高中数学第六章平面向量及其应用章末复习提升课学案新人教A版必修第二册

章末复习提升课

平面向量的线性运算

(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →

＝( )

A.34AB →－14

AC →

B.14AB →－34

AC →

C.34AB →＋14AC →

D.14AB →＋34

AC →

(2)如图所示，在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →

，则λ＋μ＝( ) A.43 B.53 C.158

D.2

【解析】 (1)法一：如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝

3

4AB →

－14

AC →

，故选A .

法二：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →

)＝34AB →－14

AC →，故选A .

(2)因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(－AB →＋AD →

)＝

(λ－μ)错误！未定义书签。＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，且AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，

12λ＋μ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，

所以λ＋μ＝5

3

，故选B .

【答案】 (1)A (2)B

向量线性运算的基本原则

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．

已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1，1)，c ＝(－5，1)．若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为( )

A ．2

B ．12

C ．114

D ．－114

解析：选B.由题意知，a ＋k b ＝(2，－1)＋k (1，1)＝(k ＋2，k －1)，由(a ＋k b )∥c ，得－5(k －1)＝k ＋2，解得k ＝1

2

，故选B.

平面向量数量积的运算

如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝

AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE →

的最小值为( )

A.2116

B.32

C.2516

D.3

【解析】 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1

2，32，

设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3

2，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，32，

因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3

2，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，即32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝

3，即C (1，3)，因为E 在CD 上，所以

32≤y ≤3，由CE →∥DC →

，得(x －1)⎝

⎛⎭⎪⎫3－32＝32(y －3)，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →

＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2

－x ＋y 2

＝(3y －2)2

－3y ＋2＋y 2

＝4y 2

－53y ＋6，令f (y )＝4y 2

－53y ＋6，y ∈

⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2

－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦

⎥⎤538，3上单调递

增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫5382

－53×538＋6＝2116.

所以AE →·BE →

的最小值为2116，故选A.

【答案】 A

向量数量积的两种计算方法

(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos θ. (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.

1．已知向量a ，b 的夹角为3π

4，|a |＝2，|b |＝2，则a ·(a －2b )＝________．

解析：a ·(a －2b )＝a 2

－2a ·b ＝2－2×2×2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－22＝6. 答案：6

2．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →

，则AM →·NM →

等于________．

解析：AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋34AD →

，

NM →＝CM →－CN →

＝－14AD →＋13

AB →，

所以AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42

)＝9.

答案：9

向量的夹角及垂直问题

(1)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2

D ．－1

(2)已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝19，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°

D ．以上都不对

【解析】 (1)因为m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)，(m ＋n )⊥(m －n )， 所以(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3. (2)设向量a 与b 的夹角为θ，因为a ＋b ＋c ＝0， 所以c ＝－(a ＋b )，所以c 2

＝(a ＋b )2

， 即|c |2

＝|a |2

＋|b |2

＋2|a ||b |cos θ， 所以19＝4＋9＋12cos θ，

所以cos θ＝1

2，又0°≤θ≤180°，所以a 与b 的夹角为60°.

【答案】 (1)B (2)C

解决两个向量垂直问题，其关键在于将问题转化为它们的数量积为零，与求夹角一样．若向量能用坐标表示(或能建立适当的直角坐标系)，将它转化为“x 1x 2＋y 1y 2＝0”较为简单．

1．设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________． 解析：因为a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，所以m a －b ＝(m ＋1，－m )． 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0， 即m ＋1＝0，得m ＝－1.