数学物理方法--格林函数法
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第十二章 格林函数法
第一节 泊松方程的格林函数法 第二节 用电像法求格林函数
11
12.1 泊松方程的格林函数法
有源问题
1. 源问题 例 静电场
a.无界空间
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
r r'
q 4
r
r'
r 处静电场
(r)
r
1 r '
u0 (r , r ') G(r , r ')
G(r , r0 ) 4 (r r0)
G(r , r0 ) 0
第一边值问 题格林函数
r r0
0
导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。
将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示
10
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
6
4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程 G(r , r ') 4 (r r ') 单位负电荷在
(Gu uG)dV
1
4
G(r , r0)
f n
dS.
8
第三边值问题
u(r
,
r0
)
[
u n
u]
f
[
G n
G]
0
第三边值问 题格林函数
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
1
4
fG(r , r0 )dS.
9
12.2 电像法求格林函数
R r2 r22 r2 2rr2 cos
11
例 u 0 (z 0)
u ra f (x, y)
解
M0 (x0, y0, z0 )
半空间第一边值问题
计算格林函数：
M (x, y, z)
按电磁学思维模式， 应当引入镜像电荷 表示平面（z=0）上 的感应电荷。
镜像电荷的作用为使 平面（z=0）上的电势 为零。显然，这个电荷 位于相对于平面（z=0） 对称的几何点，且有 相反的电量。
3
感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
0 z0
1
0 z0
4 [(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 ]3/2 4 [(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 ]3/2
1 2
[( x
x0 )2
(y
z0 y0 )2
(z
z0 )2 ]3/ 2
u(x, y)
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
a2 r2 r1
G(r , r1)
1 R r1
a r1
1 R r2
其中
R r1 r12 r2 2rr1 cos
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
格林函数代表一个点源所产生的场，对点源产生的场 利用叠加定理则可知道任意源分布产生的场
2
r r'
b.有界空间 边界上可能出现感应电荷
(r ')
r
r'
r 处静电场是源电荷与感应电荷
的电势之和。
感应电荷是源电荷的结果。
在一般的定解问题中，是要求解满足一定的边界条 件和初始条件的解。相应的GREEN函数的表达式会 复杂一些。因为此时的点源产生的场还是受边界条 件或初始条件的限制。
G(r
r
')
u(r n
)
u(r
)
G(r n
r
')
ds
7
5. 边值问题的格林函数
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
第一边值问题(狄里希利问题)
u(r , r ')
G(r , r ') 0
u f
第一边值问 题格林函数
u(r0 )
1
4
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ') n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
M1(x1, y1, z1)
M1(x1, y1, z1) M1(x0, y0,z0 )
G(r , r0 )
1 4
[( x
x0 )2
(y
1 y0 )2
(z
z0 )2 ]1/ 2
1 4
[( x
x0 )2
(y
1 y0 )2
(z
z0 Leabharlann Baidu2 ]1/ 2
12
1
T
G(r0, r ) f
(r0 )dV0
(r0
)
G(r0
n
,
r)
T
1
4
T
u
(r
r
')dV
由Green公式：
Gu
V
uG(r , r
')dv
G
u n
u
G n
ds
以及 (r r '函) 数的性质： u(r ) (r r ')dv u(r )
V
u(r)
1
4
G(r
V
r ')dv 1 4
T
u vdV uvdV
T
T
4
第二格林公式：
交换
u(r )
和
v(r )
：
vu dS v udV vudV
T
T
与上式相减
(uv vu) dS (uv vu)dV
T
即 n
第一节 泊松方程的格林函数法 第二节 用电像法求格林函数
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12.1 泊松方程的格林函数法
有源问题
1. 源问题 例 静电场
a.无界空间
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
r r'
q 4
r
r'
r 处静电场
(r)
r
1 r '
u0 (r , r ') G(r , r ')
G(r , r0 ) 4 (r r0)
G(r , r0 ) 0
第一边值问 题格林函数
r r0
0
导体球内有一个点电荷 ，导体接 地。求球内电势。 电荷的存在，在导体上感应了电荷。 球内的电势为自由电荷和感应电荷电势之和。
将感应电荷的电势由一 “电像电荷”的电势表示
10
泊松方程与第一类边界条件，构成第一边值问题(狄里希利问题) 泊松方程与第二类边界条件，构成第二边值问题(诺依曼问题) 泊松方程与第三类边界条件，构成第三边值问题
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4. 泊松方程的基本积分公式
点源泊松方程 G(r , r ') 4 (r r ') 单位负电荷在
(Gu uG)dV
1
4
G(r , r0)
f n
dS.
8
第三边值问题
u(r
,
r0
)
[
u n
u]
f
[
G n
G]
0
第三边值问 题格林函数
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
1
4
fG(r , r0 )dS.
9
12.2 电像法求格林函数
R r2 r22 r2 2rr2 cos
11
例 u 0 (z 0)
u ra f (x, y)
解
M0 (x0, y0, z0 )
半空间第一边值问题
计算格林函数：
M (x, y, z)
按电磁学思维模式， 应当引入镜像电荷 表示平面（z=0）上 的感应电荷。
镜像电荷的作用为使 平面（z=0）上的电势 为零。显然，这个电荷 位于相对于平面（z=0） 对称的几何点，且有 相反的电量。
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感应电荷 是边界问题
2. 格林公式
第一格林公式：
区域 T，边界
定解＝通解＋边界条件 求通解＝积分
定解＝积分＋边界条件 （格林函数法）
T
设 u(r ) 和 v(r ) 在 T 中具有连续二阶导数，
在 上有连续一阶导数。由高斯定理
uv dS (uv)dV
0 z0
1
0 z0
4 [(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 ]3/2 4 [(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 ]3/2
1 2
[( x
x0 )2
(y
z0 y0 )2
(z
z0 )2 ]3/ 2
u(x, y)
p
M (r)
o
M0 (r0 )
如右图，当导体外 M1 处有电荷 40q 时，镜像电荷
将在球内M0 处。
M1(r1)
像电荷的大小以及位置：
4 0 q
a r1
a2 r2 r1
G(r , r1)
1 R r1
a r1
1 R r2
其中
R r1 r12 r2 2rr1 cos
(u
v n
v
u )dS n
T
(uv
vu)dV
法向导数
5
3. 边值问题 边界条件
泊松方程
u
[
u n
u]
()
() 定义在
0, 0 0, 0
第一类边界条件 第二类边界条件
0, 0 第三类边界条件
格林函数代表一个点源所产生的场，对点源产生的场 利用叠加定理则可知道任意源分布产生的场
2
r r'
b.有界空间 边界上可能出现感应电荷
(r ')
r
r'
r 处静电场是源电荷与感应电荷
的电势之和。
感应电荷是源电荷的结果。
在一般的定解问题中，是要求解满足一定的边界条 件和初始条件的解。相应的GREEN函数的表达式会 复杂一些。因为此时的点源产生的场还是受边界条 件或初始条件的限制。
G(r
r
')
u(r n
)
u(r
)
G(r n
r
')
ds
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5. 边值问题的格林函数
还需知道点源泊松方程度解的边界条件。
第一边值问题(狄里希利问题)
u(r , r ')
G(r , r ') 0
u f
第一边值问 题格林函数
u(r0 )
1
4
G(r , r0)r(r )dV T
1
4
f
G(r , r0 ) dS. n
第二边值问题(诺依曼问题)
u(r , r ')
u n
f
第二边值问 题格林函数
G(r , r ') n
0
u(r0 )
1
4
G(r , r0)(r )dV T
M1(x1, y1, z1)
M1(x1, y1, z1) M1(x0, y0,z0 )
G(r , r0 )
1 4
[( x
x0 )2
(y
1 y0 )2
(z
z0 )2 ]1/ 2
1 4
[( x
x0 )2
(y
1 y0 )2
(z
z0 Leabharlann Baidu2 ]1/ 2
12
1
T
G(r0, r ) f
(r0 )dV0
(r0
)
G(r0
n
,
r)
T
1
4
T
u
(r
r
')dV
由Green公式：
Gu
V
uG(r , r
')dv
G
u n
u
G n
ds
以及 (r r '函) 数的性质： u(r ) (r r ')dv u(r )
V
u(r)
1
4
G(r
V
r ')dv 1 4
T
u vdV uvdV
T
T
4
第二格林公式：
交换
u(r )
和
v(r )
：
vu dS v udV vudV
T
T
与上式相减
(uv vu) dS (uv vu)dV
T
即 n