陕西省宝鸡市高二上学期期末数学试卷(理科)
陕西省宝鸡市金台区2016-2017学年高二(上)期末试卷(理)(解析版)
2016-2017学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数可以是（）A．1或2或3或4 B．0或2或4 C．1或3 D．0 2．（5分）已知命题p：任意x∈R，sin x≤1，则（）A．￢p：存在x∈R，sin x≥1 B．￢p：任意x∈R，sin x≥1C．￢p：存在x∈R，sin x＞1 D．￢p：任意x∈R，sin x＞13．（5分）抛物线y2=20x的焦点到准线的距离是（）A．5 B．10C．15 D．204．（5分）“x＞﹣2”是“（x+2）（x﹣3）＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=06．（5分）下列选项中，说法正确的是（）A．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q均为真命题B．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题C．命题“若a=﹣b，则|a|=|b|”的否命题是真命题D．命题“若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底”的逆否命题为真命题7．（5分）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A．k＜1或k＞9 B．1＜k＜9C．1＜k＜9且k≠5 D．5＜k＜98．（5分）4．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=19．（5分）椭圆（a＞b＞0）的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（）A．B．C．D．11．（5分）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则•的值为（）A．a2B．a2C．a2D．a212．（5分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.13．（6分）过椭圆左焦点F1作弦AB，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是．14．（6分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=4，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为．15．（6分）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线2x+y﹣2=0上的抛物线方程是．16．（6分）椭圆的离心率，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（16分）已知命题p：平面内垂直于同一直线的两条直线不平行，命题q：平面内垂直于同一直线的两条直线平行．请你写出以上命题的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题，并判断其真假．18．（16分）以（1，﹣1）为中点的抛物线y2=8x的弦所在直线的方程存在吗？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．19．（17分）△ABC两个顶点A、B的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0），边AC、BC所在直线的斜率之积是﹣4．（1）求顶点C的轨迹方程；（2）求直线2x﹣y+1=0被此曲线截得的弦长．20．（17分）如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，P A=PB=PC=．（1）求证：平面P AC⊥平面ABC；（2）求平面PBC和平面ABC夹角的正切值．参考答案一、选择题1．B【解析】∵原命题和逆否命题互为等价命题，逆命题和否命题互为等价命题，∴四种命题真命题的个数为0或2或4个，故选：B．2．C【解析】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即存在x∈R，sin x＞1，故选：C3．B【解析】抛物线y2=20x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=10，故选：B．4．B【解析】由（x+2）（x﹣3）＜0得﹣2＜x＜3，则“x＞﹣2”是“（x+2）（x﹣3）＜0”的必要不充分条件，故选：B5．A【解析】双曲线，其渐近线方程是﹣y2=0，整理得x±2y=0．故选A．6．D【解析】A．若命题“p或q”为真命题，则命题p和命题q至少有一个为真命题，故A错误，B．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为，命题“若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，当m=0时，结论不成立，故B错误，C．命题“若a=﹣b，则|a|=|b|”的逆命题为“若|a|=|b|，则a=﹣b|”为假命题，a=b也成立，即逆命题为假命题，则否命题为假命题，故C错误，D．命题“若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底”，则原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，故D正确，故选：D．7．D【解析】∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴k﹣1＞9﹣k＞0，∴5＜k＜9．故选：D．【解析】在椭圆C1中，由，得椭圆C1的焦点为F1（﹣5，0），F2（5，0），曲线C2是以F1、F2为焦点，实轴长为8的双曲线，故C2的标准方程为：﹣=1，故选A．9．D【解析】由题意可得A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，可得2|F1F2|=|AF1|+|F1B|，即为4c=（a﹣c）+（a+c），即a=2c，e==．故选：D．10．A【解析】因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），几何体的直观图如图，是正方体的顶点为顶点的一个正四面体，所以以zOx平面为投影面，则得到正视图为：故选A．11．C【解析】由题意可得，•=•===，故选：C．【解析】∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4，故选C．二、填空题13．16【解析】△ABF2（F2为右焦点）的周长等于AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2，又∵AF1+AF2+=2a，BF1+BF2=2a，∴AF1+BF1+AF2+BF2=4a=16，故答案为：1614．30°【解析】如图，取AC中点E，连接C1E，BE，则C1E∥AD；∴∠EC1B或其补角为异面直线AD和BC1所成角；根据条件得：BE=2，C1E=2，BC1=4；∴BE2+C1E2=BC12；∴∠BEC1=90°；∴sin∠EC1B==；∴∠EC1B=30°；∴异面直线AD和BC1所成角的大小为30°．故答案为：30°15．y2=4x或x2=8y【解析】直线2x+y﹣2=0交x轴于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2）；①当抛物线的焦点在A点时，设方程为y2=2px，可得2p=4，∴抛物线方程为y2=4x；②当抛物线的焦点在B点时，设方程为x2=2py，可得2p=8，∴抛物线方程为x2=8y综上所述，抛物线方程为y2=4x或x2=8y．故答案为：y2=4x或x2=8y．16．或【解析】当m＞1时，a2=m．b2=1，c2=m﹣1，e2=，⇒m＞；当0＜m＜1时，a2=1．b2=m，c2=1﹣m，e2=∈（）⇒0＜m＜．故答案为：0＜m＜或m＞．三、解答题17．解：“p或q”：平面内垂直于同一直线的两条直线不平行或平行．（真命题）“p且q”平面内垂直于同一直线的两条直线不平行或平行．（假命题）“非p”：平面内垂直于同一直线的两条直线平行．（真命题）18．解：设这样的直线存在，其被抛物线截得弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y i2=8x1，y22=8x2①①中两式做差，得（y2+y1）（y2﹣y1）=8（x2﹣x1），∴k AB=﹣4．得直线方程y+1=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣3=0．②将②与曲线y2=8x联立，得16x2﹣32x+9=0，△=（﹣32）2﹣4×16×9＞0∴弦所在直线方程为4x+y﹣3=0．19．解：（1）设C（x，y），由，由，化简可得4x2+y2=4，所以顶点C的轨迹方程为4x2+y2=4（x≠±1）（2）设直线2x﹣y+1=0与曲线4x2+y2=4（x≠±1）相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2）．联立化为8x2+4x﹣3=0则，弦长==所以直线2x﹣y+1=0被曲线4x2+y2=4（x≠±1）截得的弦长为．20．证明：（1）如图，设O是AC的中点，连接PO，BO．∵△ABC为等腰直角三角形，AB=BC=2，∴AC=2，OB=．又∵P A=PC=，∴PO⊥AC，PO=2．∴PO2+BO2=PB2，即PO⊥OB．又∵BO∩AC=O，∴PO⊥平面ABC．∵PO⫋平面P AC，∴平面P AC⊥平面ABC．解：（2）设H是BC的中点，连接OH，PH．∵O为AC的中点，∴OH∥AB，且OH=AB=1．∵AB⊥BC，∴OH⊥BC．又PB=PC，∴PH⊥BC．∴∠PHO为平面PBC和平面ABC的夹角．在Rt△PHO中，tan∠PHO===2，即平面PBC和平面ABC夹角的正切值为2．。
2019-2020学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期末考试数学(理)试题
2019-2020学年度第一学期期末检测题高二理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）． A. 1 B. 2C. 3D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了..【详解】因为原命题”若3a >，则6a >”是假命题;所以其逆否命题也是假命题, 因为逆命题”若6a >,则3a >”是真命题.所以否命题也是真命题.所以命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个. 故选B .点睛】本题考查了四种命题,属基础题.2.若向量()a 1,1,2=-r ，()2,1,3b =-r ，则a b rr +=（ ）A.B. C. 3D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出a b +rr的坐标，再求模长即可.【详解】()3,0,1a b +=-r r 则a b r r +=故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.3.命题“存在x ∈R ，使得1ln 2x ≤成立”的否定是（ ） A. 对任意的x ∈R ，1ln 2x >成立 B. 对任意的x ∈R ，1ln 2x ≤成立 C. 存在x ∈R ，1ln 2x >成立 D. 不存在x ∈R ，使得1ln 2x >成立【答案】A 【解析】分析：利用特称命题的否定分析解答得解. 详解：由题得命题“存在x R ∈，使得1ln 2x ≤成立”的否定是：对任意的x R ∈，1ln 2x >成立.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题:p ,()x M p x ∃∈,特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝.4.对于实数a ，b ，则“a＜b ＜0”是“1ba<”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可．【详解】若“0a b <<”即a b >，则“1b b aa =<”，故“0a b <<”是“1ba<”的充分条件， 若“1b a <”，假设13a b =-=，，则“1ba<”，得a b <且00a b <>，，故“0a b <<”是“1b a <” 的不必要条件；对于实数,a b ，则“0a b <<”是“1ba<”充分不必要条件,故选A.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，是此类问题常用的思维方法，是基础题．5.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A. 221810x y -=B. 22145x y -=C. 22154x y -=D.22143x y -= 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程可知b =；利用椭圆焦点坐标和双曲线中222c a b =+可构造方程求得22,a b ，进而得到双曲线方程.【详解】由双曲线渐近线方程知：b a =，即b = Q 椭圆221123x y +=焦点坐标为()3,0± 2229c a b ∴=+= 22594a a ∴+=，解得：24a = 22554b a ∴==∴双曲线C 的方程为22145x y -=故选：B【点睛】本题考查双曲线方程的求解，涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识，属于基础题. 6.给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p q 、均为假命题；②命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题；③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件； ④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件.其中正确的命题的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】①：若“p 且q ”为假命题，则p q 、中至少有一个假命题，故①错误；②：若()221f x ax x =+-只有一个零点,则当0a =时,只有一个零点,或当0a ≠时22+40a ==V 即1a =-,故()221f x ax x =+-只有一个零点,有0a =或1a =-,故②不正确;③若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件，因为若q p p q ⌝⌝则的逆否命题为若则,所以若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；故③正确； ④：充分性：ABC ∆中，若A B >，则a>b ，根据正弦定理sin sin a b A B=，可得到sin sin A B > ，反之也成立，故④项正确.故选B.7.如图，,M N 分别是四面体OABC 的边,OA BC 的中点，P 是MN 的中点，设,OA a =u u u r r OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r 用,,a b c r r r表示OP uuu r ，则( )A. 111234OP a b c =++u u u r r r rB. 111244OP a b c =++u u u r r r rC. 111324OP a b c =++u u u r r r rD. 111444OP a b c =++u u u r r r r【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的加法和减法的运算，将OP uuu r表示为,,a b c r r r 的线性和的形式.【详解】依题意()()111244OP OM ON OA OB OC =+=++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 111444a b c =++r r r，故选D. 【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查三角形中线对应向量的求法，属于基础题.8.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，则p = （ ） A. 4 B. 8 C. 10 D. 12【答案】D 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点(,0)2p， 再由抛物线的焦点是椭圆2214x y p p +=的一个焦点得244p p p -=求解即可． 【详解】由抛物线22(0)y px p =>，所以抛物线的焦点为(,0)2p， 又因为抛物线的焦点是椭圆2214x y p p +=的一个焦点， 所以244p p p -= 解得12p =或0p =（舍去） 故选D【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的定义，属于基础题．9.已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中①当14t <<时，曲线C 一定是椭圆；②当4t >或1t <时，曲线C 一定是双曲线；③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<；④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >；正确的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】在①中， 2.5t =时，曲线C 是圆；②当4t >或1t <时，(4)(1)0t t --<；在③中，若曲线C是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩；在④中，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩． 【详解】解：由方程22141x y t t +=--的曲线为C ，知：在①中，当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆，比如 2.5t =时，曲线C 是圆，故①错误； ②当4t >或1t <时，(4)(1)0t t --<，曲线C 一定是双曲线，故②正确；在③中，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，故③正确；在④中，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故④正确．故正确的有3个. 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查圆锥曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．10.命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（） A. 1a ≤B. 2a ≤C. 3a ≤D. 4a ≤【答案】A 【解析】 【分析】“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为[]22,1,2x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案.【详解】若“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得[]22,1,2x a x ≥∈恒成立只需2min (2)2a x ≤=，所以1a ≤时，[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题， “[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[]1,2x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 选A.【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，充分条件，必要条件，命题，属于中档题. 11.如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A.3 B.12C.14D. 0【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B，()13,0,2B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-u u u v ,()13,1,2B C =--u u u v，11cos ,A B B C u u u v u u u v 1111A B B C A B B C u u u v u u u vu u u v u u u v ⋅=⨯2222=⨯14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A.51- B.31- C.15+ D.31+【答案】A 【解析】 【分析】根据90ABF ∠=︒可知1AB BF k k =-g ，转化成关于a ，b ，c 的关系式，再根据a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可得． 【详解】据题意，(),0A a -，()0,B b ，(),0F c ，90ABF ∠=︒Q ，1AB BFk k ∴=-g 即()00100b b a c --⨯=----，21b ac∴=即2b ac =.又222c a b =-Q ，220c a ac ∴-+=，同除2a 得210c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即210e e +-=12e ∴=（舍）或12e =.故选A . 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题．二、填空题13.抛物线214y x =-的准线方程是________ 【答案】1y = 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：24x y =- ∴抛物线准线方程为：1y = 故答案为1y =【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14.若()()2,3,,2,6,8a m b n ==v v，且,a b r r 为共线向量,则m n +的值为______.【答案】6 【解析】 【分析】根据两向量共线的坐标表示，列出方程求出,m n 的值，从而可得结果.【详解】()()2,3,,2,6,8a m b n ==v Q v，且,a b r r为共线向量,∴存在实数λ，使得λa b =r r，即22368n m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1224n m λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 则6m n +=，故答案为6.【点睛】本题主要考查向量共线的性质，属于简单题. 非零向量,a b r r共线的充要条件是存在实数λ使得λa b =r r.15.已知p:(x+2)(x-3)≤0,q:|x+1|≥2,若“p ∧q”为真,则实数x 的取值范围是____. 【答案】[]1,3 【解析】 【分析】分别解出p ，q 的x 的范围，再利用命题“p ∧q ”为真即可得出 【详解】p ：（x+2）（x-3）≤0，解得-2≤x≤3． q ：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤-3． 命题“p∧q”为真，∴2313x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ，解得1≤x≤3．则实数x 的取值范围是[1，3]． 故答案为[1，3]．【点睛】本题考查了不等式的解法、复合命题真假的判定及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知两定点()()2020A B -，、，，点P 在椭圆2211612x y +=上，且满足2PA PB -=，则PA PB ⋅u u u r u u u r =_______.【答案】9【解析】【分析】设P(x ，y)，可得P 的轨迹方程为：22y x -=13（x ≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得22x =4y =9，，可得PA PB ⋅u u u v u u u v 的值.【详解】解：设P(x ，y)，由()()2020A B -，、，，2PA PB -=，可得点P 的轨迹是以点A 、B 为焦点的双曲线的右支，且2a=2，c=2，∴∴P 的轨迹方程为：22y x -=13（x ≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得：2222y x -=1311612x y ìïïí+=ïïî， 可得22x =4y =9，， ∴PA PB ⋅u u u v u u u v =2(2)(2)x x y +-+=224x y -+=9,故答案：9.【点睛】本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求双曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题.三、解答题17.写出命题“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.【答案】见解析【解析】试题分析：原命题是“若p 则q ”，逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”，互为逆否命题的命题是同真同假.试题解析：∵原命题是“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”，∴它的逆命题是：若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠，是真命题；否命题是：若2320x x -+=，则1x =或2x =，是真命题；逆否命题是：若1x =或2x =，则2320x x -+=，是真命题.18.设椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的焦点为())12F F 、，且该椭圆过点12⎫⎪⎭，.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，求0y 的值. 【答案】（1）2214x y +=；（2）0y = 【解析】【分析】(1)由题意布列关于a ，b 的方程组，即可得到椭圆C 的标准方程；(2)由垂直关系得到220030x y +-=又点()00M x y ，在椭圆C 上，即可解得0y 的值.【详解】(1)22121b⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，且223a b -=，解得 2241a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （若用定义先解出2a 也可，或用通径长解出基本量也可）（2）点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，则有120MF MF ⋅=u u u u v u u u u v且00y ≠，则()()2200000030x y x y x y -⋅-=+-=，，① 而点()00M x y ，在椭圆C 上，则220014x y +=② 联立①②消去20x ，得20103y =≠，所以0y =. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，椭圆的几何性质，以及数量积的代数运算，属于基础题.19.已知圆221:(1)4C x y -+=，一动圆P 与直线12x =-相切且与圆C 外切． （1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过()1,0F 作直线l ，交（1）中轨迹E 于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程．【答案】（1）24y x =；（2）220x y +-=.【解析】【分析】（1）利用直接法，求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；（2）法一：由（1）得抛物线E 的焦点C （1，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法，求出线段AB 中点的纵坐标，得到直线的斜率，求出直线方程． 法二：设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与抛物线方程，设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理，求出m 即可．【详解】（1）设P （x ，y ），则由题意，|PC |﹣（x 12+）12=，=x +1，化简可得动圆圆心P 的轨迹E 的方程为y 2＝4x ；（2）法一：由（1）得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点C （1，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则2112224,4y x y x ⎧=⎨=⎩ 两式相减．整理得()211221214y y x x x x y y -=≠-+ ∵线段AB 中点的纵坐标为﹣1∴直线l 的斜率()21442,12AB k y y ===-+-⨯ 直线l 的方程为y ﹣0＝﹣2（x ﹣1）即2x +y ﹣2＝0.法二：由（1）得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点C （1，0）设直线l 的方程为x ＝my +1由241y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵线段AB 中点的纵坐标为﹣1 ∴()124122m y y --+==- 解得1,2m =- 直线l 的方程为112x y =-+即2x +y ﹣2＝0. 【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力，难度较小．20.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA 1C 1C ， AB=3，BC=5.（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（3）求点C 到平面11A BC 的距离.【答案】（1）见解析；（2）1625；（3）125. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接转化成平面ABC⊥平面AA 1C 1C. (2)利用空间向量法求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值. (3)利用空间向量法求点C 到平面11A BC 的距离.试题解析：证明：（1）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC I 平面AA 1C 1C AC =，所以1AA ⊥平面ABC.（2）由（1）知，1AA ⊥AC, 1AA ⊥AB.由题意知3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,则()()()()1110,3,0,0,0,4,0,3,4,4,0,4B A B C .设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =r ，则1110,0.n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u u r r 即340,40,y z x -=⎧⎨=⎩ 令3z =，则0,4x y ==，所以()0,4,3n r =.同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0m =r. 所以16cos ,25m n m n m n ⋅==⋅r r r r r r . 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.（3）由（2）知平面11A BC 的法向量为()0,4,3n r =，()10,0,4CC =u u u u r所以点C 到平面11A BC 距离1·125C C n d n ==u u u u r r r . 点睛：本题主要是利用空间向量法解答，所以大家主要是在计算时要认真仔细，不要计算出错.。
陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题
陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（）． A ．1B ．2C ．3D ．02．若向量()a 1,1,2=-，()2,1,3b =-，则a b +=（ ）AB ．C ．3D3．命题“存在x ∈R ，使得1ln 2x ≤成立”的否定是（ ） A ．对任意的x ∈R ，1ln 2x >成立 B ．对任意的x ∈R ，1ln 2x ≤成立 C ．存在x ∈R ，1ln 2x >成立 D ．不存在x ∈R ，使得1ln 2x >成立4．对于实数a ，b ，则“a＜b ＜0”是“1ba<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=6．给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p q 、均为假命题；②命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题；③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；④在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件. 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，,M N 分别是四面体OABC 的边,OA BC 的中点，P 是MN 的中点，设,OA a =OB b =，OC c =用,,a b c 表示OP ，则( )A ．111234OP a b c =++ B ．111244OP a b c =++ C ．111324OP a b c =++D ．111444OP a b c =++8．若抛物线22(0)y px p =>的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，则p = （ ） A ．4B ．8C ．10D ．129．已知方程22141x y t t +=--的曲线为C ，下面四个命题中①当14t <<时，曲线C 一定是椭圆；②当4t >或1t <时，曲线C 一定是双曲线；③若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<；④若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4t >；正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．1a ≤ B ．2a ≤ C ．3a ≤D ．4a ≤11．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A B ．12C ．14D ．012．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（）A ．12B ．12C ．14+ D ．14二、填空题 13．抛物线214y x =-的准线方程是________ 14．若()()2,3,,2,6,8a m b n ==，且,a b 为共线向量,则m n +的值为______. 15．已知p:(x+2)(x-3)≤0,q:|x+1|≥2,若“p∧q”为真,则实数x 的取值范围是____.16．已知两定点()()2020A B -，、，，点P 在椭圆2211612x y +=上，且满足2PA PB -=，则PA PB ⋅=_______.三、解答题17．写出命题“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.18．设椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的焦点为())12F F 、，且该椭圆过点12⎫⎪⎭，.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上的点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，求0y 的值. 19．已知圆221:(1)4C x y -+=，一动圆P 与直线12x =-相切且与圆C 外切．（1）求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；（2）过()1,0F 作直线l ，交（1）中轨迹E 于,A B 两点，若AB 中点的纵坐标为1-，求直线l 的方程．20．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA 1C 1C ， AB=3，BC=5.（1）求证：AA 1⊥平面ABC ； （2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值； （3）求点C 到平面11A BC 的距离.参考答案1．B 【分析】根据原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,只需判断原命题和逆命题的真假就可以得到真命题的个数了.. 【详解】因为原命题”若3a >，则6a >”是假命题;所以其逆否命题也是假命题, 因为逆命题”若6a >,则3a >”是真命题.所以否命题也是真命题.所以命题“若3a >，则6a >”以及它的逆命题、否命题中，真命题的个数为2个. 故选B . 【点睛】本题考查了四种命题,属基础题. 2．D 【分析】先求出a b +的坐标，再求模长即可. 【详解】()3,0,1a b +=-则230a b +=+故选D. 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题. 3．A 【解析】分析：利用特称命题的否定分析解答得解. 详解：由题得命题“存在x R ∈，使得1ln 2x ≤成立”的否定是：对任意的x R ∈，1ln 2x >成立.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 特称命题:p ,()x M p x ∃∈,特称命题的否定:p ⌝,()x M p x ∀∈⌝.4．A【分析】利用不等式的基本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可． 【详解】若“0a b <<”即a b >，则“1b b aa =<”，故“0a b <<”是“1ba<”的充分条件， 若“1b a <”，假设13a b =-=，，则“1ba <”，得ab <且00a b <>，， 故“0a b <<”是“1b a <” 的不必要条件；对于实数,a b ，则“0a b <<”是“1b a<” 充分不必要条件,故选A. 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，利用特殊值代入法，是此类问题常用的思维方法，是基础题． 5．B 【分析】根据已知可得b a =，双曲线焦距26c =，结合,,a b c 的关系，即可求出结论. 【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②由①②解得a ＝2，b C 的方程为22145x y -=.故选：B. 【点睛】本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题. 6．B 【解析】①：若“p 且q ”为假命题，则p q 、中至少有一个假命题，故①错误；②：若()221f x ax x =+-只有一个零点,则当0a =时,只有一个零点,或当0a ≠时22+40a ==即1a =-,故()221f x ax x =+-只有一个零点,有0a =或1a =-,故②不正确;③若p 是q 的必要条件，则q 是p 的充分条件，因为若q p p q ⌝⌝则的逆否命题为若则,所以若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；故③正确；④：充分性：在ABC ∆中，若A B >，则a>b ，根据正弦定理sin sin a bA B=，可得到sin sin A B > ，反之也成立，故④项正确.故选B. 7．D 【分析】利用空间向量的加法和减法的运算，将OP 表示为,,a b c 的线性和的形式. 【详解】 依题意()()111244OP OM ON OA OB OC =+=++111444a b c =++，故选D. 【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查三角形中线对应向量的求法，属于基础题. 8．D 【分析】首先求出抛物线的焦点(,0)2p， 再由抛物线的焦点是椭圆2214x y p p +=的一个焦点得244p p p -=求解即可． 【详解】由抛物线22(0)y px p =>，所以抛物线的焦点为(,0)2p， 又因为抛物线的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，所以244p p p -= 解得12p =或0p =（舍去） 故选D 【点睛】本题考查了抛物线与椭圆的定义，属于基础题． 9．C 【分析】在①中， 2.5t =时，曲线C 是圆；②当4t >或1t <时，(4)(1)0t t --<；在③中，若曲线C是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩；在④中，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩． 【详解】解：由方程22141x y t t +=--的曲线为C ，知：在①中，当14t <<时，曲线C 不一定是椭圆，比如 2.5t =时，曲线C 是圆，故①错误； ②当4t >或1t <时，(4)(1)0t t --<，曲线C 一定是双曲线，故②正确；在③中，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则401041t t t t ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得512t <<，故③正确；在④中，若曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线，则4010t t -<⎧⎨->⎩，解得4t >，故④正确．故正确的有3个. 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查圆锥曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题． 10．A 【分析】“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题可转化为22,[1,2]x a x ≥∈恒成立，可得2a ≤，根据充分必要条件可选出答案． 【详解】若“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，可得22,[1,2]x a x ≥∈恒成立 只需()2min22a x≤=，所以1a ≤时，[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题，“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题时推出2a ≤，故1a ≤是命题“[1,2]x ∀∈，220x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，以及探求命题的充分不必要条件，属于常考题型． 11．C 【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可. 【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B，)12B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2AB =-,()12B C =--，11cos ,A B B C <>1111A B B C A B BC⋅=⨯=14=.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．A 【分析】根据90ABF ∠=︒可知1AB BF k k =-，转化成关于a ，b ，c 的关系式，再根据a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可得． 【详解】据题意，(),0A a -，()0,B b ，(),0F c ，90ABF ∠=︒，1AB BFk k ∴=-即()00100b b a c --⨯=----，21b ac∴=即2b ac =.又222c a b =-，220c a ac ∴-+=，同除2a 得210c c a a⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即210e e +-=e ∴=（舍）或e =.故选A . 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程和简单性质、直角三角形的判定等知识，是中档题． 13．1y =【分析】将抛物线方程化为标准形式，从而得到准线方程.【详解】抛物线方程可化为：24x y =- ∴抛物线准线方程为：1y =故答案为1y =【点睛】本题考查抛物线准线的求解，易错点是未将抛物线方程化为标准方程.14．6【分析】根据两向量共线的坐标表示，列出方程求出,m n 的值，从而可得结果.【详解】()()2,3,,2,6,8a m b n ==，且,a b 为共线向量,∴存在实数λ，使得λa b ，即22368n m λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1224n m λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，则6m n +=，故答案为6.【点睛】本题主要考查向量共线的性质，属于简单题. 非零向量,a b 共线的充要条件是存在实数λ使得λa b .15．[]1,3【解析】【分析】分别解出p ，q 的x 的范围，再利用命题“p ∧q ”为真即可得出【详解】p ：（x+2）（x-3）≤0，解得-2≤x≤3．q ：|x+1|≥2，解得x≥1或x≤-3．命题“p∧q”为真，∴2313x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ，解得1≤x≤3．则实数x 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]．【点睛】本题考查了不等式的解法、复合命题真假的判定及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．9【分析】 设P(x ，y)，可得P 的轨迹方程为：22y x -=13（x ≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得22x =4y =9，，可得PA PB ⋅的值.【详解】解：设P(x ，y)，由()()2020A B -，、，，2PA PB -=，可得点P 的轨迹是以点A 、B 为焦点的双曲线的右支，且2a=2，c=2，∴，∴P 的轨迹方程为：22y x -=13（x ≥1），联立椭圆与双曲线的方程可得：2222y x -=1311612x y ，可得22x =4y =9，， ∴PA PB ⋅=2(2)(2)x x y =224x y =9,故答案：9.【点睛】 本题考查用定义法求双曲线的标准方程，求双曲线的交点的坐标，以及两个向量的数量积公式的应用，是中档题.17．见解析【解析】试题分析：原命题是“若p 则q ”，逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，逆否命题是“若q ⌝则p ⌝”，互为逆否命题的命题是同真同假. 试题解析：∵原命题是“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”，∴它的逆命题是：若1x ≠且2x ≠，则2320x x -+≠，是真命题；否命题是：若2320x x -+=，则1x =或2x =，是真命题；逆否命题是：若1x =或2x =，则2320x x -+=，是真命题.18．（1）2214x y +=；（2）0y =【分析】(1)由题意布列关于a ，b 的方程组，即可得到椭圆C 的标准方程；(2)由垂直关系得到220030x y +-=又点()00M x y ，在椭圆C 上，即可解得0y 的值.【详解】(1)22121b⎛⎫ ⎪⎝⎭=，且223a b -=，解得 2241a b ==，，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （若用定义先解出2a 也可，或用通径长解出基本量也可）（2）点()00M x y ，满足12MF MF ⊥，则有120MF MF ⋅=且00y ≠，则()()2200000030x y x y x y -⋅-=+-=，，① 而点()00M x y ，在椭圆C 上，则220014x y +=② 联立①②消去20x ，得20103y =≠，所以0y =±. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的方程，椭圆的几何性质，以及数量积的代数运算，属于基础题.19．（1）24y x =；（2）220x y +-=. 【解析】【分析】（1）利用直接法，求动圆圆心P 的轨迹T 的方程；（2）法一：由（1）得抛物线E 的焦点C （1，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），利用点差法，求出线段AB 中点的纵坐标，得到直线的斜率，求出直线方程． 法二：设直线l 的方程为x ＝my +1，联立直线与抛物线方程，设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），通过韦达定理，求出m 即可．【详解】（1）设P （x ，y ），则由题意，|PC |﹣（x 12+）12=，=x +1，化简可得动圆圆心P 的轨迹E 的方程为y 2＝4x ；（2）法一：由（1）得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点C （1，0）设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则2112224,4y x y x ⎧=⎨=⎩ 两式相减．整理得()211221214y y x x x x y y -=≠-+ ∵线段AB 中点的纵坐标为﹣1∴直线l 的斜率()21442,12AB k y y ===-+-⨯直线l 的方程为y ﹣0＝﹣2（x ﹣1）即2x +y ﹣2＝0.法二：由（1）得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点C （1，0）设直线l 的方程为x ＝my +1 由241y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0设A ，B 两点的坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵线段AB 中点的纵坐标为﹣1 ∴()124122m y y --+==- 解得1,2m =- 直线l 的方程为112x y =-+即2x +y ﹣2＝0. 【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查平方差法的应用，考查转化思想以及计算能力，难度较小．20．（1）见解析；（2）1625；（3）125. 【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接转化成平面ABC⊥平面AA 1C 1C. (2)利用空间向量法求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值. (3)利用空间向量法求点C 到平面11A BC 的距离.试题解析：证明：（1）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.因为平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC 平面AA 1C 1C AC =，所以1AA ⊥平面ABC.（2）由（1）知，1AA ⊥AC, 1AA ⊥AB.由题意知3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,则()()()()1110,3,0,0,0,4,0,3,4,4,0,4B A B C .设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，则1110,0.n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即340,40,y z x -=⎧⎨=⎩令3z =，则0,4x y ==，所以()0,4,3n =.同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0m =. 所以16cos ,25m n m n m n ⋅==⋅. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.（3）由（2）知平面11A BC 的法向量为()0,4,3n =，()10,0,4CC =所以点C 到平面11A BC 距离1·125C C n d n ==. 点睛：本题主要是利用空间向量法解答，所以大家主要是在计算时要认真仔细，不要计算出错.。
2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期末数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年陕西省宝鸡市金台区高二上册期末数学（理）试题一、单选题1．命题“2,210x x x ∀∈-+≥R ”的否定为（）A ．2,210x x x ∀∈-+<RB ．2,210x x x ∀∉-+≥RC ．2,210x x x ∃∈-+≥RD ．2,210x x x ∃∈-+<R 【正确答案】D【分析】本题可根据全称命题的否定是特称命题得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“2,210x x x ∀∈-+≥R ”的否定为“2,210x x x ∃∈-+<R ”，故选：D.2．抛物线24y x =的焦点坐标为（）A ．1(0,)8B ．1(0,)16C ．1(,0)16D ．1(,0)8【正确答案】B【分析】先将方程化成标准形式，即214x y =，求出18p =，即可得到焦点坐标．【详解】211248x y y ==⨯，焦点在y 轴正半轴上，故焦点坐标10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：B.3．命题“若0,xy =则0(,)x x y R =∈”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【正确答案】B首先判断原命题及其逆命题的真假，再根据互为逆否命题的两个命题同真假，即可判断其逆否命题与否命题的真假；【详解】解：命题“若0,xy =则0(,)x x y R =∈”为假命题，则其逆否命题也为假命题；其逆命题为：若0,x =则0xy =，显然是真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可得原命题的否命题也为真命题，故为真命题的有2个故选：B4．已知命题1:1p x<，命题:1q x >，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【正确答案】B【分析】根据题意，求得:p 0x <或1x >，即可得到不等式之间推出关系，判定得到结论.【详解】由11x<得0x <或1x >，即:p 0x <或1x >，若:1q x >成立，则:p 0x <或1x >成立，即q p ⇒，若:p 0x <或1x >成立时，:1q x >不一定成立，故p q ¿，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B.5．已知(2,3,1),(2,0,4),(4,6,2)a b c =-=-=--，则下列结论正确的是（）A ．a b⊥ B ．a c⊥ C ．//a b D ．//a c【正确答案】D【分析】根据向量平行、垂直的坐标表示直接判断即可.【详解】因为2230(1)(4)8a b ⋅=⨯+⨯+-⨯-=，2(4)3(6)(1)228a c ⋅=⨯-+⨯-+-⨯=-，所以AB 错误；因为204231-≠≠-，所以,a b 不平行，C 错误；因为462231--==-，所以//a c ，D 正确.故选：D6．已知命题p ：离心率越小，椭圆的形状越扁，命题q ：离心率越大，双曲线的“张口”越小，则下列命题为真命题的是（）A ．()p q ⌝∧B ．()p q ⌝∨C ．p q ∨D ．p q∧【正确答案】B 【分析】研究ba的变化情况，可以得出结论.【详解】根据椭圆的图象可知，ba越接近于1，则椭圆越圆.离心率越小，则由b a =b a 越大，则椭圆越圆，因此命题p 为假命题；对于双曲线，以焦点在x 轴上的为例，根据双曲线的图象知，渐近线斜率越小，即ba越小，双曲线的“张口”越小.离心率越大，则由ba===b a 越大，双曲线的“张口”越大，因此命题q 为假命题.根据，或且非逻辑联接词判定命题的依据知，只有B 正确.故选：B.7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若,AB a AD b == ，1AA c = ，则BM =（）A ．1122-+ a b cB ．1122++a b cC ．1122--+ a b cD ．1122a b c-++ 【正确答案】D【分析】根据空间向量基本定理，用1,,AB AD AA 表示出BM即可.【详解】由题意，因为M 为11A C 与11B D 的交点，所以M 也为11AC 与11B D 的中点，因此11112BM AM AB AA A M AB AA AC AB=-=+-=+- 1111111()22222AA AB AD AB AA AB AD c a b =++-=-+=-+ 1122a b c =-++ .故选：D.8．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B．6CD．2【正确答案】C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),D A B D ,所以11(AD DB =-=,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅==，所以异面直线1AD 与1DB选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.9．已知v 为直线l 的方向向量，1n ，2n 分别为平面α，β的法向量(,αβ不重合)，那么下列说法中：①12////n n αβ⇔ ；②12n n αβ⊥⇔⊥ ；③1////v n l α⇔ ；④1.v n l α⊥⇔⊥正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【正确答案】B【分析】对于①根据面面平行的关系可得；对于②根据面面垂直可得；对于③根据两条平行线的关系可得；对于④根据两条垂直线的关系可得.【详解】根据两个平面的法向量平行可得两个平面平行得①正确；根据两个平面的法向量垂直可得两个平面垂直得②正确；根据两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直这个平面，故③不正确；对于④也可能l ⊂α，所以④不正确.故选：B10．若点P 在椭圆22:143x y C +=上，1F ，2F 分别为椭圆C 的左右焦点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（）．AB ．3C ．4D ．1【正确答案】A【分析】利用椭圆定义得到1224PF PF a +==，再利用余弦定理得到2212124PF PF PF PF +-=，两者联立解出124PF PF =，再利用三角形面积公式求出面积即可.【详解】解：由椭圆的标准方程22143x y +=，可得2a =，b ．所以1224PF PF a +==，又由2221c a b =-=，所以1c =，即1222F F c ==．因为1260F PF ∠=︒，所以2221212122cos60PF PF PF PF F F ︒+-=，即22212122PF PF PF PF +-=．又因为()22124PF PF +=，即221212216PF PF PF PF ++=，两式相减，约分可得124PF PF =，所以12121211sin 4222F PF S PF PF F PF =∠=⨯⨯=△故选：A ．11．如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．花瓶的最小直径为12cm ，瓶口直径为20cm ，瓶高为30cm ，则该双曲线的虚轴长为（）A ．458B ．454C ．452D ．45【正确答案】C【分析】设双曲线方程为22221x y a b-=，(0,0)a b >>，由已知可得a ，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解b ，即可得到双曲线的虚轴长．【详解】设M 点是双曲线与截面的一个交点，设双曲线的方程为：22221x y a b-=，(0,0)a b >>．花瓶的最小直径12212cm A A a ==，则6a =，由瓶口直径为20cm ，瓶高为30cm ，可得(10,15)M ，故2222101516b-=，解得454b =，∴该双曲线的虚轴长为45452242b =⨯=．故选：C ．12．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，离心率为12，过1F 且为线段2AF 的垂线l 交C 于,M N 两点，则AMN 周长为（）A ．4aB ．3aC ．2aD ．22a c+【正确答案】A【分析】将椭圆方程化为2222143x y c c+=,可求得l 的斜率,联立椭圆与直线方程求得,M N 的纵坐标,分别计算||,||,||MN AM AN 即可.【详解】如图:1,2,2c e a c a ==∴= 22223b a c c =-=，椭圆2222:1x y C a b +=可化为2222143x y c c+=，又2221cos 2OF c AF O AF a ∠===,2π3AF O ∴∠=，2l AF ⊥ ,1π6NF O ∴∠=，设直线:),l y x c =+即x c =-，由2222143x y c c x c ⎧+=⎪⎨⎪-⎩得221390y c --=，设()()1122,,,M x y N x y ，不妨设12y y <,解得12y y =所以1248||13cMN y =-=，因为()0,A b 即()A ，所以A M ====，由221390y c --=得2211139y c =+,代入上式，AM ====2813c +=，同理可得AN =，MN AM AN ∴++=4813c 1048413cc a ===，所以AMN 周长为4a .故选:A关键点点睛:在求,AM AN 时并没有用弦长公式，因为计算||AM 时不能使用韦达定理，所以必需回到弦长的本质,即两点间的距离，故需要求出M 的坐标,由直线与椭圆联立是完全可以把方程的根表示出来的，当然后期的计算量也是惊人的.二、填空题13．若方程22153x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为___________．【正确答案】(3,4)【分析】根据椭圆的标准方程的形式，焦点在x 轴上的椭圆分母的大小关系可得.【详解】方程22153x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆,则530,3 4.m m m ->->∴<<故(3,4)14．双曲线221169x y -=的焦点到其渐近线的距离是__________.【正确答案】3【分析】直接求出焦点及渐近线，再由点到直线的距离求解即可.【详解】由题意得：216925c =+=，故双曲线的焦点坐标为()5,0±，渐近线方程为34y x =±，3=.故3.15．在长方体ABCD A B C D -''''中，222AA AB AD '===，以点D 为坐标原点，以,,DA DC DD '分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设对角面ACD '所在法向量为(,,)x y z ，则::x y z =__________．【正确答案】2:2:1【分析】利用法向量的求法进行求解即可【详解】由题意得()1,0,0A ，()0,1,0C ，()0,0,2D '，()1,1,0AC =- ，()1,0,2AD '=-，因为平面ACD '的法向量为(),,n x y z = ，则0AC n AD n '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()20x k k =≠，则2,y k z k ==，故::2:2:1x y z =故2:2:116．设12,F F 为双曲线2214x y -=的两个焦点，关于原点对称的两点,P Q 都在双曲线上，且满足12PQ F F =，则四边形12F PF Q 的面积为_________．【正确答案】2【分析】根据已知先判断四边形12F PF Q 的形状，然后根据双曲线定义结合勾股定理可解.【详解】如图，记2PF m =，则124PFm a m =+=+由题可知，12OF OF OP c ====12PF PF ⊥则22(4)20m m ++=，即(4)2m m +=所以12(4)2F PF Q S m m =+=故2三、解答题17．已知命题p :实数x 满足27100,x x -+≤命题q :实数x 满足22430.x mx m -+≤其中m >0.（1）若m =4且命题p ，q 都为真命题，求实数x 的取值范围;（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）[]4,5；（2）5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）首先解一元二次不等式得到p 、q ，再根据命题p 、q 均为真命题，取交集即可得解；（2）因为p 是q 的充分不必要条件，则[][]()2,5,30m m m >Ü，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为27100x x -+≤，解得25x ≤≤，22430x mx m -+≤()0m >，解得3m x m≤≤所以:25p x ≤≤，():30q m x m m ≤≤>（1）当4m =时，:412q x ≤≤因为命题p 、q 均为真命题，所以25412x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解得45x ≤≤，即[]4,5x ∈（2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以[][]()2,5,30m m m >Ü所以3520m m m ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩解得523m ≤≤，即5,23m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦考查解一元二次不等式的解得以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于中档题．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆的右焦点2F且斜率为3的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，求POQ △的面积．【正确答案】(1)221106x y +=【分析】（1）根据椭圆的定义求得a 的值，又2c =，再由222b a c =-，求得b ，即可得椭圆方程；（2）根据已知得直线l 方程方程，代入椭圆方程可得交点坐标关系，从而可求得POQ △的面积．【详解】（1）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由椭圆的定义知22a =a ∴2c = 2221046b a c ∴=-=-=，∴椭圆C 的方程为221106x y +=；（2）由题意得直线l方程为(2)3y x =-，即2x =+设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2221106x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2790y +-=，由韦达定理得121297y y y y +==-，222122121122POQ POF F OQ S S S OF y OF y y y ∴=+=⋅+⋅=-=所以POQ △的面积为7．19．如图在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面,ABCD E 为AD 的中点，底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面PEB 与平面ABCD夹角的余弦值为6．(1)求棱PD 的长；(2)求点C 到平面PEB 的距离．【正确答案】(1)2(2)63【分析】（1）建立空间直角坐标系，设(0)PD h h =>，由平面PEB 与平面ABCD 夹角的余弦值为66，利用平面法向量求解.（2）已知平面法向量，用点到平面距离公式求解.【详解】（1）依题意，,,DA DC DP 两两互相垂直，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设(0)PD h h =>，由题意得()()()1,0,0,2,2,0,0,0,E B P h ，所以()()1,0,,1,2,0PE h EB =-= ．设平面PEB 的法向量为()000,,n x y z = ，则0000020n PE x z h n EB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令02x h =，则00,2y h z =-=，得()2,,2n h h =- 因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m = ，依题意，有2·6cos ,654m n m n m n h ===+ ，可得2h =，所以棱PD 的长为2．（2）由（1）得，平面PEB 的一个法向量为()2,1,1n =- ．又()0,2,0C ，所以()2,0,0BC =- ，所以点C 到平面PEB的距离为BC n n ⋅= 20．点M 到点(4,0)F 的距离比它到直线:60l x +=的距离小2，记动点M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)若过点F 的直线m 交曲线C 于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求11AF BF+的值．【正确答案】(1)216y x =(2)1114AF BF +=【分析】(1)根据题意可得点M 到点(4,0)F 的距离等于它到直线40x +=的距离，结合抛物线的定义即可求解；(2)当直线m 的斜率不存在时可得1114AF BF +=；当直线m 的斜率存在时设直线m 方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和12,22p p AF x BF x =+=+化简计算即可求解.【详解】（1）因为点M 到点(4,0)F 的距离比它到直线:60l x +=的距离小2，所以点M 到点(4,0)F 的距离等于它到直线40x +=的距离，由抛物线的定义知，点M 的轨迹是一条以(4,0)F 为焦点，4x =-为准线的抛物线，此时8p =，故C 的方程为216y x =．（2）当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为4x =，8AF BF ∴==，1114AF BF ∴+=，当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为(4)(0)y k x k =-≠，由()2416y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 得2222(816)160k x k x k -++=，由韦达定理得212122816,16k x x x x k ++==，由抛物线定义得11224,422p p AF x x BF x x =+=+=+=+，2212212121228168811111816444()16416416k x x k k AF BF x x x x x x k ++++∴+=+===+++++++⨯+，综上所述1114AF BF +=.21．已知12(,0),(,0)-F a F a ，其中0a >，动点(,)M x y 满足直线1MF 与2MF 斜率之积等于0λλ≠（），试讨论动点M 的轨迹C 的形状．【正确答案】答案见解析【分析】根据题意可列式写出含λ的方程222(0,0)x y a a λλλ-=>≠，分类讨论λ的取值范围即可得到动点M 的轨迹C 的形状.【详解】由题意得12MF MF k k λ⋅=，即y y x a x aλ⋅=+-，化简为222(0,0)x y a a λλλ-=>≠，所以动点M 的轨迹C 方程为22221()x y x a a a λ-=≠±，-当1λ=-时，动点M 的轨迹C 方程为222()x y a x a +=≠±，所以轨迹C 为圆，去除在x 轴上的点；当1λ<-时，动点M 的轨迹C 方程为22221()y x x a a a λ+=≠±-，22a a λ->∴ 轨迹C 为焦点在y 轴上且除左右顶点的椭圆；当10λ-<<时，动点M 的轨迹C 方程为22221()x y x a a a λ+=≠±-，22a a λ-<∴ 轨迹C 为焦点在x 轴上且除左右顶点的椭圆；当0λ>时，动点M 的轨迹C 方程为22221()x y x a a aλ-=≠±，所以轨迹C 为焦点在x 轴上且除左右顶点的双曲线；-22．如图，在三棱锥S ABC -中，2AB AC ==，SA SB SC ===BC =，D 为BC 的中点.(1)证明：SD ⊥平面ABC ；(2)若E 是棱AC 上的动点，当SDE △的面积最小时，求SC 与平面SDE 所成角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)6【分析】（1）根据三角形SBC 为等腰三角形得到SD BC ⊥，根据勾股定理得到SD AD ⊥，最后用线面垂直的判定定理证明即可；（2）解法1：利用几何法得到CSE ∠为SC 与平面SDE 所成的角，然后求余弦值即可；解法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出线面角的正弦值，然后求余弦值即可.【详解】（1）因为SB SC ==D 为BC 的中点，所以SD BC ⊥，且4SD =，连接AD ，2AB AC BC ==，所以ABC 为等腰直角三角形，且AD BC ⊥，12AD BC ==，由222AD SD SA +=，可知SD AD ⊥，由SD AD ⊥，SD BC ⊥，AD BC D ⋂=，,AD BC ⊂平面ABC ，可知SD ⊥平面ABC .（2）解法1：因为CE ，DE ⊂平面ABC ，所以SD DE ⊥，SD CE ⊥，所以122SDE S SD DE DE =⋅=△，当SDE △的面积最小时，DE 取最小值，此时得DE AC ⊥，这时DE 为ABC 的中位线，且112DE AB ==.因为CE DE ⊥，且CE SD ⊥，DE SD D ⋂=，,DE SD ⊂平面SDE ，所以CE ⊥平面SDE ，故CSE ∠为SC 与平面SDE 所成的角.因为E 是AC 的中点，所以112EC AC ==.在Rt SEC △中，sin6CE CSE SC ∠==，所以SC 与平面SDE 所成角的正弦值为26解法2：同解法1，DE AC ⊥且112DE AB ==.因为，SD ，AD ，DC 两两互相垂直，故以D 为坐标原点，AD ，DC ，DS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.则()0,0,0D ，()0,0,4S ，()2,0C ，2222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.()0,0,4DS = ，2222DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面SDE 的法向量为(),,n x y z = ，则=0=0n DS n DE ⋅⋅⎧⎪⎨⎪⎩ ，即4=022+=022z x y -⎧⎪⎨⎪⎩，所以可取()1,1,0n = ，又()2,4SC =- ，设SC 与平面SDE 所成角为θ，则2sin cos ,6n SC n SC n SC θ⋅=== 346。
陕西省宝鸡市金台区高二数学上学期期末检测试题 理(含解析)北师大版
第一部分（选择题，共60分）一、选择题：本大题共10小题，每小题6分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．“至多四个”的否定为 .A ．至少有四个B ．至少有五个C ．有四个D ．有五个2. 已知单位正方体-1111ABCD A B C D ，则向量1CA 在向量CB 上的投影为 .A ．1B ．1-C ．2D ．2-3. 21x =成立的 是1x =. A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断.由21x =得1x =或1x =-，所以1x =是21x =的充分不必要条件.考点：充分条件、必要条件与充要条件的判断.4. 在空间直角坐标系中，若向量a =(2-,1,3)，b =(1,1-,1)，c =13(1,,)22-- 则它们之间的关系是 .A. a ⊥b 且a //cB. a ⊥b 且a ⊥cC. a //b 且a ⊥cD. a //b 且a //c5. 若方程221 23xyk k+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围是 .A. 2k< B. 3k>C. 23k<<且52k≠D. 2k<或3k>6. 已知向量a(2,-1,3),b(-4,2,x),且(a b)⊥a,则x .A. 34B. 34-C. 43D. 43-【答案】B【解析】试题分析：因为()2,1,3a=-()4,2,b x=-所以()2,1,3a b x+=-+，又(a b)⊥a,因此有()()()2*21*1+3*3x0-+-+=⎡⎤⎣⎦解得43x=-.考点：向量的运算.7. 若圆22(3)16x y-+=与抛物线22(0)y px p=>的准线相切，则p值为 . A．1 B．2 C．21D．48. 正方体1111ABCD A B C D -棱长为a ,则点1C 到平面1A BD的距离是 .A. 22aB. 3aC. 3aD. 23a9. 直线l ：20x by ++=与双曲线22143x y -=只有一个公共点，则直线l 有 .A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】C 【解析】试题分析：直线l ：20x by ++=恒过点()2,0-，又点()2,0-为双曲线22143x y -=的左顶点，所以过点()2,0-的切线只有一条，过点()2,0-与双曲线的渐近线平行的直线有两条，这两条直线与双曲线只有一个公共点，故共有三条这样的直线. 考点：双曲线的简单几何性质.10. 已知双曲线12222=-b y a x 和椭圆22221(0,0)x y a m b m b +=>>>的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边的三角形是 . A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形第二部分（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分.11．已知圆222x y R +=与双曲线22149x y -=无公共点，则R 取值范围为 .12．以(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在直线方程为 .13． 如图，已知线段AB 、BD 在平面α内，BD AB ⊥，线段AC α⊥，如果2AB =，5BD =，4AC =，则C 、D 间的距离为 .αDCBA14．命题“在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ”的逆命题是 .【答案】在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.【解析】试题分析：根据逆命题的定义有：命题“在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. ”的逆命题是在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直. 考点：命题与命题的逆命题.15．已知1F，2F为椭圆2214xy+=的两个焦点，并且椭圆上点P满足1290F PF∠=，则△12F PF的面积为 .三、解答题：本大题共5小题，共60分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明.（Ⅰ）存在实数x，使得2230x x++>；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程28120x x -+=有一个根是奇数.该命题的否定是：菱形不都是正方形（7分） 该命题的否定是真命题. （8分） （Ⅲ）该命题是特称命题， (9分)该命题的否定是：方程28120x x -+=的每一个根都不是奇数（11分） 该命题的否定是真命题. （12分） 考点：命题的否定.17.（本小题满分12分）已知△ABC 的周长等于18，B 、C 两点坐标分别为(0,4)，(0,4)-，求A 点的轨迹方程.18.（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，1PA AB ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =.（Ⅰ）求二面角D AC E --的余弦值；（Ⅱ）在棱PC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面ACE .【答案】（Ⅰ）63；（Ⅱ）存在满足题意的点，当F 是棱PC 的中点时，//BF 平面ACE .CDPAEB以A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则，(001)P ，，，(110)C ，，，21(0)33E ，， （3分）∴(110)AC =，，，21(0)33AE =，，. ∵PA ⊥平面ABCD∴ AP 为平面ACD 的法向量，(001)AP =，，， （4分）设平面ACE 的一个法向量为()n a b c =，，，由n AC ，且n AE ，A CD PEBzx yF得0 210 33a bb c+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，，令2c=，则1b=-，1a=，所以(112)n=-，，（6分）所以6cos3n APAP nn AP⋅<>==，，即所求二面角的余弦值为63. （8分19．（本小题满分12分）如图，直二面角D AB E--中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE EB=，F为CE 上的点，且BF⊥平面ACE.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求点D到平面ACE的距离.试题解析：（Ⅰ）⊥BF 平面ACE. .AE BF ⊥∴ ∵二面角D —AB —E 为直二面角，且AB CB ⊥，⊥∴CB 平面ABE..AE CB ⊥∴ 又∵BF CB B =，BF平面BCE ，CB平面BCE ，.BCE AE 平面⊥∴ （4分）（Ⅱ）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，如图.⊥AE 面BCE ，BE面BCE ， BE AE ⊥∴，在AB O AB AEB Rt 为中,2,=∆的中点，1.(0,1,0),(1,0,0),(0,1,2).OE A E C ∴=∴- ).2,2,0(),0,1,1(== （8分）设平面AEC 的一个法向量为),,(z y x =，则0,0,220.0,AE n x yy zAC n⎧⋅=+=⎧⎪⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎩即解得⎩⎨⎧=-=,,xzxy令,1=x得)1,1,1(-=n是平面AEC的一个法向量.∵AD//z轴，AD=2，∴)2,0,0(=AD，∴点D到平面ACE的距离||2|||cos,| 3.3||3AD nd AD AD nn⋅=⋅<>===（12分）考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面之间的距离计算.20．（本小题满分12分）设双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，其一个顶点的坐标是(,0)3；又直线l：1y kx=+与双曲线C相交于不同的A、B两点.（Ⅰ）求双曲线C的标准方程；（Ⅱ）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由.有12122222,33kx x x xk k-+==--.因为线段AB为直径的圆过坐标的原点，所以1OA OBk k=-进而有22222(1)1033kk kk k-+⨯+⨯+=--，解得21k=符合条件，故1k=±. 试题解析：（Ⅰ）∵离心率为2，其一个顶点的坐标是3，∴2 ca=且3a=，则222222431b c a a a a=-=-==故双曲线C的标准方程为22131xy-=（4分）。
陕西省宝鸡市渭滨区高二数学上学期期末联考试题理(扫描版)
陕西省宝鸡市渭滨区2016-2017学年高二数学上学期期末联考试题理（扫描版）高二年级数学（理科）试卷参考答案 W B201701一、选择题（每小题4分，共40分）CABAD BACDC二、填空题（每小题4分，共20分）11．32y x =± 12．3 13．1413 14．2 15．n1 三、解答题（每小题8分，共40分） 16．【解析】由题：2214x y +=，设直线m 与椭圆的两个交点坐标分别为1122(,),(,)x y x y 。
代入椭圆方程的得：222212121,144x x y y +=+=。
两式相减得： 121212121221121211()()()(),()44y y x x x x x x y y y y k x x y y -++-=+-==--+， 另由中点坐标公式：12122,1x x y y +=+=，则：12k =-所以直线m 方程为： 11(1),22022y x x y -=--+-= 17【解析】（1）∵△ABC 的三角A ，B ，C 成等差数列，∴2B=A+C ，又A+B+C=180°，∴B=60°．（2）∵三边a ，b ，c 成等比数列．∴b 2=ac ， 由余弦定理可得：cos60°=，∴=，化为a=c ． ∴△ABC 是等边三角形．∴△ABC 的面积S==×b 2，解得b=2．18．【解析】（1）∵等差数列{}n a 中，389,29a a == ，∴1129729a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得 11,4a d ==， ∴ ()11443n a n n =+-⨯=-． 2(1)422n n n S n n n -=+⨯=-． （2）由（1）得)141341(41)14)(34(111+--=+-=+n n n n a a n n ， ∴111111(1)45594341n T n n =-+-++--+ 11(1)441n =-+14+=n n ． 19【解析】∵方程12222=--m y m x 表示焦点在x 轴上的双曲线，∴⎩⎨⎧>->0202m m ⇒m ＞2 若p 为真，则m ＞2，∵曲线1)32(2+-+=x m x y 与x 轴交于不同的两点， 则212504)32(2<>⇒>--=∆m m m 或，若q 为真，则2125<>m m 或，由复合命题真值表得：若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，p ，q 命题一真一假 若p 真q 假：252≤<m ；若p 假q 真：21<m∴实数m 的取值范围为：252≤<m 或21<m ．20【解析】（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．设a BE =则），，（000A ，），，（），，，（），，，（110200020F P B ，），，（02a E 于是，)2,2,(-=a ，)1,1,0(=， 则0=⋅，所以AF PE ⊥．（Ⅱ）由342==BE BC ，得)0,0,34(D ，），， 0 2 32(E ),2,0,34(-=)2,2,32(-=，设平面PDE 的法向量为),,(z y x n =，由 ⎝⎛=⋅=⋅00PD n ，得：⎩⎨⎧=-+=-022320234z y x z x ，令1=x ，则3,32==y z ， 于是)32,3,1(=n ，而)2,0,0(=AP设AP 与平面PDE 所成角为θ，所以23sin ==θ，所以AP 与平面PDE 所成角θ为060．。
陕西省宝鸡市金台区2022_2022学年高二数学上学期期末考试试题理含解析
【答案】C
【解析】
【分析】
在①中， 时，曲线 是圆；②当 或 时， ；在③中，假设曲线 是焦点在 轴上的椭圆，那么 ；在④中，假设曲线 是焦点在 轴上的双曲线，那么 ．
【详解】解：由方程 的曲线为 ，知：
在①中，当 时，曲线 不一定是椭圆，比方 时，曲线 是圆，故①错误；
②当 或 时， ，曲线 一定是双曲线，故②正确；
【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查三角形中线对应向量的求法，属于根底题.
8.假设抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点，那么 〔〕
A.4B.8C.10D.12
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出抛物线的焦点 ，
再由抛物线的焦点是椭圆 的一个焦点得 求解即可．
【详解】由抛物线 ，所以抛物线的焦点为 ，
④：充分性： 中，假设 ，那么a>b，根据正弦定理 ，可得到 ，反之也成立，故④项正确.
应选B.
7.如图， 分别是四面体 的边 的中点， 是 的中点，设 ， 用 表示 ，那么( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量的加法和减法的运算，将 表示为 的线性和的形式.
【详解】依题意 ，应选D.
故答案为A.
点睛：〔1〕此题主要考查特称命题的否认，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)特称命题 ,特称命题的否认 .
4.对于实数a，b，那么“a＜b＜0”是“ 〞的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用不等式的根本性质，结合字母的特殊值排除错误选项，确定正确选项即可．
陕西省高二上学期期末理科数学试题(解析版)
第一学期期末质量检测考试高二理科数学试题注意事项：1.试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.答第Ⅰ卷前考生务必在每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.3.第Ⅱ卷答在答卷纸的相应位置上，否则视为无效.答题前考生务必将自己的班级、姓名、学号、考号座位号填写清楚.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡上.1. 命题“”的否定是（）20,10x x ax ∀<+-≥A. B. 20,10x x ax ∃≥+-<20,10x x ax ∃≥+-≥C. D.20,10x x ax ∃<+-<20,10x x ax ∃<+-≥【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“20,10x x ax ∀<+-≥”.20,10x x ax ∃<+-<故选：C2. 下列命题中，是真命题的是（） A. 如果，那么 B. 如果，那么 a b >ac bc >a b >22ac bc >C. 如果，那么D. 如果，，那么a b >a b c c>a b >c d <a cb d ->-【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案. 【详解】对于A ，如果，那么，故错误； 0c =ac bc =对于B ，如果，那么，故错误；0c =22ac bc =对于C ，如果，那么，故错误； 0c <a bc c<对于D ，如果，那么，由，则，故正确. c d <c d ->-a b >a c b d ->-故选：D.3. 数列中，，，那么这个数列的通项公式是（） {}n a 15a =13n n a a +=+A. B. C. D.31n -32n +32n -31n +【答案】B 【解析】【分析】由已知等式证明数列为等差数列，即可写出等差数列的通项公式. {}n a 【详解】因为，所以数列是以5为首项，3为公差的等差数列，13n n a a +-={}n a 则.()*53132,n a n n n N =+-=+∈故选：B【点睛】本题考查等差数列的概念及通项公式，属于基础题.4. 若椭圆上一点A 到焦点的距离为2，则点A 到焦点的距离为（）2219x y +=1F 2F A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D 【解析】【分析】利用椭圆的定义有，结合已知即可求A 到焦点的距离. 12||||2AF AF a +=2F 【详解】由椭圆方程知：.根据椭圆的定义有. 3a =12||||2AF AF a +=因为，1||2AF =所以. 21||2||624AF a AF =-=-=故选：D5. 记为等比数列的前n 项和.若，，则（） n S {}n a 24S =46S =6S =A7 B. 8C. 9D. 10【答案】A 【解析】【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进2S 42S S -64S S -641S S -=一步求出答案.【详解】∵为等比数列的前n 项和， n S {}n a ∴，，成等比数列2S 42S S -64S S -∴， 24S =42642S S -=-=∴，641S S -=∴. 641167S S =+=+=故选：A.6. 设，则“”是“”的（） a R ∈23a <<2560a a --<A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出一元二次不等式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由可得，即， 2560a a --<()()610a a -+<16a -<<则是的充分不必要条件， 23a <<16a -<<故选：A.7. 已知，，且，则的最小值为（） 0x >0y >211y x+=2x y +A. 8B. 9C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用展开结合均值不等式即可求解.()2122x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【详解】因为，所以211y x+=，()212222559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立， 22x y y x=3x y ==所以的最小值为， 2x y +9故选：B8. 若满足约束条件，则的最小值为（）,x y 20101y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-A.B.C.D.513-5-【答案】C 【解析】【分析】由约束条件可得可行域，将问题转化为在轴截距取得最大值，利用122zy x =-y 数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示，由得：， 2z x y =-122zy x =-则当取最小值时，在轴截距取得最大值， 2z x y =-122zy x =-y 由图象可知：当直线过时，轴截距最大， 122zy x =-A y 由得：，即，.101x y x -+=⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=⎩()1,2A min 1223z ∴=-⨯=-故选：C.9. 函数的极大值为（）()22ex x f x =A B.C.D.02e28e 432e 【答案】C 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得到极大值.【详解】由题意得. ()242exx x f x -'=由，得；由，得或.()0f x ¢>02x <<()0f x '<0x <2x >则在和上单调递减，在上单调递增， ()f x (,0)-∞(2,)+∞()0,2故极大值. ()f x ()282e f =故选：C10. 已知等差数列的前n 项和为，若，则（）{}n a n S 111153S S S =-611a a =A.B.C.D.925891087【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、n 11611S a =，即可得到方程，计算可得；()1156113S S a a -=+【详解】解：由，有()()()11161111611561161111611,322a a a a S a S S a a a a ++==-=++==+ ，得．()66111133a a a =+61192a a =故选：A11. 已知点A ，B 分别是椭圆的右、上顶点，过椭圆C 上一点P2222:1(0)x y C a b a b+=>>向x 轴作垂线，垂足恰好为左焦点，且，则椭圆C 的离心率为（） 1F AB OP ∥A.B.C.D.1412【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得，，，再根据列式求解即可(,0)A a (0,)B b 2(,)b P c a-//AB OP【详解】由已知得：，，(,0)A a (0,)B b 2(,)b P c a -所以，(,)AB a b =- 2(,)b OP c a=- 由得：AB OP ∥//AB OP所以2b a bc a-⋅=-⋅所以b c =由得：222a b c =+a =所以 c e a ==故选：C12. 圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（AB ()15m -M 三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得,,B M D A C 15︒60︒A 塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）C 30︒A. B.C.D.20m30m【答案】D 【解析】【分析】由正弦得出，再结合正弦定理得到，进而能求. AM CM CD 【详解】由题意知：，所以 45CAM ∠=︒105AMC ∠=︒30ACM ∠=︒在中，，Rt ABM A sin sin15AB ABAM AMB ==∠︒在中，由正弦定理得所以ACM △sin 30sin 45AM CM=︒︒，sin 45sin 45sin 30sin15sin 30AM AB CM ⋅︒⋅︒==︒︒⋅︒在中，Rt DCM Asin 45sin 60sin 60sin15sin 30AB CD CM ⋅︒⋅︒=⋅︒===︒⋅︒故选：D第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 不等式的解集为______________． 301x x +>-【答案】或{3x x <-1}x >【分析】由题可得，进而即得. (1)(3)0x x -+>【详解】由，得， 301x x +>-(1)(3)0x x -+>所以或，3x <-1x >故不等式得解集为或． {3x x <-1}x >故答案为：或．{3x x <-1}x >14. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，24y x =则点P 的横坐标x ＝______． 【答案】5 【解析】【分析】根据抛物线的定义和焦半径公式即可求解.【详解】由题可知. 266522p x x +=⇒=-=故答案为：5.15. 若关于x 的不等式对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是()2140x k x +-+>___________. 【答案】 ()3,5-【解析】【分析】根据一元二次不等式与二次函数的关系，可知只需判别式，利用所得不等Δ0<式求得结果.【详解】不等式对一切实数x 恒成立，()2140x k x +-+>，解得：()2Δ1160414k k ∴=--<⇒-<-<35k -<<故答案为：.()3,5-16. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则12F F ，22196x y +=P 1221PF PF =：：的面积等于_______.12F PF △【答案】【解析】【分析】先利用定义求出的各边，再求出，即可求出12F PF △12sin F PF ∠=12F PF △【详解】由，且， 126PF PF +=1221PF PF =：：121242PF PF F F ∴====，，又在中，∠ 12PF F △cos 1212F PF ==，12sin F PF ∴∠=12121S sin 2PF PF F PF ∴=∠=故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.17. 设：实数满足，．p x ()222300x ax a a --<>:24q x <<（1）若，且，都为真命题，求的取值范围； 1a =p q x （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． q p a 【答案】（1）； 23x <<（2）． 43a ≥【解析】【分析】（1）解不等式确定命题，然后求出中范围的交集可得； p ,p q x （2）求出不等式的解，根据充分不必要条件的定义列不等式组求解． 【小问1详解】时，，，即，又，而，都1a =2230x x --<13x -<<:13p x -<<:24q x <<p q 为真命题，所以； 23x <<【小问2详解】，，0a >22230x ax a --<3a x a ⇔-<<是的充分不必要条件，则且等号不能同时取得，所以．q p 234a a -≤⎧⎨≥⎩43a ≥18. 焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上.x 2214x ym+=P （1）求的值.m （2）依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.【答案】（1）2（2）长轴长4、短轴长【分析】（1）根据题意，代入点，即可求解. P（2）由（1），写出椭圆方程，求解，根据椭圆长轴长、短轴长、焦距、离心率定,,a b c 义，即可求解.【详解】（1）由题意，点在椭圆上，代入，P，解得 211m+=2m =（2）由（1）知，椭圆方程为，则22142x y +=2,a b c ===椭圆的长轴长；’ 24a =短轴长； 2b =焦距； 2c =离心率c e a ==【点睛】本题考查（1）代入点求椭圆方程（2）求解长轴长、短轴长、焦距、离心率；考查概念辨析，属于基础题.19. 在中，已知角，，的对边分别为，，，且ABC A A B C a b c2sin cos 2cos sin a B C c A B +=（1）求角的大小B ;（2）若为锐角三角形，且，，求的面积． ABC A 2c a =1b =ABC A 【答案】（1）或3π23π（2 【解析】【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，B （2）利用余弦定理结合已知条件求出，然后利用面积公式可求出三角形的面积. ,a c 【小问1详解】因为，2sin cos 2cos sin a B C c A B +=所以由正弦定理得2sin sin cos 2sin cos sin A B C C A B B +=因为，sin 0B ≠所以 sin cos sin cos A C C A +=所以 sin()A C +=sin B =因为，所以或． (0,)B π∈3B π=23π【小问2详解】 因为三角形为锐角三角形，所以，ABC 3B π=由余弦定理得，，2222cos b a c ac B =+-因为，，所以，2c a =1b =2221422cos 3a a a a π=+-⋅⋅所以， a =c =所以三角形的面积为 ABC 11sin 22ac B ==20. 已知各项均不相等的等差数列的前4项和为10，且是等比数列的前{}n a 124,,a a a {}n b 3项．（1）求；,n n a b （2）设，求的前n 项和． ()11n n n n c b a a =++{}n c n S 【答案】（1），n a n =12n n b -=（2） 121n n S n =-+【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与等比中项公式求得基本量，从而利用公式法1,a d 依次求得；,n n a b （2）结合（1）中结论，利用分组求和法与裂项相消法即可得解.【小问1详解】设等差数列的公差为，前项和为，则，{}n a d n n T 0d ≠因为，则，即， 410T =1434102a d ⨯+=1235a d +=又因为成等比数列，所以，即，整理得124,,a a a 2214a a a =()()21113a d a a d +=+，21d a d =又因为，所以，0d ≠1a d =联立，解得， 11235a d a d +=⎧⎨=⎩111a d =⎧⎨=⎩所以，()111n a n n =+-⨯=又，，是等比数列，111b a ==222b a =={}n b 所以，则. 212b q b ==1112n n n b b q --==【小问2详解】 由（1）得， ()111112211n n n c n n n n --=+=+-++所以 0111111122212231n n S n n -⎛⎫=++⋯++-+-++- ⎪+⎝⎭ ， ()11211121211nn n n ⨯-=+-=--++所以数列的前n 项和. {}n c 121n n S n =-+21. 已知函数 21()ln 2(R)2f x ax x a =--∈（1）当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()f x (1,(1))f （2）讨论函数的单调性.()f x 【答案】（1） 32y =-（2）时，递减区间为；当时，在递减，在递0a ≤(0,)+∞0a >()fx)+∞增.【解析】【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程；()f x ()()11f ，（2）先求出函数的导数，通过讨论的取值范围求出函数的单调区间．a 【小问1详解】当时，函数，， 1a =()21ln 22f x x x =--()1f x x x'=-∴，， ()10f '=()312f =-∴曲线在点处的切线方程为 ()f x ()()1,1f 32y =-【小问2详解】 . ()21(0)ax f x x x-'=>当时，，的单调递减区间为；0a ≤()0f x '<()f x ()0,∞+当时，令或， 0a >2()01f x ax x '=⇒=⇒=x =故当，当，()0f x x ⎛'<⇒∈ ⎝()0f x x ⎫'>⇒∈+∞⎪⎪⎭因此在递减，在递增. ()f x ⎛⎝⎫+∞⎪⎭22. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线在y 轴上的截距为m ，交椭圆于A ，B 两个不同点. l ()0m ≠l （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）求证直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）证明见解析. 22182x y +=22m -<<0m ≠【解析】【分析】（Ⅰ）设出椭圆方程，根据题意得出关于的方程组，22221(0)x y a b a b+=>>,a b 从而求得椭圆的方程；（Ⅱ）根据题意设出直线方程，并与椭圆方程联立消元，根据直线与椭圆方程有两个不同交点，利用即可求出m 的取值范围；0∆>（Ⅲ）设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，根据题意把所证问题转化为证明k 1+k 2=0即可.【详解】（1）设椭圆方程为，由题意可得，解得22221(0)x y a b a b +=>>222411a b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴椭圆方程为； 2282a b ⎧=⎨=⎩22182x y +=（Ⅱ）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m ，， 12OM k =所以设直线的方程为， l 12y x m =+由消元，得 2212182y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩222240x mx m ++-=∵直线l 与椭圆交于A ，B 两个不同点，所以，解得， 22(2)4(24)0m m ∆=-->22,0m m -<<≠所以m 的取值范围为.()()2,00,2-⋃（Ⅲ）设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可， 设，由（Ⅱ）可知， 1122(,),(,)A x y B x y 212122,24x x m x x m +=-=-则， 12121211,22y y k k x x --==--由，222240x mx m ++-=可得212122,24x x m x x m ++-=-而 12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x -----+--+=+=----12211212121221211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)(2)()4(1)(2)(2)24(2)(2)4(1)(2)(2)x m x x m x x x x x m x x m x x m m m m x x +--++--=--+++--=---+----=--，， 22122424440(2)(2)m m m m x x --+-+==--120k k ∴+=故直线MA ，MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.。
陕西省宝鸡市金台区高二数学上学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列语句是真命题的是（）A．x＞1B．若a＞b，则a2＞abC．y=sinx是奇函数吗？D．若a﹣2是无理数，则a是无理数2．已知F1、F2是两定点，|F1F2|=4，动点M满足|MF1|+|MF2|=4，则动点M的轨迹是（）A．.椭圆B．直线 C．圆D．线段3．“a2+b2≠0”的含义为（）A．a，b不全为0 B．a，b全不为0C．a，b至少有一个为0 D．a≠0且b=0，或b≠0且a=04．抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）5．命题“对任意实数x，都有x2﹣2x+1＞0”的否定是（）A．对任意实数x，都有x2﹣2x+1＜0B．对任意实数x，都有x2﹣2x+1≤0C．存在实数x，有x2﹣2x+1＜0D．存在实数x，有x2﹣2x+1≤06．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．过点（﹣1，0）与抛物线y=x2﹣1只有一个公共点的直线有（）A．3条B．2条C．1条D．0条8．在下列结论中，正确的结论是（）①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．A．①② B．①③ C．②④ D．③④9．以下命题中，不正确的个数为（）①是共线的充要条件；②若，则存在唯一的实数λ，使；③若，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤．A．2 B．3 C．4 D．510．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．11．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，底面是边长为1的菱形，且DD′=2，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC′等于（）A．B． C．D．612．已知M（x0，y0）是双曲线C： =1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则在上的投影是．14．已知椭圆过A（﹣3，0）和B（0，4）两点，则椭圆的标准方程是．15．双曲线的离心率e∈（1，2），则m的取值范围是．16．若“任意”是真命题，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．命题：“若m≤0，或n≤0，则m+n≤0”．（1）写出上面命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假；（2）说明原命题中条件与结论的充分性与必要性．18．已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）求以点P（2，﹣1）为中点的弦所在的直线方程．19．已知A（﹣3，0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足，试求动点P的轨迹方程．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，且PA=AD．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）设二面角D﹣AE﹣C为60°，且AP=1，求D到平面AEC的距离．2015-2016学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列语句是真命题的是（）A．x＞1B．若a＞b，则a2＞abC．y=sinx是奇函数吗？D．若a﹣2是无理数，则a是无理数【考点】命题的真假判断与应用．【分析】首先判断是否为命题，不是命题的排查，然后对命题进行判断，正确的为真命题，错误的为假命题．【解答】解：x＞1是一个条件命题，以x≤1时为假，故A错误；若a＞b，则a2＞ab，a＞0时成立，故B错误；y=sinx是奇函数吗？不是陈述句，不是命题，故C 错误；若a﹣2是无理数，则a是无理数，正确．故选：D．2．已知F1、F2是两定点，|F1F2|=4，动点M满足|MF1|+|MF2|=4，则动点M的轨迹是（）A．.椭圆B．直线 C．圆D．线段【考点】椭圆的定义．【分析】首先确定点M在直线F1F2上，再利用长度关系，确定点M在线段F1F2上．【解答】解：若点M与F1，F2可以构成一个三角形，则|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，∵|F1F2|=4，动点M满足|MF1|+|MF2|=4，∴点M在线段F1F2上．故选：D．3．“a2+b2≠0”的含义为（）A．a，b不全为0 B．a，b全不为0C．a，b至少有一个为0 D．a≠0且b=0，或b≠0且a=0【考点】全称命题．【分析】对a2+b2≠0进行解释，找出其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项．【解答】解：a2+b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0，即两者中不全为0对照四个选项，只有A与此意思同，A正确；B中a，b全不为0，是a2+b2≠0充分不必要条件；B错误．C中a，b至少有一个为0，C错误．D中只是两个数仅有一个为0，概括不全面，故D不对；故选A4．抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（0，） B．（，0） C．（0，） D．（，0）【考点】抛物线的简单性质．【分析】将抛物线化为标准方程，结合抛物线的性质，可得答案．【解答】解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=y，故抛物线y=2x2的焦点坐标是（0，），故选：C5．命题“对任意实数x，都有x2﹣2x+1＞0”的否定是（）A．对任意实数x，都有x2﹣2x+1＜0B．对任意实数x，都有x2﹣2x+1≤0C．存在实数x，有x2﹣2x+1＜0D．存在实数x，有x2﹣2x+1≤0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是：存在实数x，有x2﹣2x+1≤0，故选：D6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．7．过点（﹣1，0）与抛物线y=x2﹣1只有一个公共点的直线有（）A．3条B．2条C．1条D．0条【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得（﹣1，0）在抛物线y=x2﹣1上，可得与抛物线只有一个公共点有两种情况：一种与对称轴平行；一种过（﹣1，0）与抛物线相切，即可得到所求条数．【解答】解：由（﹣1，0）在抛物线y=x2﹣1上，可得与抛物线只有一个公共点的情况为：当直线与对称轴平行，即为x=﹣1；当直线和抛物线相切，由y=x2﹣1的导数为y′=2x，可得切线的斜率为﹣2，切线的方程为y=﹣2（x+1）．综上可得，所求直线的条数为2．故选：B．8．在下列结论中，正确的结论是（）①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件；②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件；③“p∨q”为真是“¬p”为假的必要不充分条件；④“¬p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】先判断命题的正误，可知①③是正确的，②④是假命题，然后再根据¬p，必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：①③是正确的，②④是假命题，其中②中，“p∧q”为假是“p∨q”为真的既不充分也不必要条件，④“¬p”为真，“p”为假，∴“¬p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件．9．以下命题中，不正确的个数为（）①是共线的充要条件；②若，则存在唯一的实数λ，使；③若，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量知识判断，错误的举出反例．【解答】解：①若为同向共线非零向量，则||+||=||，故①错误；②若为非零向量，为零向量，则不存在λ∈R，使得，故②错误；③若为零向量，则对任意向量，都有，故③错误；④若为空间的一个基底，则不共面，所以不共面，故④正确；⑤|（）|=||||=|||||cos＜＞|||，故⑤错误．故选C．10．已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的方程是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=3即a2+b2=9，求得椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：椭圆的焦点为（±3，0），设双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），可得c=3即a2+b2=9，由椭圆的离心率为，可得双曲线的离心率为=，又c=3，可得a=2，b=，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：D．11．已知平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，底面是边长为1的菱形，且DD′=2，∠BAD=∠BAA′=∠DAA′=60°，则AC′等于（）A．B． C．D．6【考点】棱柱的结构特征．【分析】可根据条件画出图形，根据向量加法的几何意义有，这样由条件便可进行数量积的运算求出的值，即求出的值，从而得到AC′的值．【解答】解：如图，根据条件：===4+1+1+2+2+1=11∴即AC′=．故选：B．12．已知M（x0，y0）是双曲线C： =1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意， =（﹣x0，﹣y0）•（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则在上的投影是﹣．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】求出，||，||，计算夹角的余弦，代入投影公式即可．【解答】解： =﹣1， =，||=3，∴cos＜＞==﹣．∴在上的投影是||cos＜＞=（﹣）=﹣．故答案为﹣．14．已知椭圆过A（﹣3，0）和B（0，4）两点，则椭圆的标准方程是．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设所求椭圆方程为mx2+ny2=1，m＞0，n＞0，m≠n，利用待定系数法能求出椭圆的标准方程．【解答】解：设所求椭圆方程为mx2+ny2=1，m＞0，n＞0，m≠n，则，解得m=，n=，∴椭圆的标准方程是．故答案为：．15．双曲线的离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（0，3）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，e，解不等式即可得到所求m的范围．【解答】解：双曲线（m＞0），可得a=1，b=，c=，即有e==∈（1，2），解得0＜m＜3．故答案为：（0，3）．16．若“任意”是真命题，则实数m的取值范围是m≥1 ．【考点】全称命题．【分析】根据全称命题为真命题，转化求函数的最值即可．【解答】解：当0≤x＜时，函数y=tanx为增函数，则0≤tanx＜tan=1，若“任意”是真命题，则m≥1，故答案为：m≥1三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．命题：“若m≤0，或n≤0，则m+n≤0”．（1）写出上面命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假；（2）说明原命题中条件与结论的充分性与必要性．【考点】四种命题的真假关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）分别写出其逆命题，否命题，逆否命题并判断即可；（2）根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：（1）原命题：“若m≤0，或n≤0，则m+n≤0”，这是假命题．逆命题：若m+n≤0，则m≤0，或n≤0，这是真命题．…否命题：若m＞0，且n＞0，则m+n＞0，这是真命题．…逆否命题：若m+n＞0，则m＞0，且n＞0，这是假命题．…（2）条件p：m≤0，或n≤0，结论q：m+n≤0．由（1）知p推不出q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．…由（1）知：p推不出q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．18．已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率．（1）求椭圆的方程；（2）求以点P（2，﹣1）为中点的弦所在的直线方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的焦点和离心率列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设以点P（2，﹣1）为中点的弦与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由此利用点差法能求出以点P（2，﹣1）为中点的弦所在的直线方程．【解答】解：（1）∵椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率，∴，解得a=4，c=2，b=2，∴椭圆方程为．（2）设以点P（2，﹣1）为中点的弦与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∴，两式相减，并整理，得4（x1﹣x2）﹣8（y1﹣y2）=0，∴k==，∴以点P（2，﹣1）为中点的弦所在的直线方程为：y+1=（x﹣2），即x﹣2y﹣4=0．19．已知A（﹣3，0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足，试求动点P的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】分别设出B、C、P的坐标，得到有关向量的坐标，由，联立求得动点P的轨迹方程．【解答】解：设P（x，y），B（0，y'），C（x'，0），则，…由，得，…即，∴B（0，﹣y），…又A（﹣3，0），∴，…由，得，…∴3x﹣2y2=0，得，即为动点P的轨迹方程．…20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，且PA=AD．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）设二面角D﹣AE﹣C为60°，且AP=1，求D到平面AEC的距离．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接BD交AC于O点，则O为BD的中点，从而PB∥OE，由此能证明PB∥平面AEC．（2）（几何法）：推导出PA⊥AD，PA⊥CD，从而AE⊥PD，再推导出AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AE⊥CD，由此能证明AE⊥平面PCD．（2）（向量法）：以A点为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系A﹣xyz，利用向量法能证明AE⊥平面PCD．（3）求出平面DAE的法向量和平面AEC的法向量，利用向量法能求出D到平面AEC的距离．【解答】证明：（1）连接BD交AC于O点，则O为BD的中点，连结OE，∵E为PD的中点，∴PB∥OE…又∵OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC…∴PB∥平面AEC；…（2）（几何法）：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD…∴在直角△PAD中，PA=ADE为PD的中点，∴AE⊥PD…又∵底面ABCD为矩形，∴AD⊥CD，∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD…∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥CD，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD．…（2）（向量法）：由题知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，如图以A点为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间坐标系A﹣xyz 设AB=a，AD=b，则…∴，∴…∴AE⊥DC，AE⊥DP，∵DP∩DC=D，∴AE⊥平面PCD．…解：（3）由（2）知平面DAE的法向量是，∵AP=1，∴，∴，…设平面AEC的法向量是，∴，∴，令z=1，得，∴…∴，解得…∵，∴D到平面AEC的距离．…。
2020-2021学年陕西省宝鸡市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年陕西省宝鸡市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．抛物线2:16C y x =-的焦点坐标为（ ） A ．()4,0 B ．()8,0 C ．()4,0- D ．()8,0-【答案】C【分析】根据抛物线22(0)y px p =->的焦点坐标为,02p ⎛⎫-⎪⎝⎭可得答案. 【详解】解：根据抛物线定义可得：抛物线2:16C y x =-的焦点坐标为()4,0- 故选：C.2．若直线1:(4)20l ax a y --+=和直线2:(3)20l a x y -++=互相垂直，则a =（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】D【分析】根据直线垂直，系数满足：12120A A B B +=，代入即可求解. 【详解】因为12l l ⊥，所以(3)(4)0a a a ---=， 所以2244(2)0a a a -+=-=，即2a =． 故选：D3．某学校的老师配置及比例如图所示，为了调查各类老师的薪资状况，现采用分层抽样的方法抽取部分老师进行调查，在抽取的样本中，青年老师有30人，则该样本中的老年教师人数为（ ）A ．10B ．12C ．18D ．20【答案】B【分析】由分层抽样的特点，运用比例关系求出结果【详解】设样本中的老年教师人数为x人，由分层抽样的特点得：3050%20%x=，所以12x=，故选B【点睛】本题考查了分层抽样的计算，由分层抽样的特点结合比例关系求出结果，较为基础4．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为324，则其渐近线方程为（）A．22y x=±B．24y x=±C．14y x=±D．12y x=±【答案】B【分析】由双曲线的离心率为32，结合离心率的定义，求得2=ba，即可求得渐近线的方程.【详解】由题意，双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的离心率为324，可得24ca3=，即22291()8c ba a=+=，解得24=ba，即双曲线的渐近线的方程为24y x =±.故选：B.5．若执行如图所示的程序框图，则输出的m＝（）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】分别当0n =时代入程序框图计算到800S >即可。
2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．在等比数列{}n a 中，13a =，424a =，则3a =（ ） A ．6 B ．6或6- C ．12 D ．12或12-【答案】C【分析】计算出等比数列{}n a 的公比，即可求得4a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则3418a q a ==，则2q ，所以，23112a a q ==.故选：C.2．在ABC 中，若3b =，2c =，45B =，则此三角形解的情况为（ ） A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定【答案】C【分析】求出sin C 的值，结合大边对大角定理可得出结论.【详解】由正弦定理可得sin sin b c B C=可得2sin 2sin sin 33c B C B b ===<， 因为c b <，则C B <，故C 为锐角，故满足条件的ABC 只有一个. 故选：C.3．双曲线22182-=y x 的渐近线方程是（ ）A ．4y x =±B ．14y x =±C ．2y x =±D ．12y x =±【答案】C【分析】求出a 、b 的值，即可得出双曲线的渐近线方程.【详解】在双曲线22182-=y x中，a =b =因此，该双曲线的渐近线方程为2ay x x b=±=±.故选：C.4．已知关于x 的不等式20x ax b --<的解集是(2,3)-，则a b +的值是（ ） A ．5-B ．5C ．7-D ．7【分析】由题意可得20x ax b --=的根为2,3-，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果【详解】因为关于x 的不等式20x ax b --<的解集是(2,3)-， 所以方程20x ax b --=的根为2,3-，所以2323a b -+=⎧⎨-⨯=-⎩，得16a b =⎧⎨=⎩，所以7a b +=， 故选：D5．对于两个平面α、β，“α内有三个点到β的距离相等”是“//αβ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据平面的性质分别判断充分性和必要性.【详解】充分性：若α内有三个点到β的距离相等，当这三个点不在一条直线上时，可得//αβ；当这三个点在一条直线上时，则α、β平行或相交，故充分性不成立； 必要性：若//αβ，则α内每个点到β的距离相等，故必要性成立， 所以“α内有三个点到β的距离相等”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B.6．若双曲线2213x y m+=的一个焦点为(2,0)-，则m 的值为（ ）A ．B ．1-C ．1 D【答案】B【分析】由题意可知双曲线的焦点在x 轴，从而可得223,a b m ==-，再列方程可求得结果【详解】因为双曲线2213x y m+=的一个焦点为(2,0)-， 所以223,a b m ==-，2c =， 所以3()4m +-=，解得1m =-， 故选：B7．若(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=，则22a b c -+=（ ） A ．()2,4,1-B ．()10,0,3--C ．()2,4,1--D ．()10,0,3【分析】直接利用向量的坐标运算求解即可 【详解】因为(2,0,1),(3,1,1),(1,1,0)a b c ==--=， 所以22(2,0,1)2(3,1,1)2(1,1,0)(10,0,3)a b c -+=---+=， 故选：D8．已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =-，且3a b ⋅=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π【答案】A【分析】先由3a b ⋅=-求出x ，再利用空间向量的夹角公式求解即可 【详解】设向量a 与b 的夹角为θ， 因为(1,0,1)a =，(,1,2)b x =-，且3a b ⋅=-， 所以23x -=-，得1x =-， 所以(1,1,2)b =--， 所以1023cos 211114a b a bθ⋅-+-===-+⨯++，因为[0,]θπ∈，所以56πθ=， 故选：A9．已知实数x ，y 满足不等式组101030x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】画出可行域，找到最优解，得最值. 【详解】画出不等式组对应的可行域如下：平行移动直线2y x =-，当直线2y x z =-+过点()1,1A 时，min 2113z =⨯+=.故选：B.10．函数4()1f x x x =+-(5)x ≥的最小值是（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】先判断函数的单调性，再利用其单调性求最小值 【详解】由4()1f x x x =+-，得()()222423()111x x f x x x --=-=-'-， 因为5x ≥，所以'()0f x >， 所以()f x 在[5,)+∞上单调递增， 所以()()min 455=651f x f ==+-， 故选：D11．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”，则第5人得钱数为（ ）A ．23钱 B ．56钱C ．1钱D ．76钱【答案】A【分析】设第()15,N n n n *≤≤∈所得钱数为n a 钱，设数列1a 、2a 、3a 、4a 、5a 的公差为d ，根据已知条件可得出关于1a 、d 的值，即可求得5a 的值.【详解】设第()15,N n n n *≤≤∈所得钱数为n a 钱，则数列1a 、2a 、3a 、4a 、5a 为等差数列，设数列1a 、2a 、3a 、4a 、5a 的公差为d ，则11154552239a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩，解得14316a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故5141244363a a d =+=-⨯=.故选：A.12．平面上动点P 到点()1,1M 的距离与它到直线:10l x y +-=点P 的轨迹是（ ）A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆【答案】A【分析】设点(),P x y ，利用距离公式化简可得出点P 的轨迹方程，即可得出动点P 的轨迹图形.【详解】设点(),P x y=化简可得12xy =，即()102y x x =≠，曲线()102y x x=≠为反比例函数图象， 故动点P 的轨迹是双曲线. 故选：A. 二、填空题13．若,0a b >，且2ab a b =+，则4a b +的最小值是____________. 【答案】92【分析】应用基本不等式“1”的代换求a +4b 的最小值即可. 【详解】由2ab a b =+，有11122a b+=，则1152594(4)()222222b a a b a b a b a b +=++=++≥+， 当且仅当22b a a b =，且2ab a b =+，即3234a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立，∴4a b +最小值为92.故答案为：9214．在ABC 中，6ab =，ABC S△，ABC ，则边c 的长为_____.【分析】由面积公式求得sin C =，结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长. 【详解】1sin 3sin 2ABCSab C C===，从而sinC =sinc C ==c 15．已知椭圆2214y x +=的弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则直线AB 的斜率与直线OM 的斜率之积等于_________．【答案】4-【分析】根据点M 是弦AB 的中点，O 为坐标原点，利用点差法求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，且12x x ≠， 则221114y x +=，（1）222214y x +=，（2） ()()12-得：222212124y y x x --=-，()121212124x x y y x x y y +-∴=--+， ()121212124AB x x y y k x x y y +-∴==--+. 又1212121222OMy y y yk x x x x ++==++， 14AB OMk k ∴=-⋅，4AB OM k k ∴⋅=-.故答案为：4-16．已知向量OA ，OB ，OC 不共线，点P 在平面ABC 内，若存在实数λ，m ，n ，使得OP OA mOB nOC λ=++，那么m n λ++的值为________. 【答案】1【分析】通过平面向量基本定理推导出空间向量基本定理得推论.【详解】因为点P 在平面ABC 内，则由平面向量基本定理得：存在,x y ，使得：AP xAB y AC =+即()()OP OA x OB OA y OC OA -=-+-，整理得：(1)OP xOB yOC x y OA =++--， 又OP mOB nOC OA =++λ，所以1x y =--λ，m x =，n y =，从而1m n λ++=. 故答案为：1 三、解答题17．设命题:p 方程221252x ya a-=+-表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题:q x R ∀∈，210x ax ++>，若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】求出当命题p 、q 分别为真命题时实数a 的取值范围，分析可知p 、q 中一真一假，分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论，求出对应的实数a 的取值范围，综合可得结果.【详解】解：若p 为真命题，则()()2520a a +->，即()()2250a a +-<，解得522a -<<， 若q 为真命题，则240a ∆=-<， 解得22a -<<，因为“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 、q 中一真一假， 若p 真q 假，则52222a a a ⎧-<<⎪⎨⎪≤-≥⎩或，可得522a ≤<，若p 假q 真，则52222a a a ⎧≤-≥⎪⎨⎪-<<⎩或，此时a ∈∅. 综上所述，实数a 的范围为52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18．已知a ，b ，c 分别是锐角ABC 内角A ，B ，C 的对边，2a b =，sin A (1)求sin B 的值；(2)若ABCc 的值. 【答案】(1)sin B = (2)4.【分析】（1）由正弦定理即可得答案. （2）根据题意得到1cos 4A =，再由关于角A 的余弦定理和2a b =整理化简得2c b =， 再由ABC 的面积，即可求出c 的值. (1)由2a b =及正弦定理可得sin sin b A B a ==(2)由锐角ABC中sin A 1cos 4A =， 根据余弦定理可得2221cos 24b c a A bc +-==， 代入2a b =得2224124b c b bc +-=，整理得22260c bc b --=，即(23)(2)0c b c b +-=， 解得2c b =，211=sin 22ABCSac B c ∴==，解得4c =. 19．在数列{}n a 中，11a =，23a =，且对任意的*N n ∈，都有2132n n n a a a ++=-. (1)数列{}n a 的通项公式；(2)设数列2log (1)n n b a =+，求数列11{}n n b b +⋅的前n 项和n S .【答案】(1)21nn a =-；(2)1n n S n =+. 【分析】（1）由递推式可得2112()n n n n a a a a +++-=-，根据等比数列的定义写出通项公式，再由累加法求{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得n b n =，再应用裂项相消法求前n 项和n S . (1)由2132n n n a a a ++=-可得：2112()n n n n a a a a +++-=-，又11a =， 23a =， ∴212a a -=，则数列1{}n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列，∴11222n n n n a a -+-=⋅=.∴11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+12212222212112nn n n ---=+++++==--.(2)∵()22log 1log 2nn n b a n =+==，∴()1111111n n b b n n n n +==-⋅++∴11111111223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 20．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段11A B 、AB 的中点.(1)求平面11ADD A 与平面1AEC 所成锐二面角的余弦值； (2)求直线CF 到平面1AEC 的距离. 【答案】6(2)66. 【分析】（1）以点1D 为坐标原点，11D A 、11D C 、1D D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11ADD A 与平面1AEC 所成锐二面角的余弦值；（2）证明出//CF 平面1AEC ，利用空间向量法可求得直线CF 到平面1AEC 的距离. (1)解：以点1D 为坐标原点，11D A 、11D C 、1D D 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,1A 、()0,1,1C 、()10,1,0C 、11,,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,,12F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，10,,12EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，111,,02EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由1102102n EA y z n EC x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1x =，可得()1,2,1n =，易知平面11ADD A 的一个法向量为()0,1,0m =，26cos ,6m n m n m n⋅<>===⋅ 因此，平面11ADD A 与平面1AEC 6(2)解：11,,02CF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则111202n CF ⎛⎫⋅=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以，n CF ⊥，因为CF ⊄平面1AEC ，所以，//CF 平面1AEC ，()10,0,1C C =，所以，直线CF 到平面1AEC 的距离为1166C C n n⋅==21．已知椭圆:C 22221x y a b+= (0)a b >>上的点到椭圆焦点的最大距离为3，最小距离为1．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A ，B 分别是椭圆C 的左右顶点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，求AN BM ⋅的值【答案】(1)22143x y +=； (2)-1.【分析】（1）根据椭圆的性质进行求解即可；（2）根据直线的方程，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. (1)由题意得31a c a c +=⎧⎨-=⎩，2a ∴=，1c =，所以2223b a c =-=，∴椭圆:C 22143x y +=.(2)由题意可知(2,0)A -，(2,0)B ，设00(,)P x y ，则2200143x y +=， 直线:PA 00(2)2y y x x =++，直线:PB 00(2)2y y x x =-- 分别令0x =得002(0,)2y M x +，002(0,)2y N x --，0022,2y AN x ⎛⎫∴=- ⎪-⎝⎭，0022,2y BM x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭20202200431444443144x y AN BM x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴⋅=--=--=-+=---. 【点睛】关键点睛：运用平面向量数量积的坐标表示公式进行求解是解题的关键.。
陕西省宝鸡市金台区2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题理新人教A版
2
断它们的真假 .
18. （本小题满分 15 分）
x2 设命题 p : 方程
a6 存在 x R, 则 x2 4x
y2 1 表示中心在原点，
a7 a 0.
焦点在坐标轴上的双曲线，
(1) 写出命题 q 的否定；
(2) 若“ p 或非 q ”为真命题，求实数 a 的取值范围 .
DC n3 n3
1. …… 15 分 3
解法（二）
解：（ 1）由题意 AB AC , AB AA1
AB 面 AA1C1C , 过 B 作 AH
AD , 连接 BH ，
则
BH AD ,
AHB 为 二 面 角 A 1A D 的B 平 面 角 。 在 AA1D 中 ，
5
5
AA1 1, AD
, A1D
,
则
2
逆否命题 : 若 a+b 不是偶数，则 a、 b 不都是奇数 , 是真命题 . …… 15 分
18. （本小题满分 15 分）
解：（ 1）非 q : 任意 x R, 则 x2 4 x a 0
………… 5 分
2
2
（ 2）若 p 真，即方程 x
y 1表示焦点在坐标轴上的双曲线，
a6 a7
则 ( a 6)( a 7) 0 ， 6 a 7 ．
是
PF1
与
PF2
的等差中项，
则动点
P 的轨
迹是
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．线段
3．已知 a (2, 1,3), b ( 4, 2, 4), c (1, x,2), 若 (a b) c, 则 x 等于
2021-2022学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期末数学(理)试题(解析)
2021-2022学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．命题“x R ，x 210”的否定是（）A ．x R ，x 210C ．x R ，x 210【答案】B【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案【详解】存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定所以x R ,x 210的否定为x R ,x 210故选：B.2．抛物线y 1A ．0,16B ．x R ，x 210D ．x R ，x 21012x 的焦点坐标是（）161B ．0,32C ．(0,4)D ．(0,8)【答案】C 【分析】化简得x 216y ，即得焦点坐标.【详解】由题得x 216y ，所以抛物线的焦点坐标为(0,4).故选：C01，1，2，且a b 3，则向量a 与b 的夹角为（）3．已知a=1，，b=x ，A ．56B ．23C ．3D ．6【答案】D【分析】先求出向量a 与b 的夹角的余弦值，即可求出a 与b 的夹角.，，2，【详解】∵a·b x 23，∴x ＝1，∴b=11b =∴cos a ，a b33，2|a ||b |266b [0，]，∴a 与b 的夹角为.又∵a ，故选：D.4．为了防控新冠病毒肺炎疫情，某市疾控中心检测人员对外来入市人员进行核酸检测，人员甲、乙均被检测.设命题p 为“甲核酸检测结果为阴性”，命题q 为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为（）A ．p q 【答案】DB ．p qC ．pqD ．p q【分析】表示出p 和q ，直接判断即可.【详解】命题p 为“甲核酸检测结果为阴性”，则命题p 为“甲核酸检测结果不是阴性”；命题q 为“乙核酸检测结果为阴性”，则命题q 为“乙核酸检测结果不是阴性”.故命题“至少有一位人员核酸检测结果不是阴性”可表示为pq .故选D.5．某双曲线的一条渐近方程为y x 2y 2A ．1643x ，且焦点为(0,26)，则该双曲线的方程是（）2y 2x 2B ．164x 2y 2C ．1188y 2x 2D ．1188【答案】Dy 2x 2【解析】设双曲线的方程为(0)，利用焦点为(0,26)求出的值即可.94【详解】因为双曲线的一条渐近方程为y 3x ，且焦点为(0,26)，2y 2x 2所以可设双曲线的方程为(0)，94则9426，2，y 2x 21.所以该双曲线方程为188故选：D.x2y 26．若点P a,1在椭圆1的外部，则a 的取值范围为（）232323A ．3,34C ．,32323,,B ．334D ．,3【答案】Ba 212【解析】根据题中条件，得到1，求解，即可得出结果.23x2y 21的外部，【详解】因为点P a,1在椭圆234a 21223232.所以1，即a ，解得a 或a 32333故选：B.7．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，PQ 与直线A 1D 和AC 都垂直，则直线PQ 与BD 1的关系是（）A ．异面【答案】BB ．平行C ．垂直不相交D ．垂直且相交【分析】以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示求出PQ(1,1,1)，再利用向量的坐标运算可得BD1PQ ，根据共线定理即可判断.【详解】设正方体的棱长为1.以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则DA1(1,0,1),AC (1,1,0).a c 0PQ (a,b,c)设，则，取PQ (1,1,1).a b 0BD1(0,0,1)(1,1,0)(1,1,1)PQ ，PQ //BD 1,PQ //BD 1.故选：B【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标表示、空间向量共线定理，属于基础题.8．下列命题中，真命题的个数为（）x 2y 2（1）m 2是1为双曲线的充要条件；5m 2m（2）若xy 0，则x 0x,y R ；（3）若a1,2,3，b1,2,1，则a b ；x 2y 2（4）椭圆1上的点距点9445,0最近的距离为；3A ．1个【答案】AB ．2个C ．3个D ．4个【分析】利用方程表示双曲线求出m 的取值范围，利用集合的包含关系可判断（1）的正误；直接判断命题的正误，可判断（2）的正误；利用空间向量垂直的坐标表示可判断（3）的正误；利用椭圆的有界性可判断（4）的正误.x 2y 21为双曲线，则5m2m0，【详解】对于（1），若曲线5m2m即m2m 50，解得m2或m 5，因为m m 2m m2或m 5，x 2y 21为双曲线的充分不必要条件，因此，m2是（1）错；5m2m对于（2），若xy 0，则x 0或y 0，（2）错；对于（3），a b 1222310，则a b ，（3）对；42x2y 221上一点，则y4x 且3≤x≤3，对于（4），设点P x,y 为椭圆994则点P 到点5,0的距离为dx 52y2x225x 5442x 95255x 25x 9x 33x 35,35（4）错.，933故选：A.x 2y 29．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221ab0的右焦点为F c,0，过双曲a b 线上一点P c,y 0作y 轴的垂线足为H ，若OPHF ，则该双曲线的离心率为（）A ．512B ．512C ．51D ．51【答案】A【解析】根据条件可知四边形OFPH 为正方形，从而根据边长相等，列式求双曲线的离心率.b 2【详解】不妨设P 在第一象限，则P c,，根据题意，四边形OFPH 为正方形，于是acb 251，即c 2a 2ac 0，化简得e 2e 10，解得e（负值舍去）.a2故选：A.10．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA平面ABCD ，M ，N 分别为PC ，PD 上的点，且PM2MC ，PN ND ，NMxAByADzAP ，则x y z （）2A ．3B ．5D ．623C ．1【答案】B 【解析】由PM2MC ，PNND ，得PM21PC ,PN PD ，然后利用向量的加减法32法则把向量NM 用向量AB ,AD ,AP 表示出来，可求出x,y,z 的值，从而可得答案【详解】解：因为PM 2MC ，PNND ，所以PM 21PC ,PN PD 3221PC PD 32所以NM PM PN 21(AC AP )(AD AP )32211(AB AD AP )ADAP 322211AB AD AP ,366211因为NMxAByADzAP ，所以x,y ,z ，366所以x y z 故选：B2，311．如图，过抛物线y 22px(p 0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A,B ,C ，若BC2BF,且AF4，则抛物线的方程为（）A．y2xB．y22xC．y23xD．y24x【答案】D【分析】如图根据抛物线定义可知|BD|a，进而推断出BCD的值，在直角三角形中求得a，进而根据BD//FG，利用比例线段的性质可求得p，则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30在直角三角形ACE中，AE4，|AC|43a2AE AC，43a8，从而得a 4 3BD//FG，故选：D 1p，求得p2，所以抛物线的方程为y24x．23a12．在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足PAPB，当0且1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这x2y2个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线221(a0,b0)，A,B为双曲线的左、右顶点，a bC,D为双曲线的虚轴端点，动点P满足PAPB2，△PAB面积的最大值为64，PCD面3积的最小值为4，则双曲线的离心率为（）A ．【答案】C【分析】先求动点P 的轨迹方程，再根据△PAB 面积的最大值求得a ，根据PCD 的面积最小值求b ，由此可求双曲线的离心率.【详解】设A a,0，B a,0，P x,y ,依题意,得PA 2PB ,即123B ．25C ．4D ．2x a2y 22x a22y 2,25a 4两边平方化简得xy 2a ,334a5a所以动点P 的轨迹是圆心为,0,半径r 的圆，331464当P 位于圆的最高点时PAB 的面积最大，所以2a a ,233解得a 4；14a 5当P 位于圆的最左端时PCD 的面积最小，所以2b a a b4,2333解得b 3,5b 故双曲线的离心率为e 1.4a2故选: C.二、填空题13．命题“矩形的对角线相等”的否命题是________.【答案】“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”【分析】否命题是条件否定，结论否定，即可得解.【详解】否命题是条件否定，结论否定，所以命题“矩形的对角线相等”的否命题是“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”故答案为：“若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等”14．已知点M (1,1,2)，平面过原点O ，且垂直于向量n (1,2,2)，则点M 到平面的距离是_________.7【答案】3【分析】确定MO ，MOn ，利用点M 到平面的距离为dMO nn，即可求得结论.【详解】由题意，MO(1,1,2)，n (1,2,2)，MOn 1247设MO 与n 的夹角为，则MO nMOn cos所以点M 到平面的距离为d 7故答案为：3MO nn73x 2y 215．如图，把椭圆1的长轴AB 八等分，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上169半部分于P 1，P 2，P 2FP ，P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则PF13FP 7F的值为__________．【答案】28【详解】设椭圆的另一个焦点为F '由椭圆的几何性质可知：P 7F =PF |，PF |=2a ，同理可得1?1|P 7F =PF 1|PF 1?PFP 7FP 2FP 6FP 13FP 5F2P 4F2a ，且a4，故PFP 2FP 13FP 7F7a28,故答案为28.16．三棱锥O ABC 中，OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC .给出下列四个命题：①OA OB OC3OA；22②BC CA CO0；③OA OB和CA的夹角为60；④三棱锥O ABC的体积为1AB AC BC. 6其中所有正确命题的序号为______________.【答案】①②③【解析】设OA OB OC a，以点O为坐标原点，OA、OB、OC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①②③④的正误.【详解】设OA OB OC a，由于OA、OB、OC两两垂直，以点O为坐标原点，OA、OB、OC所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则O0,0,0、A a,0,0、B0,a,0、C0,0,a.对于①，OA OB OC a,a,a，所以，OA OB OC23a23OA，①正确；2对于②，CA CO OA a,0,0，BC0,a,a，则BC CA CO0，②正确；对于③，OA OB a,a,0，CAa,0,a ，OA OB CA cos OAOB ,CAOAOBCAa 22a21，20OA OB ,CA180，所以，OAOB 和CA 的夹角为60，③正确；对于④，AB a,a,0，ACa,0,a ，BC0,a,a ，则AB ACa 2，1a 2a 223所以，AB AC BCBC 2a a ，66661113而三棱锥O ABC 的体积为VOA OB OC a ，④错误.326故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.三、解答题17．已知p ：x a3（a 为常数）；q ：代数式x 1lg 6x 有意义．（1）若a 1，求使“p q ”为真命题的实数x 的取值范围；（2）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1,4；（2）2,3.【分析】（1）若a 1，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用p q 为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p 是q 的充分不必要条件，建立不等式关系即可求实数a 的取值范围．【详解】p ：x a3等价于：3x a 3即a 3x a 3；q ：代数式x 1lg 6x 有意义等价于：x 10，即1x 6，6x 0（1）a 1时，p 即为2x 4，若“p q ”为真命题，则2x 4，得：1x 41x 6故a 1时，使“p q ”为真命题的实数x 的取值范围是[1，4)，（2）记集合A{x |a 3x a 3}，B{x |1x 6}，若p 是q 成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集，a31因此：，2a3，a36故实数a的取值范围是2,3．18．如图，四棱锥P ABCD中，PA平面ABCD、底面ABCD为菱形，E为PD的中点.（1）证明：PB//平面AEC；（2）设PA1,BAD120，菱形ABCD的面积为23，求二面角D AE C的余弦值.1【答案】（1）证明见解析；（2）.4【解析】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，则PB//OE，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）根据题意，求得菱形ABCD的边长，取BC中点M，可证AM BC，如图建系，求得点坐标及AE,AC坐标，即可求得平面ACE的法向量，根据AM平面PAD，可求得面ADE的法向量，利用空间向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接OE，则O、E分别为AB ACAM PAD AE,AC、PD的中点，所以PB//OE，又OE平面ACE,PB平面ACE所以PB//平面ACE（2）由菱形ABCD的面积为23，BAD120，易得菱形边长为2，取BC 中点M ，连接AM ，因为AB AC ，所以AM BC ，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，AD 方向为y 轴，AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.1则D 0,2,0,A 0,0,0,E 0,1,,C 21所以AE 0,1,,AC 3,1,023,1,0设平面ACE 的法向量n1x,y,z ，由n 1AE ,n 1AC 1y z 02得，令x3，则y 3,z 63x y 0所以一个法向量n13,3,6，因为AM AD ，AM PA ，所以AM平面PAD ，所以平面ADE 的一个法向量n21,0,0所以cos n 1,n 2n 1n2n 1n 231，393641又二面角D AE C 为锐二面角，所以二面角D AE C 的余弦值为4【点睛】解题的关键是熟练掌握证明平行的定理，证明线面平行时，常用中位线法和平行四边形法来证明；利用空间向量求解二面角为常考题型，步骤为建系、求点坐标、求所需向量坐标、求法向量、利用夹角公式求解，属基础题.2x 2y 22(a b 0)A 1，19．已知离心率为.的椭圆E :221经过点2a b 2（1）求椭圆E 的方程；（2）若不过点A 的直线l:y 2x m 交椭圆E 于B，C 两点，求ABC 面积的最大值.2x 222.【答案】（1）+y =1；（2）22【解析】（1）根据c2，可设a 2n ，c n n 0，求出b ，得到椭圆E 的方程，a 2代入点A 的坐标，求出n ，即可得出结果.（2）设出点B ，C 的坐标，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，由点到直线的距离公式，三角形的面积公式及基本不等式可得结论.【详解】（1）因为c 2，a 2所以设a2n ，c n n 0，则b n ，x 2y 2椭圆E 的方程为221.2n n 11代入点A 的坐标得221，n 21，2n 2n x 22所以椭圆E 的方程为+y =1.2（2）设点B ，C 的坐标分别为x 1，y 1，x 2，y 2，2x m y 由，2x 2+2y 2=21222得x 2x 2mx m 2，2即x 22mx m 210，2x 1x 22m ，x 1x 2m 1，2m 24m 210，m 22.322342m 2，4x 1x 22m 4m 122md 点A 到直线l 的距离3，BC x x 1k 21222m 13142m 22ABC 的面积S BC d 22m 22m 232222m 22m 22，222当且仅当m 22m 2，即m 21时等号成立.所以当m1时，ABC面积的最大值为2.2【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程和性质，直线与椭圆相交问题.属于中档题. 20．“中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图①，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.如图②，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABFM和其上方的抛物线MOF（部分）组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知AB44m，A45，AC4m，CD5m，立柱DN 5.55m.(1)求立柱CM及横梁MF的长；(2)求抛物线MOF的方程和桥梁的拱高OH.【答案】(1)CM4m，MF36m(2)x2100y，OH7.24m【分析】（1）根据梯形的几何性质，即可求解；（2）表示出M,N的坐标，代入抛物线方程中，结合条件解得p值，继而求得拱高. (1)由题意，知A45,AC4m,则CM4m,因为ABFM是等腰梯形，由对称性知:AC BE4m,所以MF CE AB AC EB444436(m)，(2)由（1）知CH AH AC18,所以点M的横坐标为-18，则N的横坐标为-（18-5）= -13.设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，由图形，知y1y25.554 1.55.设抛物线的方程为x22py(p0),将点M,N代入，得(-18)22py1，(13)22py2，两式相减，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100,故抛物线的方程为x2=-100y.因此，当x= -18时，y故y13.24m,121x324 3.24m,100100所以桥梁的拱高OH = 3.24 + 4 = 7.24m .。
陕西省宝鸡市教育联盟2022-2023学年高二上学期期末数学(理)试题
陕西省宝鸡市教育联盟2022-2023学年高二上学期期末数学
（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
A ．29
B ．2712．设直线1()(0)3y x t t =
+≠与双曲线,A B 两点.若()MA MB AB +⊥
，其中点A ．
52
B ．
233
二、填空题
13．设变量x ，y 满足约束条件14．习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键乡创业.为鼓励外出人员返乡创业，某镇政府决定投入五年内，预计该镇政府每年投入的投入“创业资金”3（万元），以后每年投入的扶五年累计总投入的“创业资金
三、解答题
(1)证明：⊥
AE平面(2)求平面ADF与平面22．在平面直角坐标系
-.
且过点(0,2)
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P在直线l
'⊥
再过P作直线l MN。
2020-2021学年陕西省宝鸡市金台区高二上学期期末考试(理)数学试卷(解析版)
陕西省宝鸡市金台区2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“若0,xy =则0(,)=∈x x y R ”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数为（ ） A. 3B. 2C. 1D. 0『答 案』B『解 析』命题“若0,xy =则0(,)=∈x x y R ”为假命题，则其逆否命题也为假命题；其逆命题为：若0,x =则0xy =，显然是真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可得原命题的否命题也为真命题，故为真命题的有2个 故选：B2. 已知(1,2,1),(1,,2)a b x =--=-且13a b =-，则x 的值为（ ） A. 3B. 4C. 5D. 6『答 案』C『解 析』由已知12213a b x ⋅=---=-，解得5x =．故选：C ．3. 命题“存在实数x ，使2220x x ++≤”的否定为（ ） A. 存在实数x ，使2220x x ++> B. 对任意一个实数x ，都有2220x x ++≤ C. 对任意一个实数x ，都有2220x x ++>D. 存在实数x ，使2220x x ++≥『答 案』C『解 析』命题“存在实数x ，使2220x x ++≤”为特称命题，该命题的否定为“对任意一个实数x ，都有2220x x ++>”.故选：C.4. 在下列各选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ） A. 若A B ⊆，p : x A ∈,q : x B ∈；B. p :6x π=,q :1sin 2x =；C. 在ABC 中，p : A B >,q : sin sin A B >；D. p : a b =,q : a b=；『答 案』D『解 析』对于A ：A B ⊆，若x A ∈则x B ∈，故充分性成立，若x B ∈则不一定得到x A ∈，故必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，故A 不成立；对于B ：若6x π=则1sin 2x =，即充分性成立；若1sin 2x =则526x k ππ=+或2,6ππ=+∈x k k Z ，故必要性不成立，故p 是q 的充分不必要条件，故B 不成立；对于C ：在ABC 中，若A B >则a b >，由正弦定理得sin sin A B >成立，故充分性成立；若sin sin A B >，由正弦定理sin sin a bA B =，又0a >，0b >，sin 0A >，sin 0B >，所以a b >，故必要性成立，所以p 是q 的充分必要条件，故C 不成立；对于D ：若a b=则a b =或=-a b ，故充分性不成立，若a b =则a b=，故必要性成立；所以p 是q 的必要不充分条件，故D 成立；故选：D.5. 有两个命题：命题p ：正方形的四个角相等，命题q ：正方形的四条边相等.则下列判断错误的是（ ）A. 新命题“p 且q ”是真命题B. 新命题“p 或q ”是真命题C. 新命题“非p ”是假命题D. 新命题“p 或q ”是假命题『答 案』D『解 析』因为命题p ：正方形的四个角相等；是真命题，所以非p 是假命题；命题q ：正方形的四条边相等；是真命题，所以非q是假命题；所以“p 且q ”是真命题，“p 或q ”是真命题，即ABC 都正确，D 错. 故选：D.6. 点M 到点(4,0)F - 的距离比它到直线:60l x -=的距离小2，则点M 的轨迹方程为（ ）A.216y x = B.216y x =-C.224y x =D.224y x =- 『答 案』B『解 析』因为点M 到点(4,0)F -的距离比它到直线:60l x -=的距离少2，所以将直线:60l x -=左移2个单位，得到直线40x -=，即4x =， 可得点M 到直线4x =的距离等于它到点(4,0)-的距离，根据抛物线的定义，可得点M 的轨迹是以点(4,0)-为焦点，以直线4x =为准线的抛物线，设抛物线方程为22(0)y px p =->，可得42p=，得216p =，所以抛物线的方程为216y x =-，即为M 点的轨迹方程. 故选：B ．7. 直线l 的方向向量(1,1,2)s =，平面α的法向量(1,3,0)n =-，则直线l 与平面α的夹角的余弦为（ ）A.15-B. 15C.D.15『答 案』D『解 析』设直线l 与平面α的夹角为02πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭则111320sin|cos,||s nθ⨯+⨯-+⨯=<>===直线l与平面α的夹角的余弦为15故选：D.8. 与椭圆22195x y+=焦点相同且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（）A.2213yx-=B.2213xy-=C.2213xy-=D.22122x y-=『答案』A『解析』设双曲线的方程为22221 x ya b-=椭圆22195x y+=的焦点坐标为(20)∴双曲线中的24c=，①双曲线过点()2,3，∴22491a b-=②222c a b=+③解①②③得21a=，23b=，∴双曲线的方程为2213yx-=．故选：A.9. 顶点在原点，经过点()，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程是（）A.2y=或212=-x yB.2y=-或212=-x yC.2y=或212x y=D.2y=-或212x y=『答案』D『解析』设抛物线方程为22y mx=，则262(m=⋅，m=-，方程为2y=-，或设方程为22x ny=，则2(26n=⨯，14n=，方程为212x y=．所以抛物线方程为2y=-或212x y=．故选：D．10. 抛物线2y x上到直线40x y--=的距离最小的点的坐标是（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B. (1,1) C.39,24⎛⎫⎪⎝⎭ D.()2,4『答案』A『解析』设抛物线2y x上一点为(A x，2)x，点0(A x，2)x到直线240x y--=的距离22001151152424d x x⎡⎤⎫⎛⎫==-+=-+⎢⎥⎪ ⎪⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴当012x=时，即当11,24A⎛⎫⎪⎝⎭时，抛物线2y x上一点到直线40x y--=的距离最短．故选：A．11. 若双曲线2215y xm-=的离心率()1,2e∈，则m的取值范围是（）A.()0,5B.()5,10C.()0,15D.()15,0-『答案』C『解析』双曲线的方程为：2215y xm-=，0m∴>，cea∴==，()1,2e ∈，12∴<<，5145m+∴<<，015m∴<<．即()0,15m∈故选：C ．12. 如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条『答 案』D『解 析』由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=，若210k -=，即1k =±， 1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解；210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，k =，此时方程组也只有一解．方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知a 、b 、c 是单位向量，且b c ⊥，c a ⊥，,,3a b π<>=则()()2323a b ca b c +--++=___________.『答 案』4-『解 析』因为a 、b 、c 是单位向量，且b c ⊥，c a ⊥，,,3a b π<>=所以0b c =，0c a =，1cos ,2b a b a b a =<>=所以()()2222323343464a b ca b c a b c a b a c b c+--++=-+--++2221314131460402=-⨯+⨯-⨯-⨯+⨯+⨯4=-故答案为：4-14. 斜率为1-的直线经过抛物线24y x =-的焦点，与抛物线相交于,A B 两点，则||=AB ___________.『答 案』8『解 析』设()11,A x y ，()22,B x y ，焦点(1,0)F -，2p =，则直线AB 的方程为(1)y x =-+，与抛物线方程联立241y x y x ⎧=-⎨=--⎩整理得2610x x ++=，所以126x x +=-，由抛物线定义可得12=822p pAB AF BF x x +=-+-=.故答案为：8.15. 已知双曲线与椭圆221259y x +=共焦点，它们的离心率之和为245，则双曲线方程为____. 『答 案』22115x y -=『解 析』椭圆221259y x +=的111145,3,4,5c a b c e a ======, 双曲线的离心率2224c e a a ==,由题意可知2442455a +=，解得2221,16115a b ==-=,故双曲线方程为22115x y -=, 故答案为：22115x y -=.16. 已知平面α经过点(1,0,0)B ，且α的法向量(1,1,1)n =，则(2,2,0)P 到平面α的距离为___________.『答所以P 到平面α三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知点(0,1,1)A -,(2,2,1)B ，向量,a OA b OB ==,计算：（1）求向量b 的单位向量0b ；（2）求2a b-，3a-；（3）cos ,a b <>；（4）求点B 到直线OA 的距离.解：由已知得：0,1,1,2,2,1a b =-=（）（）（1）||3b =，则0221,,333b =（）（2）2(2,0,3)a b -=--，2=13a b -3(0,3,3)a -=-，3=32a -（3）2cos <,>==6||||a b a b ab（4）OB 在OA 上的投影为||cos<,>OB a b ，||cos<,>=3=62OB a b ⨯点B 到直线OA的距离2d ==18. 已知椭圆的长轴在x 轴上，长轴长为4，离心率为，（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.（2）直线220x y --=与椭圆交于,A B 两点，求,A B 两点的距离.解：（1）由已知：2a =，c a=，故c =1b =， 则椭圆的方程为：2214x y +=， 所以椭圆的短轴长为2，焦距为（2）联立2222014x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1101x y =⎧⎨=-⎩，2220x y =⎧⎨=⎩，所以(0,1)A -，(2,0)B ，故||AB =19. 若直线:1l y kx =-与曲线2:(1)C y k x =-恰好有一个公共点，求实数k 的取值集合. 解：由题得方程组21(1)y kx y k x =-⎧⎨=-⎩有唯一一组实数解，化简得:22(13)10k x k x +-+= ①（1）当0k =时，方程①是关于x 的一元一次方程，它有解1x =-，这时，原方程组有唯一解11x y =-⎧⎨=-⎩符合题意.（2）当0k ≠时，方程①是关于x 的一元二次方程 . 判别式=0∆时，原方程组有两个相等的实数解.即()2221345610k k k k --=-+=解得 1k =或15k =当1k =时，原方程组有唯一解10x y =⎧⎨=⎩，符合题意.当15k =时，原方程组有唯一解52x y =-⎧⎨=-⎩，符合题意 故所求实数a 的取值集合10,1,,5⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 20. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABC A B C -,底面是等腰直角三角形，2AB ，=90ACB ∠=︒,侧棱12BB =，,D E 分别是11CC A B ，的中点.（1）求平面AED 与平面1AEC 的夹角的余弦.（2）求1AC 与平面ADE 所成角的余弦值.解：)A，)12A ，()0,0,1D，,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,2C (1)()22,0,122AD DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=-，，设平面AED 的法向量()1111,,xn y z =，则111100z x y ⎧+=+=令1x =,得平面AED 的一个法向量(11,n -=，()122,,12,0,2AE AC ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭=-，=.设平面1AEC 的法向量()2222,,nx y z =,则222202220xy z z ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩令2x 得平面1AEC 的一个法向量()22,01,n =，，设平面AED 与平面1AEC的夹角为1θ，所以1211212cos cos ,n n n n n n θ⨯====.(2) 由（1）知，平面AED 的一个法向量(11,n -=，()12,0,2AC -=，设平面1AC 与平面AED 的夹角为2θ，所以11211111sin cos ,6n AC n AC n AC θ⨯====，所以2cos θ==.。
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陕西省宝鸡市高二上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分）如图为一几何体的三视图，则该几何体体积为（）
A .
B . 6
C .
D .
2. （2分） A=,B=,若，则的值的集合为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）甲、乙、丙、丁、戊5名学生各自在3门数学选修课：数学史、数学建模和几何画板中任选一门学习，则这三门课程都有同学选修且甲不选修几何画板的概率为（）
B .
C .
D .
4. （2分） (2018高一下·平顶山期末) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2018高二上·南宁月考) 已知椭圆C：，的上、下顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）
A .
C .
D .
6. （2分）已知F1 ， F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）下列四个判断：
①某校高三（1）班的人和高三（2）班的人数分别是m和n，某次测试数学平均分分别是a，b，则这两个班的数学平均分为；
②对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1 ， y1），（x2 ， y2），…（xn ， yn），由样本数据得到回归方程 = x+ 必过样本点的中心（，）；
③调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽样，抽取容量为22的样本，则青年中应抽取的个体数为12；
④频率分布直方图的某个小长方形的面积等于频数乘以组距．
其中正确的有（）
A . 0个
B . 1个
C . 2个
D . 3个
8. （2分） (2016高二下·南安期中) 已知O点为△ABC所在平面内一点，且满足 +2 +3 = ，现将一粒质点随机撒在△ABC内，若质点落在△AOC的概率为（）
A .
B .
C .
D .
9. （2分）如图所示，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（）
A . ①②
B . ②③
C . ③④
D . ①⑤
10. （2分）据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml（不含80）之间，属于酒后驾车，血液酒精浓度在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒驾车．据《法制晚报》报道，2012年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为
A . 4320
B . 2880
C . 8640
D . 2160
11. （2分）下列命题正确的有（）
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应，也有唯一一个斜率与之对应；
②倾斜角的范围是：0°≤α＜180°，且当倾斜角增大时，斜率也增大；
③过两点A（1，2），B（m，﹣5）的直线可以用两点式表示；
④过点（1，1），且斜率为1的直线的方程为；
⑤直线Ax+By+C=0（A，B不同时为零），当A，B，C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式．
⑥若两直线平行，则它们的斜率必相等；
⑦若两直线垂直，则它们的斜率相乘必等于﹣1．
A . ⑤
B . ①⑤
C . ②⑤
D . ①②⑤
12. （2分）(2016·商洛模拟) ⊙C：（x﹣4）2+（y﹣2）2=18上到直线l：x﹣y+2=0的距离为的点个数
有（）个．
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
二、填空题 (共4题；共5分)
13. （1分） (2017高一下·西安期中) 某校有学生2000人，其中高二学生630人，高三学生720人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高一学生的人数为________．
14. （2分）(2017·东城模拟) 如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x的位置应填________；y的位置应填________．
15. （1分） (2016高三上·韶关期中) 已知H是球O的直径AB上一点，AH：HB=1：3，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的半径为________．
16. （1分） (2018高二上·大连期末) 椭圆的中心在坐标原点，左、右焦点在轴上，已知
分别是椭圆的上顶点和右顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率为________.
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （5分） (2018高一下·攀枝花期末) 已知圆的圆心在直线上，并且经过点和
．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若直线过点与圆相交于、两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．
18. （5分） (2016高二下·永川期中) 给定两个命题，命题P：函数f（x）=（a﹣1）x+3在R上是增函数；命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的范围．
19. （15分） (2017高二上·湖北期末) 已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD的高为，两个底面均为边长1的正方形．
（1）求证：BD∥平面A1B1C1D1；
（2）求异面直线A1C与AD所成角的大小；
（3）求二面角A1﹣BD﹣A的平面角的正弦值．
20. （15分） (2018高一下·抚顺期末) 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
21. （5分）(2017·桂林模拟) 如图所示，在△ABC中，AB的中点为O，且OA=1，点D在AB的延长线上，且
．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆M与边BC，边AC的延长线相切，并始终与AB的延长线相切于点D，记顶点C的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x轴，O为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）设动直线l交曲线Γ于E、F两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△OEF面积的取值范围．
22. （10分） (2018高二上·如东月考) 某学校决定在主干道旁边挖一个半椭圆形状的小湖，如图所示，AB=4，O为AB的中点，椭圆的焦点P在对称轴OD上，M、N在椭圆上，MN平行AB交OD与G ，且G在P的右侧，△MNP 为灯光区，用于美化环境.
（1）若学校的另一条道路EF满足OE=3，tan∠OEF=2，为确保道路安全，要求椭圆上任意一点到道路EF的距
离都不小于，求半椭圆形的小湖的最大面积：(椭圆（）的面积为 )
（2）若椭圆的离心率为，要求灯光区的周长不小于，求PG的取值范围.
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9、答案：略
10-1、
11、答案：略
12-1、
二、填空题 (共4题；共5分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
18-1、19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
20-2、
20-3、
21-1、
22-1、
22-2、。