高中数学试题巧解方法

数学具体解题方法有：代入法 直接法 定义法 向量坐标法 查字典法 挡板模型法 等差中项

法 逆向化法 极限化法 整体化法 参数法 交轨法 几何法 弦中点轨迹求法 比较法 基本不等式

法 以题攻题法

综合法 分析法 放缩法 反证法 换元法 构造法 数学归纳法 配方法 判别式法

序轴标根法 向量平行法 向量垂直法 同一法 累加法 累乘法 倒序相加法 分组法 公式法

错位相减法 裂项法 迭代法 角的变换法 公式的变形及逆用法 降幂法 升幂法 “1”的代换法

引入辅助角法 三角函数线法 构造对偶式法 构造三角形法 估算法 待定系数法 特殊优先法

先选后排法 捆绑法 插空法 间接法 筛选法（排除法） 数形结合法 特殊值法

回代法（验证法） 特殊图形法 分类法 运算转换法 结构转换法 割补转换法 导数法

象限分析法 补集法 距离法 变更主元法 差异分析法 反例法 阅读理解法 信息迁移法

类比联想法 抽象概括法 逻辑推理法 等价转化法 根的分布法 分离参数法 抽签法

随机数表法

高中数学活解方法

一、代入法

若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能

易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已

知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移

法或相关点法。

【例1】（广东高考题）已知曲线C ：2

x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所

围成的平面区域（含边界）为D .设点),(t s P 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重

合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；

【巧解】联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)2

5

,21(Q ， 设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则2

2

5,221t

y s x +=+=， 即2

52,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上， ∴2)212(252-=-x y 化简可得8

112+-=x x y ，又点P 是L 上的任一点，

且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ， ∴中点M 的轨迹方程为（4

541<<-x ）. 【例2】（江西高考题）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P 作双

曲线12

2=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1m 。 过点A 作直线0=-y x 的垂线，垂足为N ，试求AMN ∆的重心G 所在的曲线方程。

【巧解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由已知得到120y y ≠，且22111x y -=，22221x y -=，（1）

垂线AN 的方程为：11y y x x -=-+，

由110

y y x x x y -=-+⎧⎨-=⎩得垂足1111(,)22x y x y N ++，设重心(,)G x y 所以11111111()321(0)32x y x x m x y y y +⎧=++⎪⎪⎨+⎪=++⎪⎩ 解得1139341934

x y m x y x m y ⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩ 由22111x y -= 可得11(33)(33)2x y x y m m

--+-= 即2212()39

x y m --=为重心G 所在曲线方程 巧练一：（江西高考题）如图，设抛物线2

:x y C =的焦点为F ，动点P 在直线0

2:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.，求

△APB 的重心G 的轨迹方程.

巧练二：（全国高考题）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以)3,0(1-F 和)3,0(2F 为焦8 11 2 + - =2 x x y

点、离心率为2

3的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x 、y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OB OA OM +=，求点M 的轨迹方程

二、直接法

直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过

准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法

叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用

的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进

行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

【例1】（全国高考题）已知双曲线)0,0(1:22

22>>=-b a b

y a x C 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。若FB AF 4=，则C 的离心率为（ ）

（A ）

56 （B ）57 （C ）58 （D ）5

9 【巧解】设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(c F ，由FB AF 4=，得),(4),(2211y c x y x c -=--

∴214y y -=，设过F 点斜率为3的直线方程为c y x +=3

， 由⎪⎩

⎪⎨⎧=--+=03222222b a y a x b c y x 消去x 得：032)3(42222=++-b y c b y a b ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+224212222133)3(36a b b y y a b c b y y ， 将 214y y -=代入得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=---=-224

222222334)3(363a b b y a b c b y 化简得 ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧--=-=)3(43)3(32224222222a b b y a b c b y ，∴)3(43)3(3422422224a b b a b c b --=-， 化简得：)3(9)3(916222222a c a b a c +-=-=，∴223625a c =，25362=e ，即56=e 。 故本题选（A ）

【例2】（四川高考题）设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若

2)1(=f ，则=)99(f （ ）