝数为 N ，内径为 R1 ， 外径为 R2 ，通有 电流 I ，求管内磁 感应强度。 感应强度。 解：在管内作环路 半径为 r ， 环路内电流代数和为
µ0I µ0I = = + 8R 8R 2π R
µ0I
o点磁感应强度为： 点磁感应强度为：
Bo
1 + 4 π
36
无限长直导线在P处完成半径为 处完成半径为R的 例2 无限长直导线在 处完成半径为 的 当通以电流I时 求圆心O点的磁感应强度 圆,当通以电流 时,求圆心 点的磁感应强度 大小. 大小. 解
40
二.两个基本定律 1.毕奥 萨伐尔定律 毕奥--萨伐尔定律 毕奥 电流元的磁场 2.安培定律 安培定律 电流元在磁场中受的安培力： 电流元在磁场中受的安培力： dF = Idl × B 运动电荷在磁场中受到的洛仑兹力： 运动电荷在磁场中受到的洛仑兹力： fL = q v × B
41
µ0 I dl × r dB = 3 4π r
2
R I o x x
µ0 IR
2 2 3/2
)
环心处： 环心处：
Bo =
µ0 I
2R
I
⋅ Ο B o
4
第五节 磁通量 磁场的 高斯定理
5
一、磁感线 形象的描绘磁场分布引入的空间曲线。 形象的描绘磁场分布引入的空间曲线。 二、规定 1.方向：磁感线上某点的切线方向为该点 方向： 方向 磁场方向。 磁场方向。 dS⊥ dφm 2.大小 2 大小：垂直穿过单 大小： 位面积的磁感线条 B 数等于B。 数等于 。 dφm B= dS⊥
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r l
E 2rl
0
R E 0r
例 已知“无限长”均匀带电直线的电荷线密度为+ 求 距直线r 处一点P 的电场强度
解 电场分布具有轴对称性
dS
过P点作一个以带电直线为轴， 以l 为高的圆柱形闭合曲面S 作 为高斯面
r
E
l
dS e E dS S 侧 E dS 上底 E dS 下底 E dS
例4 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，面 密度为 。 解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径 向 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为l,半径为r (1) r <R
r
l
E dS
下底
e E dS
s
上底
E dS
侧面
E dS
o
E 1 dq 0 o V
E 0
E为均匀电场。
30
1 4 3 2 E ds E 4r 0 3 r
E r 3 0
E l 3 0
E E E (r l ) a 3 0 3 0
高斯定理的应用
例3 均匀带电无限大平面的电场，已知 。 解： 电场分布也应有面对称性，方向沿法向。
E1
E
p E2 E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
e E dS E dS E dS E dS
球对称：同心球面 轴对称：同轴柱面 面对称：与平面垂直的圆柱面
3小结高斯定例解题步骤：
（1）分析电场是否具有对称性。
（2）取合适的高斯面(封闭面)， 即取在E相等的曲面上。 （3）E相等的面不构成闭合面时， 另选法线 nE 的面，使其成为闭合面。 E E dS （4）分别求出 ，从而求得E。 E 1 qi o S内
R
2
r
高斯定理的应用
例2 均匀带电球体的电场。球半径为R，带电为q。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面 1）r R时， E ds E ds E 4r 2
s
r
R
s
q
0
4r 3 3
qr E 4 0 R 3
r
l
E dS
下底
e E dS
s
上底
E dS
侧面
E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
r l
2
r E
e E dS
上底
E dS
下底
E dS
侧面
E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
R l
2
r l
R 2l E 2rl 0
R E er 2 0 r
2
E
P
侧 EdS E 侧 dS E 2r l
根据高斯定理得
E 2r l
1
0
l
E 2 0 r
习题 无限长均匀带电圆柱体的电场。圆柱半径为R，体 密度为 。 解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径 向 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为l,半径为r (1) r <R
q
+ +
高斯定理的应用
2 E 4 r E d s E ds
s
2）r R时，
s
0 q E e 2 r 4 0 r
q
q
0
+ R + + + + +
+
+ +
+
q
E q 40 R 2
0
Er 关系曲线
+ +
+ + + +
r
r
高斯定理
高斯定理: 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的 电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真 空介电常数。
1 e E dS qi
S
0 S内
点电荷系
1 e E dS V d V 0 S
连续分布带电体
高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。
S1 S2 S侧
ES1 ES2 0 2ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
E 2 0
σ
习题 已知无限大板电荷体密度为，厚度为d 求 电场场强分布 解 选取如图的圆柱面为高斯面
Sd 板外： 2 ES 0 d E外 2 0
高斯定理的应用
例1. 均匀带电球面内外的电场，球面半径为R,带电为q
。解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面. 1）r R时， E ds E ds E 4r 2
s
s
q
0
0
E 0
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+
+
+ + + +
板内：
S d
S 2 x 2 ES 0
x E内 0
x
S
Ex
O
x
d
习题二 两平行的无限大平面均匀带电，面密度分别为 1和 2
1.求空间三个区的场强； 2.当 1 2 和 1 2 结果怎样？
解： 则：
E 2 0
E 1
1
2 i 2 0
用高斯定理求场强小结： 1 . 电荷对称性分析
点电荷 球对称性 均匀带电球面 均匀带电球壳 球体 电荷分布对称性→场强分布对称性 无限带电直线 轴对称性 无限带电圆柱 柱对称 无限圆柱面 无限同轴圆柱面 面对称性
无限大平面 无限大平板 若干无限大平面
2. 高斯面的选择
①高斯面必须通过所求的场强的点。 ②高斯面上各点场强大小处处相等，方向处处与该 面元线平行；或者使一部分高斯面的法线与场强方 向垂直；或者使一部分场强为零。 ③高斯面应取规则形状
Ⅰ Ⅱ o
2
Ⅲ x
1 E 1 i 2 0 3 E1 i 2 0
同理：
2 E 2 i 2 0 2 E 2 i 2 0
E 2
2 i 2 0 Ⅰ
1
Ⅱ o
2
Ⅲ x
则：
1 2 E1 E1 E 2 i 2 0 1 2 E 2 E 1 E 2 i 2 0 1 2 E 3 E1 E 2 i 2 0
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
0
E 0
(2) r >R
s
e E dS
上底
E dS
下底
E dS
侧面
E dS
0 0 E 2rl E 2rl
q
i
2Rl
2Rl
高斯面
q 4r 3 3 4R 3 3
高斯定理的应用
2）r R时，
2 E 4 r E d s E ds
s
0 q E e 2 r 4 0 r
q
s
q
0
r
R
E
q 4 0 R
2
Er 关系曲线
高斯面
r
R
2
O
r
习题. 一半径为R、电荷密度为的均匀带电球内挖去 有一半径为r的空腔，证明空腔内的电场为均匀电场. 解： 取以r'为半径，o'为心的高斯球面 用高斯定理： r R 2 E d S EdS E 4 r E o'