析取范式与合取范式
1.6析取范式与合取范式
再例如p→q m0∨m1∨m3 M2
主范式的用途（3）
2.判断公式的类型
设公式A中含n个命题变项，容易看出： （1）A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小 项。 （2）A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项。 此时，记A的主析取范式为F。 （3）A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极 小项。
例
例2.10 用公式的主析取范式判断公式的类型： （1）┐(p→q)∧q （2）p→(p∨q) （3）(p∨q)→r
解： 注意（1）（2）中含两个命题变项，演算中极小项含两个文字，而（3）
中公式含三个命题变项，因而极小项应含三个文字。
（1）┐(p→q)∧q ┐（┐p∨q）∧q (p∧┐q)∧q F 这说明（1）中公式是矛盾式。 （2）p→(p∨q) ┐p∨p∨q ┐p∧(┐q∨q)∨p∧(┐q∨q)∨(┐p∨p)∧q (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)∨ (┐p∧q)∨(p∧q) (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q) m0∨m1∨m2∨m3 这说明该公式为重言式。
n个命题变项共可产生多少个个不同的极小项？多 少个不同的极大项？
表2.3
极小项 公式 p∧q 成真赋值 0 0
由p,q形成的极小项和极大项
极大项 名称 公式 p∨q 成假赋值 0 0 名称
p∧q
p∧q p∧q
0 1
1 0 1 1
m0 m1 m2 m3
p∨q
p∨q p∨q
0 1
1 1 0 1
p∧q∧r
1 1 1
p∨q∨r
1 1 1
根据上面的两个表可以验证如下的定理： 定理2.4 设mi与Mi是命题变项p1,p2,…,pn形成的 极小项和极大项，则┐mi Mi， ┐Mi mi
简单析取式和简单合取式
0 由∏小到大用∏表示 1 1
1
1 0 0
展开成极大项 1 1 1 0 1 1 1 0 1
0
0
0
1
1 0 1
∏表示合取
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
一个简单合取式是矛盾
p∧┐p∧q是矛盾式
式，当且仅当它同时含一 个命题变项及其否定。
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范 式 ---- 析取范式和合取范式
析取范式： 仅由有限个简单合取式构成的析取式 A=(p∧┐q∧r)∨(┐p∧q)∨(q∧┐q)
析取范式的对偶
合取范式： 仅由有限个简单析取式构成的合取式 A*=(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q)Байду номын сангаас(q∨┐q)
极大项 在n个变元的简单析 取式中，若每个变元与其否 定不同时存在，而二者之一 必出现且仅出现一次，这种 析取式就叫做极大项 ┐p∨q∨┐r
0 0 0 0 1 1
1
1
1
1
0
1
M6
M7
范 式 ---- 求主析取范式
求p∧q ∨r的主合取范式 解 （p∧q）∨r 求出合取范式
（P∨r)∧(q∨r) （P∨(q∧┐q)∨r)∧((p∧┐p)∨q∨r) （P∨q∨r)∧(P∨┐q∨r)∧(p∨q∨r)∧(┐p∨q∨r) 000 ∧010 ∧ 000 ∧ 011 （p∨r)∧(q∨r) p q r M 0 ∧ M2 ∧ M3 0 0 0 0 0 0 ∏(0,2,3) 0 0 1 1 1 1
p∨(q∧┐r)
(交换律和吸收律)
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范 式 ---- 主范式
主析取范式概念
简单析取式和简单合取式(最全版)PTT文档
0 1 1 0 0 ∑(2,4,5,6,B7) B∧1B∧(pi∨┐pi)(B∧pi)∨(B∧┐pi)
范 式 ---- 析取式和合取式 A*(┐p,┐q,┐r) ┐p∧(q∨┐r) ┐A*(p,q,r)
∨(p∨┐p)∧(q∧┐r) (p∧q∧r)∨(p∧q∧┐r)
1 0 0 1 0 合取对范偶式式的为析（3）将重复出现的命题变项、矛盾式
(消去第一个→)
┐(┐(p∨q)∨r)∨p
(消去第一个→)
┐((┐p∧┐q)∨r)∨p ((┐┐p∨┐┐q)∧┐r)∨p ((p∨q)∧┐r)∨p
求合取范式 ((p∨q)∧┐r)∨p
(p∨q∨p)∧(┐r∨p) 求 析(p取∨范q)式∧(┐r∨p) (((交p∨换q律)∧和┐等r幂)∨律p) (p∧┐r)∨(q∧┐r)∨p
求p∧q ∨r的主合取范式
0 0 0 0 解
范
式（-p-∧--q）求∨主（r析1取）范求式 A的析取范式A’
0
0 0 1 0 （1）求A的析取范式A’
任何命题公式的主析取范式都是存在的，并且是唯一的。
0
求命题公式(( p∨q)→r)→p 的主析取范式。
解：((p∨q)→r)→p
p∨(q∧┐r)
N个变元可构成(22n)个若极A小’项的某简单合取式B中不含命题变项
p∧┐q∧r
N个变元可构成2n 个极小项
p
q
r
记 作
0 0 0 m0
0 0 1 m1
0 1 0 m2
0 1 1 m3
1 0 0 m4
1 0 1 m5
1 1 0 m6
1 1 1 m7
范 式 ---- 求主析取范式
p q r 范
范
数理逻辑2.2
2.2 析取范式与合取范式1.简单析取式与简单合取式定义2.2: 命题变项及其否定统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式.*解释: 析取, 合取.例子: p, ┐q, p∨┐p, ┐p∨q, p∨┐q∨r, p∨┐p∨r都是简单析取式.┐p, q, p∧┐p, p∧┐q, p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q都是简单合取式.定理2.1: (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其的否定式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式.*举例说明: p∨┐p∨q∨r, p∨┐q∨rp∧┐p∧┐q∧r, ┐p∧q∧r2.合取范式与析取范式定义 2.3: 由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式. 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式. 析取范式与合取范式统称为范式.*析取范式的一般形式为A1∨A2∨…∨A s, 其中, A i为简单合取式, i =1, 2, …,s.合取范式的一般形式为B1∧B2∧…∧B t, 其中, B j为简单析取式, j = 1, 2, …, t.例如: (p∧┐q)∨(┐q∧r)∨p是析取范式.(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r∧(┐p∨┐r∨s)为合取范式.定理 2.2: (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式;例如: (p∧┐p∧q)∨(q∧┐q∧p∧r)∨(p∧┐p∧┐r)是矛盾式;(p∨r∨q∨┐q)∧(p∨┐q∨r∨┐r)∧(┐p∨p∨q∨┐r)是重言式.3. 将合式公式转化为析取范式与合取范式命题公式有5个联结词{∧,∨,┐,→,↔}, 如何把包含这5个联结词的公式转化为合取范式或析取范式?(1) 蕴涵式与等值式A→B⇔┐A∨BA↔B⇔(A→B)∧(B→A)⇔(┐A∨B)∧(┐B∨A)(2) 公式中的否定┐┐A⇔A┐(A∧B)⇔┐A∨┐B┐(A∨B)⇔┐A∧┐B(3) 析取范式与合取范式互换A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)定理 2.3: (范式存在定理) 任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式.求给定公式范式的步骤为:(1) 消去联结词→和↔;(2) 用双重否定律消去双重否定符, 用德∙摩根律内移否定符;(3) 使用分配律: 求析取范式时使用∧对∨的分配律; 求合取范式时, 使用∨对∧的分配律.例2.8: 求公式(p→q)↔r的合取范式与析取范式.解: (1) 先求合取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定⇔((p∨r)∧(┐q∨r))∧(┐p∨q∨┐r) ∨对∧的分配律⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 结合律(2)求析取范式(p→q)↔r⇔(┐p∨q)↔r 消去→⇔((┐p∨q)→r)∧(r→(┐p∨q)) 消去↔⇔(┐(┐p∨q)∨r)∧(┐r∨(┐p∨q)) 消去→⇔((┐┐p∧┐q)∨r)∧(┐r∨┐p∨q) 否定符内移⇔((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r) 消去双重否定,交换律⇔(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨(r∧┐r)∧对∨的分配律⇔0∨0∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)∨0 矛盾律⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r) 同一律定义2.4: 在含有n个命题变项的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变项和它的否定式恰好出现一次且仅出现一次,而且命题变项或它的否定式按下标从小到大或按字典序排列, 称这样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).*由于每个命题变项在极小项中以原形式或否定形式出现且仅出现一次, 因而n个命题变项共产生2n个不同的极小项(或极大项). 每个极小项有且仅有一个成真赋值, 每个极大项有且仅有一个成假赋值. (见下表格)例如: 含p和q的极小项和极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称┐p∧┐q 0 0 m0p∨q 0 0 M0┐p∧q 0 1 m1p∨┐q 0 1 M1 p∧┐q 1 0 m2┐p∨q 1 0 M2 p∧q 1 1 m3┐p∨┐q 1 1 M3 例如: 含p, q, r的极小项与极大项极小项极大项成真名成假名公式赋值称公式赋值称┐p∧┐q∧┐r 0 0 0 m0p∨q∨r 0 0 0 M0 ┐p∧┐q∧r 0 0 1 m1p∨q∨┐r 0 0 1 M1 ┐p∧q∧┐r 0 1 0 m2p∨┐q∨r 0 1 0 M2┐p∧q∧r 0 1 1 m3p∨┐q∨┐r 0 1 1 M3 p∧┐q∧┐r 1 0 0 m4┐p∨q∨r 1 0 0 M4 p∧┐q∧r 1 0 1 m5┐p∨q∨┐r 1 0 1 M5 p∧q∧┐r 1 1 0 m6┐p∨┐q∨r 1 1 0 M6 p∧q∧r 1 1 1 m7┐p∨┐q∨┐r 1 1 1 M7*解释极小项与极大项的不同, 成真赋值与成假赋值.定理2.4: 设M i和m i是含命题变项p1, p2, …, p n的极大项和极小项, 则有┐m i⇔M i和┐M i⇔m i .定义 2.5: 所有简单合取式(简单析取式)都是极小项(极大项)的析取范式(合取范式)称为主析取范式(主合取范式).定理 2.5: 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是唯一的.证明: 这里只证主析取范式的存在性和唯一性.首先证明存在性. 设A是任一含n个命题变项的公式. 由定理2.3可知, 存在与A等值的析取范式A’, 即A⇔A’. 若A’的某个简单合取式A i中既不含命题变项p j, 也不含它的否定式┐p j, 则将A i展开成如下等值式:A i∧(p j∨┐p j)⇔(A i∧p j)∨(A i∧┐p j)继续这个过程, 直到所有的简单合取式都含有所有的命题变项或它的否定式.若在演算过程中出现的命题变项在极小项中出现矛盾式, 则应消去.如用p代替p∧p, m i代替m i∨m i,0代替矛盾式等. 最后, 就将A化为与之等值的主析取范式A”.下面再证明唯一性. 假设命题公式A等值于两个不同的主析取范式B和C, 那么必有B⇔C. 由于B和C是不同的主析取范式, 不妨设极小项m i只出现在B中, 而不出现在C中. 于是,角标i的二进制表示为B的成真赋值, 而为C的成假赋值, 这与B⇔C矛盾.主合取范式的存在性和唯一性可类似证明.例2.9: 求公式(p→q)↔r的主析取范式和主合取范式.解: (1) 求主析取范式在例2.8中已求出(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r), 因此(p→q)↔r⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧(q∨┐q))∨(q∧r∧(p∨┐p))⇔(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)∨(q∧r∧p)∨(q∧r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7(2) 求主合取范式在例2.8中, 已求出(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r), 因此,(p→q)↔r⇔(p∨r)∧(┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨(q∧┐q))∧(┐q∨r∨(p∧┐p))∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨r∨q)∧(p∨r∨┐q)∧(┐q∨r∨p)∧(┐q∨r∨┐p)∧(┐p∨q∨┐r)⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M64.主析取范式和主合取范式与真值表的一一对应关系例2.10: 给出合式公式: (p→q)↔r.它的真值表见下图.p q r p→q (p→q)↔r0 0 0 1 00 0 1 1 10 1 0 1 00 1 1 1 11 0 0 0 11 0 1 0 01 1 0 1 01 1 1 1 1主析取范式:(p→q)↔r⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r) ⇔m1∨m3∨m4∨m7主合取范式(p→q)↔r⇔(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(┐p∨q∨┐r)∧(┐p∨┐q∨r) ⇔M0∧M2∧M5∧M6*从主析取范式求主合取范式(或从主合取范式求主析取范式)*判断公式的类型:重言式或矛盾式的主析取范式和主合取范式是什么样的?设公式A中含n个命题变项, 容易看出:(1)A为重言式当且仅当A的主析取范式含全部2n个极小项.(2)A为矛盾式当且仅当A的主析取范式不含任何极小项,此时, 记A的主析取范式为0.(3)A为可满足式当且仅当A的主析取范式至少含一个极小项.例2.11: 用公式的主析取范式判断下列公式的类型.(1) ┐(p→q)∧q(2) p→(p∨q)(3) (p∨q)→r解: 公式(1), (2)只含两个命题变项, 而(3)中含3个命题变项.(1) ┐(p→q)∧q⇔┐(┐p∨q)∧q⇔(┐┐p∧┐q)∧q⇔p∧┐q∧q⇔0, 故(1)式是矛盾式.*矛盾式的主析取范式与主合取范式(2) p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔(┐p∧(q∨┐q))∨(p∧(q∨┐q))∨(q∧(p∨┐p))⇔(┐p∧q)∨(┐p∧┐q)∨(p∧q)∨(p∧┐q)∨(q∧p)∨(q∧┐p)⇔(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(p∧┐q)∨(p∧q)⇔m0∨m1∨m2∨m3故(2)式是重言式.也可以按如下方式:p→(p∨q)⇔┐p∨(p∨q)⇔┐p∨p∨q⇔1∨q⇔1⇔m0∨m1∨m2∨m3*重言式的主析取范式与主合取范式.(3) (p∨q)→r⇔┐(p∨q)∨r⇔(┐p∧┐q)∨r⇔(┐p∧┐q∧(r∨┐r))∨(r∧(p∨┐p))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(r∧p)∨(r∧┐p)⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧(q∨┐q))∨(┐p∧r∧(q∨┐q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧┐q∧┐r)∨(p∧r∧q)∨(p∧r∧┐q)∨(┐p∧r∧q)∨(┐p∧r∧┐q)⇔(┐p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q ∧r)∨(p∧q∧r)⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7故(3)式是可满足式.*判定两个合式公式是否等值.两个合式公式等值当且仅当它们有相同的主析取范式(主合取范式).例2.12: 某科研所要从3名科研骨干A, B, C中挑选1至2名出国进修. 由于工作需要, 选派时要满足以下条件:(1)若A去, 则C同去.(2)若B去, 则C不能去.(3)若C不去, 则A或B可以去.问所里有哪些选派方案?解: 设p: 派A去; q: 派B去; r: 派C去.由已知条件可得公式: (p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))该公式的成真赋值即为可行的选派方案. 经演算得到(p→r)∧(q→┐r)∧(┐r→(p∨q))⇔(┐p∧┐q∧r)∨(┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)⇔m1∨m2∨m5故有三种选派方案:(1)C去, A和B都不去; (2) B去, A和C都不去;(3) A和C同去, B不去.作业:1.用等值演算求下列公式的主析取范式, 并求成真赋值.(1) (┐p→q)→(┐q∨p)(2) (┐p→q)∧(q∧r)(3) (p∨(q∧r))→(p∨q∨r)2.用等值演算求下列公式的主合取范式, 并求成假赋值.(1) (p→(p∨q))∨r(2) ┐(q→┐p)∧┐p3.求下列公式的主析取范式, 再用主析取范式求主合取范式.(1) (p→q)∧(q→r)4.用真值表求下列公式的主析取范式与主合取范式.(1) (p q)→r(2) ┐(q→┐p)∧┐p。
析取范式与合取范式
析取范式与合取范式析取范式与合取范式合同协议书合同基本信息合同名称：析取范式与合取范式合同协议书合同编号：____________________________签署日期：____________________________合同生效日期：____________________________合同标的：析取范式与合取范式应用及其相关服务合同方信息合同方甲（服务提供方）：名称：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________合同方乙（服务接受方）：姓名：____________________________地址：____________________________联系电话：____________________________电子邮箱：____________________________服务内容服务项目1：析取范式的理论讲解与应用服务项目2：合取范式的理论讲解与应用服务项目3：相关案例分析与实际应用服务项目4：提供相关资料及文献支持服务标准服务标准1：服务内容应涵盖析取范式与合取范式的基本概念、计算方法及应用实例。
服务标准2：提供的材料应为最新的研究成果及学术资料，确保准确性与前瞻性。
服务标准3：服务应包括理论讲解、问题解答及案例分析，确保服务效果。
服务时间与地点服务开始日期：____________________________服务结束日期：____________________________服务地点：____________________________服务时间安排：____________________________费用及支付方式服务费用总额：____________________________费用明细：明细1：____________________________明细2：____________________________支付方式：____________________________支付时间安排：____________________________第一次支付：____________________________第二次支付：____________________________双方责任合同方甲（服务提供方）负责按合同约定提供服务，确保服务质量，并在规定时间内完成服务内容。
简单析取式和简单合取式
┐((┐p∧┐q)∨r)∨p ((┐┐p∨┐┐q)∧┐r)∨p ((p∨q)∧┐r)∨p
p∨(q∧┐r)
(交换律和吸收律)
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范 式 ---- 主范式
主析取范式概念
求主析取范式 主合取范式概念 求主合取范式
范 式 ---- 主析取范式
定义 形如A＝A1∨A2∨……∨An
范 式 ---- 对
偶 式
定理1.2 设A与A*互为对偶式，p,q,r是出现在A 和A*中的全部的命题变项，若将A和A*写成函 数形式:
┐A(p,q,r)┐p∨(q∧┐r)A*(┐p,┐q,┐r) A*(┐p,┐q,┐r)┐p∧(q∨┐r)┐A*(p,q,r)
对偶原理
设A,B为命题公式，若AB,则A*B*， 其中A*，B*分别为A,B的对偶式。
范 式
对偶式 简单析取式和简单合取式 析取范式和合取范式 主范式
01计机 08号 陈燕丽
范 式 ---- 对偶 式 Nhomakorabea定义： 在仅含有联结词┐，∨，∧的命题公式A中，将∨换成 ∧， ∧换成∨，若A中含0或1，就将0换成1,1换成0， 所得命题公式称为A的对偶式，记作A*。
如：┐p∨(q∧r)与┐p∧(q∨r) （P∨q)∨0与（P∧q) ∧1 互为对偶式
范 式 ---- 析取范式和合取范式
范式存在定理 任一命题公式都存在着与之等值 的析取范式和合取范式
例 求命题公式((p∨q)→r)→q的范 式 解： 化简 原式(┐(p∨q)∨r)→q)
(消去第一个→)
┐(┐(p∨q)∨r)∨p
(消去第一个→)
求合取范式 ((p∨q)∧┐r)∨p (p∨q∨p)∧(┐r∨p) 求析取范式 (p∨q)∧(┐r∨p) ((p ∨q)∧┐r)∨p) (交换律和等幂律 (p∧┐r)∨(q∧┐r)∨p
析取范式与合取范式
不相同。极小项和它的成真赋值构成了一一对应的关系。 可用成真赋值为极小项进行编码，并把编码作为m的下标来 表示该极小项，叫做该极小项的名称。 两个命题变元的极小项、成真赋值和名称如表1-7.2所示。 三个命题变元的极小项，成真赋值和名称如表1-7.3所示。 从表1-7.2和表1-7.3中可以看出，极小项与其成真赋值的 对应关系为：变元对应1，而变元的否定对应0。
从表1-7.5和表1-7.6中可以看出，极大项与成假赋值的对应 关系为：变元对应0，而变元的否定对应1。
极大项的性质
极大项 p∨q p∨¬q ¬p∨q ¬p∨¬q
极大项 p∨q∨r p∨q∨¬r p∨¬q∨r p∨¬q∨¬r ¬p∨q∨r p∨q∨¬r ¬p∨¬q∨r ¬p∨¬q∨¬r
表1-7.5
主析取和主合取范式的关系
在前面例中，求出(p→q)→r的主析取范式为： m7∨m5∨m4∨m3∨m1⇔∑1，3，4，5，7
求出该公式的主合取范式为： M0∧M2∧M6⇔∏0，2，6
¾ 比较这两个结果，得出以下的结论：同一公式的主析取 范式中m的下标和主合取范式中M的下标是互补的。因 此，知道了主析(合)取范式就可以写出主合(析)取范 式。
i=0
主析取范式
定义1-7.7 对于给定的命题公式，如果有一个它的 等价公式，仅由极小项的析取组成，称该公式 为原公式的主析取范式。
¾ 任何命题公式都存在着与之等价的主析取范 式。
主析取范式
一个命题公式的主析取范式可以由以下两种方法求得： ⑴ 等价演算法：即用基本等价公式推出。
用等价演算法求主析取范式的步骤如下： ① 化归为析取范式。 ② 除去析取范式中所有永假的基本积。 ③ 在基本积中，将重复出现的合取项和相同变元合并。 ④ 在基本积中补入没有出现的命题变元，即添加
主析取范式和主合取范式
主析取范式和主合取范式一、主析取范式1. 定义主析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为合取范式。
它是由若干个子句组成的析取式，每个子句都是由若干个原子命题或其否定组成的合取式。
2. 构造方法主析取范式的构造方法有两种：（1）真值表法：将所有可能的输入情况列出来，并计算出每种情况下逻辑表达式的输出结果。
然后将输出结果为真的输入情况所对应的项相加，得到主析取范式。
（2）化简法：通过化简逻辑表达式，将其转换为主析取范式。
化简法有多种方法，如代数运算法、Karnaugh图法等。
3. 举例说明以逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)为例，构造其主析取范式：（1）真值表法：| A | B | C | (A∨B)∧(¬A∨C) ||:-:|:-:|:-:|:------------:|| 0 | 0 | 0 | 0 || 0 | 0 | 1 | 1 || 0 | 1 | 0 | 1 || 0 | 1 | 1 | 1 || 1 | 0 | 0 | 0 || 1 | 0 | 1 | 1 || 1 | 1 | 0 | 0 || 1 | 1 | 1 | 1 |由上表可知，逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)的主析取范式为(A∧¬B∧C)∨(¬A∧B∧C)∨(¬A∧B∧¬C)。
（2）化简法：将逻辑表达式(A∨B)∧(¬A∨C)转换为主析取范式：(A∨B)∧(¬A∨C)= (A∧¬A) ∨ (B ∧ ¬A) ∨ (A ∧ C) ∨ (B ∧ C)= (A ∧ C) ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ ¬A)= (A ∧ ¬B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ C) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C)二、主合取范式1. 定义主合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是布尔代数中的一种标准形式，也称为析取范式。
析取范式和合取范式
析取范式和合取范式
析取范式和合取范式是两种逻辑式的最简形式。
析取范式指的是多个逻辑式之间通过“或”进行连接，其中每个逻辑式由多个命题变量和它们的否定组成，每个逻辑式中命题变量的取值都相同。
合取范式指的是多个逻辑式之间通过“与”进行连接，其中每个逻辑式由多个命题变量和它们的否定组成，每个逻辑式中命题变量的取值都相反。
简单来说，析取范式表示为多个式子的“或”逻辑关系，每个式子由多个变量“与”它的否定组成；合取范式表示为多个式子的“与”逻辑关系，每个式子由多个变量“或”它的否定组成。
例如，下面的式子分别是一个命题变量的析取范式和合取范式：
析取范式：(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
合取范式：(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q)。
(方案)2.2 析取范式与合取范式.ppt.ppt
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2 、范式的性质
定理2.2 （1）一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单 合取式都是矛盾式. （2）一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单 析取式都是重言式.
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定理2.3 （范式存在定理）任一命题公式都存在 着与之等值的析取范式与合取范式。
证明: (1) 由蕴涵等值式与等价等值式可知
是在利用分配律时有所不同。因而可以用（1）中前 四步的结果，接着进行∧对∨分配律演算。
(p→q) r
((p∧┐q)∨r)∧(┐p∨q∨┐r)
(p∧┐q∧┐p)∨(p∧┐q∧q)∨(p∧┐q∧┐r)
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r)
(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
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利用∨ 对∧的分配律求合取范式。
注意
为了清晰和无误，演算中利用交换律，使得
每个简单析取式或合取式中命题变项的出现都是
按字典顺序，这对下文中求主范式更为重要.
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例2.7 求公式 (p→q) ↔ r 的析取范式与合取范式： 解：（1）先求合取范式
(p→q) r (┐p∨q) r
（消去→）
式.
注意
① 一个文字既是简单析取式，又是简单合取式.
② 为方便起见，有时用 A1, A2 , As 表示 s 个简单 析取式或 s 个简单合取式.
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定理2.1 （1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式; （2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含
有某个命题变项及它的否定式。
第二章 命题逻辑等值运算
第1节 等值式 第2节 析取范式与合取范式 第3节 联结词的完备集
析取范式与合取范式
▪ 析取范式与合取范式 ▪ 主析取范式与主合取范式
1
析取范式与合取范式
文字:命题变项及其否定的总称 简单析取式:有限个文字构成的析取式 如 p, q, pq, pqr, … 简单合取式:有限个文字构成的合取式 如 p, q, pq, pqr, … 析取范式:由有限个简单合取式组成的析取式
A (pq)((qr)(qr))(su)(u(pq))
((rs)(rs))
（交换律)
B1= (pq)((qr)(qr)) ((pqr)(pqr)(qr)) （分配律）
28
例 (续)
B2= (su)(u(pq)) ((su)(pqs)(pqu))
（分配律）
B1B2 (pqrsu)(pqrsu) (qrsu)(pqrs)(pqru)
说明： 由公式A的主析取范式确定它的主合取范式，反之亦然. 用公式A的真值表求A的主范式.
24
主范式的用途(续)
例 某公司要从赵、钱、孙、李、周五名新毕 业的大学生中选派一些人出国学习. 选派必须 满足以下条件：
(1)若赵去，钱也去； (2)李、周两人中至少有一人去； (3)钱、孙两人中有一人去且仅去一人； (4)孙、李两人同去或同不去； (5)若周去，则赵、钱也去. 试用主析取范式法分析该公司如何选派他们出 国？
21
主范式的用途——与真值表相同
(1) 求公式的成真赋值和成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7， 其成真赋值为001, 011, 101, 110, 111， 其余的赋值 000, 010, 100为成假赋值. 类似地，由主合取范式也可立即求出成 假赋值和成真赋值.
22
主范式的用途(续)
A
M
j1
主析取范式与主合取范式
第四节 主析取范式与主合取范式n 个命题变项虽然可以构成无穷多个形式各异的命题公式，但就其真值而言，只有22n种。
对应每种真值情况虽然又有无穷多个等值的公式，但这些公式却有相同的标准形式。
本节将给出规范公式的概念，这种规范的公式能表达真值表所能给出的一切信息。
定义4.1 命题变项及其否定统称为文字。
如p ，q ，¬p ，¬q ，L 都是文字，即每个命题变项产生两个文字。
（1）仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式。
（2）仅由有限个文字构成的析取式称为简单析取式。
例如，p ∧q ，p ∧¬q ∧r ，L 都是简单合取式。
p ∨q ， ¬p ∨q ∨r ，L 都是简单析取式。
单个文字既是简单析取式，又是简单合取式。
定义4.2 （1）仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式； （2）仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取式。
例如，p ，¬q ，p ∧q ，（p ∧¬q ）∨（p ∧q ），L 都是析取范式。
p ，¬r ，p ∨q ，（p ∨q ）∧（q ∨¬r ），L 都是合取范式。
注意，两个文字构成的简单合取式与析取式都既是析取范式又是合取范式。
例如，p ∨q 是析取范式，它是由两个简单的合取式p 与q 析取而成。
同时它也是合取范式，看成是一个简单析取式构成的合取范式。
定义 4.3 （1）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单合取式中，若每个i p （1,2,,i n =L ）都以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极小项。
（2）n 个命题变项1p ，2p ，L ，n p （1n ≥）构成的简单析取式中，若每个ip （1,2,,i n =L ）以文字的形式出现一次且仅出现一次，而且出现在左起的第i 位上，则称它为极大项。
两个命题变项p ，q 共可形成4个极小项：¬p ∧¬q ，¬p ∧q ，p ∧¬q ，p ∧q 。
主析取范式与主合取范式
主析取范式与主合取范式主析取范式（Disjunctive Normal Form，DNF）和主合取范式（Conjunctive Normal Form，CNF）是逻辑学中重要的概念。
它们分别是由逻辑表达式经过一定的变换步骤后得到的一种标准形式。
本文将对主析取范式和主合取范式作详细介绍。
一、主析取范式主析取范式是一种逻辑表达式的标准形式，它是由若干个子句的析取构成的，每个子句是由若干个变量或其取反构成的合取式。
例如，下面是一个主析取范式的例子：(A∧B)∨(¬A∧C)∨(D∧¬E)上述例子中，共有三个子句，分别为(A∧B)、(¬A∧C)和(D∧¬E)。
子句中的变量可以赋值为真或假，如果存在一种赋值方式能够使整个逻辑表达式为真，则该赋值方式称为逻辑表达式的一个“满足赋值”。
主析取范式转换的主要步骤为：1.将逻辑表达式中所有的非NOT符号移到变量上方，例如(¬A∨B)变为(A→B)。
2.使用分配律和德摩根定律将所有合取和析取符号进行展开，直到无法再展开为止。
3.将所有变量用圆括号括起来，形成若干个子句；将子句用符号“∨”连接起来，就得到了主析取范式。
主析取范式与主合取范式都是逻辑表达式的标准形式，它们的形式是相近的，只是子句之间的联结符不同。
主析取范式和主合取范式是等价的，即一个逻辑表达式可以通过主析取范式或主合取范式来表示。
但是，在实际运用中，它们各有优点。
主析取范式适合用于实现由逻辑表达式到电路的转换，因为在电路中结构比较简单的是或门（OR），而每一个子句都可以看作是或门的输入。
总之，主析取范式和主合取范式是逻辑学中非常重要的概念，它们不仅有助于对逻辑表达式进行化简与转换，还能在逻辑设计中起到重要的作用。
因此，在逻辑设计与应用过程中，需要灵活掌握主析取范式和主合取范式的使用方法，以便更好地解决实际问题。
合取范式和析取范式的转换
合取范式和析取范式的转换合取范式和析取范式的转换，听起来就像是高深莫测的数学魔法，但它们就像两位性格迥异的朋友，平时不太打交道，偶尔一见面却能碰撞出火花。
想象一下，合取范式就像那位讲究的朋友，永远追求完美，认为“这件事必须是这样那样才行”；而析取范式则是个随性派，觉得“无论怎样都行，反正大家开心就好”。
合取范式喜欢把所有条件都放在一起，一定得同时满足；而析取范式则偏爱选择，只要有一个条件成立，事情就能顺利进行。
你可能会问，这两个家伙到底有什么关系呢？其实它们都在逻辑的世界里扮演着重要角色。
合取范式通常用在需要严谨推理的场合，想要得出一个肯定的结论，所有的条件都得齐心协力。
而析取范式则像是在大街上招手的朋友，随时欢迎任何的选择。
每当我想起它们之间的转换，心里总有种神奇的感觉，仿佛看到魔法师在变戏法，咔嚓一声就把一个东西变成另一个，瞬间让人目瞪口呆。
具体来说，合取范式就像一碗丰盛的杂烩，里面有鱼有肉有菜，想要吃到这碗杂烩，所有的材料都得到位。
而析取范式就像是一道大拼盘，哪怕只是拼上一块儿肉或者几片菜，就能让人满心欢喜。
转换的时候，我们需要把合取的那份严谨换成析取的灵活，这时候就得用到德摩根定律，那可是个神奇的法则，听起来像是数学界的“开挂”技能。
它能帮你把合取的“与”变成析取的“或”，真是让人眼前一亮。
举个例子，假如我们有一个合取的条件“A且B”，那么它的析取形式可能就是“非A 或非B”。
乍一看，似乎很复杂，其实就是在说，只要有一个条件不成立，整个事情就不行了。
这就像是约朋友吃饭，你说：“要么我们一起去，要么不去”，其实就能反映出你内心的小纠结。
想想看，如果A和B都是你特别想去的地方，那你一定希望能同时实现，但如果有一个地方不能去，那你就得考虑其他选项，毕竟总得有个办法让自己不失落。
说到这里，合取和析取的转换也不禁让我想起了生活中的选择。
有时候我们在面对决定的时候，也会陷入“要么这样，要么那样”的思考模式。
第二章析取范式与合取范式
∨(r∧┐p)∨(r∧q)∨(r∧┐r) (p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧r)∨(q∧r)
（∨对∧分配律）
7. 极小项与极大项的定义
极小项：在含有n个命题变项的简单合取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单合取式为极小 项。 例：p ∧ r ∧ q; p ∧ ┐ p ∧ r; p ∧ ┐ q ∧ p; p ∧ q ∧ r; p ∧ ┐q ∧ r; ┐ p ∧ ┐q ∧ ┐ r 思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极小项? (2)每个极小项有多少个成真赋值? 一个 2n
规定:成真赋值所对应的二进制数转换为十进制数i，就将所对应 极小项记作mi
7. 极小项与极大项的定义
极大项：在含有n个命题变项的简单析取式中，若每个命题变项 和它的否定式不同时出现，而二者之一必出现且仅出现一次，且 第i个命题变项或它的否定式出现在从左算起的第i位上（若命题 变项无角标，就按字典顺序排列），称这样的简单析取式为极大 项。 例：p ∨ r ∨ q; p ∨ ┐ p ∨ r; p ∨ ┐ q ∨ p; p ∨ q ∨ r; p ∨ ┐q ∨ r; ┐ p ∨ ┐q ∨ ┐ r 思考: (1) n个命题变项共可产生多少个不同的极大项? (2)每个极大项有多少个成假赋值? 一个 2n
1
( p →q) (q r)
0 0 0 1 0 0 0 1
1 1
1 0
练习: 求 ( p →q) (q r) 的主析取范式 求合取范式：
( p →q) (q r)
(p q) (q r)
(p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) M0 M1 M4 M5 M 2 M6 因此主析取范式为： m3 m7
离散数学主析取范式主合取范式
离散数学主析取范式主合取范式主析取范式和主合取范式是离散数学中逻辑表达式的两种常见形式。
它们在逻辑推理、计算机科学和人工智能等领域具有重要的应用价值。
本文将介绍主析取范式和主合取范式的概念、特性以及如何通过布尔运算将任意逻辑表达式转化为主析取范式或主合取范式。
一、主析取范式（DNF）主析取范式是一个逻辑表达式的标准形式，它由多个子句的析取组成。
每个子句由多个文字的合取构成。
主析取范式的最简形式是由至少一个子句组成的合取。
例如，逻辑表达式(A ∧ B) ∨ (C ∧ D ∧ E)就是一个主析取范式。
其中，(A ∧ B) 和 (C ∧ D ∧ E) 是两个子句，分别由 A、B 和 C、D、E 构成。
主析取范式的特性：1. 每个子句中的文字可以是变量或其否定形式。
2. 主析取范式中的每个文字都是变量的析取或否定析取。
3. 主析取范式可以使用布尔运算来简化和优化。
如何得到主析取范式？可以通过真值表法或布尔代数的演算法来将任意逻辑表达式转化为主析取范式。
方法如下：2. 找到真值表中使得逻辑表达式为真的行。
3. 对每一行，在真值为真的列上取出对应的文字，并将它们合取起来构成一个子句。
4. 将所有子句析取起来得到主析取范式。
二、主合取范式（CNF）主合取范式是一个逻辑表达式的标准形式，它由多个子句的合取组成。
每个子句由多个文字的析取构成。
主合取范式的最简形式是由至少一个子句组成的析取。
例如，逻辑表达式(A ∨ B) ∧ (C ∨ D ∨ E)就是一个主合取范式。
其中，(A ∨ B) 和 (C ∨ D ∨ E) 是两个子句，分别由 A、B 和 C、D、E 构成。
主合取范式的特性：1. 每个子句中的文字可以是变量或其否定形式。
2. 主合取范式中的每个文字都是变量的合取或否定合取。
3. 主合取范式可以使用布尔运算来简化和优化。
如何得到主合取范式？可以通过真值表法或布尔代数的演算法来将任意逻辑表达式转化为主合取范式。
合取范式与析取范式
合取范式与析取范式
我们知道在离散数学中，有主合取范式与主析取范式的概念。
本文分享什么是主合取范式与主析取范式，以及如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。
首先，我们需要了解一下数学概念。
简而言之，
主合取范式，就是若干个极大项的合取（交集）。
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
主析取范式，就是若干个极小项的析取（并集）。
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
而所谓的极大项，就是包含全部数目的命题变元的析取表达式
比如：
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
所谓的极小项，就是涵盖全部数目的命题变元的谓词表达式
例如：
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面言归正传，我们看如何按步骤求解命题公式的主合取范式与主析取范式。
常用的方法存有两种，等值演算法和真值表法
等值演算法，就是按照步骤推导公式，最终得到主合取范式或者主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
下面，我们来举个例子，求出命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤谋命题公式的主合取范式与主析取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
最后，我们看看如何采用真值表方法，谋命题公式的主合取范式与主析取范式。
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式
我们来看这样一个具体内容例子。
根据真值表，我们取值为0的指派，得到最大项从而写下最小项的谓词，获得主合取范式
如何按步骤求命题公式的主合取范式与主析取范式。
主析取范式和主合取范式的关系
主析取范式和主合取范式的关系
主析取范式和主合取范式是求出布尔代数表达式的两种常见方式，它们拥有一定的内在联系，也可以互相转换。
在了解二者关系之前，我们先简单介绍一下主析取范式和主合取范式的概念。
主析取范式：将一个布尔代数表达式拆分成多个项（每个项包含有布尔变量及其取反形式），并用“或”连接。
从定义上可以看出，主析取范式和主合取范式都是针对布尔代数表达式，而分别使用“或”和“与”连接各个项，这也是它们存在联系的重要原因。
具体来说，主析取范式和主合取范式可以互相转换，这是因为它们本质上表示同一个逻辑意义，只是用不同的逻辑运算符来表达。
具体的转换方法可以通过以下步骤实现：
1. 首先需要将原始布尔代数表达式转化为其对偶形式（即对所有变量取反）。
这一步的目的是使后续处理更加方便，因为对于布尔代数表达式和其对偶形式，主析取范式和主合取范式是等价的。
2. 接着针对对偶形式的布尔代数表达式，先求出它的主析取范式，然后再对这个主析取范式进行求反（即将所有项中的“或”替换为“与”，所有变量取反），得到主合取范式。
综上所述，主析取范式和主合取范式是求解布尔代数表达式的两个重要方法，它们可以互相转换，并且对于一些逻辑设计和开发的问题，往往能够提供较为便利的解决方案。
简单析取式和简单合取式
范 式 ---- 对 偶 式
定义：
在仅含有联结词┐，∨，∧的命题公式A中，将∨换成∧， ∧换 成∨，若A中含0或1，就将0换成1,1换成0，所得命题公式 称为A的对偶式，记作A*。
如：┐p∨(q∧r)与┐p∧(q∨r) （P∨q)∨0与（P∧q) ∧1 互为对偶式
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范 式 ---- 对 偶 式
Ï析取范式是矛盾式，当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 Ï合取范式是重言式，当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
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范 式 ---- 析取范式和合取范式
范式存在定理 任一命题公式都存在着与之等值 的析取范式和合取范式
例 求命题公式((p∨q)→r)→q的范 式 解：
化简 原式(┐(p∨q)∨r)→q)
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上页
范 式 ---- 析取式和合取式
定义：仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式称
为简单析取式。
例如 ：给定命题变项p,q,则 p, q, ┐p, ┐q, p∨q, p∨┐q, ┐p∨q, ┐p∨┐q
都是简单析取式
Ï一个简单析取式是重言式，Í p∨┐p∨q是重言式 当且仅当它同时含一个命 题变项及其否定。
极小项 在n个变元的简单合 取式中，若每个变元与其否 定不同时存在，而二者之一 必出现且仅出现一次，这种 合取式叫做极小项
p∧┐q∧r
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N个变元可构成2n 个极小项
p
q
r
记 作
0 0 0 m0
0 0 1 m1
0 1 0 m2
0 1 1 m3
1 0 0 m4
1 0 1 m5
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1
析取范式与合取范式
这是命题公式的两种特殊的简明形式。
一个重要的结论是，任何命题公式都可以等价地转化为这两种形式。
我们将学习这种转化方法及其应用。
1. 析取范式
定义1.1 命题变元及其否定统称为文字（literal ）。
由有限个文字组成的合取式称为简单合取式。
由有限个简单合取式组成的析取式称为析取范式（disjunction normal form ），简称DNF 。
例1.2 求下列公式的析取范式。
(1) ()(2) () ()p q p
p q p q →∧⌝∨∧⌝∧
方法小结：
（1） 将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2） 用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重
否定词。
（3） 用分配律将析取联结词移到括号之外。
（4） 最后化简，即消除简单合取式中重复出现的变元（用幂等律、矛盾
律、零律）
练习1.3
定理1.4 任何命题公式都有等值的析取范式。
2. 合取范式
定义2.1由有限个文字组成的析取式称为简单析取式，也称为子句（clause ）。
由有限个简单析取式组成的合取式称为合取范式（conjunction normal form ），简称CNF 。
例2.2 求下列公式的合取范式。
(1) ()(2) () ()p q p
p q p q ⌝→∨∧∨⌝∨
方法小结：
（1）将蕴含联结词→与等价联结词↔都转化为析取与合取联结词。
（2）用德摩根律将所有否定词转移到括号内，并用双重否定律消除双重否定词。
（3）用分配律将合取联结词移到括号之外。
（4）最后化简，即消除简单析取式中重复出现的变元（用幂等律、排中律、同一律）
练习2.3
定理2.4 任何命题公式都有等值的合取范式。
3.极小项
为了进一步规范析取范式与合取范式，我们引入极小项与极大项这一对概念。
符号的次序：在符号表中，符号是有先后次序的。
在一个命题逻辑语言中，所有的命题变元来自于一个符号表，称为命题变元符号表。
我们约定：命题公式中所使用的英文字母在命题变元符号表中的次序与其在英文字母表中的次序相同。
也可以用标识符作命题变元，标识符在符号表中的次序为字典序。
定义1.1满足下述两个条件的简单合取式称为极小项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。
含n 个变元的极小项称为n元极小项。
例如，等等都是极小项。
等等都不是极小项。
提问：由n个不同变元组成的n元极小项共有多少个？
回答：共有2n个。
一个极小项有n个变元，每个变元前面可以有否定词也可以没有，所以共有2n个组合。
例如，p, q两个变元可以组成的极小项如下：
⌝∧⌝⌝∧∧⌝∧
p q p q p q p q
,,,
极小项的名称：极小项的成真赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。
若该二进制数所对应的十进制是i，则该极小项记为m i。
例如，上述4个极小项分别记为m0, m1, m2, m3。
三元极小项的例子见课本第25页表2.4左列。
2
3
4. 极大项
定义4.1满足下述两个条件的简单析取式称为极大项：（1）每个变元仅出现一次，（2）变元出现的先后次序与它们在符号表中的先后次序相同。
含n 个变元的极大项称为n 元极大项。
易知，由n 个不同变元组成的n 元极大项共有2n 个。
例如，p , q 两个变元可以组成的极大项如下：
, , , p q p q p q p q ∨∨⌝⌝∨⌝∨⌝
极大项的名称：极大项的成假赋值是唯一的，并对应着一个唯一的二进制数。
若该二进制数所对应的十进制是i ，则该极大项记为M i 。
例如，上述4个极大项分别记为M 0, M 1, M 2, M 3。
三元极大项的例子见课本第25页表2.4右列。
极大项与极小项之间的对称关系：极大项可视为极小项的逆。
例如，00M m ≡⌝,即
() p q p q ∨≡⌝⌝∧⌝
一般地我们有
定理4.2 由n 个变元组成的极大项与极小项之间存在如下对称关系，即对于任何0≤i <2n ， i i M m ≡⌝
5. 主析取范式与主合取范式
定义 5.1 由有限个极小项组成的析取式称为主析取范式。
由有限个极大项组成的合取式称为主合取范式。
此外规定，永假式的主析取范式为0，永真式的主合取范式为1。
定理 5.2 任何命题公式都存在唯一的与之等值的主析取范式与主合取范式。
命题公式的等价划分：将所有含有某n 个不同变元的命题公式，按照等值关系划分为若干分类，即将其中相互等值的所有命题公式归为一个分类。
根据定理5.2，在每一个分类中都有唯一的主析取范式与唯一的主合取范式。
例5.3 用极小项和极大项的记号重新表示例1.4的主析取范式与主合取范式。
4
练习5.4 课本第38页习题5，6。
6. 一个重要定理
定理6.1 设命题公式A 有n 个变元，则下列结论成立：
1） （互补性）A 与A ⌝二者的主析取范式中不存在相同的极小项，并且
二者的极小项总数恰好为2n 。
2） （对称性）若A ⌝的主析取范式为
12j j jr m m m ∨∨∨
则A 的主合取范式为
12j j jr M M M ∧∧∧
计算方法：A A A ←−−→⌝←−−→互补取反主析主析主合
例6.2 课本第30页例2.13。
7. 范式的应用
1） 求公式的成真赋值与成假赋值。
主析取范式，主合取范式。
2） 判断公式的类型。
重言式的主析取范式为，矛盾式的主析取范式为
0.
例7.1 课本第28页例2.10。
3） 判断两个命题公式是否等值。
根据定理，主析取范式是唯一的。
因
此，若两个公式有相同的主析取范式，则二者是等值的。
4） 用极小项表示选择方案，用主析取范式表示所有满足条件的选择方
案。
例7.2 课本第29页例2.12。