取整函数.doc

.一、取整函数的性质

⑴函数 y=[x] 的定义域为 R，值域 Z；

⑵若 n ∈Z，当 n ≤x

⑶当 x 1

⑷x-1<[x] ≤x<[x]+1 ；

⑸若 n ∈Z，则 [n+x]=n+[x]，由这一性质可知 f （x ）=[x] 是最小正周期为 1 的周期函数 .

二、取整函数在求值中的应用

1.求值； [log 21]+[log 2 2]+[log23]+[log24]+．．．+[log250]

解析：由取整函数的性质⑵可得,当 2 n≤x<2 n+1 (n ∈Z) 时 ,[x]=n,

所以 [log 21 ]+[log22]+[log 2 3]+[log24]+．．．+[log 2 50]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+5×(50-31)=243

2.由数 [1/100]，[4/100]，[9/100]，[16/100]．．．．．．[10000/100]〕组成集合A，求集合A中的元素的个数。

解析：设 f （n ）= n2

（n ） =

2n 1 ，则 f （n+1)-f ，100 100

当 n ≥50 时f （ n+1)-f （n ）>1

502 512

],...,[ 1002

所以 [ ],[ ]是 51 个互不相等的数

100 100 100

当 1 ≤n ≤49 时f （ n+1)-

f （n ）<1, 且 [f （ 1)]=0,[f （49 ） ]=[24.01]=24

所以 1 ≤n ≤49 时 0≤[f （ n）] ≤24 且能取到该范围内的任一个整数

所以集合 A 中的元素的个数为 51+25=76.

点评：根据取整函数定义恰当进行分类，是解决以上两题的关键.

3、求

sin1 sin 2 sin3 sin 4 sin5 的值 .

解析： sin1 、sin2 、sin 3 (0,1) ， sin4 、 sin 5 ( 1,0)

三、取整函数在函数的应用

.4 、定义 f （ x） =x-[x] ，则以下结论正确的是（）

A.f （3 ） =1.

B. 方程 f （x） =0.5 有且仅有一个实根

C.f （ x ）是周期函数

D.f （ x ）是增函数 .

解析：因为x ∈ Z 时 f （x ） =0 ，所以排除 A 、D ，又 f （0.5 ） =f （ 1.5 ） =0.5 ，排除 B.选 C.

点评：该题以取整函数为载体，综合考查函数的有关性质，试题新颖灵活.

5. 用[ x] 表示不超过x 的最大整数，如[1.8]=1 ．对于下面关于函数

f (x) ( x[ x]) 2的四个命题：

①函数

②函数y f ( x)

y f ( x)

的定义域为R，值域为

[0,1]

；

的图象关于y 轴对称；

③函数y

f ( x) 是周期函数，最小正周期为1；

④函数y

f ( x) 在

(0,1)

上是增函数．

其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）答案：③④

7.已知 f （x ）=x[x] 的定义域为 [0 ， 3] ，求 f （ x）的值域 .

解析：⑴当 0 ≤x<1 时 [x]=0,f （x ）=0;

⑵当 1 ≤x<2 时[x]=1,f （ x ）=x, 此时 1≤f （x)<2;

⑶当 2 ≤x<3 时[x]=2,f （ x ）=2x, 此时 4 ≤f （x ） <6; ⑷当 x=3 时[x]=3, 此时 f （x ）=9

.综上所述 ,f （ x ）的值域为 {y|y=0 或 1≤y<2 或 4 ≤y<6 或 y=9}.

点评：根据 n ≤x

8.设 f （ x ） =

2x - 1 ，则 [f （x ） ]+[f （ -x ） ]的值域为＿

1 2x 2

2

x

1

1

1

（1 2x ） 2x

1 1

2x

2 x

1

1

解析： f （-x ）= 1 2 x - 2 = 2 x 1 - 2 =

1 2x

- 2 = 2 - 1

2x =-f （ x ）.又 0< 1 2x

<1, 所以 -

2

当 -

1 时[f （ x ）]+[f （-x ）]=-1+0=-1.

2

当 0

综上所述 ,函数 [f （x ） ]+[f （ -x ） ]的值域为 {-1 、0}.

点评：本题以取整函数为载体

,考查函数值域的求法及函数奇偶性的判定 ,内容基础 ,考查方式灵活 .

9.对于给定的 n

N * x

n(n 1) (n [ x] 1)

[1, ) ，当 x

3 x

，定义 C n

, x

[ ,3) 时，函数 C 8 的值域是

x(x 1) ( x [ x] 1)

2

A ．[

16

,28] B. [

16 ,56) C. ( 4, 28) [28,56] D. ( 4, 16] ( 28

,28] 3 3 3 3 3

解：当

3 x 2 时， [ x] 1， C x

8 16 2 x

3 时， [ x] 2 ,

2 8 x ( 4, ] ，当

3 x

56

( 28

C 8

x( x

,28] ，于是答 D.

1)

3

10. 某学校 要召开学生代表大会，规定各班每

10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表，那么，各

班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y [ x]([ x] 表示不大于 x 的最大整数）可以表示为

（B ）

A ． y

[ x ]

B ． y [

x 3

]

C ． y [

x 4

]

D ． y [

x 5

]

10

10

10

10

11. 定义：若 [x] 表示不超过 x 的最大整数，则称函数 y=[x] 为“下取整”函数；若（ x ）表示表示不小于 x 的最小整数，则称函数 y=

（ x ）为“上取整”函数，例如 [1.5]=1 ，(―2.3)= ―2,,(2.9)=3.

试用适当的符号表示如下的函数关系式：

某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满

300 元可少付 100 元，若顾客当天在该柜台购物价值 x

元，而他实际付款是 y 元，试建立 y 关于 x 的函数关系式。

一顾客拿着某超市的足够多的面值是

20 元的抵押劵去购物，超市规定使用抵押劵时不找零，该顾客功挑选了价值为 x 元的物品，

全部用抵押劵支付，共付了

y 张，试建立 y 关于 x 的函数表达式。

解 y x 100

x , x 0 , y x , x 0 .

300 20

12. 已知函数 f (x)

mx 2 (m 3)x 1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右边 .

（ 1 ）求实数 m 的范围；