析取范式与合取范式

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析取范式与合取范式

这是命题公式的两种特殊的简明形式。一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。我们将学习这种转化方法及其应用。

1. 析取范式

定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。

例1.2 求下列公式的析取范式。

(1) ()(2) () ()p q p

p q p q →∧⌝∨∧⌝∧

方法小结：

（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。

（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重

否定词。

（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。

（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾

律、零律）

练习1.3

定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。

2. 合取范式

定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。 由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。

例2.2 求下列公式的合取范式。

(1) ()(2) () ()p q p

p q p q ⌝→∨∧∨⌝∨

方法小结：

（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。

（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。

（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。

（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）

练习2.3

定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。

3.极小项

为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。

符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。也可以用标识符作命题变元，标识符在符号表中的次序为字典序。

定义1.1满足下述两个条件的简单合取式称为极小项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。含n 个变元的极小项称为n元极小项。

例如，等等都是极小项。等等都不是极小项。

提问：由n个不同变元组成的n元极小项共有多少个？

回答：共有2n个。一个极小项有n个变元，每个变元前面可以有否定词也可以没有，所以共有2n个组合。

例如，p, q两个变元可以组成的极小项如下：

⌝∧⌝⌝∧∧⌝∧

p q p q p q p q

,,,

极小项的名称：极小项的成真赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。若该二进制数所对应的十进制是i，则该极小项记为m i。

例如，上述4个极小项分别记为m0, m1, m2, m3。三元极小项的例子见课本第25页表2.4左列。

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4. 极大项

定义4.1满足下述两个条件的简单析取式称为极大项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。含n 个变元的极大项称为n 元极大项。

易知，由n 个不同变元组成的n 元极大项共有2n 个。例如，p , q 两个变元可以组成的极大项如下：

, , , p q p q p q p q ∨∨⌝⌝∨⌝∨⌝

极大项的名称：极大项的成假赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。若该二进制数所对应的十进制是i ，则该极大项记为M i 。

例如，上述4个极大项分别记为M 0, M 1, M 2, M 3。三元极大项的例子见课本第25页表2.4右列。

极大项与极小项之间的对称关系：极大项可视为极小项的逆。

例如，00M m ≡⌝,即

() p q p q ∨≡⌝⌝∧⌝

一般地我们有

定理4.2 由n 个变元组成的极大项与极小项之间存在如下对称关系，即对于任何0≤i <2n ， i i M m ≡⌝

5. 主析取范式与主合取范式

定义 5.1 由有限个极小项组成的析取式称为主析取范式。由有限个极大项组成的合取式称为主合取范式。此外规定，永假式的主析取范式为0，永真式的主合取范式为1。

定理 5.2 任何命题公式都存在唯一的与之等值的主析取范式与主合取范式。

命题公式的等价划分：将所有含有某n 个不同变元的命题公式，按照等值关系划分为若干分类，即将其中相互等值的所有命题公式归为一个分类。根据定理5.2，在每一个分类中都有唯一的主析取范式与唯一的主合取范式。 例5.3 用极小项和极大项的记号重新表示例1.4的主析取范式与主合取范式。

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练习5.4 课本第38页习题5，6。

6. 一个重要定理

定理6.1 设命题公式A 有n 个变元，则下列结论成立：

1） （互补性）A 与A ⌝二者的主析取范式中不存在相同的极小项，并且

二者的极小项总数恰好为2n 。

2） （对称性）若A ⌝的主析取范式为

12j j jr m m m ∨∨∨

则A 的主合取范式为

12j j jr M M M ∧∧∧

计算方法：A A A ←−−→⌝←−−→互补取反主析主析主合

例6.2 课本第30页例2.13。

7. 范式的应用

1） 求公式的成真赋值与成假赋值。主析取范式，主合取范式。

2） 判断公式的类型。重言式的主析取范式为，矛盾式的主析取范式为

0.

例7.1 课本第28页例2.10。

3） 判断两个命题公式是否等值。根据定理，主析取范式是唯一的。因

此，若两个公式有相同的主析取范式，则二者是等值的。

4） 用极小项表示选择方案，用主析取范式表示所有满足条件的选择方

案。

例7.2 课本第29页例2.12。