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习题解答习题一1-1 (1)│Δr|是位移的模,Δr是位矢的模的增量,即|Δr|=|r2-r1|,Δr=|r2|-|r1|;(2)是速度的模,即=|v|= .只是速度在径向上的分量.∵有r=r (式中叫做单位矢),则式中就是速度径向上的分量,∴不同如题1-1图所示.题1-1图(3) 表示加速度的模,即|a|= ,是加速度a在切向上的分量.∵有V=V 表轨道节线方向单位矢),所以式中就是加速度的切向分量.( 的运算较复杂,超出教材规定,故不予讨论)1-2 后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量,在平面直角坐标系中,有r=xi+yj,故它们的模即为而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作其二,可能是将误作速度与加速度的模。

在1-1题中已说明不是速度的模,而只是速度在径向上的分量,同样,也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中的一部分。

或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r在径向(即量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3 (1)r=(3t+5)i+( t2+3t-4)j m(2)将t=1,t=2代入上式即有r1=8i-0.5j mr2=11j+4j mΔr=r2-r1==3j+4.5j m(3)∵r0=5j-4j,r4=17i+16j∴(4)则v4=3i+7j m·s-1(5)∵v0=3i+3j,v4=3i+7j(6)这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。

题1-4图1-4 设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成θ角,由图可知l2=h2+s2将上式对时间t求导,得根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的,∴即或将v船再对t求导,即得船的加速度1-5 ∵分离变量:vdv=adx=(2+6x2)dx两边积分得由题知,x=0时,v0=10,∴c=50∴1-6 ∵分离变量,得 dv=(4+3t)dt积分,得由题知,t=0,v0=0,∴c1=0故又因为分离变量,积分得由题知t=0,x0=5,∴c2=5故所以t=10 s时1-7(1)t=2s时,aτ=Rβ=1×18×2=36 m·s-2 an=Rω2=1×(9×22)2=1296 m·s-2 (2)当加速度方向与半径成45°角时,有即Rω2=Rβ亦即(9t2)2=18t则解得t3=2/9于是角位移为1-8 (1)则加速度与半径的夹角为(2)由题意应有即∴当时,a=b1-9 依题意作出下图,由图可知题1-9图(1)(2)1-10设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示.题1-10图(1)在最高点,v1=vx=v0cos60°=g=10 m·s-2又∵∴(2)在落地点,v2=v0=20 m·s-1,而=g×cos60°∴1-11 当t=2s时,ω=βt=0.2×2=0.4 rad·s-1则v=Rω=0.4×0.4=0.16 m·s-1an=Rω2=0.4×(0.4)2=0.064 m·s-2aτ=Rβ=0.4×0.2=0.08 m·s-21-12当滑至斜面底时,y=h,则,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响,因此,A对地的速度为题1-12图1-13 (1)大船看小艇,则有 v21=v2-v1,依题意作速度矢量图如题1-13图(a)题1-13图由图可知方向北偏西(2)小船看大船,则有v12=v1-v2,依题意作出速度矢量图如题1-13图(b),同上法,得v12=50 km·h-1方向南偏东36.87°1-14 依题意作出矢量图如题1-14所示.题1-14图∵v雨船=v雨-v船∴v雨=v雨船+v船由图中比例关系可知v船=v雨=8 m·s-11-15 若以大船为参照系,则快艇相对于大船的相对位矢为r,而快艇对大船的相对速度为v′=v-V=v+(-V)依据以上关系作出图1-15(b).题1-15图设相对位矢r与海岸夹角为α,则有又设快艇对船的相对速度v′与海岸线的夹角为θ则由图(b)可知,要使船在x处出发时能栏截大船,应有θ≥α(若θ≤α,则艇将从大船后方穿过).但θ角的大小与艇速v与海岸线的夹角φ有关,φ值可取0-180°间任何值.依据v′= v-V作图1-15(c),(图中之圆是以|v|为半径所作之圆,其表示v之模不变,但方向可变).如图(c)可知θ的极大值是在v′与圆周相切之时,此时有题1-15(c)图艇拦截大船的条件是θ≥α,故有解得习题二2-1因绳不可伸长,故滑轮两边绳子的加速度均为a1,其对于m2则为牵连加速度,又知m2对绳子的相对加速度为a′,故m2对地加速度,由图(b)可知,为a2=a1-a′ ①又因绳的质量不计,所以圆柱体受到的摩擦力f在数值上等于绳的张力T,由牛顿定律,有m1g-T=m1a1 ②T-m2g=m2a2 ③联立①、②、③式,得讨论(1)若a′=0,则a1=a2表示柱体与绳之间无相对滑动.(2)若a′=2g,则T=f=0,表示柱体与绳之间无任何作用力,此时m1,m2均作自由落体运动.题2-1图2-2以梯子为对象,其受力图如图(b)所示,则在竖直方向上,NB-mg=0 ①又因梯无转动,以B点为转动点,设梯子长为l,则NAlsinθ-mg cosθ=0 ②在水平方向因其有加速度a,故有f+NA=ma ③题2-2图式中f为梯子受到的摩擦力,其方向有两种可能,即f=±μ0mg ④联立①、②、③、④式得2-3(1)于是质点在2s时的速度(2)2-4 (1)∵分离变量,得即∴(2)(3)质点停止运动时速度为零,即t→∞,故有(4)当t= 时,其速度为即速度减至v0的.2-5分别以m1,m2为研究对象,其受力图如图(b)所示.(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a′,则m2对地加速度a2=a′-a;因绳不可伸长,故m1对滑轮的加速度亦为a′,又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响,所以m1在水平方向对地加速度亦为a′,由牛顿定律,有m2g-T=m2(a′-a)T=m1a′题2-5图联立,解得a′=g方向向下(2) m2对地加速度为a2=a′-a= 方向向上m1在水面方向有相对加速度,竖直方向有牵连加速度,即a绝=a相′+a牵∴θ=arctan =arctan =26.6°,左偏上.2-6依题意作出示意图如题2-6图题2-6图在忽略空气阻力情况下,抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同,与轨道相切斜向下,而抛物线具有对y轴对称性,故末速度与x轴夹角亦为30°,则动量的增量为Δp=mv-mv0由矢量图知,动量增量大小为|mv0|,方向竖直向下.2-7由题知,小球落地时间为0.5s.因小球为平抛运动,故小球落地的瞬时向下的速度大小为v1=gt=0.5g,小球上跳速度的大小亦为v2=0.5g.设向上为y轴正向,则动量的增量Δp=mv2-mv1 方向竖直向上,大小|Δp|=mv2-(-mv1)=mg碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中,小球受到地面给予的冲力作用.另外,碰撞前初动量方向斜向下,碰后末动量方向斜向上,这也说明动量不守恒.2-8 (1)若物体原来静止,则Δp1= i kg·m·s-1,沿x轴正向,若物体原来具有-6 m·s-1初速,则于是,同理,Δv2=Δv1,I2=I1这说明,只要力函数不变,作用时间相同,则不管物体有无初动量,也不管初动量有多大,那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同,这就是动量定理.(2)同上理,两种情况中的作用时间相同,即亦即t2+10t-200=0解得t=10 s,(t′=-20 s舍去)2-9 质点的动量为p=mv=mω(-asinωti+bcosωtj)将t=0和t= 分别代入上式,得p1=mωbj,p2=-mωai,则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为I=Δp=p2-p1=-mω(ai+bj)2-10 (1)由题意,子弹到枪口时,有F=(a-bt)=0,得t=(2)子弹所受的冲量将t= 代入,得(3)由动量定理可求得子弹的质量2-11设一块为m1,则另一块为m2,m1=km2及m1+m2=m于是得①又设m1的速度为v1,m2的速度为v2,则有②mv=m1v1+m2v2 ③联立①、③解得v2=(k+1)v-kv1 ④将④代入②,并整理得于是有将其代入④式,有又,题述爆炸后,两弹片仍沿原方向飞行,故只能取证毕.2-12 (1)由题知,F合为恒力,∴ A合=F·r=(7i-6j)·(-3i+4j+16k)=-21-24=-45 J(2)(3)由动能定理,ΔEk=A=-45 J2-13 以木板上界面为坐标原点,向内为y坐标正向,如题2-13图,则铁钉所受阻力为题2-13图f=-ky第一锤外力的功为A1①式中f′是铁锤作用于钉上的力,f是木板作用于钉上的力,在dt→0时,f′=-f.设第二锤外力的功为A2,则同理,有②由题意,有③即所以,于是钉子第二次能进入的深度为Δy=y2-y1= -1=0.414 cm2-14方向与位矢r的方向相反,即指向力心.2-15 弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示平衡时,有题2-15图FA=FB=Mg又F A=k1Δx1FB=k2Δx2所以静止时两弹簧伸长量之比为弹性势能之比为2-16 (1)设在距月球中心为r处F月引=F地引,由万有引力定律,有G =G经整理,得r===38.32 10 m则p点处至月球表面的距离为h=r-r月=(38.32-1.74)×106=3.66×107 m(2)质量为1 kg的物体在p点的引力势能为==-1.282-17 取B点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则由功能原理,有-μm2gh= (m1+m2)v2-[m1gh+ k(Δl)2]式中Δl为弹簧在A点时比原长的伸长量,则Δl=AC-BC=( -1)h联立上述两式,得v=题2-17图2-18 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点,弹簧原长处为弹性势能零点则由功能原理,有-frs=k=式中s=4.8+0.2=5 m,x=0.2 m,再代入有关数据,解得k=1390 N·m-1题2-18图再次运用功能原理,求木块弹回的高度h′-fts′=mgs′sin37°- kx3代入有关数据,得s′=1.4 m,则木块弹回高度h′=s′sin37°=0.84 m题2-19图2-19 m从M上下滑的过程中,机械能守恒,以m,M地球为系统,以最低点为重力势能零点,则有mgR=又下滑过程,动量守恒,以m,M为系统则在m脱离M瞬间,水平方向有mv-MV=0联立,以上两式,得v=2-20 两小球碰撞过程中,机械能守恒,有即①题2-20图(a) 题2-20图(b)又碰撞过程中,动量守恒,即有mv0=mv1+mv2亦即v0=v1+v2②由②可作出矢量三角形如图(b),又由①式可知三矢量之间满足勾股定理,且以v0为斜边,故知v1与v2是互相垂直的.2-21 由题知,质点的位矢为r=x1i+y1j作用在质点上的力为f=-fi所以,质点对原点的角动量为L0=r×mv=(x1i+y1j)×m(vxi+vyj)=(x1mvy-y1mvx)k作用在质点上的力的力矩为M0=r×f=(x1i+y1j)×(-fi)=y1fk2-22 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有r1mv1=r2mv2∴2-23 (1)(2)解(一) x=x0+v0xt=4+3=7即r1=4i,r2=7i+25.5jvx=v0x=1即v1=i1+6j, v2=i+11j∴ L1=r1×mv1=4i×3(i+6j)=72kL2=r2×mv2=(7i+25.5j)×3(i+11j)=154.5k∴ΔL=L2-L1=82.5k kg·m2·s-1解(二) ∵∴题2-24图2-24 在只挂重物M1时,小球作圆周运动的向心力为M1g,即M1g=mr0ω20 ①挂上M2后,则有(M1+M2)g=mr′ω′2 ②重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒.即r0mv0=r′mv′③联立①、②、③得2-25 (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)).图中N、N′是正压力,Fr、F′r是摩擦力,Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支承力,R是轮的重力,P是轮在O轴处所受支承力.题2-25图(a)题2-25图(b)杆处于静止状态,所以对A点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有对飞轮,按转动定律有β=-FrR/I,式中负号表示β与角速度ω方向相反.∵Fr=μN N=N′∴又∵∴①以F=100 N等代入上式,得由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为这段时间内飞轮的角位移为可知在这段时间里,飞轮转了53.1转.(2)ω0=900×(2π)/60 rad·s-1,要求飞轮转速在t=2 s内减少一半,可知用上面式(1)所示的关系,可求出所需的制动力为2-26 设a,a2和β分别为m1m2和柱体的加速度及角加速度,方向如图(如图b).题2-26(a)图题2-26(b)图m1,m2和柱体的运动方程如下:式中T1′=T1,T2′=T2,a2=rβ,a1=Rβ而I=(1/2)MR2+(1/2)mr2由上式求得(2)由①式T2=m2rβ+m2g=2×0.10×6.13+2×9.8=20.8 N由②式T1=m1g-m1Rβ=2×9.8-2×0.20×6.13=17.1 N2-27 分别以m1,m2滑轮为研究对象,受力图如图(b)所示.对m1,m2运用牛顿定律,有m2g-T2=m2a ①T1=m1a ②对滑轮运用转动定律,有T2r-T1r=(1/2Mr2)β ③又,a=rβ ④联立以上4个方程,得题2-27(a)图题2-27(b)图题2-28图2-28 (1)由转动定律,有mg(l/2)=[(1/3)ml2]β∴β=(2)由机械能守恒定律,有mg(l/2)sinθ=(1/2)[(1/3)ml2]ω2∴ω=题2-29图2-29 (1)设小球的初速度为v0,棒经小球碰撞后得到的初角速度为ω,而小球的速度变为v,按题意,小球和棒作弹性碰撞,所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律,可列式:mv0l=Iω+mvl ①(1/2)mv20=(1/2)Iω2+(1/2)mv2 ②上两式中I=1/3Ml2,碰撞过程极为短暂,可认为棒没有显著的角位移;碰撞后,棒从竖直位置上摆到最大角度θ=30°,按机械能守恒定律可列式:③由③式得由①式④由②式⑤所以求得(2)相碰时小球受到的冲量为∫Fdt=Δmv=mv-mv0由①式求得∫Fdt=mv-mv0=-(Iω)/l=(-1/3)Mlω=-负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.题2-30图2-30 (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度v0=Rω设碎片上升高度h时的速度为v,则有v2=v20-2gh令v=0,可求出上升最大高度为(2)圆盘的转动惯量I=(1/2)MR2,碎片抛出后圆盘的转动惯量I′=(1/2)MR2-mR2,碎片脱离前,盘的角动量为Iω,碎片刚脱离后,碎片与破盘之间的内力变为零,但内力不影响系统的总角动量,碎片与破盘的总角动量应守恒,即Iω=I′ω′+mv0R式中ω′为破盘的角速度.于是(1/2)MR2ω=[(1/2)MR2-mR2]ω′+mv0R[(1/2)MR2-mR2]ω=[(1/2)MR2-mR2]ω′得ω′=ω(角速度不变)圆盘余下部分的角动量为[(1/2)MR2-mR2]ω转动动能为题2-31图Ek=(1/2)[(1/2)MR2-mR2]ω22-31 (1)射入的过程对O轴的角动量守恒Rsinθm0v0=(m+m0)R2ω∴ω=(2)2-32 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统,重物下落的过程中,机械能守恒,以最低点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则有mgh=(1/2)mv2+(1/2)Iω2+(1/2)kh2又ω=v/R故有题2-32图题2-33图2-33 (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒,当小球滑至B点时,有I0ω0=(I0+mR2)ω ①该系统在转动过程中,机械能守恒,设小球相对于圆环的速率为vB,以B点为重力势能零点,则有(1/2)I0ω20+mgR=(1/2)(I0+mR2)ω2+(1/2)mv2B ②联立①、②两式,得(2)当小球滑至C点时,∵Ic=I0 ∴ωc=ω0故由机械能守恒,有mg(2R)=(1/2)mv2c∴vc=2请读者求出上述两种情况下,小球对地速度.。

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(2)F ( A B AB)( A B) AB D
( A B) AB D D (0001 ,0011 ,0101 ,0111 ,1001 ,1011 ,1101 ,1111 )
(3)F ( A AC)D ( A B)CD AD AC D AB C D AB C D C 0, D 0或AB为01时,F 1 即:0000,0001,0010,0100,0101,0110, 0111,1000,1001,1010,1100,1101,1110时
∴按从小到大顺序排序为:
(27)10 , (00111000)8421BCD ,(135.6)8,(11011001)2 (3AF)16,
第二章 逻辑代数基础
2.1 分别指出变量(A,B,C,D)在何种取值时,下列函数 的值为1?
(1)F BD ABC (0100,0111,1100,1101,1111)
1.12 将下列一组数按从小到大顺序排序 (11011001)2,(135.6)8,(27)10,(3AF)16,(00111000)8421BCD
(11011001)2=(217)10 (135.6)8=(93.75)10 (3AF)16=(431)10
(00111000)8421BCD=(38)10
2.2 用逻辑代数的公理、定理和规则证明下列表达式
(1)(AB AC) AB AC
证明:( AB AC) (A B)(A C) AB AC BC AB AC
(2) AB AB AB AB 1
证明:AB AB AB AB A A 1
∴537-846=-309
1.10 将下列8421BCD码转换成十进制数和二进制数 (1)011010000011 (2)01000101.1001

生物化学(第三版)课后习题详细解答

生物化学(第三版)课后习题详细解答

生物化学(第三版)课后习题详细解答第三章氨基酸提要α-氨基酸是蛋白质的构件分子,当用酸、碱或蛋白酶水解蛋白质时可获得它们。

蛋白质中的氨基酸都是L型的。

但碱水解得到的氨基酸是D型和L型的消旋混合物。

参与蛋白质组成的基本氨基酸只有20种。

此外还有若干种氨基酸在某些蛋白质中存在,但它们都是在蛋白质生物合成后由相应是基本氨基酸(残基)经化学修饰而成。

除参与蛋白质组成的氨基酸外,还有很多种其他氨基酸存在与各种组织和细胞中,有的是β-、γ-或δ-氨基酸,有些是D型氨基酸。

氨基酸是两性电解质。

当pH接近1时,氨基酸的可解离基团全部质子化,当pH在13左右时,则全部去质子化。

在这中间的某一pH(因不同氨基酸而异),氨基酸以等电的兼性离子(H3N+CHRCOO-)状态存在。

某一氨基酸处于净电荷为零的兼性离子状态时的介质pH称为该氨基酸的等电点,用pI表示。

所有的α-氨基酸都能与茚三酮发生颜色反应。

α-NH2与2,4-二硝基氟苯(DNFB)作用产生相应的DNP-氨基酸(Sanger反应);α-NH2与苯乙硫氰酸酯(PITC)作用形成相应氨基酸的苯胺基硫甲酰衍生物(Edman反应)。

胱氨酸中的二硫键可用氧化剂(如过甲酸)或还原剂(如巯基乙醇)断裂。

半胱氨酸的SH基在空气中氧化则成二硫键。

这几个反应在氨基酸荷蛋白质化学中占有重要地位。

除甘氨酸外α-氨基酸的α-碳是一个手性碳原子,因此α-氨基酸具有光学活性。

比旋是α-氨基酸的物理常数之一,它是鉴别各种氨基酸的一种根据。

参与蛋白质组成的氨基酸中色氨酸、酪氨酸和苯丙氨酸在紫外区有光吸收,这是紫外吸收法定量蛋白质的依据。

核磁共振(NMR)波谱技术在氨基酸和蛋白质的化学表征方面起重要作用。

氨基酸分析分离方法主要是基于氨基酸的酸碱性质和极性大小。

常用方法有离子交换柱层析、高效液相层析(HPLC)等。

习题1.写出下列氨基酸的单字母和三字母的缩写符号:精氨酸、天冬氨酸、谷氨酰氨、谷氨酸、苯丙氨酸、色氨酸和酪氨酸。

现代数学基础 习题与解答

现代数学基础 习题与解答

现代数学基础习题解答目录现代数学基础习题解答 (1)1 集合与映射 (2)2 实数集的紧理论 (4)3 闭区间上连续函数性质 (6)4 Lebesgue可测集 (7)5 Lebesgue可测函数 (8)6 Lebesgue积分的定义及性质 (14)7 距离空间的基本概念 (16)8 距离空间中的点集 (25)9 距离空间的完备性 (25)10 赋范线性空间的基本概念 (26)11 群的基本概念 (33)12 环与域的基本概念 (39)1 集合与映射 -51 证明R ~)1,1(-,其中R 为实数集。

证明 : 设R 11x x f ⨯-∈⊆)},(|{,()f y x ∈,当且仅当21xxy -=, 容易验证,f 是双射。

所以R ~)1,1(-。

2 证明:如果M 是无限集,A 是可数集合,则A M M ⋃~。

证明: 不失一般性,设Φ=⋂A M 。

由于M 是无限集,故M 存在可数子集,设M '是M 的可数子集, 则()M M M M '⋃'-=,()()A M M M A M ⋃'⋃'-=⋃,且 ()Φ='⋂'-M M M ,()()Φ=⋃'⋂'-A M M M ,于是A M ⋃'是可数集合,记{},,,,21n m m m M =',{},,,,21n a a a A M =⋃', 令A M M f ⋃→:为:若Φ='-M M ,()n n a m f =; 若Φ≠'-M M ()⎩⎨⎧'-∈==M M x xm x a x f n n ,,,易知f 为双射,故A M M⋃~。

3 记区间[]1,0中全体无理数所构成集合为D ,证明:[]1,0~D 。

证明: 由于D 是无限集,故D 存在可数无线集,记为D '。

令[]Q Q ⋂='1,0,于是()D D D D '⋃'-=,[]()()Q D D D Q D '⋃'⋃'-='⋃=1,0,且()Φ='⋂'-D D D ,()()Φ='⋃'⋂'-Q D D D ,而且Q D '⋃'为可数集,记{},,,,21n d d d D =',{},,,,21n q q q Q D ='⋃',令[]1,0:→D f为:()⎩⎨⎧'-∈==D D x xd x q x f n n ,,,易知f 为双射,故[]1,0~D。

习题1及解答

习题1及解答

习题一1.设n 为大于1的正整数.证明:44nn +是一个合数.【答案】当n 为偶数时,n 4+4n 是大于2的偶数,从而它是合数.当n 为奇数时,设n =2k +1,则 n 4+4n =n 4+4×(2k )4.利用 x 4+4y 4=(x 2+2y 2) 2-4 x 2y 2=(x 2-2xy +2y 2)( x 2+2xy +2y 2), 可得出n 4++4×(2k )4为合数.2.求使得241227x x --为素数的所有整数x .【答案】由|4x 2-12x -27|=|(2x +3)(2x -9)|,可知只有|2x +3|=1或|2x -9|=1时,数|4x 2-12x -27|才可能为素数.依此可得所求的x =-2,-1,4或5,对应的|4x 2-12x -27|分别为13,11,11或13,都是素数.3.设m 为大于1的正整数,且()|11m m -!+. 证明:m 是一个素数.【答案】若m 为合数,则存在正整数p ,使2≤p <m ,且p |m ,此时有p |(m -1)!,但m |(m -1)!+1,故p |(m -1)!+1,这导致p |1,矛盾.4.是否存在3个不同的素数p 、q 、r ,使得下面的整除关系都成立?2|qr p d +,2|rp q d +,2|pq r d +,其中(1)d =10;(2)d =11.【答案】不妨设p <q <r ,则 q ≥p +1,r ≥q +2≥p +3. 对d =10的情形,由qr |p 2+10,应有p 2+10≥(p +1)( p +3),这要求4p ≤7,即p ≤1,矛盾.故d =10时不存在符合要求的p 、q 、r . 当d =11时,p =2,q =3,r =5满足条件.5.设p 为正整数,且21p-是素数.求证:p 为素数.【答案】若p 为合数,设p =qr ,2≤q ≤r ,则2p -1=(2q )r -1=(2q -1)(( 2q )r -1+(2q )r -2+…+1) , 这导致2q -1|2p -1,与2p -1是素数矛盾.故p 为素数.6.设n 为正整数,且21n +是素数.证明:存在非负整数k ,使得2kn =. 【答案】由算术基本定理知,可写n =2k ·q ,k ≥0,q 为奇数.若q >1,则 2n +1=2(2)kq +1=(x +1)(x q -1-x q -2+…-x +1),是两个大于1的正整数之积,不是素数,其中x =22k.依此可知,由2n +1为素数可得q =1,即命题成立.7.求所有形如1nn +且不超过1910的素数,这里n 为正整数.【答案】当n =1时,n n +1=2满足条件.当n >1时,设n =2k q ,q 为奇数,若q >1,同上题可知为n n +1不是素数,故n =2k ,k 为正整数.此时n n +1=22k k -+1=2(2)kk +1, 进一步的分析,可知存在非负整数m ,使得k =2m ,故 n n +1=222m m++1.当m ≥2时,2m +m ≥6,故22mm+≥26,因此n n +1≥622+1=264+1=16×(1024)6+1>16×(103)6+1>1019. 故由n n +1≤1019知m ≤1.分别令m =0,1,知n n +1=5,257,这两个数都是素数. 综上,所求的素数为2,5和257.8.设a 、b 、c 、d 都是整数,且a ≠c ,|a c ab cd +-.证明:|a c ad bc +-.【答案】利用 (ad +bc ) -(ab +cd )=d (a -c )-b (a -c )=(d -b )(a -c ), 及a -c |ab +cd ,可得a -c |ad +bc .9.设a 、b 、c 、d 为整数,且ac 、bc +ad 、bd 都是某个整数u 的倍数.证明:数bc 和ad 也是u 的倍数. 【答案】由恒等式(bc +ad )2+(bc -ad )2=4abcd =4(ac )(bd ), ① 结合条件,可知u 2|(bc -ad )2,故u |bc -ad .现在,我们设bc +ad =ux ,bc -ad =uy ,则由①知,x 2+y 2=4()ac u ()bdu, 故x 2+y 2为偶数,进而x +y 与x -y 都是偶数,所以,由bc =2x y +·u ,ad =2x y-·u , 可得bc 、ad 都是u 的倍数.10.设a 、b 、n 为给定的正整数,且对任意正整数k (≠b ),都有|nb k a k --.证明:na b =.【答案】注意到,对任意正整数k (≠b ),都有b -k |b n -k n ,结合b -k |a -k n ,可知b -k |a -b n ,这表明a -b n =0,得a =b n .11.已知正整数n 的正因数中,末尾数字为0,1,2,…,9的正整数都至少有一个.求满足条件的最小的n .【答案】满足条件的最小的n =270.事实上,由条件知10|n ,从n 的末尾数字为9的因数出发来讨论.若9|n ,则90|n ,此时直接验证可知90和180都不是某个末尾为7的数的倍数;若19|n ,则190|n ,而270分别是10,1,2,3,54,5,6,27,18,9的倍数,符合条件.故n 最小为270.12.求一个9位数M ,使得M 的数码两两不同且都不为零,并对m =2,3,…,9,数M 的左边m 位数都是M 的倍数. 【答案】设M =129a a a ⋯是一个满足条件的数,由条件可知a 5=5,并且a 2、a 4、a 6 、a 8是2、4、6、8的一个排列,进而a 1a 2…a 9是1、3、7、9的排列.依此可知 a 4=2或6(因为4|34a a ), 而进一步,还有 8|78a a ,因此 a 8=2,6,故 (a 4,a 8)=(2,6)( 6,2).对这两种情况作进一步的分析,就可找到一个满足条件的M =381654 729.13.对于一个正整数n ,若存在正整数a 、b ,使得n =ab +a +b ,则称n 是一个“好数”,例如3=1×1+1+1,故3为一个“好数”.问:在1,2,…,100中,有多少个“好数”?【答案】设n 是一个好数,则n +1=(a +1)(b +1)为一个合数,反过来,若n +1为合数,则可写 n +1≤pq ,2≤p ≤q ,于是a =p -1,b =q -1,就有n =ab +a +b 是一个好数.所以,只需求1,2,…,100中使n +1为合数的n 的个数,依此可知恰好有74个好数.14.设素数从小到大依次为1p ,2p ,3p ,….证明:当n ≥2时,数n p +1n p +可以表示为3个大于1的正整数(可以相同)的乘积的形式.【答案】当n ≥2时,p n 与p n +1都是奇数,于是,q =12n n p p ++是正整数,又p n <q <p n +1,p n 与p n +1是两个相邻的素数,故q 必为合数.从而q 可以写为两个大于1的正整数之积,依此可知命题成立.15.设n 为大于1的正整数.证明:n 为合数的充要条件是存在正整数a 、b 、x 、y ,使得n =a +b ,1xy a b+=. 【答案】若存在a 、b 、x 、y ,使得 n =a +b ,且x a +yb=1. 我们记d =(a ,b ),若d =1,由x a +yb=1, 知 bx +ay =ab , 所以 a |bx ,b |ay , 结合(a ,b )=1,导出a |x ,b |y ,从而ab =bx +ay ≥ab +ba =2ab ,矛盾.所以d >1,这时n =a +b =d (a d +bd)为合数. 反过来,设n 为合数,设n =pq ,2≤p ≤q ,则令(a ,b ,x ,y )=(p ,p (q -1),1,(p -1)(q -1)),就有 n =a +b ,且x a +yb=1.16.证明:数列10001,100010001,1000100010001,… 中,每一个数都是合数. 【答案】注意到10 001=73×137为合数,而从第二项起,我们有a n =00011000100010001n 个=104n +104(n -1)+…+104+1=41)4101101n +--(=21)2(1)4(101)(101)101n n ++-+-(,由于n ≥2时,104-1<102(n+1)-1<102(n+1)+1,所以,a n 是一个合数.17.设a 、b 、c 、d 都是素数,且a >3b >6c >12d ,22221749a b c d -+-=. 求2222a b c d +++的所有可能值.【答案】a 2-b 2+c 2-d 2=1749为奇数,知a 、b 、c 、d 中必有一个数为偶数,这表明d =2.进而 a 2-b 2+c 2=1753. 再由 a >3b >6c >12d , 可知c ≥5,b ≥2c +1,a ≥3b +1,所以a 2-b 2+c 2≥(3b +1)2-b 2+c 2=8b 2+6b +c 2+1≥8(2c +1)2+6(2c +1)+1=33c 2+44c +15. 故 33c 2+44c +15≤1735,于是,c <7,结合c ≥5及c 为素数,可知c =5,进而 a 2-b 2=1728=26×33. 利用 b ≥2c +1=11,a ≥3b +1,可知 a -b ≥2b +1≥23,a +b ≥4b +1≥45, 由(a -b )( a +b )=26×33及a 、b 都是奇素数,可知 (a -b ,a +b )=(32,54), 因此 (a ,b )=(43,11) . a 2+b 2+c 2+d 2=1749+2×(112+22)=1999.18.数列{}n a 的每一项都是正整数,1a ≤2a ≤3a ≤…,且对任意正整数k ,该数列中恰有k 项等于k .求所有的正整数n ,使得1a +2a +…+n a 是素数. 【答案】对正整数n ,设正整数k 满足(1)2k k +≤n <(1)(2)2k k ++,则 a 1+a 2+…+a n =1×1+2×2+…+k ×k +(k +1)×(1)2k k n +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=16k (k +1)(2k +1)+2(1)2n k k -+(k +1) =16(k +1)[]6(2)n k k -+. 由于当k ≥6时,k +1>6,有6n -k (k +2)≥3k (k +1)-k (k +2)=2k 2+k >6,所以,此时a 1+a 2+…+a n 为合数,即只需考虑k ≤5的情形,考虑数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6 ,从第一项起求和得到的素数分别是:3,5,11,61,67,73,79,共7个.所以仅当n =2,3,5,61,17,18,19,时,a 1+a 2+…+a n 为素数.19.由正整数组成的数列{}n a 满足:对任意正整数m 、n ,若|m n ,m <n ,则|m n a a ,且 m n a a <.求2000a 的最小可能值.【答案】由条件可知,当m |n ,且m <n 时,有a n ≥2a m .所以,a 1≥1,a 2≥2,a 4≥2a 2≥22,类似地,a 8≥23,a 16≥24,a 80≥25,a 400≥26,a 2000≥27,即a 2000≥128. 另一方面,对任意正整数n ,设n 的素因数分解因式为n =1212k k p p p ααα,其中p 1<p 2<…p k 为素数,α1,α2,…αk 为为正整数,定义 a n =122k ααα+++, 则数列{a n }符合题中的要求,并且a 2000=24+3 ≤27. 所以,a 2000的最小值为128.20.设p 为奇数,正整数m 、n 满足11121m p n =++…+-.证明:|p m .【答案】由条件,可知2m n =(1+12+...+11p -)+(11p -+12p -+ (1)=(1+11p -)+(12+12p -)+…+(11p -+1) =1(1)p p ⨯-+2(2)p p ⨯-+…+(1)1pp -⨯.上式将右边通分后,可知存在正整数M ,使得2mn =()1!pM p -,即pnM =2m (p -1)!,由p 为奇素数,可知p 2,p (p -1)!,所以,p |m .21.设a 、m 、n 为正整数,a >1,且1|1m na a ++.证明:|m n . 【答案】若m n ,由a m +1|a n +1及a >1,可知m <n .故可设n =mq +r ,其中q 、r 为正整数,0<r <m .此时,利用a m +1|a n +1,可知a m +1|(a n +1)-(a m +1),即 a m +1|(a m -n +1)a m , 而 (a m +1,a m )=(1,a m )=1,依次递推,可得 a m +1|a n -2m +1,…,a m +1|a n -mq +1, 即有 a m +1|a r +1, 但a >1时,a m +1>a r +1,矛盾. 所以,m |n .22.证明:对任意正整数n 及正奇数m ,都有()211m n-1,2+=. 【答案】设d =(2m -1,2n +1),则 d |2m -1, 故 d |(2m )n -1n , 即 d |2nm -1, 另外d |2n +1,又m 为奇数,故2n +1|(2n ) m +1m , 所以, d |2mn +1.对比所得的两个式子,知d |2, 又2m -1为奇数,故d =1.23.费马数n F 定义为n F =221n+.证明:对任意两个不同的正整数m 、n ,都有()1n m F F ,= 【答案】不妨设m <n ,利用平方差公式知F n -2=22n-1=(122n --1)(122n -+1)=(222n --1)(222n -+1)(122n -+1) =…=(22m-1)(22m+1)(122m ++1)…(122n -+1),所以,F m |F n -2,从而(F n ,F m )=(2,F m ),而F m 为奇数,故(2,F m )=1,即(F n ,F m )=1.24.已知正整数a 、b 、c 、d 的最小公倍数为a +b +c +d .证明:abcd 是3或5的倍数. 【答案】由条件可知a 、b 、c 、d 不全相等,不妨设d 是其中最大的数,则 d <a +b +c +d <4d , 又a +b +c +d 为a 、b 、c 、d 的最小公倍数,故d |a +b +c +d ,于是 a +b +c +d =2d 或3d .如果a +b +c +d =3d ,那么由abcd 为a 、b 、c 、d 的公倍数,可知a +b +c +d |abcd ,即 3d |abcd , 故 3|abcd .如果a +b +c +d =2d ,那么a +b +c =d .不妨设a ≤b ≤c ,由a +b +c +d 为a 、b 、c 、d 的最小公倍数,可知 a |2d ,b |2d ,c |2d . 设2d =ax =by =cz ,则x ≥y ≥z ≥3,并且2x +2y +2z =1,即1x +1y +1z =12. 又当z =3时,有3|2d ,进而3|d ,故abcd 为3的倍数,因此只需考虑z >3的情形. 而当z ≥6时,有 1x +1y +1z ≤16+16+16=12,故只能是x =y =z =6,此时abcd 为3的倍数.所以,只需z =4或5的情形,注意到z =5时,有5|2d ,可知abcd 为5的倍数,进而只需考虑z =4的情形,此时 1x +1y =14,即 xy -4x -4y =0,(x -4)(y -4)=16.结合x >y ,可知 (x -4,y -4)=(16,1),(8,2),(4,4), 分别对应 2d =20a =5b =4c ,2d =12a =6b =4c ,2d =8a =8b =4c ,第一种情形要求5|d ,第一种情形要求3|d ,第一种情形要求a =b ,c =2a ,d =4a ,此时a 、b 、c 、d 的最小公倍数为d ,而不是a +b +c +d ,矛盾. 综上可知,abcd 是3或5的倍数.25.记n M 为正整数 1,2,…,n 的最小公倍数.求所有的正整数n (>1),使得n M = 1n M -.【答案】如果n 至少有两个不同的素因子,那么可记n =pq ,其中2≤p ≤q ,p 、q 为正整数,且(p ,q )=1.此时,2≤p <q <n -1,从而n |M n -1.所以,当且仅当n 有至少两个不同的素因子时,M n =M n -1.26.设a 、m 、n 为正整数,a >1.证明:()()111m n m n a a a,-,-=-.【答案】不妨设m >n ,则 (a m -1,a n -1)=(a m -a n ,a n -1)=(a n (a m -n -1),a n -1), 而 (a n ,a n -1)=1,故 (a m -1,a n -1)=(a m -n -1),a n -1), 依次递推,对指数进行“辗转相除”,可知结论成立.27.设a 、n 为正整数,a >1,且1na +是素数.证明:()1n d a n -≥.【答案】由a n +1为素数,可知a 为偶数,与第6题类似,可知存在非负整数k ,使得为n =2k ,于是 a n -1=2ka -1=(12k a --1)(12k a -+1)=…=(a -1)(a +1)(a 2+1)…(12k a -+1) .进一步,(12k a --1,12k a -+1)=(12k a --1,2)=1(最后一步用到a 为偶数),依次倒推,可知a +1,a 2+1,22a +1,…,12k a -+1两两互素,从而它们中任取若干个数作乘积形成的2k 个数两两不同,当然,这2k 个数都是a n -1的因数,所以,d (a n -1)≥2k =n .28.对怎样的正整数n (>2),存在n 个连续正整数,使得其中最大的数是其余n -1个数的最小公倍数的因数?【答案】当n =3时,对任意三个连续正整数a -1,a ,a +1,若 a +1|[]1,a a -,则 a +1|a (a -1), 而 (a +1,a )=1,故 a +1|a -1,矛盾.当n >3时,若n 为偶数,记n =2m ,则数2m -1,2m ,…,2(2m -1)中,最大的数2(2m -1)是其余2m -1个数(它们中有2m -1与2m )的最小公倍数的因数;若n 为奇数,记n =2m +1,则数2m -2,2m -1,…,2(2m -1)是n 个连续正整数(注意,这里用到m >1),它们中最大的数是其余n -1个数的最小公倍数的因数.所以,n >3时,正整数n 符合条件.29.设正整数a 、b 、m 、n 满足:(a ,b )=1,a >1,且|mmnna b a b ++.证明:|m n .【答案】利用 a n +b n =(a n -m +b n -m )(a m +b m )-(a m b n -m +a n -m b m ), 知若n ≥2m ,则 a n +b n =(a n -m +b n -m )(a m +b m )-a m b m (a n -2m +b n -2m ), 于是 a m +b m |a m b m (a n -2m +b n -2m ). 得 (a ,b )=1, 由 (a m ,b m )=1,进而 (a m +b m ,a m )=(a m +b m ,b m )=1, 故 (a m +b m ,a m b m )=1, 因此 a m +b m |a n -2m +b n -2m .用n -2m 代替n ,重复上述讨论,最终可将n 变为小于2m 的正整数.此时,由a m +b m |a n +b n 及a >1,知n ≥m .如果n =m ,那么命题已经成立;如果m <n <2m ,那么由a n +b n =(a n -m +b n -m )(a m +b m )-a n -m (a 2m -n +b 2m -n ),同上讨论,将有 a m +b m |a 2m -n +b 2m -n , 而2m -n <m ,这在a >1时是不可能的.综上可知m |n (注意:事实上推出了n 为m 的奇数倍) .30.证明:存在2012个不同的正整数,使得其中任意两个不同的数a 、b 都满足()2|a b ab -. 【答案】将命题一般化,可证:对任意n (≥2),都存在n 个不同的正整数,使得齐总任意两个不同的数a 、b 满足(a -b )2|ab .证明如下:当n =2时,取a 1=1,a 2=2,则它们满足条件.现在设a 1<a 2<…<a n 是n (≥2)个满足要求的正整数,即对1≤i <j ≤n ,都有(a i -a j ) 2|a i a j . 考虑下面的n +1个数 a n !,a n !+a 1,a n !+a 2,…,a n !+a n , 容易证明这n +1个正整数满足要求.31.设a 、b 为正整数,且(a ,b )=1.证明:对任意正整数m ,数列 a ,a +b ,a +2b ,…,a +nb ,… 中,有无穷多个数与m 互素.【答案】对任意正整数m ,由(a ,b )=1,可写m =m 1m 2,使得m 1的素因子都是a 的素因子,且 (a ,m 2)=1,(m 1,b )=1,(m 1,m 2)=1(这只需将m 、a 、b 作为素因数分解后,各部分予以恰当分配即可达到要求).取正整数k ,使得(k ,m 1)=1,这样的k 有无穷多个,令n =m 2k ,我们证明:(a +nb ,m 1)=1. 事实上,设d =(a +nb ,m 1),若d >1,取d 的素因子p ,则p |m 1,进而p |a ,所以,p |nb . 但由 (m 1,k )=(m 1,m 2)=(m 1,b )=1, 知p m 2kb ,即p nb .矛盾.所以(a +nb ,m 1)=1.又 (a +nb ,m 2)=(a +m 2kb ,m 2)=(a ,m 2)=1, 从而 (a +nb ,m 1m 2)=1,即 (a +nb ,m )=1,命题获证.32.已知正整数数对(a ,b )满足:数aba b •在十进制表示下,末尾恰有98个零.求ab 的最小值. 【答案】设a 、b 的素因数分解式中2、5的幂次分别为α1,β1和α2,β2,则 12129898a b a b ααββ⋅+⋅⎧⎪⎨⋅+⋅⎪⎩≥,①≥,②并且①与②中必有一个取等号.如果②取等号,即a ·β1+b ·β2=98,那么当β1与β2都是正整数时,左边为5的倍数,当β1或β2中有一个为零时,另一个必大于零,此时左边仍然是5的倍数,都导致矛盾.所以①取等号.由a ·α1+b ·α2=98,知若α1、α2中有一个为零,不妨设α2=0,则α1>0.此时α·α1=98,若α1≥2,则4|a ,矛盾.故α1=1,进而a =98.代入②,由a =98知β1=0,从而b ·β2>98,结合α2=0,求得b ·最小为75.如果α1与α2都是正整数,不妨设α1≥α2,若α2≥2,则有4|a ,4|b ,导致4|98,矛盾,故α2=1.进一步,若α1=1,则a +b =98,但2a 与2b 都是奇数,故2a +2b为偶数,矛盾,故α1>1.此时,若β1与β2都是正整数,则5|a ,5|b ,与a ·α1+b ·α2=98矛盾,故β1与β2中有一个为零.若β1=0,则由②知b ·β2>98,此时b b 的末尾零的个数大于98(因为,此时10|b .当β2=1时,b ≥100,此时100100|b b .而当β2≥2时,50|b ,若b >50,100100|b b ;若b =50,则a ·α1=48,这时当α1≥4时,25|a ·α1,而α1≤3时,24a ·α1,都导致矛盾,所以,b b 的末尾零的个数大于98) . 类似地,若β2=0,则a ·β1>98,同样可知a a 的末尾零的个数大于98,矛盾. 综上可知,ab 的最小值为7350(当(a 、b )=(98,75)或(75,98)时取到) .33.求所有的正整数m ,使得()4m d m =.【答案】由条件可知m 为一个4次方数,因此,可设m =357244442357αααα⋅⋅⋅, 其中α2,α3,α5,α7,…都是非负整数.而 d (m )=(4α2+1)( 4α3+1)… 是一个奇数,故α2=0,并且1=33413αα+·55415αα+·77417αα+…=x 3·x 5·x 7…, 这里 x 3=33413αα+,x 5=55415αα+,…. 当α3=1时,x 3=53;α3=0或2时,x 3=1;而α3≥3时,33α>4α3+1,故此时x 3<1.当α5=0或1时,x 5=1;α5≥2时,55α≥12α5+1,故55α≥259(4α5+1),即x 5<925. 当p >5,p >为素数时,在αp =0时,x p =1,而αp =1时,pp α>5=4αp +1,故x p <1;而αp >1时,x p<925. 上述讨论表明:若α3≠1,则x 3=x 5=x 7=...=1, 故 α3=0或2,α5=0或1, 而 α7=α11= 0即 m =1,38,54或454. 若α3=1,则3|m ,此时,由m =d (m ) 4,知m =54×(4α5+1) 4×(4α7+1) 4…, 于是存在素数p ≥5,使得3|4αp +1,这要求αp ≥2,从而x p <925.此导致 x 3x 5x 7…≤53×925=35<1,矛盾.所以 m =1,54,38,38·54.(直接验证,可知它们确实满足条件) .34.证明:每一个正整数都可以表示为两个正整数之差,且这两个正整数的素因子个数相同.【答案】设n 为正整数,如果n 为偶数,那么表示n =(2n )-n 符合要求.如果n 为奇数,设p 是不整除n 的最小奇素数,那么表示n =pn -(p -1)n 中,pn 的素因子个数等于n 的素因子个数加上1;而p -1是偶数,且由p 的定义,知p -1的每个奇素因子都是n 的素因子,所以,(p -1)n 的素因子个数也等于n 的素因子个数加上1.命题获证.35.求所有的正整数a 、b 、c ,使得21a +和21b +都是素数,且满足 ()()222111a b c ++=+.【答案】不妨设a ≤b ,由条件知a 2(b 2+1)=c 2+1-b 2-1=(c -b )( c +b ),故b 2+1|c -b 或者b 2+1|c +b (这里用到b 2+1为素数) . 若 b 2+1|c -b ,则 c -b ≥b 2+1(注意c >b 是显然的), 即 c ≥b 2+b +1,此时 c 2+1≥(b 2+b +1)+1>(b 2+1)2≥(a 2+1)(b 2+1),矛盾. 若 b 2+1|c +b , 则 c +b ≥b 2+1, 即 c ≥b 2-b +1,于是 c 2+1≥(b 2-b +1)2+1=(b 2+1)2-2b (b 2+1)+b 2+1=(b 2+1)((b -1)2+1) .注意到,若a =b ,则c 2+1=(a 2+1)2,这在a 、c 都是正整数时不能成立(因为两个正整数的平方差至少为3),所以,a <b ,即有a ≤b -1,因此c 2+1≥(b 2+1)((b -1)2+1)≥(b 2+1)( a 2+1),结合条件,可知 a =b -1,c =b 2-b +1.此时,由a 2+1与b 2+1都是素数,知b 2+1为奇数,b 为偶数,从而a =b -1为奇数,a 2+1为偶数,所以a =1,进而b =2,c =3.又当(a ,b ,c )=(1,2,3)或(2,1,3)时,条件满足,它们就是要求的答案.36.用()p k 表示正整数的最大奇因数.证明:对任意正整数n ,都有()123nk p k n k ∑=<<()213n +. 【答案】记S n =1()n k p k k=∑,则由p (k )的定义可知 S 2n =21()n k p k k =∑=1(21)21n k p k k =--∑+1(2)2nk p k k =∑=n +11(2)2n k p k k =∑=n +12S n .① 类似可知 S 2n +1= n +1+12S n . ② 回到原题,当n =1时,命题显然成立.现设命题对1≤n ≤m 都成立,考虑n =m +1的情形. 如果m +1为偶数,那么,由①结合归纳假设,可知12m ++12·12()23m +<12m ++1212m S +=S m +1<12m ++12·12(1)23m ++.即有23( m +1)<S m +1<23( m +2),知命题对m +1亦成立. 如果m +1为奇数,同上利用②亦可知命题对m +1成立.所以,结论成立.37.设a 、b 、c 都是大于1的正整数.求代数式[][][]2a b b c c a a b c a b c++++,,,-++的最小可能值. 【答案】由对称性,不妨设a ≥b ≥c ,注意到,当(a ,b ,c )=(2,2,2),(3,2,2) ,(3,3,2) ,(4,2,2)时,所给代数式A 的值分别为2,32,178,114.这表明:当a +b +c ≤8时,A ≥32. 下证:当a +b +c ≥9时,有A ≥32. 事实上,A ≥32⇔(a +b +c ) 2-2([]a b ,+[]b c ,+[]c a ,)≥3(a +b +c ) ⇔ a 2+b 2+c 2+2[]()ab a b -∑,≥3(a +b +c ) .由于对正整数x 、y ,都有xy ≥[]x y ,,因此,只要证明:a 2+b 2+c 2≥3(a +b +c ). ①结合a +b +c ≥9,可知为证明①成立,只要证明:a 2+b 2+c 2≥13(a +b +c ) 2⇔3(a 2+b 2+c 2)≥(a 2+b 2+c 2) ⇔2(a 2+b 2+c 2)-2(ab +bc +ca )≥0⇔(a -b )2+(b -c )2+(c -a )2≥0.最后一式显然成立. 所以,所求代数式的最小值为32.38.对任意给定的素数p ,有多少个整数组(a ,b ,c ),使得(1)1≤a ,b ,c ≤22p ; (2)[][]2212a cbc p c a p •+,+,=+b +. 【答案】记u =(a ,c ),v =(b ,c ),则条件⑵变为ac bc u v a b ++=2212p p ++·c , 即 a u +b v =2212p p ++(a +b ). ① 由于12<1-212p +=2212p p ++<1,结合①知2a b +<a u +b v<a +b . ② 若u ,v 都不小于2,则②的左边不等式不成立;若u =v =1,则②的右边不等式不成立.因此u 、v 中恰好有一个等于1.由对称性,不妨设u =1,v ≥2.并记b 1=b v,代入①得(p 2+2)(a +b 1)=(p 2+1)(a +b 1v ),于是, a =b 1((p 2+1)v -(p 2+2)). ③若v≥3,则由③得a≥3(p2+1)-(p2+2)=2p2+1,与条件⑴不符,故v=2.此时③式变为a=p2b1,结合a≤2p2,知b1≤2.注意到,(a,c)=u=1,(b,c)=v=2,知c是一个偶数,且与p2b1互素.这表明p为奇素数,且b1为奇数,结合b1≤2,知b1=1,进而为b=2.所以,(a,b,c)=(p2,2,c),其中c为偶数但不是p的倍数,这样的数组共有p2-p组.综上可知,当p=2时,不存在符合条件的数组;当p>2时,满足条件的数组共有p2-p组.39.黑板上写着数1,2,…,33.每次允许进行下面的操作:从黑板上任取两个满足|x y的数x、y,将它们从黑板上去掉,写上数yx.直至黑板上不存在这样的两个数.问:黑板上至少剩下多少个数?【答案】考虑目标函数S=黑板上所有数之积.最初S=33!=231·315·57·74·113·17·19·23·29·31,每一步操作针对x、y(x|y),记y=kx,去掉x、y代之以k后,S变为Skxy⋅=2Sx,这表明每次操作,S的每个素因子的幂次的奇偶性保持不变,特别地,2,3,5,11都整除每次操作后所得的S.而2×3×5×11>33,因而,最后留下的数中,至少需要两个数,使得它们之积为2×3×5×11的倍数.又注意到,素数17,19,23,31的每一个大于自身的倍数都大于33,因而,任何一次操作都不能去掉其中的任何一个数.上述讨论表明:黑板上至少剩下7个数.下面的例子表明可以恰好剩下7个数:(32,16)→2,(30,15) →2,(28,14) →2,(26,13) →2,(24,12) →2,(22,11) →2;(27,9) →3,(21,7) →3,(18,6) →3;(25,5) →5,(20,4) →5;(8,2) →4.(5,5)→1;(4,2) →2;(3,3) →1,(3,3) →1,(2,2) →1,(2,2) →1,(2,2)→1,(2,2)→1.这样,黑板上留下10,17,19,23,29,31,33共7个数和7个1,而7个1再经与17搭配操作7次即可全部去掉.综上可知,至少有7个数被留下.40.设n是一个正整数.证明:数1+5n+25n+35n+45n是一个合数.【答案】当n为偶数时,设n=2m,x=5m,则A=1+5 n+52n+53n+54n=1+x2+x4+x6+x8=10211xx--=55(1)(1)(1)(1)x xx x-+-+=(x4+x3+x2+x+1)(x4-x3-x2-x+1) .由于x=5m>1,可知上式右边两个式子中的数都大于1,因此,A为合数.当n为奇数时,设n=2m+1,x=5m,z=5y2,则A=1+z+z2+z3+z4=(1+3z+z2)2-5z3-10z2-5z=(1+3z+z2)2-5z(z+1)2=(1+5y2+25y4)2-25y2(1+5y2)2=(1+5y2+25y4-5y(1+5y2))(1+5y2+25y4+5y(1+5y2)) .当m>0,即y≥5时,上式右边两式都大于1,此时,A为合数,当m=0时,A=1+5+52+53+54=11×71也是合数.所以,对任意正整数n,A为合数,命题获证.。

2-3-习题(含解答)

2-3-习题(含解答)

2-3 习题(含解答)目录第1章编译原理概述 (1)第2章PL/O编译程序的实现 (4)第3章文法和语言 (4)第4章词法分析 (13)第5章自顶向下语法分析方法 (28)第6章自底向上优先分析 (39)第7章LR分析 (42)第8章语法制导翻译和中间代码生成 (60)第9章符号表 (67)第10章目标程序运行时的存储组织 (70)第11章代码优化 (73)第12章代码生成 (76)综合练习一 (79)综合练习二 (84)综合练习三 (90)综合练习四 (95)综合练习五 (101)综合练习六 (107)第1章编译原理概述一、选择题1.一个编译程序中,不仅包含词法分析,语法分析,中间代码生成,代码优化,目标代码生成等五个部分,还应包括 (1) 。

其中, (2) 和代码优化部分不是每个编译程序都必需的。

词法分析器用于识别 (3) ,语法分析器则可以发现源程序中的 (4) 。

(1) A.模拟执行器 B.解释器 C.表格处理和出错处理 D.符号执行器(2) A.语法分析 B.中间代码生成 C.词法分析 D.目标代码生成(3) A.字符串 B.语句 C.单词 D.标识符(4) A.语义错误 B.语法和语义错误 C.错误并校正 D.语法错误2.程序语言的语言处理程序是一种 (1) 。

(2) 是两类程序语言处理程序,他们的主要区别在于 (3) 。

(1) A.系统软件 B.应用软件 C.实时系统 D.分布式系统(2) A.高级语言程序和低级语言程序 B.解释程序和编译程序C.编译程序和操作系统D.系统程序和应用程序(3) A.单用户与多用户的差别 B.对用户程序的查错能力C.机器执行效率D.是否生成目标代码3.汇编程序是将翻译成,编译程序是将翻译成。

A.汇编语言程序B.机器语言程序C.高级语言程序D. A 或者BE. A 或者CF. B或者C4.下面关于解释程序的描述正确的是。

(1) 解释程序的特点是处理程序时不产生目标代码(2) 解释程序适用于COBOL 和 FORTRAN 语言(3) 解释程序是为打开编译程序技术的僵局而开发的A. (1)(2)B. (1)C. (1)(2)(3)D.(2)(3)5.高级语言的语言处理程序分为解释程序和编译程序两种。

《初等数论》各章习题参考解答

《初等数论》各章习题参考解答

《初等数论》各章习题参考解答第一章习题参考解答1.解:因为25的最小倍数是100,9的最小倍数是,所以满足条件的最小正整数11111111100a =。

2.解:3在100!的分解式中的指数()1001001001003100!33113148392781⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 在100!的分解式中的指数()1001001001001002100!50251261942481664⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,∴ ()9448474847100!2343123,,61k k k k =⋅⋅=⋅⋅=⋅=。

故 max 47n =,min 3M k =,(),61k =。

故 当M 最小值是3的倍数,但不是2的倍数。

3.解:112121n n n n x x ++++++等价于()()21221n n n x x x ++-+-,从而3x ³(n 就不会太大,存在反向关系)。

由()()22121n nn x x x -+-?+,得()()2212n n n x x -+?,即()()()121122nn x x -+?。

若2n ³,则()()()()251221114242nn x xx x-?+??,导致25140x x -+?,无解。

所以,只有1n =,335314x x x +-?,只能是37,14x +=,从而4,11x =。

综上所述,所求正整数对()()(),4,111,1x n =、。

4.解:按题意,2m n >>,记*,m n k k N =+?;则()222211111n n k nk n k k a a a a a a a a a a a a +++-+-?-+--++-22211111n k k n k k a a a a a a a a a ++?---+?-+-,故 存在无穷多个正整数a 满足2111n k k a a a a ++-+-。

解答习题的方法

解答习题的方法

解答习题的方法学生们在学习过程中经常会遇到各种各样的习题,如作业、考试试题等。

解答习题是提高学习效果的关键。

正确的方法可以帮助我们更好地理解和掌握知识,提高解题速度,下面我将为大家介绍一些解答习题的方法。

1. 仔细阅读题目在解答习题之前,首先应该仔细阅读题目,理解题目的意思和要求。

有时候题目中会有一些关键词或提示词,可以帮助我们找到解题的方向。

如果我们没有理解题目的意思,那么就无法正确解答。

所以,要认真细致地读懂题目。

2. 确定解题思路在阅读题目后,我们需要确定自己的解题思路。

这个思路可以根据我们学过的知识和题目要求来确定。

有时候我们可以通过分析题目的结构、逻辑和关联的知识点来找到解题思路。

确定了解题思路后,我们才能有条不紊地解答问题。

3. 重点关注问题解答习题时,我们要特别注意问题中的重点和关键词。

这些关键词往往给出了解题的方向和要求。

通过理解和抓住这些关键词,我们可以更准确地回答问题。

所以,在解答习题时要注意关注问题的重点,并从重点入手。

4. 建立逻辑思维习题解答是一个需要思维的过程,而逻辑思维是解答问题的基础。

我们需要建立良好的逻辑思维,善于分析问题、思考问题。

可以通过积极参加课堂讨论、做一些逻辑思维训练题等来培养逻辑思维能力。

5. 运用归纳整理法当我们面对大量的题目时,我们可以运用归纳整理法来解题。

这种方法可以帮助我们把题目按照一定的规律整理起来,有助于我们发现其中的规律和特点。

通过归纳整理法,我们可以更好地理解题目,提高解题效率。

6. 举一反三有时候我们会遇到一些新的习题,我们可以通过举一反三的方法来解答这些习题。

通过将题目归纳为一般性的问题,并应用相同的解题思路,我们可以迅速解答出这类问题。

举一反三可以帮助我们扩展思维,灵活应用所学知识。

7. 多问为什么在解答习题时,我们应该多问为什么。

这样可以帮助我们更深入地理解习题,并找到更全面、更准确的答案。

通过不断提出问题和思考问题,我们可以更好地掌握知识和解决问题的能力。

习题02解答

习题02解答
习题二
2-1 如图题 2-1 所示电路中,Is = 16.5mA,Rs = 2kΩ,R1 = 40 kΩ,R2 = 10 kΩ,R3 = 25 kΩ。 求I1、I2和I3。
Rs +
I1
I2
I3
Is
U R1
R2
R3

题 2-1 图

U = Is (R1 // R2 // R3 ) = 16.5 × (40 //10 // 25) = 100V I1 = U R1 = 100 40k = 2.5mA I 2 = U R2 = 100 10k = 10mA I3 = U R3 = 100 25k = 4mA
R/3
2R/3
2R/3
R/3
R/3
2R/3
b
c
b
2R/9 R/3 b
c a R/3
2R/9 2R/9 R/3 c
a
5R/9
5R/9
5R/9
b
c
5
2-10 求如图 2-10 所示电路的等效电阻Rab。
a
4Ω
7Ω
a
4Ω
R
R
R
R
R
10Ω
10Ω
b
R
R
b
(b)
(a)
a 1Ω
1Ω 1Ω
Rc
R
R
1Ω
1Ω
R
R
R
b
图(b):I =2A,U =4V P2A=2×(10-4)=12W,吸收功率,为负载。 P10V=2×10=20W,发出功率,为电源。 P2Ω=2×22=8W,吸收功率,为负载。
2-8 求如图题 2-8 所示电路中的电流 I。
4Ω I

习题解答

习题解答

第1章1.5 操作系统的主要功能有那些?答:存储器管理、处理机管理、设备管理、文件管理和用户接口1.7 何谓联机I/O,何谓脱机I/O ?答:联机I/O就是作业从卡片机上传送到磁带上,再从磁带上调入内存,以及结果的输出,这些都是由处理机(CPU)来完成的。

脱机I/O就是在主机之外另设一台功能较为简单的小型卫星机。

该机只与外部设备打交道,使得主机从烦琐的输入输出操作中解放出来,使得主机可与卫星机、外部设备并行工作。

1.10 实时系统的特点是什么,它与分时相似和不同之处在哪里?答:实时系统的特点是对时间的严格限制和要求。

与分时相似和不同之处主要在4个方面:1)实时系统通常属于专用系统,是面向特定领域、特定任务的。

而分时系统一般都是通用的系统,面向众多领域,因而它们面向的对象不同。

2)交互性不同;分时系统具有较强的交互作用,而实时系统则相对要差的多,提供的交互命令较简单,它仅仅允许终端操作员访问数量有限的专用服务程序。

也不存在分时系统的资源共享。

3)对系统响应时间要求不同;虽然实时信息系统与分时系统对系统响应时间具有类似的要求,但在实时控制方面,实时系统要求实时性,对时间要求严格,一般都联系一个截止时间,所面向的对象是所监测或控制的外部设备,而不是一般的终端用户。

4)可靠性不同;虽然分时系统也要求系统可靠,但实时系统要求的可靠性更高,实时系统中通常都进行硬件和软件方面的冗余(如双主机的硬件冗余,多份程序、数据拷贝的软件冗余等)。

1.23 你认为并行与并发有何不同,在单处理机中,下面并行和并发现象哪些可能发生,哪些不可能发生。

(1)用户程序与用户程序之间的并行;(2)用户程序与用户程序之间的并发;(3)处理机与设备之间的并行;(4)设备与设备之间的并行;答:并行指的在时间一点上的多个进程的执行。

并发指的在一段时间上多个进程的执行。

(2)(3)(4)可以。

第3章3.2 操作系统通过什么概念来刻画程序的并发执行、资源分配及随机性?答:进程2. 5 有下面的5条语句,试画出前趋图;S1:a = x+10;S2:b = a + 10;S3:c = 4*x;S4:d = b + c;S5:e = d + 5;并根据Bernstein 条件,证明S2和S3 是可以并发执行的,而S4和S5语句是不能并发执行的。

部分习题解答

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部分习题解答省级精品课程《数控加工技术》习题解答第一章数控加工技术概论1.1 数控加工技术的概念是什么?其主要发展历程经过哪几个阶段?答:1)数控加工技术是集传统的机械制造、计算机、现代控制、传感控制、信息处理、光机电技术于一体,在数控机床上进行工件切削加工的一种工艺方法,是根据工件图样和工艺要求等原始条件编制的工件数控加工程序输入数控系统,控制机床刀具与工件的相对运动,从而实现工件的加工。

2)数控加工技术主要发展历程经过了二个阶段6个时代。

第一阶段:数控(NC)阶段,又称为硬件数控阶段,从1952年~1970年。

第一代数控(1952-1959年):采用电子管构成的硬件数控系统;第二代数控(1959-1965年):采用晶体管电路为主的硬件数控系统;第三代数控(1965年开始):采用小、中规模集成电路的硬件数控系统;第二阶段:计算机数控(CNC)阶段:又称为软件数控阶段,从1970年~现在。

第四代数控(1970年开始):采用大规模集成电路的小型通用电子计算机数控系统;第五代数控(1974年开始):采用微型计算机控制的数控系统;第六代数控(1990年开始):采用工控PC机的通用CNC系统。

1.2 数控机床的工作原理是什么?数控加工的特点有哪能些?答:1)将被加工零件图纸上的几何信息和工艺信息用规定的代码和格式编写成加工程序,并输入数控装置,经过信息处理、分配,控制机床各坐标轴以最小位移量(通常只有0.001mm)为单位进行移动,其合成运动实现了刀具与工件的相对运动,完成零件的加工。

数控机床的加工,实质是应用了“微分”原理。

2)数控加工的特点有:1)自动化程度高,能减轻工人的劳动强度和改善劳动条件;2)零件加工精度高、加工质量稳定;3)加工生产率高;4)良好的经济效益;5)复杂产品加工能力强;6)适应性强,适合加工单件或小批量复杂工件;7)有利于生产管理的现代化。

1.3 数控机床由哪能几个部分组成?各个部分的基本功能是什么?答:1)数控机床由控制介质、数控装置、伺服系统、检测系统和机床本体五部分组成。

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=100.91×;=177.55×=136.69×1n =20.7936-2788.51/1n =20.9065-3096.52/1n =20.989 1-3346.65/和ψ 0.1 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9F(ψ) -1.051 -3.516 2.04 2.123 0.825 0.547 0.4245 0.346 0.242 -0.0977 以ψ为横坐标,F(ψ)为纵坐标作图得迭代次数ψ)(ψf)(ψdf /ψd1 0.1 0.366 0.5642 0.75 0.0436 0.511 30.840.0092—∑=31i ix=0.999,∑=31i iy=1.008,结果以满意9. 在101.3 kPa 下,对组成为45 %(摩尔百分数,下同)正已烷,25 %正庚烷及30 %正辛烷的混合物计算。

(1)泡点和露点温度(2)将此混合物在101.3kPa 下进行闪蒸,使进料的50 % 汽化。

求闪蒸温度,两相的组成。

解:因为各组分都是烷烃,所得的汽、液相均可看成理想溶液,i K 只取决于温度和压力,若计算精度不要求非常高可使用烃类的P -T -K 图,见图2-1假设T =82℃,由P =101.3kPa 得下表: 组分i xi Ki i i x K y =正己烷 45% 1.5 0.675 正庚烷 25% 0.63 0.158 正辛烷30%0.280.084∑iixK =0.917<1,说明所设温度偏低,重设T =85.8℃,得组分i xi Ki i i x K y =正己烷 45% 1.6 0.72 正庚烷 25% 0.7 0.175 正辛烷30%0.310.093∑iixK =1.008≈1,故泡点温度为85.8℃。

同理,可迭代求出露点温度设T =95℃,此时 组分iyiKix =iy /iK正己烷 45% 2.0 0.225 正庚烷 25% 0.9 0.278 正辛烷30%0.4250.705∑i y /i K =1.2068>1,所设温度偏低,重设T =102.4℃,得组分i yi Ki x =i y /i K正己烷 45% 2.35 0.1915 正庚烷 25% 1.08 0.2315 正辛烷30%0.5200.5769组分 i xi y正己烷 31.0% 58.90% 正庚烷 27.0% 22.45% 正辛烷 42.85%17.14%结果(1)泡点:85.8oC ,露点:102.4oC ; (2)闪蒸温度94.1oC ;气相组成:正已烷—0.31,正庚烷—0.27,正辛烷—0.43;液相组成:正已烷—0.59,正庚烷—0.23,正辛烷—0.17。

习题解答

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习题2.1 10 习题
为集合A上的一个二元关系 设R为集合 上的一个二元关系。如果 是反 为集合 上的一个二元关系。如果R是反 自反的和传递的, 一定是反对称的。 自反的和传递的,则R一定是反对称的。 一定是反对称的 证明(反证法 反证法) 假设R不是反对称的 不是反对称的。 证明 反证法 :假设 不是反对称的。 根据反对称的定义,则存在a,b ∈A,使得 根据反对称的定义,则存在 使得 <a,b>∈ R,<b,a>∈ R,且a≠b 。 ∈ , ∈ , 由于R是传递的 则由<a,b>∈ R,<b,a>∈ R 是传递的, 由于 是传递的,则由 ∈ , ∈ 可知<a,a>一定属于 这与 是反自反的矛盾。 一定属于R. 是反自反的矛盾。 可知 一定属于 这与R是反自反的矛盾 所以假设不成立。 一定是反对称的。 所以假设不成立。故R一定是反对称的。 一定是反对称的
习题1.4 习题
证明: 证明:
4
x ∈C ═> {x} ⊆C ═> {x} ∈P(C)
(1) )
x∈C, y∈C ═> {x,y} ⊆C ═> {x,y} ∈P(C) (2) ∈ ∈ ) 由(1)和(2)可得 ) )可得{{x},{x,y}} ⊆P(C) 根据幂集的定义即得{{x},{x,y}}∈P(P(C))。 根据幂集的定义即得 ∈ 。 故<x,y> ∈P(P(C))。 。
f) (A-B)⊕ (A-C)= ∅ ⊕
解:(A-B)⊕ (A-C) ⊕ =(A∩~B)⊕ (A∩~C) (补交转换律 补交转换律) ~ ⊕ ~ 补交转换律 =(~B⊕~C)∩A (习题 习题1.2 4 .e)) ~ ⊕ 习题 因此 (A-B)⊕ (A-C)= ∅ ⊕ <═>(~B⊕~C)∩A= ∅ ~ ⊕ <═> ~B ⊕~C⊆~A ⊆ 故(A-B)⊕ (A-C)= ∅ 成立的充分必要条件 ⊕ 是: ~B ⊕~C⊆~A ⊆

(4-6)部分习题及其解答

(4-6)部分习题及其解答

1本教材习题和参考答案及部分习题解答第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为: 50x a σ=,0yσ=,30z a σ=-,75yz a τ=-,80zx a τ=,50xy a τ=试求法线方向余弦为112n =,122n =,3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和剪应力n τ。

解:应力矢量T 的三个分量为11106.57i i T n a σ==,228.033T a =-,318.71T a =-总应力111.8T a 。

正应力26.04n i i T n a σ==。

剪应力108.7n a τ。

4.2过某点有两个面,它们的法向单位矢量分别为n 和m ,在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ,试证12⋅=⋅T m T n 。

证:利用应力张量的对称性,可得12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。

证毕。

4.3某点的应力张量为01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零,求y σ及该平面的单位法向矢量。

解:设要求的单位法向矢量为i n ,则按题意有 0ij j n σ=即2320n n +=,1230y n n n σ++=,1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式,得 2(22)0y n σ-=上式有两个解:20n =或1yσ=。

若20n =,则代入式(a)中的三个式子,可得1n =30n =,这是不可能的。

所以必有1y σ=。

将1y σ=代入式(a),利用1i i n n =,可求得=n4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状,见图4.8,下部受均匀压力作用,斜面自由,试验证应力分量 22(arctg )x y xyA C x x yσ=--++ 22(arctg )yy xyA B x x yσ=-+++0z yz xz σττ===,222xy y A x y τ=-+满足平衡方程,并根据面力边界条件确定常数A 、B 和C 。

医用高数课后习题答案

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第一章 函数、极限与连续习题题解(P27)一、判断题题解1. 正确。

设h (x )=f (x )+f (x ), 则h (x )= f (x )+f (x )=h (x )。

故为偶函数。

2. 错。

y =2ln x 的定义域(0,+), y =ln x 2的定义域(,0)∪(0,+)。

定义域不同。

3. 错。

+∞=→21lim x x 。

故无界。

4. 错。

在x 0点极限存在不一定连续。

5. 错。

01lim =-+∞→xx 逐渐增大。

6. 正确。

设A x f x x =→)(lim 0,当x 无限趋向于x 0,并在x 0的邻域内,有εε+<<-A x f A )(。

7. 正确。

反证法:设F (x )=f (x )+g (x )在x 0处连续,则g (x ) =F (x )f (x ),在x 0处F (x ),f (x )均连续,从而g (x )在x =x 0处也连续,与已知条件矛盾。

8. 正确。

是复合函数的连续性定理。

二、选择题题解1. ())( 22)]([,2)(,)(222D x f x x x f x x x ====ϕϕ2. y =x (C )3. 01sin lim 0=→xx x (A ) 4. 0cos 1sinlim0=→xx x x (B ) 5. )1(2)(lim ,2)3(lim )(lim ,2)13(lim )(lim 11111f x f x x f x x f x x x x x ≠=∴=-==-=→→→→→++--(B )6. 3092<⇒>-x x(D )7. 画出图形后知:最大值是3,最小值是10。

(A )8. 设1)(4--=x x x f ,则13)2(,1)1(=-=f f ,)(x f 连续,由介质定理可知。

(D )三、填空题题解 1. 210≤-≤x 31≤≤x2. )arctan(3x y =是奇函数,关于原点对称。

3. 31=ω,πωπ62==T 。

课后习题参考解答

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课后习题解答第一章课后习题一、选择题1、数据库系统的核心是(A )A、数据库管理系统B、数据库C、操作系统D、数据2、以下(C )不是数据库的模型A、网状型B、关系模型C、层次型D、实体联系型3、SQL Server 2008个人版不能安装在下列那个操作系统上( C )A、Windows 2000/XPB、Windows 98C、UnixD、Windows NT4、下列那个不是SQL Server的安装版本( A )A、客户工具版B、企业版C、标准版D、开发版5、数据冗余是指(D )。

A、数据和数据之间没有联系B、数据有丢失C、数据量太大D、存在重复的数据6、下列哪一种说法是对SQL Server的描述是错误的(C )A、客户机/服务器数据库。

B、关系型数据库。

C、层次化数据库。

D、企业级数据库。

二、简答题1,SQLServer2008一共分为几个版本?各都是什么?答:SQLServer2008共分5个版本,它们分别是:企业版、标准版、开发版、工作组版和简化版(EXPRESS)2,如何理解数据完整性?答:数据完整性是指数据的有效性和相容性,有效性是指表存放数据是正确有效的,不存在垃圾数据。

第二章课后习题一、选择题1、下列不属于SQL Server的系统数据库是(C )A、modelB、tempdbC、pubsD、master2、你是一个SQL Server的数据库管理员,该SQL Server已经几乎没有任何空余空间了。

你想要删除任何并非必要的内容,以获得更多的空间。

你可以删除以下哪个数据库,而并不引起任何问题?(A )A、PubsB、MasterC、MsdbD、Tempdb3、下列关于SQL Server 2000数据库日志的说法错误是(A)A、日志文件是维护数据库完整性的重要工具。

B、所有的对SQL数据库的操作都需要写日志。

C、当日志文件的空间占满时,将无法写日志。

D、当修改数据库时,必先写日志。

高等数学(同济第七版下)课后习题及解答

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高等数学(同济第七版下)课后习题及解答高等数学(同济第七版下)课后习题及解答一、函数与极限1. 已知函数 f(x) = x^2 + 3x - 2, 求以下极限:(1) lim(x→2) f(x)(2) lim(x→-1) f(x)解答:(1) 当x → 2 时,f(x) = x^2 + 3x - 2 = 2^2 + 3(2) - 2 = 12所以,lim(x→2) f(x) = 12(2) 当x → -1 时,f(x) = (-1)^2 + 3(-1) - 2 = -2所以,lim(x→-1) f(x) = -22. 求以下极限:(1) lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)(2) lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)解答:(1) 利用极限的性质,lim(x→0) (sin3x)/(sin4x)= lim(x→0) (3x)/(4x) = 3/4(2) 利用极限的性质,lim(x→∞) (x^2 - 2x)/(x - 1)= lim(x→∞) x(x - 2)/(x - 1) = ∞二、导数与微分1. 求以下函数的导数:(1) y = x^3 + 2x^2 - 3x + 1(2) y = sin(2x) + cos(3x)(3) y = e^x/(1 + e^x)解答:(1) y' = 3x^2 + 4x - 3(2) y' = 2cos(2x) - 3sin(3x)(3) 利用商链规则和指数函数的导数性质,y' = e^x/(1 + e^x) - e^x*e^x/(1 + e^x)^2= e^x/(1 + e^x) - (e^x)^2/(1 + e^x)^2= e^x(1 - e^x)/(1 + e^x)^22. 求以下函数的微分:(1) y = 3x^2 + 4x - 2(2) y = sin(3x) + cos(2x)(3) y = ln(x) + e^x解答:(1) dy = (6x + 4)dx(2) dy = 3cos(3x)dx - 2sin(2x)dx(3) 利用对数函数和指数函数的微分性质,dy = (1/x)dx + e^xdx三、定积分与不定积分1. 求以下定积分:(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx(2) ∫[π/4,π/2] sinx dx解答:(1) ∫[0,1] (x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 |[0,1]= (1/3)(1)^3 + (1)^2 - (1/3)(0)^3 - (0)^2= 4/3(2) 利用不定积分的基本公式,∫ sinx dx = -cosx∫[π/4,π/2] sinx dx = [-cosx] |[π/4,π/2] = -cos(π/2) - (-cos(π/4)) = -1 + √2/2 = √2/2 - 12. 求以下不定积分:(1) ∫(x^2 + 2x)dx(2) ∫sinx dx解答:(1) ∫(x^2 + 2x)dx = (1/3)x^3 + x^2 + C(2) ∫sinx dx = -cosx + C四、级数1. 判断以下级数的敛散性:(1) ∑(n=1,∞) (1/n)(2) ∑(n=1,∞) (1/2)^n解答:(1) 这是调和级数,已知调和级数∑(n=1,∞) (1/n) 发散。

习题1 部分习题解答

习题1  部分习题解答
an1D1 a b n2 2 L a b2 n2 abn1 +bn
an1(a b) an2b2 L a b2 n2 abn1 +bn
an an1b an2b2 L a2bn2 abn1+bn n
aibni i0
13 设有n阶行列式D |aij|, 若其元素满足aij =-a ji ,则 称为反对称行列式。试证明:
所求项:(-1) (23514)a12a23a35a41a54 +(-1) (24513)a12a24a35a41a53
=a12a23a35a41a54 a12a24a35a41a53
x 7 3 1 8 在多项式f (x) 1 4 x 0 中,求x2的系数。
0 x 1 5 21 2 3
解:含有x2的项: (1) (1342) a11a23a34a42 (1) (1423) a11a24a32a43
Dn (a b)Dn1 abDn2
Dn aDn1 bDn1 abDn2 b(Dn1 aDn2 )
b2 (Dn2 aDn3 )
L bn2 (D2 aD1)
bn2( a b
ab a a b ) bn2 (b2 ) bn
1 ab
Dn =aDn1 +bn =a(aDn2 +bn1)+bn a2Dn2 abn1 bn =a2 (aDn3 bn2 ) abn1 bn a3Dn3 a b2 n2 abn1+bn =L
0 1 10 87 r4+2r3
0 1 10 87
200
200
0 0 -25 1364
0 0 -25 1364
0 0 51 572
0 0 1 3300
1 23 33

高等数学第二章习题详细解答答案

高等数学第二章习题详细解答答案

1 ⎧ 2 1 ⎪ x sin , x ≠ 0 (2)∵ y = ⎨ ,而 lim y = lim x 2 sin = 0 = y x = 0 ,所以函数在 x = 0 处连续 x x →0 x →0 x ⎪ x=0 ⎩ 0,
1 x = 0 ,所以函数在 x = 0 点处可导. 而 lim x →0 x−0 x 2 sin
−2 sin cos (x + Δx) − cos x 3.解: ( cos x)′ = lim = lim Δx → 0 Δx →0 Δx Δx sin 2 x + Δx 2 = − sin x = - lim sin ⋅ lim Δx → 0 Δx → 0 Δx 2 2
4. 解:(1)不能,(1)与 f ( x ) 在 x0 的取值无关,当然也就与 f ( x ) 在 x0 是否连续无关, 故是 f ′( x0 ) 存在的必要条件而非充分条件. (2)可以,与导数的定义等价. (3)可以, 与导数的定义等价. 5. 解:(1) 5 x
9 −1 = 4 ,而 y′ = (x 2 )′ = 2 x ,令 2 x = 4 , 3 −1
得: x = 2 ,所以该抛物线上过点 (2, 4) 的切线平行于此割线. 10.解:(1)连续,但因为
f (0+ h )− f (0 ) = h
因而 lim
h→0
3
h −0 1 = 2/ 3 h h
f (0 + h) − f (0) 1 = lim 2 / 3 = +∞ ,即导数为无穷大。 → h 0 h h
∴ f +′(0) ≠ f −′(0) = −1 ,所以 f ′(0) 不存在.
13. 解 : 当 x > 0 时 , f ( x) = x 是 初 等 函 数 , 所 以 f ′( x) = 3 x ; 同 理 , 当 x < 0 时

大学物理习题参考解答物理习题参考解答刚体基本运动_转动定律_动能定理

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选择题_03图示单元四 刚体基本运动 转动动能 1一 选择题01. 一刚体以每分钟60转绕z 轴做匀速转动(ω沿转轴正方向)。

设某时刻刚体上点P 的位置矢量为345r i j k =++,单位210m -,以210/m s -为速度单位,则该时刻P 点的速度为: 【 B 】(A) 94.2125.6157.0v i j k =++;(B) 25.118.8v i j =-+;(C) 25.118.8v i j =--;(D) 31.4v k =。

02. 轮圈半径为R ,其质量M 均匀布在轮缘上,长为R ,质量为m 的均质辐条固定在轮心和轮缘间,辐条共有2N 根。

今若将辐条数减少N 根但保持轮对通过轮心,垂直于轮平面轴的转动惯量保持不变,则轮圈的质量为 【 D 】(A)12N m M +; (B) 6N m M +; (C) 23N m M +; (D) 3Nm M +。

03. 如图所示,一质量为m 的均质杆长为l ,绕铅直轴OO '成θ角转动,其转动惯量为 【 C 】(A)2112ml ;(B) 221sin 4ml θ;(C) 221sin 3ml θ; (D) 213ml 。

04. 关于刚体对轴的转动惯量,下列说法中正确的是 【 C 】 (A) 只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关; (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布,与轴的位置无关; (C) 取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置;(D) 只取决于转轴的位置,与刚体的质量和质量的空间分布无关。

05. 两个匀质圆盘A 和B 的密度分别为A ρ和B ρ,若A B ρρ>,但两圆盘的质量与厚度相同,如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为A J 和B J ,则 【 B 】(A) A B J J >; (B) B A J J >;(C) A B J J =; (D) A J 和B J 哪个大,不能确定。

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第7章思考题及习题7参考答案
一、填空
1. AT89S52单片机任何一个端口要想获得较大的驱动能力,要采用电平输出。

答:低
2.检测开关处于闭合状态还是打开状态,只需把开关一端接到I/O端口的引脚上,另一端接地,然后通过检测来实现。

答: I/O端口引脚的电平
3. “8”字型的LED数码管如果不包括小数点段共计段,每一段对应一个发光二极管,有和两种。

答:7,共阳极,共阴极
4. 对于共阴极带有小数点段的数码管,显示字符“6”(a段对应段码的最低位)的段码为
,对于共阳极带有小数点段的数码管,显示字符“3”的段码为。

答:7DH,B0H
5. 已知8段共阳极LED数码显示器要显示某字符的段码为A1H(a段为最低位),此时显示器显示的字符为。

答:d
6. LED数码管静态显示方式的优点是:显示闪烁,亮度,比较容易,但是占用的线较多。

答:无,较高,软件控制,I/O口
7. 当显示的LED数码管位数较多时,一般采用显示方式,这样可以降
低,
减少的数目。

答:动态,成本,I/O端口
8. LCD 1602是型液晶显示模块,在其显示字符时,只需将待显示字符的
由单片机写入LCD 1602的显示数据RAM(DDRAM),内部控制电路就可将字符在LCD 上显示出来。

答:字符,ASCII码
9. LCD 1602显示模块内除有字节的 RAM外,还有字节的自定义,用户可自行定义个5×7点阵字符。

答:80,显示数据,64,字符RAM,8
10.当按键数目少于8个时,应采用式键盘。

当按键数目为64个时,应采用
式键盘。

答:独立,矩阵
11.使用并行接口方式连接键盘,对独立式键盘而言,8根I/O口线可以接个按键,而对矩阵式键盘而言,8根I/O口线最多可以接个按键。

答:8,64
12.LCD 1602显示一个字符的操作过程为:首先,然后,随后,最后。

答:读忙标志位BF,写命令,写显示字符,自动显示字符
13.由于微型打印机TPμP-40A/16A是一种外设,因此单片机与微型打印机的的命令与数据传送,必须采用方式。

应答信号可与信号作为一对应答联络信号,也可使用和作为一对应答联络信号。

答:慢速,ACK,STB,STB,BUSY
二、判断对错
1.P0口作为总线端口使用时,它是一个双向口。


2.P0口作为通用I/O端口使用时,外部引脚必须接上拉电阻,因此它是一个准双向口。


3.P1~P3口作为输入端口用时,必须先向端口寄存器写入1。


4.P0~P3口的驱动能力是相同的。


5.当显示的LED数码管位数较多时,动态显示所占用的I/O口多,为节省I/O口与驱动电路的数目,常采用静态扫描显示方式。


6.LED数码管动态扫描显示电路只要控制好每位数码管点亮显示的时间,就可造成“多位同时亮”的假象,达到多位LED数码管同时显示的效果。


7.使用专用的键盘/显示器芯片, 可由芯片内部硬件扫描电路自动完成显示数据的扫描刷新,和键盘扫描。


8.控制LED点阵显示器的显示,实质上就是控制加到行线和列线上的电平编码来控制点亮某些发光二极管(点),从而显示出由不同发光的点组成的各种字符。


9.16×16点阵显示屏是由4个4×4的LED点阵显示器组成。


10.LCD 1602液晶显示模块,可显示2行,每行16个字符。


11.HD7279是可自动获取按下键盘按键的键号以及自动对LED数码管进行动态扫描显示用于键盘/LED数码管的专用接口芯片可,为并行接口芯片。


12.LED数码管的字型码是固定不变的。


13.为给扫描法工作的8×8的非编码键盘提供接口电路,在接口电路中需要提供两个8位并行的输入口和一个8位并行的输出口。


14.LED数码管工作于动态显示方式时,同一时间只有一个数码管被点亮。

15.动态显示的数码管,任一时刻只有一个LED数码管处于点亮状态,是LED的
余辉与人眼的“视觉暂留”造成数码管同时显示的“假象”。


16.在微型打印机之所以称其为“智能”微型打印机,是其内部带有控制打印的
单片机固化有控打程序。


三、简答
1.分别写出表7-1中共阴极和共阳极LED数码管仅显示小数点“.”的段码。

答: 80H(共阴极);7FH(共阳极)。

2.LED的静态显示方式与动态显示方式有何区别?各有什么优缺点?
答:静态显示时,欲显示的数据是分开送到每一位LED上的。

而动态显示则是数据是同时送到每一个LED上,再根据位选线来确定是哪一位LED被显示。

静态显示亮度很高,但口线占用较多。

动态显示口线占用较少,但是需要编程进行动态扫描,适合用在显示位数较多的场合。

3.对下图所示的键盘,采用线反转法原理编写出识别某一按键被按下并得到其键号的程序。

答:先对P1口高四位送低电平,读取P1口低四位的值;再对P1口低四位送低电平,读取P1口高四位的值,将两次读到的值组合在一起就得到了按键的特征码,再根据特征码查找键值。

KEYIN: MOV P1,#0FH ;反转读键
MOV A,P1
ANL A,#0FH
MOV B,A
MOV P1,#0F0H
MOV A,P1
ANL A,#0F0H
ORL A,B
CJNE A,#0FFH,KEYIN1
RET ;未按键
KEYIN1: MOV B,A ;暂存特征码
MOV DPTR,#KEYCOD ;指向特征码表
MOV R3,#0FFH ;顺序码初始化
KEYIN2: INC R3
MOV A,R3
MOVC A,@A+DPTR
CJNE A,B,KEYIN3
MOV A,R3 ;找到,取顺序码
RET
KEYIN3: CJNE A,#0FFH,KEYIN2 ;未完,再查
RET ;已查完,未找到,以未按键处理 KEYCOD: DB 0E7H,0EBH,0EDH,0EEH ;特征码表
DB 0D7H,0DBH,0DDH,0DEH
DB 0B7H,0BBH,0BDH,0BEH
DB 77H,7BH,7DH,7EH
4. 非编码键盘分为独立式键盘和矩阵式键盘,什么场合用?
答:独立式键盘是一键一线,按键数目较少时使用,矩阵式键盘适于键盘数目较多的场合。

5. 使用专用键盘/显示器接口芯片HD7279方案实现的键盘/显示器接口的优点是什么?
答:使用专用接口芯片HD7279实现的键盘/显示器接口设计,优点是按键按下后,可直接得到键号,另外,可控制处理的键盘按键以及LED数码管的数目较多,对键盘/显示器的扫描是由HD7279的内部电路自动完成。

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