第43讲 利用空间向量求空间角和距离(讲)(解析版)

第43讲 利用空间向量求空间角和距离

思维导图

知识梳理

1．异面直线所成角

设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b |

|a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量．

2．直线与平面所成角

如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n |

|a ||n |

3．二面角

(1)若AB ，CD 分别是二面角α­l ­β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→

的夹角，如图(1)．

(2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α ­l ­β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝

|n 1·n 2|

|n 1||n 2|

，如图(2)(3)． 4．利用空间向量求距离 (1)两点间的距离

设点A (x 1，y 1，z 1)，点B (x 2，y 2，z 2)，则|AB |＝|AB ―→

|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. (2)点到平面的距离

如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为|BO ―→|＝|AB ―→

·n |

|n |

.

题型归纳

题型1 异面直线所成的角

【例1-1】（2020•济南模拟）已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，1

2

AB AD BC ==

，将直角梯形ABCD （及其内部）以AB 所在直线为轴顺时针旋转90︒，形成如图所示的几何体，其中M 为CE 的中点． （1）求证：BM DF ⊥；

（2）求异面直线BM 与EF 所成角的大小．

【分析】（1）建立空间坐标系，得出BM ，DF 的坐标，根据向量的数量积为0得出直线垂直； （2）计算BM 和EF 的夹角，从而得出异面直线所成角的大小． 【解答】（1）证明：

AB BC ⊥，AB BE ⊥，BC

BE B =，

AB ∴⊥平面BCE ，

以B 为原点，以BE ，BC ，BA 为坐标轴建立空间坐标系B xyz -，如图所示：

设1AB AD ==，则(0D ，1，1)，(1F ，0，1)，(0B ，0，0)，M 0)，

∴(2BM =，0)，(1DF =，1-，0)，

∴200BM DF =-=，

BM DF ∴⊥．

（2）解：(2E ，0，0)，故(1EF =-，0，1)，

cos BM ∴<，1

2||||2BM EF EF BM EF >=

==-⨯，

∴设异面直线BM 与EF 所成角为θ，则cos |cos BM θ=<，1

|

2

EF >=， 故3

π

θ=

．

【例1-2】（2020•北京模拟）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点．

（Ⅰ）求证：PD BQ ⊥；

（Ⅰ）求异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值．

【分析】()I 建立空间直角坐标系，只要证明0PD BQ =，即可证明结论． （Ⅰ）(1CP =-，1-，2)，利用向量夹角公式即可得出．

【解答】()I 证明：如图所示，(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0P ，0，2)，(0D ，2，0)，(0Q ，1，1)，(1C ，1，0)，

(0PD =，2，2)-，(1BQ =-，1，1)，

由220PD BQ =-=，

∴PD BQ ⊥，

PD BQ ∴⊥；

（Ⅰ）解：(1CP =-，1-，2)，

cos CP <，

BQ =

．

∴异面直线PC 与BQ 所成角的余弦值为

3

．

【跟踪训练1-1】（2020•运城三模）如图，四边形ABCD 为平行四边形，且2AB AD BD ===，点E ，F 为

平面ABCD 外两点，//EF AC 且2EF AE ==EAD EAB ∠=∠． （1）证明：BD CF ⊥；

（2）若60EAC ∠=︒，求异面直线AE 与DF 所成角的余弦值．

【分析】（1）设BD 与AC 相交于点G ，连接EG ，从而BD AC ⊥，推导出EAD EAB ∆≅∆，从而BD ⊥平面ACFE ，由此能证明BD CF ⊥．

（2）过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点，分别以GA ，GB ，GM 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -，利用向量法能求出异面直线AE 与DF 所成角的余弦值． 【解答】解：（1）证明：设BD 与AC 相交于点G ，连接EG ， 由题意可得四边形ABCD 为菱形， 所以BD AC ⊥，DG GB =，

在EAD ∆和EAB ∆中，AD AB =，AE AE =，EAD EAB ∠=∠， 所以EAD EAB ∆≅∆，

所以ED EB =，所以BD EG ⊥， 因为AC

EG G =，所以BD ⊥平面ACFE ，

因为CF ⊂平面ACFE ，所以BD CF ⊥．

（2）解：如图，在平面AEFC 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点， 由（1）可知，平面ACFE ⊥平面ABCD ，

所以MG ⊥平面ABCD ，故直线GM ，GA ，GB 两两互相垂直， 分别以GA ，GB ，GM 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系G xyz -， 因为60EAC ∠=︒，

则A ，(0D ，1-，0)

，3)2E

，3

()2

F ，

所以3()2

AE =-

，3

()2

DF =， 异面直线AE 与DF 所成角的余弦值为：

99

|

0|

||4

4|cos ,|

||||310

AE DF AE DF AE DF ++<>===

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用向量法求异面直线所成角的一般步骤