数学史上三大危机

数学史上三大危机

数学的发展史中，并不是那么一帆风顺的，其中历史上曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。

第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580~约前500)建立了毕达哥拉斯学派。他证明许多重要的定理，包括后来以他的名字命名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，即直角三角形两直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。毕达哥拉斯将数学知识运用得纯熟之后，觉得不能只满足于用来算题解题，于是他试着从数学领域扩大到哲学，用数的观点去解释一下世界。经过一番刻苦实践，他提出"万物皆为数"的观点:数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。

公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1，则对角线的长不是一个有理数)，这一不可公度性与毕氏学派的"万物皆为数"(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐，认为这将动摇他们在学术界的统治地位，于是极力封锁该真理的流传，希伯索斯被迫流亡他乡，不幸的是，在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕，却是一场悲剧。

希伯索斯的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明了它不能同连续的无限直线等同看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的"孔隙"。而这种"孔隙"经后人证明简直多得"不可胜数"。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次数学危机，对以后2000多年数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学和逻辑学的发展，并且孕育了微积分思想萌芽。

不可约的本质是什么?长期以来众说纷纭，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直认为是不可理喻的数。15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为"无理的数"，17世纪德国天文学家开普勒称之为"不可名状"的数。

最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生，比如说我们现在说的边长为1的正方形的对角线，无法用两个整数的比来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数

i（虚数的产生导致复变函数等学科的产生，并在现代工程技术上得到广泛应用），这使我不得不佩服人类的智慧。但我个人认为第一次危机的真正解决在1872年德国数学家对无理数的严格定义，因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到2100年后，牛顿（Isaac Newton，英国，1643年1月4日—1727年3月31日）和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz，德国，1646年7月1日—1716年11月14日）开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾．焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？

的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如

说1/n，我们说，但n个1/n相乘就为1，这就不是无穷小量了，当我们遇

到等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以

Taylor展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶比出大小。

从此，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是

把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德

国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合

论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的

集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下

来。现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为康托尔（Georg Cantor，1845年3月3日—1918年1月6日，出生于俄国的德国数学家。创立了现代集合论作为实数理论以至整个微积分理论体系的基础。他还提出了集合的势和序的概念）集合论和公理化集合论，集合是先定义了全集I，空集Φ ，在经过一系列一

元和二元运算而得来得。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了

罗素悖论，使现代数学得以发展。